专题07 平行线的判定和性质与三角形的内外角（5大考点）（期末真题汇编，江西专用）八年级数学上学期新教材北师大版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07平行线的判定和性质与三角形的内外角 ☆5大高频考点概览 考点01利用平行线的性质求解 考点02利用平行线的性质求解多解题 考点03平行线的判定和性质 考点04平行线的判定和性质探究问题 考点05三角形的内角和外角 目目 考点01 利用平行线的性质求解 1.(24-25八上江西九江期末)如图，AB川DE,∠BCE=53°，∠B=28°，则∠E的度数为() B C D A.25o B.28° C.30° D.33° 2.(23-24八上江西九江都昌县期末)如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边BC上（AD‖BC)，若∠ 1=25°，则∠2的度数为() A.55° B.25° C.60° D.65 3.(23-24八上江西九江·期末)将一副三角板（∠A=30°，∠E=45°）按如图所示方式摆放，使得 BA//EF,则∠AOF等于() B DA E A.75 B.90 C.1050 D.1150 4.(24-25八上·江西吉安第二中学·期末)如图，己知D、E在△ABC的边上，DEBC,∠B=60°，∠AED= 1/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 40°， 则∠A的度数为【】 A D E A.100° B.90° C.80 D.70° 5.(24-25八上江西吉安遂川县期末)如图，AB‖CD,CE平分∠FCD,点O在FC的延长线上，OB交 CD于点G,若∠AFO=80°，∠BGD=∠FCE,则∠OGD的度数为() B G A.140° B.1450 C.150° D.155 6.(24-25八上江西抚州)如图，AB引DE,点C在DE上，AC平分∠BCD,若∠1=55°，则∠2的度数是 () A B 27 D E A.55 B.60 C.65 D.70° 7.(24-25八上江西抚州临川区青泥中学·期末)如图，己知AB川ED,∠ECF=65°，则∠FAB的度数为() B E C D A.65 B.115° C.60° D.105 8.(24-25八上江西鹰潭余江区·期末)如图，点A、D在射线AE上，直线AB‖CD,∠CDE=140°，那么 ∠A的度数为() 2/13 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 E 140° B A.140° B.60° C.50o D.40o 9.(23-24八上江西鹰潭余江区·期末)一杆古秤在称物时的状态如图所示，己知∠1=75°，则∠2=（） 0 A.105° B.115° C.15o D.75 目目 考点02 利用平行线的性质求解多解题 1.(24-25八上江西鹰潭余江区·期末)两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC=45·, ∠DAC=30°.接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒15·的速度旋 转90°后停止.在此旋转过程中，当旋转时间t= 秒时，三角板ACD有一条边与三角板 ABC的一条边恰好平行. 图1 图2 D 2.(23-24八上江西鹰潭余江区·期末)将一副三角板如图1所示摆放，直线GHMN,现将三角板ABC绕点 A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图 2,∠BAH=t°，∠FDM=2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE,DF)平行 时，则所有满足条件的的值为一· 3/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A G G H B E M N M D 图1 图2 目目 考点03 平行线的判定和性质 1.(24-25八上江西九江·期末)如图，已知在△ABC中，AB=AC,点D,E分别是△ABC的边BA和 BC延长线上的点，AF平分∠DAC,作∠ACE的平分线交AF于点G. B (1)求证：AFBC; (2)若∠AGC比∠B多30°，求∠B的度数. 2.(23-24八上·江西九江都昌县·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD 的平分线BE交AC的延长线于点E. (I)求∠CBE的度数； (2)过点D作DFBE,交AC的延长线于点F,求∠F的度数. E 3.(23-24八上江西九江期末)己知：如图，在△ABC中，点D在BC边上，EF‖AD分别交AB,CB于点 E,F,DG平分∠ADC,∠1十∠2=180°， G B (1)求证：AB‖DG: 4/13 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (2)若∠B=40°，∠DAC=60°，求∠DGC的度数. 4.(24-25八上江西鹰潭余江区期末)如图，己知ACDE,∠D十∠BAC=180°. (1)求证：ABIICD; (2)连接CE,恰好满足CE平分∠ACD.若AB⊥BC,∠CED=35·，求∠ACB的度数. 5.(24-25八上江西抚州)如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F,点D,E分别在CA,BA的 延长线上，AFI‖CE,∠D=∠E· (1)求证：BD‖AF; (2)若∠BAD=76°，∠ABD=2∠ABC,求∠AFC的度数. 6.(23-24八上江西鹰潭余江区期末)如图，在△ABC中，点D,E在AB边上，点F在AC边上，EF‖DC ,且∠1+∠2=180°. (I)求证：∠A=∠BDH: (2)若CD平分∠ACB,∠AFE=30°，求∠BHD的度数 7.(24-25八上江西吉安期末)已知：如图，∠1=41°，∠2=139°，∠C=∠D 5/13 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (1I)若∠A=36°，求∠ABD的度数： (2)∠F与∠A有怎样的数量关系，请说明理由， 8.(24-25八上江西抚州临川区青泥中学·期末)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB, ∠DEC+2∠ECD=180°. B (1)试判断DE与BC的位置关系，并说明理由. (2)若∠FGB=∠EDC,且∠BFG=100°，求∠ADC的度数. 9.(24-25八上江西吉安吉安县·期末)如图，AC平分∠BAD,∠DCA=∠CAD,在CD的延长线上截取 DE=DA,连接AE D (1)求证：ABCD; (2)若AE=5,AC=12,求线段CE的长。 10.(24-25八上江西吉安峡江县期末)如图，∠1=∠EAB,∠E+∠2=180°. (1)判断EF与AC的位置关系，并证明； (2)若AC平分∠EAB,BF⊥EF于点F,∠EAB=6O°，求∠BCD的度数. 6/13 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 F E ) 61 A D B 11.(24-25八上江西吉安遂川县期末)如图，AB川CD,CP平分∠ACD,点E在CP上，∠A=110·. B B 图2 (1)在图1中，当点F在AC上时，∠AFE=125°，求证：FE⊥CE: (2)在图2中，将点E向右移动，若点F在AB上，∠AFE=125°，(1)中的结论是否仍然成立？请说明 理由 12.(24-25八上江西抚州临川区青泥中学·期末)如图，在△ABC中，点E,F分别在AB,AC边上，点M, N在BC边上，连接EN,FM交于点D,∠1十∠2=180°，∠3=∠C,连接EF. 公 3 2D B M N (1)求证：EFBC: (2)若∠2=110°，∠DMN=35°，求∠C的度数 13.(23-24八上江西吉安万安县期末)如图，将一副三角尺如此放置，∠C=∠F=90°， ∠EDF=∠E=45°，∠A=30·,点D在AB边上，△ABC不动，将△ABC绕点D转动，使线段AC 与DE相交，线段DF与BC相交 7/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 2 D B 图1 图2 (1)当DFAC时，如图1.求∠1+∠2的度数； (2)当DF与AC不平行时，如图2，∠1+∠2的度数会不会变化？请说明由理. 14.(24-25八上江西吉安永丰县期末)某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图1是某品牌共 享单车停放在水平地面的实物图，图2是其简易示意图，其中AB,CD都与地面平行，M、C、D在同一 直线上 E B 图1 图2 (1)已知MC=AC,CE平分∠ACD.求证：AMCE; (2)测得AB=AC=BC=40cm,点D到地面的距离为20cm.求点A到地面的距离. (结果保留根号) 目目 考点04 平行线的判定和性质探究问题 1.(23-24八上江西九江都昌县期末)如图，MNIIOP,点A为直线MN上一定点，B为直线0P上的动点， 在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D,使得AD⊥BD.设∠DAB=《(x为锐角)· -N B (I)求∠NAD与∠PBD的和； 8/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)当点B在直线0P上运动时，试说明∠OBD-∠NAD=90°： (3)当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分∠NAB,AB也恰好平分∠OBD,请求出此时c的值. 2.(23-24八上江西九江期末)在△ABC中，点E在AC边上，将∠A沿BE翻折，使点A落在A处，且 AE‖BC,连接AB交AC于点F. A 图1 图2 图3 (1)若∠C=90°，∠A=a.(0°<<90°) ①如图1，当ax=20°时，∠CBE=，线段BE与边BC的数量关系是 ②如图2，当α为任意角度数时，上述结论是否依然成立，请说明理由 (2)如图3，若∠C=60°，∠A<60°，猜想∠CBE的度数及线段BE与边BC的数量关系，直接写出结果. 3.(24-25八上江西鹰潭余江区·期末)如图，直线m‖n,直线m,n分别与直线AB交于A,B两点.点C 在直线m上且在点A右侧，∠ABC=40°.点D在直线m上，DF‖AB交直线n于点F,CE平分∠BCD 交直线n于点E.设∠BFD=. mA D m B B 图1 备用图 (1)如图1，当点D在点C右侧时，若《=40°， ①求∠BCD的度数； ②求证DFIICE; (2)当点D在直线m上运动时，设∠BEC=B,直接写出α与B的数量关系. 4.(23-24八上江西九江修水县·期末)综合与探究 问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级(2)班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如 图，己知射线AMIBN,连接AB,点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BCBD分别平分 ∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D. 9/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 探索发现： “快乐小组”经过探索后发现： (1I)当∠A=60°时，∠CBD=∠A.请说明理由. (2)不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，用含∠A的式子表示∠CBD为 操作探究： (3)“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系.他们惊奇地发现，当 点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB和∠ADB之间的数量关系都保持不变， 请写出它们的关系，并说明理由. (4)点P继续在射线AM上运动，当运动到使∠ACB=∠ABD时，请直接写出2∠ABC+∠A的结果， 5.(24-25八上江西抚州临川区青泥中学期末)已知，四边形ABCD中，ADBC,连接BD,DE平分∠ADB 交AB于点E,∠BDC=∠BCD. 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠EDC=90°； (2)如图2，若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F,且∠F=55°，求∠ABC: (3)如图3，若H是BC上一动点，F是BA延长线上一点，FH交BD于M,FG平分∠BFH交DE于N,交 BC于G.当H在BC上运动时（不与B点重合）·∠BAD=100°，∠DNG=95°，求∠DMH的度数。 目目 考点05 三角形的内角和外角 1.(24-25八上江西吉安第二中学期末)如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线， 10/13 专题07 平行线的判定和性质与三角形的内外角 5大高频考点概览 考点01 利用平行线的性质求解 考点02 利用平行线的性质求解多解题 考点03 平行线的判定和性质 考点04 平行线的判定和性质探究问题 考点05 三角形的内角和外角 地 城 考点01 利用平行线的性质求解 1．(24-25八上·江西九江·期末)如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得出，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解： ，， ， ， 故选：A． 2．(23-24八上·江西九江都昌县·期末)如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上（∥），若∠1=25°，则∠2的度数为（        ） A．55° B．25° C．60° D．65° 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论． 【详解】如图，∵∠1＝25°，∠3与∠1互余， ∴∠3=90°−25°＝65°， 又∥ ∴∠2＝∠3=65°． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． 3．(23-24八上·江西九江·期末)将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质进行计算，即可得到答案. 【详解】解：， ． ， ． 故选． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和三角形外角的性质. 4．(24-25八上·江西吉安第二中学·期末)如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B = 60°，∠AED = 40°， 则∠A 的度数为【   】 A．100° B．90° C．80° D．70° 【答案】C 【分析】根据平行线同位角相等的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可 【详解】∵DE∥BC，∠AED=40°， ∴∠C=∠AED=40°． ∵∠B=60°， ∴∠A=180°－∠C－∠B=180°－40°－60°=80°． 故选C． 5．(24-25八上·江西吉安遂川县·期末)如图，，平分，点O在的延长线上，交于点G，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的相关计算，邻补角的定义，根据平行线的性质得出，再根据角平分线的定义得出，由已知条件可得出，进而根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选；A 6．(24-25八上·江西抚州·)如图，，点C在上，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据平行线的性质得到，由角平分线得到，再由平行线的性质得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7．(24-25八上·江西抚州临川区青泥中学·期末)如图，已知，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由AB∥ED，∠ECF＝65°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BAC的度数，进而得出∠BAF的度数． 【详解】解：∵AB∥ED， ∴∠BAC＝∠ECF＝65°， ∴∠BAF＝180°−∠BAC＝180°−65°＝115°； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线性质的应用，就是根据平行线的性质求角的度数，熟练掌握平行线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 8．(24-25八上·江西鹰潭余江区·期末)如图，点在射线上，直线，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据图示可得，结合得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D ． 9．(23-24八上·江西鹰潭余江区·期末)一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据“两直线平行，内错角相等”，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ， ，， ， ． 故选：A． 地 城 考点02 利用平行线的性质求解多解题 1．(24-25八上·江西鹰潭余江区·期末)两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【答案】2或3或5 【分析】分三种情况：①当 AB时，②当 AC时，③当 AB时，分别根据平行线的性质求出∠的度数，进而解答即可． 【详解】解：分三种情况： ①当 AB时，如图： ∴∠＝∠BAC＝45°， ∴15t＝45， ∴t＝3； ②当 AC时，如图， ∴∠＝∠＝30°， ∴15t＝30， ∴t＝2； ③当 AB时，如图，过点C作CEAB，则CEAB ， ∴∠ACE＝∠A，∠＝∠， ∴∠＝∠ACE＋∠＝∠A＋∠＝75°， ∴15t＝75， ∴t＝5． 综上所述，当旋转时间t＝2或3或5秒时，三角板有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行． 故答案为：2或3或5． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 2．(23-24八上·江西鹰潭余江区·期末)将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的的值为 ．    【答案】30或120/120或30 【分析】根据题意得，，（1）如图1，当时，延长交于点P，分两种情况讨论：①在上方时，②在下方时，，列式求解即可；（2）当时，延长交于点I，①在上方时，，②在下方时，，列式求解即可． 【详解】解：由题意得，，， （1）如图1，当时，延长交于点，    ①在上方时， ，，， ， ， ， ， ， 即， ； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， （不符合题意，舍去）； （2）当时，延长交于点I，    ①在上方时，， ，， ， ， ， ， ， 即， ； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， （不符合题意，舍去）， 综上，所有满足条件的的值为或． 故答案为：或．    地 城 考点03 平行线的判定和性质 1．(24-25八上·江西九江·期末)如图，已知在中，，点D，E分别是的边和延长线上的点，平分，作的平分线交于点G． (1)求证：； (2)若比多，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形性质和三角形外角性质得到，利用角平分线定义得到，进而得到，即可证明； （2）利用平行线性质和角平分线定义得到，设的度数为，结合题意得到，利用三角形内角和定理建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）解： ， ， 平分， ， 设的度数为， 比多， ，， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形外角性质，角平分线定义，平行线性质和判定，三角形内角和定理，一元一次方程的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 2．(23-24八上·江西九江都昌县·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 【答案】(1) 65°；(2) 25° 【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°； （2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°． 【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°， ∴∠ABC=90°﹣∠A=50°， ∴∠CBD=130°． ∵BE是∠CBD的平分线， ∴∠CBE=∠CBD=65°； （2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°， ∴∠CEB=90°﹣65°=25°． ∵DF∥BE， ∴∠F=∠CEB=25°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键． 3．(23-24八上·江西九江·期末)已知：如图，在中，点在边上，分别交，于点，， 平分，，    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和判定，是解决本题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵． ∴． ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 4．(24-25八上·江西鹰潭余江区·期末)如图，已知，．    (1)求证：； (2)连接，恰好满足平分．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判断得出； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据垂直定义得出，根据平行线的性质得出，最后求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线定义理解，补角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定． 5．(24-25八上·江西抚州·)如图，在中，平分交于点F，点D，E分别在，的延长线上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角定理等，解题的关键是熟练进行等量代换． （1）由角平分线的定义可得，由可得，等量代换可得，利用内错角相等、两直线平行，可证； （2）由可得，由平分可得，结合，可得，根据求出，最后根据三角形外角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 6．(23-24八上·江西鹰潭余江区·期末)如图，在中，点，在边上，点在边上， ，且．      (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，根据已知得出，即可得出 ，根据平行线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义可得进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ； （2）解： ，， ， 平分， ， 由（1）知 ， ． 7．(24-25八上·江西吉安·期末)已知：如图，，，． (1)若，求的度数； (2)与有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用对顶角得，然后利用三角形内角和定理进行计算即可； （2）根据已知得，得，然后利用平行线的性质得，利用等量代换可得，进而得，最后根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．(24-25八上·江西抚州临川区青泥中学·期末)如图，在中，平分，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)与平行，理由见解答 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质和判定，掌握平行线的性质、判定及三角形的内角和定理是解决本题的关键． （1）先说明，再说明，利用平行线的判定得结论； （2）利用平行线的性质求出，利用邻补角求出即可． 【详解】（1）解：与平行． 理由：平分， ， 则， ， ， ． （2）解：． ， ， ， ， ， ． 9．(24-25八上·江西吉安吉安县·期末)如图，平分，， 在的延长线上截取，连接．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)详见解析 (2)线段的长为 【分析】（1）由角平分线的已知条件和，通过等量代换得到，从而证明， （2）根据，得出角等，在中确定直角，用勾股定理，即可求出线段的长， 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， （2）解：， ， ， ， 故答案为：线段的长为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和证明，等腰三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是：理解相关定理，从已知条件中通过推导，得出相应的结论． 10．(24-25八上·江西吉安峡江县·期末)如图，∠1＝∠EAB，∠E＋∠2＝180°． （1）判断EF与AC的位置关系，并证明； （2）若AC平分∠EAB，BF⊥EF于点F，∠EAB＝60°，求∠BCD的度数．    【答案】（1）EF∥AC，证明见解析；（2）∠BCD=60° 【分析】（1）由∠1=∠EAB可得AE∥DC，从而得到∠2=∠EAC，再结合∠E+∠2=180°，可得EF∥AC； （2）由（1）可得EF∥AC，则有BC⊥AC，可得∠ACB=90°，再结合AC平分∠EAB，∠EAB=60°，可求得∠2=30°，则可求∠BCD的度数． 【详解】解：（1）EF∥AC， 证明：∵∠1=∠EAB， ∴AE∥DC， ∴∠2=∠EAC， ∵∠E+∠2=180°， ∴∠E+∠EAC=180°， ∴EF∥AC； （2）由（1）得EF∥AC， ∵BF⊥EF， ∴BC⊥AC， ∴∠ACB=90°， ∵AC平分∠EAB，∠EAB=60°， ∴∠EAC=30°， ∵由（1）可知AE∥DC， ∴∠2=∠EAC=30°， ∴∠BCD=∠ACB-∠2=90°-30°=60°． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，解答的关键是对平行线的判定与性质的掌握与应用． 11．(24-25八上·江西吉安遂川县·期末)如图，，平分，点E在上，． (1)在图1中，当点F在上时，，求证：； (2)在图2中，将点E向右移动，若点F在上，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)成立，见解析． 【分析】 本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，四边形内角和定理，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，再求出，根据三角形内角和定理得出，即可得出结论； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，再根据四边形内角和得出，即可得出结论． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：结论仍然成立， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．(24-25八上·江西抚州临川区青泥中学·期末)如图，在中，点E，F分别在，边上，点M，N在边上，连接，交于点D，，，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)过程见详解 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质及三角形的外角性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据对顶角相等结合题意推出，即可判定;根据平行线的性质等量代换得出，据此即可判定． （2）利用三角形的外角性质即可求出． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ． （2）解：，， , , ． 13．(23-24八上·江西吉安万安县·期末)如图，将一副三角尺如此放置，，，，点D在边上，不动，将绕点D转动，使线段与相交，线段与相交． (1)当时，如图1．求的度数； (2)当与不平行时，如图2，的度数会不会变化？请说明由理． 【答案】(1)； (2)的度数不会变化，见解析 【分析】（1）根据得出，，即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理得出，，然后通过已知角度数和，即可得出的度数． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴ （2）绕点D转动过程中，的度数不会变化．理由如下： ∵，， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 14．(24-25八上·江西吉安永丰县·期末)某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图1是某品牌共享单车停放在水平地面的实物图，图2是其简易示意图，其中，都与地面平行，、、在同一直线上． (1)已知，平分．求证：； (2)测得，点到地面的距离为．求点到地面的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据等边对等角，三角形外角性质以及角平分线定义可得到，根据同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）先判定出是等边三角形，过点作于，根据勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）， 是等边三角形， 过点作于， 则， 地面，点到地面的距离为， 点到地面的距离为． 地 城 考点04 平行线的判定和性质探究问题 1．(23-24八上·江西九江都昌县·期末)如图，，点为直线上一定点，为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点，使得．设（为锐角）．    (1)求与的和； (2)当点在直线上运动时，试说明； (3)当点在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值． 【答案】(1)； (2)详见解析 (3)． 【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行的性质可得，，即可得，问题随之得解； （2）由（1）得：，结合，即可得作答； （3）根据角平分线的定义有，，再根据平行的性质可得，即有，在结合（2）的结论即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点作，则．    ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， 则． ∵， ∴， ∴． （3）解：若平分，也恰好平分， 则有，，． ∵， ∴， ∴． 由（2）知：， 则， 解得：． 2．(23-24八上·江西九江·期末)在中，点E在边上，将沿翻折，使点A落在处，且，连接交于点F． (1)若，．（） ①如图1，当时，________，线段与边的数量关系是________； ②如图2，当为任意角度数时，上述结论是否依然成立，请说明理由． (2)如图3，若，，猜想的度数及线段与边的数量关系，直接写出结果． 【答案】(1)①，；②成立，理由见解析； (2)，． 【分析】（1）①根据，，得到，结合折叠的性质，得到，继而得到，利用勾股定理证明线段的关系即可． ②当为任意角度数时，上面的度数不会发生改变，故结论不变，仿照上面的思路证明即可． （2）延长到点M，根据，得到，仿照（1）证明即可． 【详解】（1）①∵，， ∴， 根据折叠的性质，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． ②当为任意角度数时，上面的度数不会发生改变，故结论不变．理由如下： ∵，， ∴， 根据折叠的性质，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 故当为任意角度数时，上面的度数不会发生改变，故结论不变． （2）如图，延长到点M，∵， ∴， ∵，， ∴，， 根据折叠的性质，得到， ∴， ∴， ∴． 3．(24-25八上·江西鹰潭余江区·期末)如图，直线，直线m，n分别与直线交于A，B两点．点C在直线m上且在点A右侧，．点D在直线m上，交直线n于点F，平分交直线n于点E．设． (1)如图1，当点D在点C右侧时，若， ①求的度数； ②求证； (2)当点D在直线m上运动时，设，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；②详见解析 (2)① ② ③ 【分析】本题考查的是平行线性质的应用及角平分线的有关计算，熟练掌握平行线的性质是解题关键， （1）①先求，再求，即可求出结论；②先求，证明即可证明结论； （2）分三种情况：当点D在点C 右侧时；当点D在点C 左侧、在点A右侧时；当点D在点A左侧时分别根据平行线的性质求出结论即可； 【详解】（1）解：①，， ， ， ， ， ； ②平分，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如下图：当点D在点C 右侧时，，， ， ， ，， ， 平分， ，即； 如下图：当点D在点C 左侧、在点A右侧时，，， ， ， ，， ， ， 平分， ，即； 如下图：当点D在点A左侧时，，， ， ，， ， 平分， ，即； 4．(23-24八上·江西九江修水县·期末)综合与探究 问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C，D．    探索发现： “快乐小组”经过探索后发现： (1)当时，．请说明理由． (2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，用含的式子表示为____________________． 操作探究： (3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，和之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由． (4)点P继续在射线上运动，当运动到使时，请直接写出的结果． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算： （1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，即可求证； （2）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可求解； （3）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可； （4）根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴． ∵分别平分和， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．(24-25八上·江西抚州临川区青泥中学·期末)已知，四边形中，，连接，平分 交于点E， ． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的平分线与的延长线交于 F，且，求 ； (3)如图3，若H是上一动点，F是延长线上一点，交于M，平分 交于 N，交于G．当H在上运动时（不与 B 点重合）．，95°，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，平分 ，得，，得出； （2）先求出，由平分，平分，可求出，利用平行线性质得出，等量代换即可求解； （3）在中，根据角之间的关系，得，再根据角之间的关系得，则可得出，然后代入数值即可求解． 【详解】（1）证明∶∵， ∴， ∵平分 ， ∴ 又， ∴， ∴， 即； （2）解∶∵，， ∴， ∵平分，平分， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （3）解：∵在中，， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∴， 又，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的性质，解决问题的关键在于熟悉掌握知识要点，并且善于运用角与角之间的联系进行传递． 地 城 考点05 三角形的内角和外角 1．(24-25八上·江西吉安第二中学·期末)如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE= ． 【答案】132°/132度 【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠A的度数是多少；然后根据DE平分∠ADC交AC于E，求出∠CDE的度数是多少，即可求出∠BDE的度数是多少． 【详解】解：∵∠B=66°，∠C=54°， ∴∠A=180°-66°-54°=60°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD=60°÷2=30°， ∴∠ADC=180°-30°-54°=96°， ∵DE平分∠ADC交AC于E， ∴∠CDE=96°÷2=48°， ∴∠BDE=180°-48°=132°． 故答案为：132°. 2．(23-24八上·江西吉安万安县·期末)如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】此题考查三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余的关系， 根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余的关系得到，由此即可得到答案． 【详解】如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．(24-25八上·江西九江·期末)已知：如图，在中，在的延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，与交于点，设． 特例探究 （1）若时 当时，________；当时，________；直接写出与之间关系式________． 一般化探究 （2）在图2中若，（1）中的最后一个结论是否还成立？若不成立，请举反例说明；若成立，请说明理由． 知识延伸 （3）若，当是等腰三角形时，等于多少度？ 【答案】（1）；；；（2）成立，理由见解析；（3）或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质以及角平分线的定义求解即可； （2）由三角形的内角和定理可得，由平角的定义可得，根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的外角性质表示出即可； （3）先分别表示出、、，再分三种情况：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】解：（1）当时， ，， ， ， 的角平分线与的角平分线交于点， ，， ； 当时， ，， ， ， 的角平分线与的角平分线交于点， ，， ； ，， ， ， 的角平分线与的角平分线交于点， ，， ； 故答案为：；；； （2）成立，理由如下： ， ，， 的角平分线与的角平分线交于点， ，， ； （3）由（1）可知，，，， ， 当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：（不合题意，舍去）； 当时，， 即， 解得：； 综上所述，或． 4．(24-25八上·江西吉安·期末)材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—— 圆规．我们不妨把这样图形叫做 “规形图 ”． 解决问题： (1)观察“规形图 ”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： Ⅰ．如图② ，把一块三角尺 放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点若，则 ° ． Ⅱ．如图③ ，平分平分，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)Ⅰ．50；Ⅱ． 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义得运用． 根据题意连接并延长至点 F，利用三角形外角性质即可得出答案． Ⅰ．由（1）可知，因为，，所以； Ⅱ．由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此． 【详解】（1）解：如图 连接并延长至点 F， 根据外角的性质，可得 ， ， 又∵， ∴； （2）解：Ⅰ． 由（1）可得，； 又∵， ∴， 故答案为：50； Ⅱ．由（1），可得， ∴， 又∵平分平分， ∴， ∴． 5．(24-25八上·江西吉安永丰县·期末)课本再现： （1）在证明“三角形内角和定理”时，小慧的想法是把三个角“凑”到A处，于是她过点A作直线，这样她的“凑”角想法得以实现． 已知：如图1，． 求证：．请你写出辅助线的作法和证明过程． 类比迁移： （2）如图2，在中，，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，求的度数． 方法应用： （3）将一块含的直角三角板（，）的顶点G放在直线上，将三角板绕点G旋转，并保持点E在直线的上方，然后过点E作．请直接写出在旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）当点F在直线的上方时，；当点F在直线与直线之间时，；当点F在直线的下方时， 【分析】本题考查了平行线的判定该与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）过点A作，根据平行得到内错角相等，转化为平角求证； （2）过点B作，则，由等腰三角形结合三角形内角和定理得到，而，则，由，得到； （3）分三种情况讨论，过点作，则，当点F在直线的上方时；当点F在直线与直线之间时；当点F在直线的下方时，利用平行线的性质即可探究与之间的数量关系． 【详解】（1）证明：过点A作， ， ， ； （2）过点B作， ， ， ∴， ，， ， ， ， ∵， ； （3）①如图，当点F在直线的上方时，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴； ②如图中，当点F在直线与直线之间时，， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； ③如图3-2中，当点F在直线的下方时，， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：当点F在直线的上方时，；当点F在直线与直线之间时，；当点F在直线的下方时，． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $