第16讲 二元一次方程与一次函数和三元一次方程组（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年北师大版八年级数学上册满分全攻略备考系列

本讲义聚焦二元一次方程与一次函数的关系、方程组与函数图像的联系、用方程组确定函数表达式，以及三元一次方程组的概念、解法及应用，构建从代数几何关联到多元方程拓展的连贯知识支架。 通过对比表格明晰方程与函数区别联系培养抽象能力和几何直观，结合电热水壶水温、叠放凳子等实际情境题型发展推理与运算能力，分层强化题含幻方、折叠等梯度问题提升模型意识与应用意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第16讲 二元一次方程与一次函数和三元一次方程组（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.二元一次方程与一次函数的关系 2.二元一次方程组与一次函数的关系 3.用二元一次方程组确定一次函数的表达式 4.在实际问题中求解一次函数的表达式 5.三元一次方程（组）及其解的概念 6.三元一次方程组的解法 7.列三元一次方程组解决实际问题 题型巩固 一、求一次函数解析式 二、两直线的交点与二元一次方程组的解 三、图象法解二元一次方程组 四、求直线围成的图形面积 五、三元一次方程组的定义及解 六、三元一次方程组的应用 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（7） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.二元一次方程与一次函数的关系 1. 二元一次方程与相应一次函数的关系 2. 二元一次方程与一次函数的区别与联系 二元一次方程  一次函数 区别 x ， y 的含义  x， y 均为未知数  x， y 均为变量 表示方式  只能用一个等式表示 x， y 的关系 可用一个等式、表格或图象表示 x， y 的关系 从数的角度  有无数个解  有无数对 x， y 的值 从“形”的角度 图象 (即直线 ) 上有无数个点 联系 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线一个二元一次方程对应着平面上的一条直线 知识点2.二元一次方程组与一次函数的关系 二元一次方程组与对应的一次函数的关系 一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标， 相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标。 二元一次方程组的解对应着平面上两条直线的交点 知识点3.用二元一次方程组确定一次函数的表达式 1. 待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法。 2. 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式是求一次函数表达式的主要方法，其一般步骤如下： (1)设：设出函数表达式为y=kx+b； (2)代：把已知条件代入，得到关于k， b 的方程组； (3)解：解方程组，求出 k， b 的值； (4)写：写出其表达式。 知识点4.在实际问题中求解一次函数的表达式 1. 利用一次函数的表达式解决实际问题的思路 注意确定函数表达式时，注意自变量的取值范围。 2.一次函数性质的应用主要有两种类型： (1)给出了一次函数表达式，直接利用一次函数的性质解决问题； (2)只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的情境时，应先求出表达式，进而利用一次函数的性质解决问题. 知识点5.三元一次方程（组）及其解的概念 1. 三元一次方程(组)的概念 概念 必备条件 三元一次方程 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫做三元一次方程 (1)是整式方程； (2)含有三个未知数； (3)一次方程 三元一次方程组 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组 (1)是整式方程； (2)含三个未知数； (3)三个一次方程 2.三元一次方程组的解： 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解 . 知识点6.三元一次方程组的解法 1. 解三元一次方程组的思路： 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”—把“三元”化“二元”，再化为“一元”。 2. 解三元一次方程组的一般步骤 (1)消元：利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两个方程组，分别消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个含有最后一个未知数，且系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)求解：解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)写解：将求得的三个未知数的值用“{”联立在一起。 知识点7.列三元一次方程组解决实际问题 列三元一次方程组解决实际问题的步骤 (1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系； (2)找出能够表达应用题全部含义的三个相等关系； (3)根据相等关系列出方程，建立方程组； (4)解方程组求出未知数的值； (5)写出答语，包括单位名称. 题型巩固 题型一、求一次函数解析式 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）一个正比例函数的图象经过点，则它的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，关键是将点的坐标代入解析式求解，设正比例函数解析式为，将点代入求出k的值． 【详解】解：设正比例函数解析式为，将点代入， 得， ∴， ∴函数表达式为， 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）某种型号的凳子按图中的方式叠放在一起，如表是叠放凳子总高度与数量的几组对应值，则凳子总高度与数量满足的函数关系可能是 ． 凳子的数量（个） 1 2 3 4 … 叠放凳子的总高度（厘米） 52 57 62 67 … 【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了函数关系式．由表格中的数据可知，每增加一个凳子，增加的高度是 5 厘米，据此作答即可． 【详解】解：由表格中的数据可得，， ， ， ， ， 由此，凳子按图中的方式叠放在一起，凳子总高度与数量满足的函数关系， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温到达时停止加热…此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对水温y（）与x（）进行了观测和记录，部分数据如下表所示： 煮沸模式 保温模式 x（min） 0 3 6 m 10 12 14 16 18 20 22 24 26 n … y（℃） 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60 100 … 研究发现：无论在煮沸模式还是在保温模式下，当水壶开始加热时，壶中水温y（）都是时间x（）的一次函数．根据以上信息，回答下列问题： (1)观察表格可知，在煮沸模式下，时间x每增加，水温y增加______，据此推测，表格中的m的值为______； (2)在保温模式下，直接写出当时水温y与时间x之间的函数关系式______，并求出n的值． 【答案】(1)10，8 (2)，． 【知识点】求自变量的值或函数值、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，利用待定系数法求函数解析式，通过解析式求自变量的值，解题的关键是掌握一次函数的性质． （1）根据一次函数的性质进行求解即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可，通过解析式求出自变量的值． 【详解】（1）解：根据一次函数的性质得， ， ， 故答案为：10，8； （2）解：设水温y与时间x之间的函数关系式为， 将代入解析式得， 解得， ∴水温y与时间x之间的函数关系式为, 当水温时，， 解得， ∴， 故答案为：，． 题型二、两直线的交点与二元一次方程组的解 4．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两直线交点坐标与对应二元一次方程组解的关系是解题的关键． 根据一次函数与二元一次方程组的关系，两直线的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，因此只需确定两直线交点的坐标即可． 【详解】解：直线与直线交于点 关于的二元一次方程组的解就是点坐标 方程组的解为， 故选：D． 5．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图，一次函数（为常数且）和的图象相交于点A．根据图象可知，关于x的方程的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次方程的关系，求得交点坐标是解题的关键．由求得交点A的横坐标，即可求得关于x的方程的解． 【详解】解：把代入得，， 解得， ∴点A的横坐标为1， ∴关于x的方程的解， 故答案为： ． 6．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）【材料阅读】二元一次方程有无数组解，如：，，，．如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图1中画出二元一次方程组 中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程组 无解，请在图2中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程②图象与x，y轴的交点分别是C、D，计算的度数，并直接写出k的值． 【拓展应用】 （3）图3中包含关于x，y的二元一次方程组 的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解及m的值； 【答案】（1）见解析，；（2）见解析，，；（3）， 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】此题考查了一次函数与二元一次方程组． （1）首先画出图象，然后根据两条直线的交点坐标求解即可； （2）根据关于，的二元一次方程无解得到两条直线平行，然后得到直线经过点，然后画出图象即可；然后根据平行线的性质求解即可； （3）首先得到直线为直线，直线为直线，进而得到直线与直线的交点坐标为，可知的解，最后将代入计算即可． 【详解】解：（1）在方程中，当时，；当时，， 如图所示， 由图象可知，直线与直线交于点， ∴同时是方程和方程的解， ∴是方程组的解， 故答案为：； （2）∵方程组无解， ∴直线与直线没有交点， ∴直线与直线平行，即 在方程中，当时，， ∴直线经过点， 如图所示，直线和直线即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴； 由图可知经过点， ∴， 解得 （3）如图所示， 在方程中，当时，，解得， 当时，，解得， ∴直线为直线，，是方程的解， 在方程中，当时，则，即此时， ∴是方程的解，即直线经过点； ∴直线为直线， 由图可知直线与直线的交点横坐标为， ∴直线与直线的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为， 将代入得， 解得： 题型三、图象法解二元一次方程组 7．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 8．（22-23八年级下·河南商丘·期末）如图，函数，的图象交于点P，若，则 ． 【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】数形结合思想，图象法求解． 【详解】如图，时，对应图象交点，所以； 故答案为： 【点睛】本题考查两个一次图象交点与方程组的联系，图象法求解，理解点坐标与方程（组）的联系是解题的关键． 9．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象； (2)用作图象的方法解方程组：． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】图象法解二元一次方程组、画一次函数图象 【分析】本题考查了画一次函数图象，用图像法求解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握画一次函数的图象的方法，以及用图象法求解二元一次方程组的方法和步骤． （1）按照列表、描点、连点的步骤即可画出该一次函数图象； （2）根据图象，找出两个一次函数图象的交点坐标，即可解答． 【详解】（1）解：列出表格如下： x …… 0 1 2 3 …… y …… 1 …… 画出函数图形如下： （2）解：∵可整理为，可整理为， ∴由图可知，的解为． 题型四、求直线围成的图形面积 10．（2025·陕西榆林·一模）如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点，两直线交点等知识，利用数形结合是解题关键． 根据题意求出点坐标的值，进而求出直线的解析式，继而求出点的坐标，即可得解． 【详解】解：在直线上， ， ， ， 将代入， 得，解得，故， 直线与轴交于点， ， ， ， ， ． 故选：B． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，直线交矩形于F与G，交x轴于D，交y轴于E．的面积为 ； 【答案】8 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次函数解析式求得，即可得到结论； 【详解】解：令，则有，即，令，则有， ∴， ∴， ∴的面积； 故答案为：8； 12．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，直线分别与轴、轴、直线交于、、三点，已知，． (1)求直线的表达式； (2)直线上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)点P的坐标为或 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，结合三角形面积公式求解是关键． （1）设的表达式为，求出，，把坐标代入，求出的值即可； （2）联立，求出点，根据三角形面积公式求出，根据可得方程，求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，且A在轴负半轴上， ∴； ∵， ∴， ∵点B在x轴正半轴上， ∴， 设直线的表达式为, 把，代入解析式得， ， 解得， 所以直线的表达式为； （2）解：联立直线与直线的方程得， 解得， ∴， ∵, ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 当时，，解得，此时，所以； 当时，，解得，此时，所以， 综上，点P的坐标为或． 题型五、三元一次方程组的定义及解 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）请写出一个以为解的三元一次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程的定义及方程解得概念，解题关键是熟练掌握三元一次方程的定义． 将、、的值代入能使等式成立即可． 【详解】解：可以根据、、的值进行运算构造方程，比如， 把，，代入：， ∴得到三元一次方程． 故答案为：（答案不唯一）． 15．（25-26八年级上·全国·单元测试）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】三元一次方程组的定义及解、加减消元法 【分析】（1）利用加减消元法解答即可； （2）利用加减消元法解答即可． 本题考查了一次方程组的解法，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： 得， 解得； 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． （2）解：， 将①代入②得，即．④ 得，解得． 将代入④得． 将代入①，得． ∴原方程组的解为． 题型六、三元一次方程组的应用 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，当时，；当时，；当时，，则当时，的值为（   ） A． B．6 C． D．0 【答案】D 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】此题考查解三元一次方程组，求代数式的值，将x与y的三组对应值代入等式求出a，b，c的值，得到，再将代入求出y的值即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得， ∴， ∴当时，， 故选：D． 17．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为A、B、C三种礼盒各一个，其中A盒中有1个保温杯，3个电子手表，2个蓝牙耳机；B盒中有1个保温杯，2个电子手表，1个蓝牙耳机；C盒中有2个保温杯，3个电子手表，1个蓝牙耳机．经核算，C盒的成本为155元，B盒的成本为100元（每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则A盒的成本为 元． 【答案】145 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查三元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设1个保温杯的成本为x元，1个电子手表的成本为y元，1个蓝牙耳机的成本为z元，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：设1个保温杯的成本为x元，1个电子手表的成本为y元，1个蓝牙耳机的成本为z元，由题意得： ， 得：， 把代入②得：， ∴A盒的成本为元； 故答案为:145． 18．数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值． (1)小川的方法：，整理可得： ； ，整理可得： ；． 小渝的方法：： ；． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？ 【答案】(1)；； (2)3 (3)元 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的解法和应用是解题关键． （1）根据等式的性质求解即可得； （2）参照小川的方法，利用等式的性质和消元法求解即可得； （3）设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元，根据题意建立三元一次方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ， 故答案为：；；． （2）解：， 由①②得：， 整理得：， 由①②得：， 整理得：， 则． （3）解：设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元， 由题意得：， ∴②①得，， ∴． 将代入①整理得，． ∴． ∴． 答：采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元． 分层强化 一、单选题 1．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答． 【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意； B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意； C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意； D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键． 2．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，先求出交点纵坐标再根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可． 【详解】解：根据题意，将代入直线， 得， ∴直线与交点坐标为， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故选：C． 3．若方程组的解满足方程，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法；加减消元法． 将三个方程相加，求出的值，再代入方程中解出k的值． 【详解】解：将方程组中的三个方程相加： ∴ ∴ 将代入方程中： 解得： 故选：C． 4．一次函数满足时，；时，，则一次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，将，和，代入函数表达式中，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则一次函数的表达式为． 故选：B． 5．一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设这个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，然后根据交换后所得的数就比原来小36，百位上的数与十位上的数之差是2，列出方程组求解即可 【详解】解：设这个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， ∴这个三位数为100a+10b+c，交换后的三位数为100a+10c+b， ∵交换后所得的数就比原来小36，百位上的数与十位上的数之差是2， ∴ ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，正确理解题意列出方程组求解是解题的关键． 6．以方程和的解为坐标的点一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组及判断点所在象限，熟记二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 通过解方程组得到点的坐标，分析坐标的符号与参数的关系，判断点可能出现的象限，发现点的横纵坐标不可能同时为负，因此一定不在第三象限，即可得到答案． 【详解】解：联立， 解得， ， A、当在第一象限，则，解得，存在这样的使在第一象限，不符合题意； B、当在第二象限，则，解得，存在这样的使在第二象限，不符合题意； C、当在第三象限，则，不等式组无解，不存在这样的使在第三象限，符合题意； D、当在第四象限，则，解得，存在这样的使在第四象限，不符合题意； 故选：C． 7．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图），在图的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，列出方程组，解方程组求出、的值，再把出、的值代入计算即可． 【详解】解：如下图所示， 设中间小方格中的数是， 则有， 解得：， ， ， 的立方根是． 故选：C． 8．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移个单位长度，使其与的交点在位于第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出平移后的函数解析式，再联立它与另一个函数解析式求出它们的交点坐标，根据第二象限的坐标特点为，得到关于m的不等式组，解这个不等式组即可得出m的取值范围． 【详解】解：将函数的图象向上平移m个单位长度后的图象的解析式为， 联立后可以得到：， 解得， 因为它们的交点在第二象限， 即， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移以及求图象的交点的问题，解决本题需要建立关于x和y的二元一次方程组和关于m的不等式组，要求学生能熟练运用平移的规则得到平移后的函数解析式，同时能联立这两个解析式求交点坐标，最后还需要根据交点坐标的特征建立不等式组求出其中的字母参数的取值范围，整个过程对学生的计算能力有较高的要求． 二、填空题 9．现有A，B，C三箱橘子，其中A，B两箱共100个橘子，A，C两箱共102个橘子，B，C两箱共106个橘子，求每箱各有多少个橘子．在该问题中，若设A，B，C三个箱子中的橘子分别有x个、y个、z个，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查三元一次方程组的应用，理解题意是解题关键． 根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设A，B，C三个箱子中的橘子分别有x个、y个、z个， 根据题意得：， 故答案为：． 10．如图，正比例函数（，且为常数）的图象与一次函数（，且、为常数）的图象交于点，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，所以只需确定交点的坐标即可．本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵ 正比例函数与一次函数的图象交于点，且由图可知点的坐标为， ∴ 关于，的方程组的解是． 故答案为：． 11．如图，两条直线和相交于点，两直线与轴所围成的的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线围成的三角形的面积，求直线与坐标轴的交点，求得直线解析式是解题的关键． 先根据交点坐标求得，进而求得点的坐标，的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可 【详解】解：两条直线和相交于点， 解得 ， 令，解得 由，令，解得， ． 故答案为：． 12．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有 天． 【答案】11 【分析】本题是一道关于天气情况的方程求解的问题．解题关键在于根据所给的 “早晨下雨则晚上晴天”“晚上下雨则早晨晴天” 以及下雨天数、早晚晴天天数等条件，建立方程来求解总天数． 解法一：设早晨下雨天数为，总天数为． 依据“早晨下雨天数与早晨晴天数关系”以及“晚上下雨天数与晚上晴天数关系”列出方程组．求解方程组得出总天数；解法二：设总天数为，早晨下雨天数为，晚上下雨天数为． 根据“下雨总天”“晚上晴天数”“早晨晴天数”这三个条件列出三元一次方程组， 解方程组即可． 【详解】解：解法一：设有x天早晨下雨，这一段时间有y天， 根据题意得：， ①+②得：， ． 所以一共有11天； 解法二：设一共有x天，早晨下雨的有y天，晚上下雨的有z天， 根据题意得：， 解得：． 所以一共有11天． 故答案为：11． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣1，2），C（3，2），直线l经过点A，它将△ABC分成面积相等的两部分，则直线l的表达式为 ． 【答案】y＝﹣2x+4 【分析】设直线l与BC交于点D，根据中点公式求得D点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式． 【详解】解：设直线l与BC交于点D， ∵直线l经过点A，并将△ABC分成面积相等的两部分， ∴AD是△ABC的中线， 又∵B（﹣1，2），C（3，2）， ∴D点坐标为（，），即D（1，2）， 设直线l的表达式为y＝kx+b，把A（0，4），D（1，2）代入，可得： ， 解得， ∴直线l的表达式为y＝﹣2x+4， 故答案为：y＝﹣2x+4． 【点睛】本题考查了在几何问题中，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形是本题的关键． 14．如图：在平面直角坐标系内有长方形，点，分别在轴，轴上，点在上，点在上，沿折叠，使点与点重合，点与点重合．若点在坐标轴上，且面积是18，则点坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】过作于F，如图：根据折叠的性质得到，，，，根据三角形的面积公式和勾股定理得到，当P在x轴上时，连接交x轴于H，得到，当P在y轴上时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：过作于F，如图： ∵， ∴， ∴， ∵沿折叠，使点B与点O重合，点C与点重合， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，且， ∴， ∴； 当P在x轴上时，连接交x轴于H，如图： ∵，； ∴直线为， 令得， ∴， ∵面积是18， ∴，即， ∴， ∴或； 当P在y轴上时，如图： ∵面积是18， ∴，即， ∴， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查长方形中的折叠问题，坐标与图形，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理． 15．如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点． (1)若经过点，则_____． (2)若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为_____． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由矩形的性质得点的坐标为，将代入解方程即可； （2）由条件得直线经过点和点，或经过点和点是两个临界状态，且直线旋转到直线再到靠近轴，的值越来越小，直线旋转到直线再到靠近轴，的值越来越大；由矩形的性质得，分别把代入求得的值，结合图象即可求得的取值范围． 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：在长方形中，，， ∴， 将代入得， 解得， 故答案为：． （2）在长方形中，，， ∴， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 则的取值范围为：或， 故答案为：或． 三、解答题 16．解方程组： 【答案】 【详解】解：①＋②，解得y＝8． 将y＝8代入②和③， 得， 解得， 所以原方程组的解为． 17．一个三位数，十位数字比个位数字大2，百位数字是十位数字的2倍，如果把百位数字与个位数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数小495．求原来的三位数． 【答案】原来的三位数是631． 【分析】首先用x、y、z表示出各位数，进而表示出这个三位数，以及新的三位数，进而得出方程组求出即可． 【详解】解：设原个位数为x，则十位数是y，百位数是z， 根据题意，得， 解得：， 答：原来的三位数是631． 【点睛】本题是一道关于数位问题的数学应用题，考查数位问题一个数等于百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字×1的运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时找到反应整个题意的等量关系建立三个方程是关键． 18．已知一次函数的图象与直线平行，且过点． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题意得，再代入点到，求出的值，即可解答； （2）根据一次函数的性质得到中随的增大而增大，再结合，即可求出函数的最小值． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， 则， 解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：∵， ∴中随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴函数的最小值为． 19．如图，已知直线和分别记为，它们相交于点． (1)根据图上所给条件，求出的解析式； (2)求出交点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)交点的坐标为． 【分析】此题考查求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标： （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）联立两个方程求方程组的解即可 【详解】（1）解：由图象得，直线经过点， 得, 解得 ∴直线的解析式为； （2）解方程组，得， ∴交点的坐标为． 20．（1）数学活动：探究不定方程 小张，小王两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出的值．请在以下横线处补全两人的解法． 小张的方法： ，整理可得：____________； ，整理可得：____________， ∴ 小王的方法：：_____________③； ∴__________得：． （2）请利用解不定方程的思路解决以下问题：已知买4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；买4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要元，求买2本英语簿，3本数学簿，1本作文本需要多少钱？ 【答案】（1）；；；③．（2） 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握整体未知数的方法是解本题的关键； （1）分别根据题干提示的思路求解即可； （2）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，再建立方程组，先求解，再求解，从而可得答案． 【详解】解：（1） 由题意，小张的方法：， 整理可得：； ，整理可得：， ∴． 小王的方法：：③； ∴得：4． 故答案为：；；；． （2）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元， 可得方程组 ∴得，， ∴． 又，整理得，． ∴． 21．【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求的值． 解：②①得，③ ③得， 所以，的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 【答案】（1）18；（2）450元 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意并列得正确的方程组是解题的关键． （1）将两个方程相加后再两边同时除以2即可； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面小红旗需要z元，根据题意列得方程组，然后整体求值即可． 【详解】解：（1）②+①得，③， 得，， 所以，的值为18； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面小红旗需要z元， 由题可得， 得：， 所以，， 答：购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元． 22．【课本再现】苏科版（）八年级上册第页综合与实践 一条路上有多个交通信号灯，在“绿波带”，驾驶员以“绿波速度”驾驶，往往能一路绿灯通行．“绿波带”一般设置在城市干线道路上，将所有信号灯交叉口看作一个系统，通过协调控制绿灯亮起的时间，使得车辆以某一规定车速行驶时，基本上可以处处遇到绿灯，这个车速就是“绿波速度”，设置“绿波带”，既可以大大提高交通整体通行效率，也可以优化司机的通行体验． 如图1，汽车以速度匀速行驶通过路口、、、，且．已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 【模块一】特定速度的通行情况 设汽车在第0秒出发，匀速行驶后路程为．图2中射线表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况． （1）求与的函数表达式； （2）汽车以这样的速度向路口行驶，它能一路绿灯通过这四个路口吗，若能，请说明理由；若不能，请计算从路口出发到通过路口的总时长（行程总时长红灯等待时间行驶时间）； 【模块二】绿波速度的通行情况 （3）①在这种红绿灯设置下，汽车若想一路绿灯匀速通过这四个路口，需优化通行速度，则“绿波速度”的取值范围为________； ②若汽车以①中“绿波速度”的整数值匀速行驶，与（2）中相比优化后的总时长减少了多少秒（精确到）； 【模块三】交通系统优化效果对比 （4）以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比： 指标 优化前 优化后 行程总时长 分钟 分钟 红灯等待次数 次 次（） 单次红灯平均等待时长 秒 秒 行驶速度 米/分钟 米/分钟 求“绿波控制系统”优化前后的红灯等待次数． 【答案】（1）； （2）从路口出发到通过路口的总时长为秒； （3）① ②； （4）优化前的红灯等待次数为，优化后的红灯等待次数为 【分析】本题考查从函数图象获取信息，求一次函数解析式，二元一次方程等，解题的关键是读懂题意与图象，获取相关信息． （1）由图2可知，射线过点，且函数为正比例函数，设与的函数表达式为，把代入解析式求得值，再回代入解析式即可； （2）由图可知从路口出发到通过路口，只有到路口时遇红灯，由路口绿灯亮起时间即可得出； （3）①由图可得绿灯通过路口、、时速度取值，综合考虑即可； ②由“绿波速度”的整数值为，可得优化后总时长，与（2）中总时长求差即可； （4）由优化前后路程相等可列方程，整理得：，由且为正整数可得，即可得． 【详解】解：（1）由图2可知，射线过点，且函数为正比例函数， 设与的函数表达式为，把代入解析式得： ，解得：， ∴与的函数表达式为； （2）由图2可知，汽车以这样的速度向路口行驶，它不能一路绿灯通过这四个路口，第秒时，路口绿灯亮起，故从路口出发到通过路口的总时长为秒； （3）①绿灯通过路口，则，即， 绿灯通过路口，则，即， 绿灯通过路口，则，即， ∴“绿波速度”的取值范围为； ②“绿波速度”的整数值为，总时长为（秒）， （秒）， ∴与（2）中相比优化后的总时长减少了秒； （4）由题意得：， 整理得：， ∴， ∵且为正整数， ∴， ∴， ∴优化前的红灯等待次数为，优化前后的红灯等待次数为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 二元一次方程与一次函数和三元一次方程组（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.二元一次方程与一次函数的关系 2.二元一次方程组与一次函数的关系 3.用二元一次方程组确定一次函数的表达式 4.在实际问题中求解一次函数的表达式 5.三元一次方程（组）及其解的概念 6.三元一次方程组的解法 7.列三元一次方程组解决实际问题 题型巩固 一、求一次函数解析式 二、两直线的交点与二元一次方程组的解 三、图象法解二元一次方程组 四、求直线围成的图形面积 五、三元一次方程组的定义及解 六、三元一次方程组的应用 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（7） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.二元一次方程与一次函数的关系 1. 二元一次方程与相应一次函数的关系 2. 二元一次方程与一次函数的区别与联系 二元一次方程  一次函数 区别 x ， y 的含义  x， y 均为未知数  x， y 均为变量 表示方式  只能用一个等式表示 x， y 的关系 可用一个等式、表格或图象表示 x， y 的关系 从数的角度  有无数个解  有无数对 x， y 的值 从“形”的角度 图象 (即直线 ) 上有无数个点 联系 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线一个二元一次方程对应着平面上的一条直线 知识点2.二元一次方程组与一次函数的关系 二元一次方程组与对应的一次函数的关系 一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标， 相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标。 二元一次方程组的解对应着平面上两条直线的交点 知识点3.用二元一次方程组确定一次函数的表达式 1. 待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法。 2. 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式是求一次函数表达式的主要方法，其一般步骤如下： (1)设：设出函数表达式为y=kx+b； (2)代：把已知条件代入，得到关于k， b 的方程组； (3)解：解方程组，求出 k， b 的值； (4)写：写出其表达式。 知识点4.在实际问题中求解一次函数的表达式 1. 利用一次函数的表达式解决实际问题的思路 注意确定函数表达式时，注意自变量的取值范围。 2.一次函数性质的应用主要有两种类型： (1)给出了一次函数表达式，直接利用一次函数的性质解决问题； (2)只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的情境时，应先求出表达式，进而利用一次函数的性质解决问题. 知识点5.三元一次方程（组）及其解的概念 1. 三元一次方程(组)的概念 概念 必备条件 三元一次方程 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫做三元一次方程 (1)是整式方程； (2)含有三个未知数； (3)一次方程 三元一次方程组 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组 (1)是整式方程； (2)含三个未知数； (3)三个一次方程 2.三元一次方程组的解： 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解 . 知识点6.三元一次方程组的解法 1. 解三元一次方程组的思路： 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”—把“三元”化“二元”，再化为“一元”。 2. 解三元一次方程组的一般步骤 (1)消元：利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两个方程组，分别消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个含有最后一个未知数，且系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)求解：解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)写解：将求得的三个未知数的值用“{”联立在一起。 知识点7.列三元一次方程组解决实际问题 列三元一次方程组解决实际问题的步骤 (1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系； (2)找出能够表达应用题全部含义的三个相等关系； (3)根据相等关系列出方程，建立方程组； (4)解方程组求出未知数的值； (5)写出答语，包括单位名称. 题型巩固 题型一、求一次函数解析式 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）一个正比例函数的图象经过点，则它的表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）某种型号的凳子按图中的方式叠放在一起，如表是叠放凳子总高度与数量的几组对应值，则凳子总高度与数量满足的函数关系可能是 ． 凳子的数量（个） 1 2 3 4 … 叠放凳子的总高度（厘米） 52 57 62 67 … 3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温到达时停止加热…此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对水温y（）与x（）进行了观测和记录，部分数据如下表所示： 煮沸模式 保温模式 x（min） 0 3 6 m 10 12 14 16 18 20 22 24 26 n … y（℃） 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60 100 … 研究发现：无论在煮沸模式还是在保温模式下，当水壶开始加热时，壶中水温y（）都是时间x（）的一次函数．根据以上信息，回答下列问题： (1)观察表格可知，在煮沸模式下，时间x每增加，水温y增加______，据此推测，表格中的m的值为______； (2)在保温模式下，直接写出当时水温y与时间x之间的函数关系式______，并求出n的值． 题型二、两直线的交点与二元一次方程组的解 4．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图，一次函数（为常数且）和的图象相交于点A．根据图象可知，关于x的方程的解是 ． 6．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）【材料阅读】二元一次方程有无数组解，如：，，，．如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图1中画出二元一次方程组 中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程组 无解，请在图2中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程②图象与x，y轴的交点分别是C、D，计算的度数，并直接写出k的值． 【拓展应用】 （3）图3中包含关于x，y的二元一次方程组 的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解及m的值； 题型三、图象法解二元一次方程组 7．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·河南商丘·期末）如图，函数，的图象交于点P，若，则 ． 9．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象； (2)用作图象的方法解方程组：． 题型四、求直线围成的图形面积 10．（2025·陕西榆林·一模）如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，直线交矩形于F与G，交x轴于D，交y轴于E．的面积为 ； 12．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，直线分别与轴、轴、直线交于、、三点，已知，． (1)求直线的表达式； (2)直线上有一点，满足，求点的坐标． 题型五、三元一次方程组的定义及解 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）请写出一个以为解的三元一次方程： ． 15．（25-26八年级上·全国·单元测试）解下列方程组： (1) (2) 题型六、三元一次方程组的应用 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，当时，；当时，；当时，，则当时，的值为（   ） A． B．6 C． D．0 17．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为A、B、C三种礼盒各一个，其中A盒中有1个保温杯，3个电子手表，2个蓝牙耳机；B盒中有1个保温杯，2个电子手表，1个蓝牙耳机；C盒中有2个保温杯，3个电子手表，1个蓝牙耳机．经核算，C盒的成本为155元，B盒的成本为100元（每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则A盒的成本为 元． 18．数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值． (1)小川的方法：，整理可得： ； ，整理可得： ；． 小渝的方法：： ；． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？ 分层强化 一、单选题 1．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 3．若方程组的解满足方程，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 4．一次函数满足时，；时，，则一次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 5．一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．以方程和的解为坐标的点一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图），在图的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移个单位长度，使其与的交点在位于第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．现有A，B，C三箱橘子，其中A，B两箱共100个橘子，A，C两箱共102个橘子，B，C两箱共106个橘子，求每箱各有多少个橘子．在该问题中，若设A，B，C三个箱子中的橘子分别有x个、y个、z个，则可列方程组为 ． 10．如图，正比例函数（，且为常数）的图象与一次函数（，且、为常数）的图象交于点，则关于，的方程组的解是 ． 11．如图，两条直线和相交于点，两直线与轴所围成的的面积是 ． 12．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有 天． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣1，2），C（3，2），直线l经过点A，它将△ABC分成面积相等的两部分，则直线l的表达式为 ． 14．如图：在平面直角坐标系内有长方形，点，分别在轴，轴上，点在上，点在上，沿折叠，使点与点重合，点与点重合．若点在坐标轴上，且面积是18，则点坐标为 ． 15．如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点． (1)若经过点，则_____． (2)若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为_____． 三、解答题 16．解方程组： 17．一个三位数，十位数字比个位数字大2，百位数字是十位数字的2倍，如果把百位数字与个位数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数小495．求原来的三位数． 18．已知一次函数的图象与直线平行，且过点． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求函数的最小值． 19．如图，已知直线和分别记为，它们相交于点． (1)根据图上所给条件，求出的解析式； (2)求出交点的坐标． 20．（1）数学活动：探究不定方程 小张，小王两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出的值．请在以下横线处补全两人的解法． 小张的方法： ，整理可得：____________； ，整理可得：____________， ∴ 小王的方法：：_____________③； ∴__________得：． （2）请利用解不定方程的思路解决以下问题：已知买4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；买4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要元，求买2本英语簿，3本数学簿，1本作文本需要多少钱？ 21．【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求的值． 解：②①得，③ ③得， 所以，的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 22．【课本再现】苏科版（）八年级上册第页综合与实践 一条路上有多个交通信号灯，在“绿波带”，驾驶员以“绿波速度”驾驶，往往能一路绿灯通行．“绿波带”一般设置在城市干线道路上，将所有信号灯交叉口看作一个系统，通过协调控制绿灯亮起的时间，使得车辆以某一规定车速行驶时，基本上可以处处遇到绿灯，这个车速就是“绿波速度”，设置“绿波带”，既可以大大提高交通整体通行效率，也可以优化司机的通行体验． 如图1，汽车以速度匀速行驶通过路口、、、，且．已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 【模块一】特定速度的通行情况 设汽车在第0秒出发，匀速行驶后路程为．图2中射线表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况． （1）求与的函数表达式； （2）汽车以这样的速度向路口行驶，它能一路绿灯通过这四个路口吗，若能，请说明理由；若不能，请计算从路口出发到通过路口的总时长（行程总时长红灯等待时间行驶时间）； 【模块二】绿波速度的通行情况 （3）①在这种红绿灯设置下，汽车若想一路绿灯匀速通过这四个路口，需优化通行速度，则“绿波速度”的取值范围为________； ②若汽车以①中“绿波速度”的整数值匀速行驶，与（2）中相比优化后的总时长减少了多少秒（精确到）； 【模块三】交通系统优化效果对比 （4）以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比： 指标 优化前 优化后 行程总时长 分钟 分钟 红灯等待次数 次 次（） 单次红灯平均等待时长 秒 秒 行驶速度 米/分钟 米/分钟 求“绿波控制系统”优化前后的红灯等待次数． 学科网（北京）股份有限公司 $