第1章 二次函数（湖南专用，单元测试·提升卷）数学湘教版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（湖南专用） 第1章 二次函数·能力提升 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D． 2．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 3．如图，一块含有的直角三角尺的斜边与轴重合，直角顶点在轴上，若抛物线经过直角三角尺的顶点，则的值为（   ） A． B．4 C． D． 4．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．已知的图象如图所示，则的图象有可能是（   ） A． B． C． D． 6．若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为(    ) A．x1＝－3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝－1 C．x＝－3 D．x1＝－3，x2＝1 8．当时，函数的的取值范围是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．二次函数的图象如图，且则（  ） A． B． C． D．以上都不是 10．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，则这个二次函数的解析式为________________． 12．二次函数 与坐标轴的交点个数为_____ 个． 13．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．若点、是抛物线上的两点，则______．（填“＞”“＜”“＝”） 14．已知函数与反比例函数的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是，则m的值是_______． 15．已知抛物线y=x2-（k-1）x-3k-2与轴交于两点A（，0），B（，0），且，则k＝____． 16．已知二次函数，请写出一个二次函数，要求它的图象与函数的图象开口大小相同、方向相反，则________． 17．跳丸是一种传统游戏，已知竖直上抛的丸铃，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中是物体上升的高度，是抛出时的速度，是重力加速度（），是抛出后的时间．如果杂技师以的初速度竖直向上抛出丸铃，经过______秒钟后它在离抛出点高的地方． 18．如图点，，在抛物线上，点，，在轴上，，，该都为等腰直角三角形，点是坐标原点，则的腰长为________． 三、解答题（第19，20题，每题6分；第21，22题，每题8分；第23，24题，每题9分；第25，26题，每题10分；共8小题，共66分） 19．已知抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴． 20．如图，抛物线与直线都经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)直接写出关于的不等式的解集． 21．国庆期间，全国各影院上映多部爱国影片，某影院每天运营成本为400元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），若该影院每天的利润为（单位：元），（利润票房收入运营成本）． (1)求与之间的函数关系式； (2)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 22．甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面5的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面30，此时到点A的水平距离为50． (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式； (2)若高为12的城墙离的水平距离为100，请判断（1）中的石块能否越过城墙，并说明理由． 23．已知二次函数． (1)若该二次函数图象与轴有且只有1个交点，求的值． (2)在（1）的基础上，若点在抛物线上，且到轴的距离小于或等于2，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围． 24．某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】 (1)求与的函数表达式（不要求写自变量取值范围）． (2)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 25．如图，抛物线经过点，与轴的另一个交点为．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线上一动点（与点，不重合），设点的横坐标为，连接，，若点在直线的下方运动，当的面积最大时，求的值． 26．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，．    (1)求抛物线的表达式． (2)点，在第四象限内抛物线上，点在点下方，连接，，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求与的函数关系式． (3)如图，在（）的条件下，连接交于点，过点作于点，连接，，是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（湖南专用） 第1章 二次函数·能力提升 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D． 2．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 3．如图，一块含有的直角三角尺的斜边与轴重合，直角顶点在轴上，若抛物线经过直角三角尺的顶点，则的值为（   ） A． B．4 C． D． 4．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．已知的图象如图所示，则的图象有可能是（   ） A． B． C． D． 6．若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为(    ) A．x1＝－3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝－1 C．x＝－3 D．x1＝－3，x2＝1 8．当时，函数的的取值范围是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．二次函数的图象如图，且则（  ） A． B． C． D．以上都不是 10．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，则这个二次函数的解析式为________________． 12．二次函数 与坐标轴的交点个数为_____ 个． 13．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．若点、是抛物线上的两点，则______．（填“＞”“＜”“＝”） 14．已知函数与反比例函数的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是，则m的值是_______． 15．已知抛物线y=x2-（k-1）x-3k-2与轴交于两点A（，0），B（，0），且，则k＝____． 16．已知二次函数，请写出一个二次函数，要求它的图象与函数的图象开口大小相同、方向相反，则________． 17．跳丸是一种传统游戏，已知竖直上抛的丸铃，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中是物体上升的高度，是抛出时的速度，是重力加速度（），是抛出后的时间．如果杂技师以的初速度竖直向上抛出丸铃，经过______秒钟后它在离抛出点高的地方． 18．如图点，，在抛物线上，点，，在轴上，，，该都为等腰直角三角形，点是坐标原点，则的腰长为________． 三、解答题（第19，20题，每题6分；第21，22题，每题8分；第23，24题，每题9分；第25，26题，每题10分；共8小题，共66分） 19．已知抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴． 20．如图，抛物线与直线都经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)直接写出关于的不等式的解集． 21．国庆期间，全国各影院上映多部爱国影片，某影院每天运营成本为400元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），若该影院每天的利润为（单位：元），（利润票房收入运营成本）． (1)求与之间的函数关系式； (2)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 22．甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面5的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面30，此时到点A的水平距离为50． (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式； (2)若高为12的城墙离的水平距离为100，请判断（1）中的石块能否越过城墙，并说明理由． 23．已知二次函数． (1)若该二次函数图象与轴有且只有1个交点，求的值． (2)在（1）的基础上，若点在抛物线上，且到轴的距离小于或等于2，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围． 24．某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】 (1)求与的函数表达式（不要求写自变量取值范围）． (2)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 25．如图，抛物线经过点，与轴的另一个交点为．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线上一动点（与点，不重合），设点的横坐标为，连接，，若点在直线的下方运动，当的面积最大时，求的值． 26．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，．    (1)求抛物线的表达式． (2)点，在第四象限内抛物线上，点在点下方，连接，，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求与的函数关系式． (3)如图，在（）的条件下，连接交于点，过点作于点，连接，，是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（湖南专用） 第1章 二次函数·能力提升 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D． 【答案】C 【详解】根据二次函数的定义：形如（是常数，且）的函数叫做二次函数．据此可列出关于参数的方程与不等式，求解即可．令，解得或，又，故当时，这个函数是关于的二次函数，故选C． 【易错点分析】明确二次函数的定义是解题的关键，尤其需要注意的是二次项的系数应不等于零，忽略关于二次项系数取值范围的限制，容易导致错选D． 2．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质判断选项即可． 【详解】解：二次函数中，，开口向上，A正确； 对称轴为，B正确； ，且对称轴，当时，y随x的增大而减小，C正确； 顶点坐标为，而非，D不正确． 故选：D． 3．如图，一块含有的直角三角尺的斜边与轴重合，直角顶点在轴上，若抛物线经过直角三角尺的顶点，则的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，等腰三角形的性质， 先根据等腰三角形的性质得，再设坐标代入关系式，可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵抛物线经过点， 得， 解得. 故选：C. 4．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】二次函数的图象与轴只有一个交点，则其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据得到关于的方程，解之即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点， 方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与轴交点的个数与其所对应一元二次方程根的判别式之间的关系是解题的关键． 5．已知的图象如图所示，则的图象有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数和一次函数图象的综合判断．根据已知一次函数图象得到a，b的符号，据此判断二次函数图象即可． 【详解】解：根据的图象可知：，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 综上可知，符合要求的图象为D， 故选：D． 6．若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可得，抛物开口向上，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越大，即可推出与同号或都等于0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，抛物开口向上，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当，，当，， ∴与同号或都等于0， ∴ 故选：D． 7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为(    ) A．x1＝－3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝－1 C．x＝－3 D．x1＝－3，x2＝1 【答案】D 【分析】利用抛物线与x轴的交点关于对称轴对称,根据（-3,0）找到另一个交点即可解题. 【详解】解：由图可知,抛物线与x轴的交点关于对称轴对称, ∵对称轴为x=-1,其中一个交点为（-3,0） ∴另一个交点为（1,0）, 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质,抛物线与x轴的交点,属于简单题,读图能力是解题关键. 8．当时，函数的的取值范围是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质，函数 开口向下，顶点为 ，与轴交于 和 ，为使时，函数的的取值范围是，需确保区间包含顶点且不出现值小于的情况． 【详解】解： ， 函数开口向下，顶点为 ，当 或 时，， 当时，的取值范围是， 为取得最大值，区间必须包含 ，即 ； 为保障 ，需 ， ． 故选 ：． 9．二次函数的图象如图，且则（  ） A． B． C． D．以上都不是 【答案】A 【分析】根据题意可知，本题考查二次函数图像与系数的关系，根据图像与坐标轴的交点，运用两边相等求出交点坐标，代入坐标进行求解． 【详解】∵ ∴点A、C的坐标为(-c，0)，(0，c) ∴把点A的坐标代入得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选A 【点睛】本题考查二次函数图像与系数关系，解题关键是根据图像得出系数取值范围，再代入点的坐标进行解决． 10．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点A和点B的坐标，然后再求出的解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案. 【详解】抛物线与x轴交于点A、B， ∴=0， ∴x1=5，x2=9， ， 抛物线向左平移4个单位长度后的解析式， 当直线过B点，有2个交点， ， ， 当直线与抛物线相切时，有2个交点， ， ， 相切， ， ， 如图，    若直线与、共有3个不同的交点， --， 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答本题的关键. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，则这个二次函数的解析式为________________． 【答案】． 【分析】设出二次函数的解析式为，将三点坐标代入二次函数解析式求出a，b，c的值，即可确定出解析式． 【详解】设二次函数的解析式为， 将（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点代入解析式得： ，解得：． 则二次函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 12．二次函数 与坐标轴的交点个数为_____ 个． 【答案】1 【分析】本题考查的是抛物线和坐标轴的交点，分与轴和轴有无交点讨论求解即可． 【详解】解：函数与轴交点： 令，则，故与轴交于一个点； 与轴交点：令，则，此时，方程无解，故与 轴无交点， 综上，二次函数与坐标轴只有一个交点． 故答案为：1． 13．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．若点、是抛物线上的两点，则______．（填“＞”“＜”“＝”） 【答案】> 【分析】根据离对称轴越远函数值越大，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大， ∵对称轴为直线， 点、是抛物线上的两点，且 ， ， 故答案为：>． 【点睛】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，熟知二次函数开口向上，则离对称轴越远函数值越大是解题的关键． 14．已知函数与反比例函数的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是，则m的值是_______． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的性质，函数的交点问题．横坐标为应适合两个函数，代入组成方程组求解即可． 【详解】解：交点的横坐标是， ， 解得或， 交点在第二象限， ，即， ， 故答案为：． 15．已知抛物线y=x2-（k-1）x-3k-2与轴交于两点A（，0），B（，0），且，则k＝____． 【答案】2 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到α+β=k-1，αβ=-3k-2，再由完全平方公式即可得到关于k的一元二次方程，求出k的值即可． 【详解】∵抛物线y=x2-（k-1）x-3k-2与x轴交于A （α，0），B（β，0）两点， ∴α+β=k-1，αβ=-3k-2， ∵α2+β2=17， ∴α2+β2=（α+β）2-2αβ=（k-1）2-2（-3k-2）=17， 解得，k=2或k=-6， ∵△≥0， ∴k=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，熟知一元二次方程的根与系数的关系及完全平方公式是解答此题的关键． 16．已知二次函数，请写出一个二次函数，要求它的图象与函数的图象开口大小相同、方向相反，则________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，开口方向由二次项系数a的符号决定，开口大小由决定，要求开口大小相同、方向相反，故a取相反数． 【详解】解：对于二次函数，其二次项系数为2，因此图象开口向上，且开口大小由决定， 要使的图象与的图象开口大小相同，则；方向相反，则， 故， 因此． 故答案为：（答案不唯一）． 17．跳丸是一种传统游戏，已知竖直上抛的丸铃，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中是物体上升的高度，是抛出时的速度，是重力加速度（），是抛出后的时间．如果杂技师以的初速度竖直向上抛出丸铃，经过______秒钟后它在离抛出点高的地方． 【答案】0.2或1.8 【分析】本题考查二次函数的应用；把代入所给关系式求t的值即可． 【详解】解：由题意得：． 整理得， 解得． ∴0．2或1．8秒后，物体处在离抛出点高的地方． 故答案为：0.2或1.8． 18．如图点，，在抛物线上，点，，在轴上，，，该都为等腰直角三角形，点是坐标原点，则的腰长为________． 【答案】 【分析】此题考查了在函数图象中利用点的坐标与图形的关系求线段的长度，涉及到了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理，抛物线的解析式的运用等多个知识点．利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方法求出第二个，第三个…的腰长，观察其规律，最后得出结果． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为C、E． ∵、都是等腰直角三角形， ∴，． 设，则，将其代入解析式得： ， 解得：（不符合题意）或， 由勾股定理得：， 即的腰长为， ∴， 过作，设点， 可得，， 又点在抛物线上，所以， ， 解得，（不合题意舍去）， ∴， 即的腰长为， 同理可得： ， … ∴， ∴的腰长为． 故答案为：． 三、解答题（第19，20题，每题6分；第21，22题，每题8分；第23，24题，每题9分；第25，26题，每题10分；共8小题，共66分） 19．已知抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及从顶点式直接读取顶点坐标和对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将点代入解析式求出参数即可； （2）由顶点式直接得出顶点坐标和对称轴即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 20．如图，抛物线与直线都经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是二次函数和一次函数的解析式求解及不等式解集的确定，解题的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式，再结合函数图象的位置关系确定不等式的解集． （1）把点和代入抛物线解析式，通过解方程组求出、的值，从而得到抛物线解析式； （2）结合函数图象，根据抛物线与直线的交点、，直接确定抛物线图象在直线图象下方时的取值范围，即不等式的解集． 【详解】（1）解：把和分别代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为 （2）抛物线和直线都经过和， 由图象得： 当时，抛物线在直线下方， 故不等式的解集为：． 21．国庆期间，全国各影院上映多部爱国影片，某影院每天运营成本为400元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），若该影院每天的利润为（单位：元），（利润票房收入运营成本）． (1)求与之间的函数关系式； (2)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当定价为40元时，每天获得利润最大，最大利润为2800元 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求二次函数的最大值， 对于（1），根据销售利润等于票房收入减去成本可得答案； 对于（2），将二次函数关系式配方得出顶点式，再根据二次函数图象的性质讨论最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：， ∵， ∴抛物线开口向下，函数值最大值，即当时，（元）， 所以当定价为40元时，每天获得利润最大，最大利润为2800元． 22．甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面5的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面30，此时到点A的水平距离为50． (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式； (2)若高为12的城墙离的水平距离为100，请判断（1）中的石块能否越过城墙，并说明理由． 【答案】(1)坐标系见解析，； (2)不能，见解析． 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点O为坐标原点，写出A的坐标及顶点坐标，设二次函数的解析式为顶点式，将的A的坐标代入即可求得答案； （2）求出时的y值，比较这个值与城墙的高度即可做出判断． 【详解】（1）解：如图，以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点O为坐标原点（答案不唯一）， 根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设石块运动轨迹的抛物线对应的函数解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）解：不能，理由如下： 当时，， ， ∴石块不能越过城墙． 23．已知二次函数． (1)若该二次函数图象与轴有且只有1个交点，求的值． (2)在（1）的基础上，若点在抛物线上，且到轴的距离小于或等于2，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是二次函数性质，二次函数与轴的交点，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，列方程即可解答； （2）根据题意可得，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：二次函数图象与轴有且只有1个交点， ，即 解得或， . （2）解：在上 抛物线的对称轴为， 点到轴的距离小于或等于2， ， 当时，y有最小值，此时， 当时，有最大值，此时， 所有“亲密点”的的取值范围是． 24．某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】 (1)求与的函数表达式（不要求写自变量取值范围）． (2)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 【答案】(1) (2)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m，理由见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的最大值， 对于（1），将两个点的坐标代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），先将关系式配方，再根据最大值判断． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得． ； （2）解：不能达到，理由如下： ， ， 当时，有最大值，最大值为2.7， ， 羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m． 25．如图，抛物线经过点，与轴的另一个交点为．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线上一动点（与点，不重合），设点的横坐标为，连接，，若点在直线的下方运动，当的面积最大时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线，求解即可得出其解析式； （2）首先求出直线解析式，然后设点，则点，利用面积构建二次函数，即可求出最值． 【详解】（1）由题意，得将代入抛物线，得 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）令，， 解得：或，即点， 过点P作轴的平行线交于点G，如图所示：    设直线的解析式为， 将B、C的坐标代入一次函数表达式，得 ， 解得， 直线为， 设点，则点 则， ∴ ∴当时，其最大值为． 【点睛】此题主要考查求二次函数解析式以及三角形面积的最值问题，要求熟练掌握二次函数的图象和性质． 26．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，．    (1)求抛物线的表达式． (2)点，在第四象限内抛物线上，点在点下方，连接，，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求与的函数关系式． (3)如图，在（）的条件下，连接交于点，过点作于点，连接，，是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图1中，过点Q作于N，过点P作于M，证明，得到=，然后利用P、Q的坐标用含m、n的式子表示出对应线段的长即可得到答案； （3）如图2中，作平分，交于T，过点T作于R．证明，推出设，在中，根据，构建方程求出t，再证明，利用相似三角形的性质，构建方程求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把C，B两点坐标代入中得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1中，过点Q作于N，过点P作于M．    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴=， ∵点的横坐标为，点的横坐标为，且P、Q都在抛物线上， ∴，， ∴， 整理得； （3）解：如图2中，作平分，交于T，过点T作于R． 在中，当时，解得或， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∵， ∴， ∵，    ∴， ∴=， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍）或（舍）或（舍）， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质，分式方程的求解，相似三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（湖南专用) 第1章二次函数能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C D 0 0 D A C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.y=x2+2x-3. 12.1 13.> 14.-7 15.2 16.-2x2(答案不唯一) 17.0.2或1.8 18.2025√2 三、解答题（第19,20题，每题6分；第21,22题，每题8分；第23,24题，每题9分；第25,26题， 每题10分；共8小题，共66分) 19.(1)解：将点(L,-2)代入y=a(x+1)2+2, 得-2=a(1+1)2+2, 解得a=-1, ∴.抛物线的解析式为y=-(x+1)2+2；(3分) (2)解：抛物线解析式为y=-(x+1)+2, ∴抛物线的顶点坐标为(-1,2)，对称轴为直线x=-1.(6分) 20.(1)解：把A1,0)和B(3,2)分别代入y=x2+bx+c, [1+b+c=0 得 9+3b+c=2' b=-3 解得 c=2 1/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·抛物线的解析式为y=x2-3x+2(3分) (2):抛物线和直线都经过A(1,0)和B3,2), 由图象得： 当1<x<3时，抛物线在直线下方， 故不等式的解集为：1<x<3,(6分) 21.(1)解：根据题意，得w=xy-400=x(-2x+160)-400=-2x2+160-400;(3分) (2)解：w=-2x2+160-400=-2(x2-80x)-400=-2(x-40)2+2800(30≤x≤70)， a=-2<0, ∴抛物线开口向下，函数值最大值，即当x=40时，w最大=2800（元)， 所以当定价为40元时，每天获得利润最大，最大利润为2800元.(8分) 22.(1)解：如图，以地面OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点O为坐标 原点（答案不唯一）， C O B在 根据题意可知A0,S),抛物线的顶点坐标为(50,30)， 设石块运动轨迹的抛物线对应的函数解析式为y=a(x-50+30(a≠0)， 将(0,5)代入解析式，得5=a(0-50)+30, 解得a=-1 100 抛物线对应的函数解桥式为y三0x-50+30;5分) (2)解：不能，理由如下： 当x=100时，y=-x-502+30=5, 100 :12>5, ∴石块不能越过城墙.(8分) 23.(1)解：二次函数图象与x轴有且只有1个交点， 2/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △=(2a)-4×ax-5)=0,即4a2+20a=0 解得a1=0或a2=-5, :a≠0 a=-5.(4分) (2)解：P(xy)在y=-5x2-10x-5上 “抛物线的对称轴为x=-1, :点P(x,y)到y轴的距离小于或等于2， :-2≤x≤2， ·当x=2时，y有最小值，此时y=-20-20-5=-45, 当x=-1时，y有最大值，此时y=0, :所有“亲密点”的y的取值范围是-45≤y≤0.(9分) 24.(1)解：把2,2.3)，（3,2.6)代入y=ax2+bx+1.1得： 4a+2b+1.1=2.3 9a+3b+1.1=2.6' 解得 a=-0.1 b=0.8 y=-0.1x2+0.8x+1.1;(5分) (2)解：不能达到，理由如下： y=-0.1x2+0.8x+1.1=-0.1x-42+2.7, -0.1<0, :当x=4时，y有最大值，最大值为2.7， .2.8>2.7, ·羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m.(9分) 25.(1)由题意，得将A-5,0),B-4,-3代入抛物线，得 25a-5b+5=0 16a-4b+5=-3 解得a=1,b=6, 3/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.该抛物线的解析式为y=x2+6x+5;(3分) (2)令y=0,0=x2+6x+5, 解得：x=-1或x=-5,即点C(-1,0), 过点P作y轴的平行线交BC于点G,如图所示： 设直线BC的解析式为y=x+c, 将B、C的坐标代入一次函数表达式，得 -4k+c=-3 -k+c=0’ 解得k=1,c=1, 直线BC为y=x+1, 设点G(t,t+1,则点Pt,t2+6t+5 则PG=-12-51-4, :当t=5时，其最大值为 .(10分) 8 26.(1)解：：0C=0B=10, .C(0,-10),B10,0), c=-10 把C,B两点坐标代入y=4x2+bx+c中得) 25+10b+c=01 b=- 3 解得 22, c=-10 :抛物线的解析式为y=x2-亏x一10；(3分) 4/7 品学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (2)解：如图1中，过点Q作QN⊥0C于N,过点P作PM⊥0C于M. C MP P 图1 :∠OCP+∠OCQ=180°，∠0CP+∠PCM=180°， .∠QCN=∠PCM, ∠QWC=∠PMC=90°， .△ONCAPMC, 器器 ©点0的横坐标为m,点P的橙坐标为九，且P、Q都在揽物线y42--0 1 m4m23 。12_3 -m-10P4 2-10, 2.3 :m=4m2m-10-←10) m n 0- 2n-10 整理得m=12-n(2<n<6);(6分) (3)解：如图2中，作ET平分∠OED,交OD于T,过点T作TR⊥DE于R. 在y=x2-3 1-。x一10中，当y三x2了 2x-10=0时，解得x=-4或x=10, A(-4,0); 设直线AP的解析式为y=kx+b, 「-4k+b=0 k+4=n-3 n-10' 4 2 k=n-10 Γ4， b=n-10 5/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ·直线AP的解析式为y=”-10x 4r+n-10, .D(0,n-10), m=12-n, n=12-m, .D0,2-m, .0D=m-2, :∠TE0=∠TER,∠EOT=∠ERT=90°，ET=ET, ∴△EOT≌△ERT(AAS), ∴.OT=TR,EO=ER=m, 设0T=TR=t, 在Rt△ODE中，由勾股定理得DE=VOD2+0E2=Vm-2}2+m2, DR=DE-ER=m2+(m-2)2-m, 在RtDTR中，由勾股定理得DT2=TR2+DR2, (m-2-2=2+m2+m-2y妒-m, f=mVm2+(m-22-m2 m-2 :∠OED=2∠EQB,∠OET=∠TED, .∠OET=∠EQB, :∠EOT=∠QEB=90°， 图2 .△OET∽△EQB, 6/7 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 OT EB ·OEEQ' m√m2+0m-2y-m2 m-2 10-m m 1 2m-10 Vm2+(m-2)2-m 1 m-2 1 4 m+4 ·V2m2-4m+4-m=4m=8 m+4 ·V2m2-4m+4=m2+8m-8 m+4-24 m+4 m+4 ÷2m-4m+4=m2+8m+16-48+24, m+4 m-12+6-(4a-6矿-(4 24 .m-6= m+4’ 解得m=8或m=-6(舍)或m=2(舍)或m=0（舍)， m=12-n, .n=4, .P(4,-12).(10分) 7/7