选填解答压轴题（4大考点）（期末真题汇编，江西专用）九年级数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 选填解答压轴题 ☆4大高频考点概览 考点01选择题小压轴题一一二次函数 考点02填空题小压轴题一一多解题 考点3解答题压轴题一一几何图形综合问题 考点04解答题压轴题一一二次函数综合问题 目目 考点01 选择题小压轴题 一二次函数 1.(24-25九上江西赣州兴国县第五中学期末)已知二次函数y=ax2+bx+c,函数y与自变量x的部分对 应值如下表所示： 0 1 3 y -2 6 6 当0<x<4时，y的取值范围是() A,3<y≤6 B.3<y≤7 C.y<7 D.y>3 2.(24-25九上江西鹰潭余江区·期末)已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示： X 4 3 2 0 2 -3 则当-4<x<0时，y的取值范围是() A.-3<y<6 B.-2<y<6 C.-3≤y<6 D.-2≤y<6 3.(24-25九上江西赣州上犹县期末)己知二次函数y=a(x2+2x)+c,a≠0的图象如图所示，则下列结论 正确的是() A.ac>0 1/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.若点P(-2,m),Q(n都在该抛物线上，则m<n C.3a+c>0 D,方程ax2+(2a+1)x+c=0,有两个不相等的实数根 4.(24-25九上·江西吉安万安县期末)已知抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)经过点（1,0)和点(0，一3)， 且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是() A.a>0 B.a+b=3 C.抛物线经过点(-1,0) D,关于x的一元二次方程2+bx+c=一1有两个不相等的实数根 5.(24-25九上江西吉安安福县·期末)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴x=1,有以下结 论：①a<0,c>0;②9a+3b+c>0;③4ac-b2<0;④3a+c<0.其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 6.(24-25九上江西赣州安远县期末)坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点P、Q皆在x轴上，且有一 水平线与两图形相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若AB=10,BC=5,CD=6,则PQ的长度 为() D A,7 B.8 C.9 D.10 7.(24-25九上江西宜春高安期末)如图所示为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像，其对称轴为直线 x=1,且经过点(3,0)，则下列结论：(1)abc<0;(2)b2-4ac>0;(3)a-b+c<0;(4) 9a+3b+c=0其中，正确结论的个数是() 2/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1 B.2 C.3 D.4 8.(24-25九上江西赣州大余县期末)己知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a<0)的顶点为 (1,2).小烨同学得出以下结论：①abc<0;②当x>1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c=0的一 个根为3，则a=-2:④抛物线y=ar2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个 单位得到的，其中一定正确的是(） A.①② B.②③ C.③4 D.②④ 9,(24-25九上·江西上饶·期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b2-4ac>0; ②b<0;③4a+b=1;④不等式ax2+(b-1)x+c<0的解集为1<x<3,正确的有()个 A.0 B.1 C.2 D.3 由图象得：直线y=x与抛物线y=ax2+bx+c的图象交于点(1,1)和(3,3)， 不等式ax2+(b-1)x+c<0的解集为1<x<3,故④正确， 则正确的个数有3个， 故选：D 10.(24-25九上江西上饶广信区期末)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)经过点(1,0)，对 3/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 称轴为直线x=-1,有下列结论： ①抛物线y=ax2+bx+c经过点(-3,0)： ②当c>0时，2b+c>0; ③当关于x的方程ax2+b(x-1)+c+1=0有两个相等的实数根时，a=名 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 11.(24-25九上江西赣州章贡区·期末)如图，抛物线y=x2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-3,0)，其对 称轴为直线=一是，结合图象分析下列结论： ①abc>0: ②3a+c>0; ③当x<0时，y随x的增大而增大； @<0: ⑤若m,n(m<n)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根，则m<-3且n>2. 其中正确的结论有() -3 1 x2 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 12.(24-25九上江西宜春·期末)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过点A(2,0),抛物线的对 称轴为直线x=-1,点B(m,n)是抛物线上任意一点，有下列结论：①abc<0;②a+b+c>0;③4ac> b2;④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为和-4：⑤若-3≤m≤0，则-5a≤n≤-9a.其中正确结 论的个数是() 4/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A.2 B.3 C.4 D.5 13.(24-25九上江西新余期末)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论： ①abc<0;②3a+c>0;③(a+c)2-b2<0;④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.(24-25九上江西吉安期末)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(3,0)，对称轴是直线x=1,给出下列 说法中：①abc<0;②a+b+c>0;③b2-4ac>0;④2a+b=0;⑤当-1<x<3时，y>0.其中正 确的个数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 15.(24-25九上·江西新余仙女湖区·期末)如图是抛物线y1=a2+bx+c(a0)图象的一部分，抛物线的顶点 坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点，下列结 论：①2a+b=0;②abc>0;③方程x2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是 〔-1,0)；⑤当1<x<4时，有y2<y·其中正确结论的个数是() 5/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的 A.5 B.4 C.3 D.2 16.(24-25九上江西宜春第三中学期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,抛 物线与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，下列结论：①abc<0;②3a+c=0;③当y>0时，x的取值范 围是-1≤x<3:④点(-2，y1),(2,y2)都在抛物线上，则有y1<0<y2:其中结论正确的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 目目 考点02 填空题小压轴题—多解题 1,(24-25九上江西赣州兴国县第五中学期末)如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=6,点E(不与点B 重合)是BC边上一个动点，将线段EB绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,当△DFC是直角三角形时，那么 EB的长是一： 6/21 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D F B E 2.(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)如图，在Rt△ABC中，AB=3,∠ACB=30°，将线段AB绕点B顺时针 旋转(0°<a≤180)，得到线段BP,连接AP,PC,当LBCP=30时，AP的长为· B 3.(24-25九上江西吉安安福县期末)如图，点4(m,2m在反比例函数y=8(x>0)的图象上，点B是y轴上 一点，且A,B,O三点构成的三角形是等腰三角形，则线段0B=一 A 4,(2425九上江西吉安青原区·期末)已知Rt△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，P(3,4为0B的中 点，点C是折线OAB上的一个动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，若分割得到的三角形与Rt△OAB相 似，则符合条件的点C的坐标为 B 01 A主 5.(24-25九上·江西赣州南康区期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为(1， 0),(2,5),(4,2),若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点 7/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C的坐标为一· B 6.(24-25九上江西鹰潭余江区期末)已知抛物线y=a(x-1)(x+)与x轴交于点A(1,0)和点B(点A始终 在点B的右边)，与y轴交于点C,若△ABC为等腰三角形，则a的值为， 7.(24-25九上·江西景德镇乐平.期末)如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=2cm,M,N两点分别从A, B两点以2cmls和1cmls的速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D即停止，当运 动时间为秒时，△MBN为等腰三角形. D 8.(24-25九上江西吉安万安县·期末)在矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点E在边CD上，且CE=4, 点P是直线BC上的一个动点，若△APE是直角三角形，则BP的长为 9.(24-25九上·江西九江修水县期末)如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=90°，O为AC的中点，点P 是射线BO上的一个动点，当△ACP为直角三角形时，则BP的长为一， 10.(24-25九上·江西赣州大余县·期末)己知△ABC是以AB为腰的等腰三角形，D为BC边上一点，且 ∠ADC=90,若AD的长恰好为△ABC一边长的，则号的值为 ， 11,(24-25九上·江西宜春上高县·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=10,AD=6,以AB为直径在矩形内作 半圆，点P为半圆上的一动点（不与A,D重合），连接AP、DP,当△ADP为锐角等腰三角形时，AP的 长为 8/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(24-25九上·江西赣州章贡区·期末)如图，△ABC为边长为7cm的等边三角形，BD=6cm,CE=2cm, P为BC边上动点，以0.25cm/s的速度从B向C运动，假设P点运动时间为ts,当t=s时，△BDP与 △CPE相似. A O E B 12.(24-25九上江西宜春期末)如图，弦AB是半圆0的直径，AB=8Cm,点C在半圆0上，∠CAB=30°，连 接BC.点P从点B出发，沿B→C→A以1cm/s的速度匀速运动到点A.当以点P为圆心，2cm为半径的圆在运 动过程中与△ABC的边AB,BC相切时，则点P的运动时间t= S. 13.(24-25九上江西吉安·期末)己知四边形ABCD为菱形，其边长为6，∠DAB=∠DCB=60°，点P在菱 形的边AD、CD及对角线AC上运动，当CP=2DP时，则DP的长为 14.(24-25九上江西南昌第五中学实验学校期末)如图，点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,3)，点C的 坐标为(x,0)(0<x<4④)，点D在线段BC上，以点D为圆心，为半径作⊙D,且⊙D与△0AB的两边相切， 则x的值为一 B A 9/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(24-25九上江西弋阳县期末)如图，在半径为1的⊙0中，直线1为⊙0的切线，点A为切点，弦 AB=1,点P在直线1上运动，若△PAB为等腰三角形，则线段OP的长为一· D A 16.(24-25九上·江西赣州经开区期末考试期末)在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,将边AD绕它的端点旋转， 当另一端点恰好落在边BC所在直线的点E处时，线段DE的长为 17.(24-25九上江西宜春丰城丰城中学期末)如图，在☐口ABCD中，AB=2,BC=2W2,∠B=45°，点E在 射线BC上，当△ADE为等腰三角形时，∠AED的度数为 B E C 18.(24-25九上江西宜春第三中学·期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，O为AB边的中点，将 OA绕着点O旋转0(0°<0<90)得到线段OP,连接BP,CP,当△BCP为等腰三角形时，O的值 为 19.(24-25九上·江西吉安·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=2W3,点E是BC的中点，点P是AB边 上一动点，将△BPE沿PE折叠，点B的对应点为点B',当射线EB经过矩形ABCD一边的中点时（不含点 E),则BP的长为一· 考点03 解答题压轴题一几何图形综合问题 1,(24-25九上江西鹰潭余江区·期末)【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题： 10/21 选填解答压轴题 4大高频考点概览 考点01 选择题小压轴题——二次函数 考点02 填空题小压轴题——多解题 考点03 解答题压轴题——几何图形综合问题 考点04 解答题压轴题——二次函数综合问题 地 城 考点01 选择题小压轴题——二次函数 1．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示： x … 0 1 3 … y … 3 6 6 … 当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求函数解析式，即可求得开口方向，对称轴，函数的最值，然后根据二次函数的性质，可以得到当时，的取值范围． 【详解】解：将点，，代入得 ，解得， ， 该函数图象开口向下，对称轴为直线，函数有最大值7， 和时的函数值相等， 则时，的取值范围是：， 故选：B． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … 0 1 2 … … 6 1 1 6 … 则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解表格信息，掌握二次函数图形的对称轴，增减性是解题的关键． 根据表格信息得到对称轴直线为，时，随的增大而减小，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：当时，，当时，， ∴对称轴直线为， ∴时，随的增大而减小， ∴当时，， 故选：C ． 3．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)已知二次函数，的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．若点，都在该抛物线上，则 C． D．方程，有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据函数解析式，再结合抛物线的性质进行判断即可． 【详解】解：， ， 抛物线开口向下， ； 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ； ，故选项A错误； 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ， ，故选项B错误； 由图象知，当时，， 即，故选项C错误； 与直线有两个交点， 故方程，有两个不相等的实数根，选项D正确； 故选D． 4．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（    ） A．a＞0 B．a＋b＝3 C．抛物线经过点（－1，0） D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧可知，该说法正确，故该选项不符合题意； B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知，解得，该说法正确，故该选项不符合题意； C、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意； D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键． 5．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)二次函数的图象如图所示，其对称轴，有以下结论：①，；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象与系数符号的关系，对称轴的计算方法，图象与x轴交点的意义，根与系数的关系等知识的综合运用是解题的关键．由抛物线开口向下得到，然后利用抛物线与轴的交点可得到、的符号，可以对①进行判断；利用时，可以对②进行判断；利用判别式的意义和抛物线与轴有2个交点可以对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到，加上时，，即，可以对④进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴， ，， 故①正确； 由函数图象可得，对称轴为, 是的对称点， 根据图象可知当时，， ， 故②错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ， 故③正确； 抛物线的对称轴为直线， ， 当时，， 即， ， 故④正确； 故选：C． 6．(24-25九上·江西赣州安远县·期末)坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图形相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度为（    ）    A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】设点A的横坐标为m，则点B的横坐标为，点C的横坐标为，点D的横坐标为，求出点P的横坐标为：，点Q的横坐标为：，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴设点A的横坐标为m，则点B的横坐标为，点C的横坐标为，点D的横坐标为， ∵点P，Q分别为两条抛物线的顶点，A，B，C，D四点的纵坐标相同， ∴点P的横坐标为：， 点Q的横坐标为：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，求出点P、Q的横坐标． 7．(24-25九上·江西宜春高安·期末)如图所示为抛物线的图像，其对称轴为直线，且经过点．则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）其中，正确结论的个数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与轴的交点，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 依据题意，由已知条件得出，，，抛物线与轴的另一交点为，再结合二次函数图象的性质对每个结论进行逐一分析，即可解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 又抛物线的对称轴为直线， ， 又抛物线与轴交于正半轴， ， ，故（1）正确； 抛物线与轴有两个不同的交点， ，故（2）正确； 抛物线的对称轴为直线，且经过点， 抛物线与轴的另一交点为， 当时，，故（3）错误； 抛物线经过点， 当时，，故（4）正确； 故选：C． 8．(24-25九上·江西赣州大余县·期末)已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 9．(24-25九上·江西上饶·期末)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为，正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与不等式，根据抛物线与x轴没有交点可判断可判断①；根据抛物线的开口方向得到，结合可判断②；分别求当时，当时，两式相减得即可判断③；将不等式变形为：，令，根据直线与抛物线的图象交于点和，进而可判断④；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴没有交点， ，则①错误； 抛物线的开口向上， ， 由图得：抛物线的对称轴为：， ，故②正确； 当时，， 当时，， ∴两式相减得，即，故③正确； 不等式变形为：， 令，如图， 由图象得：直线与抛物线的图象交于点和， 不等式的解集为，故④正确， 则正确的个数有3个， 故选：D． 10．(24-25九上·江西上饶广信区·期末)已知抛物线是常数，且）经过点，对称轴为直线，有下列结论： ①抛物线经过点； ②当时，； ③当关于x的方程有两个相等的实数根时，． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据对称轴为，经过点，由对称性可得经过点，即可判断①；由得到，经过，则代入化简得，那么，由即可判断②；把，代入方程，再根据根的判别式求解即可． 【详解】解：∵抛物线是常数，且）经过点，对称轴为直线， ∴抛物线经过点，故①正确； 由题意得， ∴， ∵抛物线是常数，且）经过点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②错误； 方程化为， ∵，， ∴方程化为：，即， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴ 解得：或（舍），故③正确， ∴正确的有2个， 故选：C． 11．(24-25九上·江西赣州章贡区·期末)如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣ ，结合图象分析下列结论： ①abc＞0； ②3a+c＞0； ③当x＜0时，y随x的增大而增大； ④＜0； ⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2． 其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时相应a、b、c之间的关系，进行综合判断即可． 【详解】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣可得， 9a﹣3b+c＝0，﹣＝﹣，即a＝b，与x轴的另一个交点为（2，0），4a+2b+c＝0， 抛物线开口向下，a＜0，b＜0， 抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0， 所以，abc＞0，因此①正确； 由9a﹣3b+c＝0，而a＝b， 所以6a+c＝0，又a＜0， 因此3a+c＞0，所以②正确； 抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，因此当x＜﹣时，y随x的增大而增大， 所以③不正确； 由于抛物线的顶点在第二象限，所以＞0，因此＜0，故④正确； 抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）（2，0）， 因此当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧， 因此m＜﹣3，n＞2，所以⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①②④⑤， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系，从图象中获取有效信息是解答的关键． 12．(24-25九上·江西宜春·期末)抛物线（为常数，）经过点，抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上任意一点，有下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两个根为和；⑤若，则．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据已知，结合图象可得，，即可判断结论①；当时，可有，即可判断结论②；根据图象与轴有两个交点，即可判断结论③；将方程整理为，求解即可判断结论④；结合函数图象，可知当时，可有，当时，可有，即可判断结论⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为直线，由图象可知， ∴该抛物线与轴的另一交点为， ∴可有，， ∴，， ∴，故结论①错误； 当时，可有，故结论②正确； ∵图象与轴有两个交点， ∴， ∴故③错误， ∵，， ∴方程， ∵， ∴方程可整理为， 解得和，故结论④正确； 如下图， ∵， ∴该抛物线开口向下， 若， 则当时，有， 当时，可有， ∴，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有3个． 故选：B． 13．(24-25九上·江西新余·期末)二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误； ②把代入中得，所以②正确； ③由时对应的函数值，可得出，得到，由，，，得到，选项③正确； ④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，①错误； ②当时，，∴， ∵，∴， 把代入中得，所以②正确； ③当时，，∴， ∴， ∵，，， ∴，即，所以③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴， 即，所以④正确． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 14．(24-25九上·江西吉安·期末)二次函数的图象经过，对称轴是直线，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，根据图象与轴的交点个数可确定，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴ ， ∵抛物线对称轴， ∴， ∴，， ∵抛物线交轴正半轴， ∴， ∴，故正确； ∵当时，， ∴，故正确； ∵图象和轴交于两点， ∴，故正确； ∵对称轴是直线，且二次函数的图象经过， ∴二次函数的图象经过， ∴当时，，故正确； 所以正确的序号是，共5个． 故选：D 15．(24-25九上·江西新余仙女湖区·期末)如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系逐一判断即可 【详解】解：①由抛物线对称轴为直线，从而，则，故①正确； ②抛物线开口向下，与轴相交与正半轴，则，而，因而，故②错误； ③方程的解，即是与直线的交点的横坐标， 从图象可得，抛物线顶点为，则抛物线与直线有且只有一个交点， 故方程有两个相等的实数根，故③正确； ④由抛物线对称性，与轴的一个交点，根据对称轴为，可知另一个交点坐标为（−2，0），故④错误； ⑤由图象可知，当1＜x＜4时，y1＞y2，故⑤正确； 故正确的有①③⑤，共计3个 故选C 【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合． 16．(24-25九上·江西宜春第三中学·期末)如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，可判断③错误，求出，，结合①②的结论即可判断出④正确． 【详解】∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1， ∴， ∴， ∵抛物线交于y轴正半轴， ∴c>0， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴交于(-1,0)， ∴当x=-1时，， ∵， ∴将代入，得3a+c=0，故②正确； 根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点(-1,0)，对称轴为x=1， 根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0)， ∴y＞0时，有，故③错误； ∵抛物线与x轴的两个交点为：(-1,0)，(3,0)，对称轴为x=1， 当x=-2时，， 当x=2时，， ∵，3a+c=0，a<0， ∴，， ∴，故④正确， 故选：C． 地 城 考点02 填空题小压轴题——多解题 1．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)如图，在矩形中，，，点E（不与点B重合）是边上一个动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，当是直角三角形时，那么的长是 ． 【答案】或4或5 【分析】由题意可知，，，延长交于H，设，根据矩形的性质得到，，，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由题意可知，，，延长交于H， 设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得或4． ∴或4． 当点F在边上时，四边形是正方形， ∴， 故答案为：或4或5． 2．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】进行分类讨论：当点在上方时，，易得点在上，，通过证明是等边三角形，即可求解；当点在下方时，延长交于点，此时，通过证明是等边三角形，即可求解；当时，先证明为等边三角形，得出为中点，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 当点在上方时，，如图， ，， 点在上，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ， 是等边三角形， ； 当点在下方时，延长交于点，如图，此时， ，， ， 在中，， ， 是等边三角形， ； 当， 是等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， 为中点， ， 根据勾股定理可得：， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 3．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)如图，点在反比例函数的图象上，点是轴上一点，且三点构成的三角形是等腰三角形，则线段 ． 【答案】或或8 【分析】先将点坐标代入反比例函数中计算出点的坐标，再分类讨论为等腰三角形的情况，分别算出点的坐标，最后求得不同情况的值即可得到答案． 【详解】解：点在第一象限，且在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， ， 点坐标为， ， 点是轴上一点，且三点构成的三角形是等腰三角形， 当以为腰时，如图所示三种情况， 由图可知，点的坐标为或或， 或8， 当以为底边时，如图所示， 设点的坐标为，则， 作轴交轴于， 在中， ，，，， 为等腰三角形，， ， 解得：， 点坐标为， ， 综上所述： 或8或， 故答案为：或8或． 4．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、求点的坐标等知识点，解题的关键是根据两直角三角形的公共锐角，判断出两三角形相似的所有情况． 根据公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当为公共锐角时，只存在为直角的情况；当为公共锐角时，存在和为直角两种情况，根据各种情况，可求得点的坐标． 【详解】 解： 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，作，假设交于点，此时， 为的中点， 点坐标为， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 根据得： ， 即：， 解得：， ， 在上， ， 此时点坐标为； 综上所述，点坐标为或或． 故答案为：或或． 5．(24-25九上·江西赣州南康区·期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为 ． 【答案】（7，4）或（6，5）或（1，4）． 【分析】由勾股定理求出PA=PB==，由点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，得出PC=PA=PB=，即可得出点C的坐标． 【详解】∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）， ∴PA=PB==， ∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心， ∴PC=PA=PB==， 则点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）； 故答案为（7，4）或（6，5）或（1，4）． 6．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)已知抛物线与x轴交于点和点B（点A始终在点B的右边），与y轴交于点C，若为等腰三角形，则a的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数的综合，涉及抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键．先求解抛物线与x轴的一个交点坐标和y轴的交点C的坐标，然后求出的长度，再分①，②时，分别画图，结合图形讨论求解即可． 【详解】解：∵， 解得：，， ∴，， ∵点A始终在点B的右边， ∴， 当时，， ∴， 如图，当时， ∴， 当时， ∴， 解得：， 当时， ∴，即， ∴， 解得：（舍去），， 当时， ∴， 解得：，经检验符合题意； 当时，此时，则， 此时只有， ∴， 解得：，经检验不符合题意； 综上：或或， 故答案为：或或． 7．(24-25九上·江西景德镇乐平·期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，M，N两点分别从A，B两点以2cm/s和1cm/s的速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D即停止，当运动时间为 秒时，△MBN为等腰三角形． 【答案】或（6-2）或 【分析】分情况讨论：①点M在AB上，点N在BC上时，BM＝BN，列出方程其解即可；②点M在BC上，点N在CD上时，表示出BM、CM、CN，再根据勾股定理列式表示出MN2，然后根据BM＝MN列出方程求解即可；③点M、N都在C、D上时，表示出MN、CM，再根据勾股定理分两种情况列式表示出BM（或BN），然后根据BM＝MN（或BN＝MN）列出方程求解即可；④点M在AB上，点N在CD上时，根据等腰三角形的性质，CN＝BM，然后列式求解即可． 【详解】解：分情况讨论： ①如图1所示： 点M在AB上，点N在BC上时，t＜2，BM＝5﹣2t，BN＝t， ∵BM＝BN， ∴5﹣2t＝t， 解得t＝； ②如图2所示： 点M在BC上，点N在CD上时，2.5＜t＜3.5，BM＝2t﹣5，CM＝2﹣（2t﹣5）＝7﹣2t，CN＝t﹣2， 在Rt△MCN中，MN2＝（7﹣2t）2+（t﹣2）2， ∵BM＝MN， ∴（2t﹣5）2＝（7﹣2t）2+（t﹣2）2， 整理得，t2﹣12t+28＝0， 解得：t1＝6﹣2 ，t2＝6+2（舍去）； ③如图3所示： 点M、N都在C、D上时，t＞3.5， 若点M在点N的右边，则CM＝2t﹣7，MN＝t﹣（2t﹣7）＝7﹣2t， 此时BM2＝（2t﹣7）2+22， ∵BM＝MN， ∴（2t﹣7）2+22＝（7﹣2t）2，无解， 若点M在点N的左边，则CN＝t﹣2，MN＝（2t﹣7）﹣（t﹣2）＝t﹣5， 此时BN2＝（t﹣2）2+22， ∵BN＝MN， ∴（t﹣2）2+22＝（t﹣5）2， 整理得，t＝（不符合题意，舍去），； ④如图4所示： 点M在AB上，点N在CD上时，BM＝5﹣2t，CN＝t﹣2， 由等腰三角形三线合一的性质，CN＝BM， ∴t﹣2＝（5﹣2t）， 解得：t＝； 综上所述，当运动时间为或（6﹣2）或秒时，△MBN为等腰三角形． 故答案为或（6﹣2）或． 8．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)在矩形ABCD中，，，点E在边CD上，且，点P是直线BC上的一个动点．若是直角三角形，则BP的长为 ． 【答案】或或6 【分析】分三种情况讨论：当∠APE=90°时，当∠AEP=90°时，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，，，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°， 如图，当∠APE=90°时， ∴∠APB+∠CPE=90°， ∵∠BAP+∠APB=90°， ∴∠BAP=∠CPE， ∵∠B=∠C=90°， ∴△ABP∽△PCE， ∴，即， 解得：BP=6； 如图，当∠AEP=90°时， ∴∠AED+∠PEC=90°， ∵∠DAE+∠AED=90°， ∴∠DAE=∠PEC， ∵∠C=∠D=90°， ∴△ADE∽△ECP， ∴，即， 解得：， ∴； 如图，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F， 根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°， ∴四边形ABPF为矩形， ∴PF=AB=9，AF=PB， ∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°， ∴∠DAE=∠APF， ∵∠F=∠D=90°， ∴△APF∽△EAD， ∴，即， 解得：，即； 综上所述，BP的长为或或6． 故答案为：或或6 9．(24-25九上·江西九江修水县·期末)如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O为AC的中点，点P是射线BO上的一个动点，当△ACP为直角三角形时，则BP的长为 ． 【答案】或或 【分析】分三种情况：①若∠ACP=90°，②若∠APC=90°，且点P在BO延长线上，③若∠APC=90°，且点P在线段BO上时，分别根据图形计算即可． 【详解】解：在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O为AC的中点， ∴AO=1，BO=， ①若∠ACP=90°时， ∵∠OCP=∠OAB=90°，CO=AO，∠COP=∠AOB， ∴△OCP≌△OAB， ∴OP=BO， ∴BP=OP+BO=2； ②若∠APC=90°，且点P在BO延长线上时， ∵O为AC的中点， ∴OP=AC=1， ∴BP=OP+BO=； ③若∠APC=90°，且点P在线段BO上时， ∵O为AC的中点， ∴OP=AC=1， ∴BP= BO-OP=； 综上，线段BP的长为或或． 故答案为：或或． 10．(24-25九上·江西赣州大余县·期末)已知是以为腰的等腰三角形，D为边上一点，且，若的长恰好为一边长的，则的值为 ． 【答案】1或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，关键分三种情况讨论求解：①当，时；②当，时；③当时，时． 【详解】解：①当，时， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当，时， 设，则， ∵， ∴， ∴； ③当时，时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知，值是1或或． 故答案为：1或或． 11．(24-25九上·江西宜春上高县·期末)如图，在矩形中，，以为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接，当为锐角等腰三角形时，的长为 ． 【答案】6或或 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、垂径定理等知识点，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． 分、、三种情况，分别画出图形、运用垂径定理、切线性质、勾股定理进行解答即可． 【详解】解：由题意可得：． ①当时，是等腰三角形，此时； ②如图：当时，是等腰三角形． 此时是的切线，连接交于F． ∴ ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴； ③当时，是等腰三角形． 如图：作于H，交⊙O于，作． ∴， 在中，， ∴ ∴（为钝角三角形，不符合题意），； 综上所述，的长为6或或． 故答案为6或或． 12．(24-25九上·江西赣州章贡区·期末)如图，为边长为的等边三角形，，，P为边上动点，以的速度从B向C运动，假设P点运动时间为，当 s时，与相似． 【答案】12或16或21 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是分类讨论． 先根据等边三角形的性质得，再分和两种情况求出答案即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ， 当时，， 即， 解得：或； 当时，时， 即， 解得：． ∴或16或21． 故答案为：12或16或21． 12．(24-25九上·江西宜春·期末)如图，弦是半圆的直径，，点在半圆上，，连接．点从点出发，沿以的速度匀速运动到点．当以点为圆心，为半径的圆在运动过程中与的边，相切时，则点的运动时间 ． 【答案】的值为或或． 【分析】先证明，求解，，再分：如图，当在上时，与相切， 为切点，连接，则；当在上时，与相切，切点为；当与相切，切点为，则，，再进一步解答即可． 【详解】解：∵弦是半圆的直径，，点在半圆上，， ∴，， ∴，， 如图，当在上时，与相切， 为切点，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在上时，与相切，切点为， ∴， ∴， 当与相切，切点为，则，， ∴， ∴， ∴； 综上：的值为或或． 13．(24-25九上·江西吉安·期末)已知四边形ABCD为菱形，其边长为6，，点P在菱形的边AD、CD及对角线AC上运动，当时，则DP的长为 . 【答案】2或或 【分析】分以下三种情况求解：（1）点P在CD上，如图①，根据菱形的边长以及CP1=2DP1可得出结果；（2）点P在对角线AC上，如图②，在三角形CDP2中，可得出∠P2DC=90°，进而可得出DP2的长；（3）当点P在边AD上，如图③，过点D作于点F，过点作于点E，设，则，再用含x的代数式表示出CE，EP3，CP3的长，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：（1）当点P在CD上时，如解图①， ，，； （2）当点P在对角线AC上时，如解图②， ，. 当时，，； （3）当点P在边AD上时，如解图③，过点D作于点F，过点作于点E，设，则， ，，，， ，， . ，在中，由勾股定理得，解得，（舍）. 综上所述，DP的长为2或或. 故答案为：2或或. 14．(24-25九上·江西南昌第五中学实验学校·期末)如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在线段上，以点D为圆心，为半径作，且与的两边相切，则x的值为 ．    【答案】或或1 【分析】分三种情况考虑：与直角边、斜边都相切；与直角边、斜边都相切；与直角边、与直角边相切；画出图形分别进行求解即可． 【详解】如图，与直角边、斜边都相切时，则是的角平分线， 过点C作于点F，则，   ， ， ， 由题意得：，，， ，， 由勾股定理得：， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：； 如图，与直角边、斜边都相切时，则点D在的角平分线上， 连接并延长交于点G，过G作于点H，设与直角边相切于点E，则，   是的角平分线，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ， ∴， ， ， ， ∵， ， ， ∴ ， ， ， ， ； 当与直角边相切于点F，与直角边相切于点E， 则，    ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上，x的取值为或或1． 故答案为：或或1． 15．(24-25九上·江西弋阳县·期末)如图，在半径为1的⊙O中，直线l为⊙O的切线，点A为切点，弦AB=1，点P在直线l上运动，若△PAB为等腰三角形，则线段OP的长为 ． 【答案】或或2 【分析】由△PAB为等腰三角形分三种情况分别讨论：①当BP=AB=1时，②当AP=PB时，③当AP=AB时，利用切线的性质求解即可． 【详解】解：∵AB=AO=OB=1， ∴△ABO为等边三角形， ∴∠OBA=∠OAB=∠AOB =60°， ①当BP=AB=1时，如图①， ∵直线l为⊙O的切线，点A为切点， ∴OA⊥l， ∴∠OAP=90°， ∴∠BAP=30°， ∵BP=AB， ∴∠OPA=∠BAP=30°， ∴∠PBA=120°， ∴∠PAB+∠ABO=180°， ∴点P、B、O在同一条直线上， ∴OP=OB+BP=2； ②当AP=PB时，如图， ∵直线l为⊙O的切线，点A为切点， ∴OA⊥l， ∴∠OAP=90°， ∴∠BAP=30°， ∵AP=PB． ∴∠PBA=∠PAB=30°． ∴∠APB=120°， ∴∠PBA+∠OBA=90°， ∴OB⊥BP， ∴BP是⊙O的切线， ∵直线l为⊙O的切线，点A为切点， ∴OP平分∠BPA， ∴∠OPA=60°， 在Rt△OAP中sin∠OPA=， ∴OP=； ③当AP=AB时，若点P在点A左侧，如图③，连接OB， ∵直线l为⊙O的切线，点A为切点， ∴OA⊥l， ∴∠OAP=90°， ∵AP=AB=OA=1， ∴在Rt△OAP中根据勾股定理得，OP， 若点P在点A右侧，如图③，同理可得OP=． 综上所述：OP的长：或或2． 故答案为：或或2． 16．(24-25九上·江西赣州经开区期末考试·期末)在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，将边AD绕它的端点旋转，当另一端点恰好落在边BC所在直线的点E处时，线段DE的长为 ． 【答案】或或5 【分析】分两种情形：绕A旋转或绕D旋转，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=3，AD=BC=5，∠ABC=∠DCB=90°， 当AD绕A旋转，AD==5时，， ∴C=1，C=9， ∴，， 当AD绕D旋转时，， 综上所述，满足条件的DE的值为或3或5， 故答案为：或3或5． 17．(24-25九上·江西宜春丰城丰城中学·期末)如图，在中，，，，点在射线上，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数．当为等腰三角形时，有以下三种情况：①当时，过点A作于F，先求出，在中利用锐角三角函数可求出，则，进而得的度数；②当时，又有两种情况：（ⅰ）当点E在线段上时，过点D作交延长线于G，先求出，在中利用锐角三角函数可求出，，则，进而得的度数；（ⅱ）当点E在的延长线上时，过点D作于M，先分别求出，，进而得，由此可得的度数；③当时，过点E作于H，根据等腰三角形性质得，根据平行线间的距离得，则，由此得，进而可得的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，过点A作于F，如图1所示： 在中，， ∴， 即平行线间的距离为， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，又有两种情况： （ⅰ）当点E在线段上时，过点D作交延长线于G，如图2所示： 由①可知：平行线间的距离为，即， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （ⅱ）当点E在的延长线上时，过点D作于M，如图3所示： 则， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，过点E作于H，如图4所示： ∵， ∴， 由①可知， ∴， ∴（此时点E与点C重合）， ∴． 综上所述：的度数为：或或． 故答案为：或或． 18．(24-25九上·江西宜春第三中学·期末)在中，，，O为边的中点，将绕着点O旋转得到线段，连接，当为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或或． 【分析】分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别利用全等三角形的性质计算即可． 【详解】解：在中， O为边的中点 ∴ ∴，， 如图， 当时 在和中 ∴ ∴ ∴ 如图， 当时，同理可证 ∴ ∴ 如图， 当时，同理可证 ∴ ∴ 故答案为：或或． 19．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上一动点，将沿折叠，点的对应点为点，当射线经过矩形一边的中点时（不含点），则的长为 ． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论： （1）当射线经过矩形的中点时，（2）当射线经过矩形的中点时，则，（3）当射线经过矩形的中点时，分别画出图形，解直角三角形即可求解． 【详解】当射线经过矩形一边的中点时（不含点），可分三种情况讨论： （1）当射线经过矩形的中点时，如图1所示． ∵，， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， （2）当射线经过矩形的中点时，则，如图2所示． ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， （3）当射线经过矩形的中点时，如图3所示． ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或或． 地 城 考点03 解答题压轴题——几何图形综合问题 1．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题： （1）如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．则与之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上．连接为延长线上一点，连接，且的延长线垂直于，垂足为点． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1），，理由见解析；（2）①；②． 【分析】（1）根据题意可证，得到，则，由此即可求解； （2）①证明，得到即可求解；②由，得到，设，则，运用勾股定理得到，根据正弦值的计算即可求解． 【详解】解：（1），，理由如下： 延长交于， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）①， ， 在矩形中，，， ， ， ， ， ∵， ； ②， ， ， 设，则， ， ． 2．(24-25九上·江西赣州寻乌县·期末)综合与探究 问题情境已知在中，．如图1，是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转到，连接． （1）若，求的长度． 猜想证明 （2）如图2，连接，取的中点为，连接，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明． 深入探究 （3）当点在直线上运动时，在上述变换情况不变的条件下，若，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）．证明见解析；（3）或 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识． （1）证明，则，得到则，即可得到； （2）延长到点，使交于点．证明，则．证明，则．又由即可得到结论； （3）分点在的延长线上和点在的延长线上两种情况，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）， 是等腰直角三角形， ． ， 是等腰直角三角形， ． 在和中， ， ， ． ， ， ． （2）． 证明：如图1，延长到点，使交于点． ， ． ， ， ． 为的中点， ， 点在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， ． 在和中， ， ． ， ． 在和中， ， ． ， ． （3）或． ①如图2，当点在的延长线上时， ， ． ， ． ②如图3，当点在的延长线上时， ， ． ， ． 综上所述，或． 3．(24-25九上·江西赣州兴国县第五中学·期末)感知：如图（1）已知正方形和等腰直角三角形，点E在正方形边上，点F在正方形边的延长线上，，连结．易证（不需要证明）． 探究：如图（2）将图（1）中绕着点B逆时针旋转，旋转角为α，（），连结．证明：． 应用：如图（3），在（2）条件下当A、E、F三点共线时，连结，若，则___________． 【答案】探究：见解析；应用： 【分析】感知：由正方形的性质得，再由等腰直角三角形的性质得，然后证，即可得出结论； 探究：由正方形的性质得，再由等腰直角三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； 应用：先求出，再证，然后由勾股定理即可得出结论． 【详解】感知： 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； 探究： 证明：∵四边形是正方形，是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 应用： 解：由（2）知，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得：． 4．(24-25九上·江西宜春丰城·期末)综合与实践： 我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？ 【观察猜想】 （1）在中，，猜想与的大小关系； 【操作证明】 （2）如图1，某同学发现在中，若，可将折叠，使边落在上，点C落在边上的点，折线交于点D，连接 ，发现，⋯，请用上述思路证明（1）中猜想的结论； 【操作发现】同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角；大角对大边”．发现存在图1中的四边形，满足，．查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【拓展应用】 （3）资料显示，“筝形”仪器可用于检测门框是否水平．如图3，“筝形”仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤．某同学将仪器上的点E、C紧贴门框上方，观察若线绳恰好经过点D，则可判断门框是水平的．请说明此同学做法的理由； （4）如图4，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，当是等腰三角形时，的度数为　　　（直接写出答案）． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）或或 【分析】（1）由图形可猜想； （2）利用三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）由等腰三角形的性质可求解； （4）分情况讨论：当时，由折叠性质即可求解；当时，当时，同理可得答案． 【详解】解：（1）猜想：； （2）证明：由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴； （3）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； ∵为铅锤线， ∴是水平的，即门框是水平的； （4）当时，连接,如图2， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，同理可得； 当时，同理可得， 综上：的度数为或或． 故答案为：或或． 5．(24-25九上·江西赣州上犹县·期末)综合与实践 已知在中，，，点为的中点，连接，为边上任意一点； (1)如图1，将线段绕着点按顺时针方向旋转得到，连接，则的形状为______，线段和线段的数量关系为______． (2)以为旋转中心，将按顺时针方向旋转到如图2的位置，连接． ①证明：． ②延长与相交于点，连接，求的度数． (3)解决问题 如图3，若，，以为旋转中心，将按顺时针方向旋转到如图3的位置，使点在下方，连接，且点在同一直线上，直接写出的面积． 【答案】(1)等边三角形， (2)①见解析；② (3) 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质，得到，证明，是等边三角形，即可得到结论； （2）①证明，即可得到结论； ②在上截取，证明，根据全等三角形的性质证明是等边三角形，即可得到答案； （3）根据前述两问可知，、是等边三角形，在上截取，求出，，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据旋转的性质得到 是等边三角形， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：等边三角形，； （2）解：①证明：在中，是斜边中点， ， ， ， 是等边三角形， ， 线段绕着点按顺时针方向旋转得到， ，， ， 在和中， ， ， ； ②在上截取， 由①知， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ； （3）解：根据前述两问可知，、是等边三角形， 由（2）①方法可证， ， ， ， ， 在上截取， ，， ， ， ， 和重合， 垂直平分， ， ， ，， ，， ． 6．(24-25九上·江西九江修水县·期末)在中，，点P是外一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．      观察猜想： （1）如图1，当时，的值为_______，直线与所成锐角的度数为_______； 类比探究： （2）如图2，当时，求出的值及直线与所成锐角的度数并说明理由． 拓展应用： （3）如图3，当时，．求的长度． 【答案】（1），；（2），，理由见解析；（3）． 【分析】（1）先判断和是等边三角形，进而得出，，进而判断，即可得出答案； （2）先判断和是等腰直角三角形，进而得出，进而，判断即可求出答案； （3）将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，作交于点，由题意得：，进而得到 ，得出，再判断，得到，求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图： ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， 由旋转知， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 延长交于，于， 则为直线与所成锐角， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图2， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ，即， ∴， ，， ∵， ∴， ， 即直线CD与AP所成锐角度数为； （3）将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，作交于点，如图： 由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ，， ∴， ， 同理可得： ， ，即， ∴， ， ∵， ， ∵ ， ∴． 7．(24-25九上·江西宜春丰城第九中学·期末)综合与探究    (1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为_____________； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点E，F分别在边，上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）通过证明，利用相似三角形的性质，即可求解； （3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点，勾股定理求得，根据（2）知，求得，证明，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：结论：，理由如下： 设与相交于点P，如图1中，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论：，理由如下： ∵， ∴． 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H． ∴ ∵，      ∴四边形是矩形． ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．(24-25九上·江西上饶·期末)是等边三角形，P是平面内一点，且四边形是平行四边形．将线段绕点C逆时针旋转，得到线段． (1)如图①，当P为的中点时，求证：； (2)如图②，当P为内任意一点时，连接，，．图中与、与具有怎样的数量关系？试判断的形状，并证明你的结论； (3)如图③，当点P在内且在线段上时，连接，．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，，是等边三角形，理由见解析 (3)2 【分析】（1）如图1，利用等边三角形和平行四边形的性质求得，即得结论； （2），，是等边三角形．如图2，延长，先利用等边三角形的性质和平行四边形的性质证得，再根据证明，进一步根据等边三角形的判定定理即可证得结论； （3）过A作于E，由（2）可得，设，则，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】（1）证明：如图1，设交于点M， ∵是等边三角形，P为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，是等边三角形，理由如下： 如图2，延长， ∵为等边三角形， ∴， ∴，即，， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴． 又， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：如图3，过A作于E，由（2）可得， 设，则， 于是在中，根据勾股定理得：， 解得：（不合题意，舍去） ∴． 9．(24-25九上·江西景德镇乐平·期末)综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见详解，（2）四边形为平行四边形，（3） 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 10．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)教材再现： (1)如图1，在矩形中，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为________． 知识应用： (2)如图2，在矩形中，点M，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为E和F，以为邻边作平行四边形，若，的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． (3)如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)的周长是定值，定值为24 (3) 【分析】（1）如图1，记与的交点为O，连接，则，，根据，计算求解即可； （2）由四边形是矩形，可得，则，如图2，连接，过点M作于H，则四边形是矩形，，由折叠的性质得：，则，，，，由勾股定理得：，，根据，即，可求的值，然后求周长即可； （3）由等边，可知，，如图3，连接，作于，可求，则，即，求的值，然后求面积即可． 【详解】（1）解：如图1，记与的交点为O，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：的周长是定值，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 如图2，连接，过点M作于H，则四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的周长为， ∴的周长是定值，值为24； （3）解：∵等边， ∴，， 如图3，连接，作于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 11．(24-25九上·江西宜春丰城丰城中学·期末)（1）课本再现：我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质． 如图（1），在中，点D，E分别是，的中点，连接．则与的关系是______．    （2）定理证明：请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程． （3）定理应用：如图（2），在四边形中，点M，N，P分别为，，的中点，，的延长线交于点E．若，则的度数是______．    （4）如图（3），在矩形中，，，点E在边上，且．将线段绕点A旋转一定的角度（），得到线段，点M是线段的中点，求旋转过程中线段长的最大值和最小值．    【答案】（1）且；（2）证明过程见解析；（3）；（4）旋转过程中线段长的最大值为4，最小值为1． 【分析】（1）根据三角形中位线可直接进行求解； （2）延长至点F，使，连接，由题意可证，然后可得，进而可证四边形是平行四边形，最后问题可求证； （3）由题意易得，，然后问题可求解； （4）延长至点H，使，连接，，由题意易得，然后可得点F在以点A为圆心，3为半径的圆上，进而根据圆的最值问题可求解． 【详解】（1）且， 故答案为：，； （2）证明：如图（1）延长至点F，使，连接．    又，， ∴ ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，； （3）解：∵点M，P分别为，的中点， ∴， ∴， ∵点N，P分别为，的中点， ∴， ∴， ∴ 故答案为：； （4）如图（2），延长至点H，使，连接，．    ∵，． ∴． 由勾股定理得， ∵，． ∴， ∴点F在以点A为圆心，3为半径的圆上（不与点E重合）． ∴当点F在线段上时，最小，最小值为； 当点F在线段的延长线上时，最大，最大值为． 故长的最大值为4，最小值为1． 12．(24-25九上·江西赣州于都县·期末)【课本再现】（1）课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图1所示的课本例题进行了深入学习： 例1矩形的对角线，相交于点，求证：，，，四个点在以点为圆心的同一个圆上. 证明：四边形为矩形， ，，， ， ，，，四个点在以点为圆心，为半径的同一个圆上. 通过这个例题学习对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解.以下是一道课本原题：“中，，求证：，，三点在同一个圆上.”请你利用图2写出证明过程. 【初步运用】（2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题.例如：如图3，在中，，，是外一点，且，求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，由可知点，必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到__________°. 【深入理解】（3）如图4，在四边形中，.求证：. 【拓展延伸】（4）如图5，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，求长度的最小值. 【答案】（1）见解析、（2）、（3）见解析、（4） 【分析】本题考查了圆得相关知识点以及构造辅助圆在解决几何问题中的作用，涉及了圆周角定理、斜中半定理、菱形的性质等知识点，掌握相关结论并加以运用是解题关键． （1）取的中点，连接，根据斜中半定理即可求解； （2）根据圆周角定理可得； （3）由题意可得点，，在以为圆心，为半径的圆上，结合圆周角定理即可求证； （4）根据条件可得点在以为圆心，为直径的圆上，当点为与的交点时，长度取最小值，据此即可求解． 【详解】解：（1）证明：取的中点，连接， ， 在中，， ，，三点在以点为圆心，为半径的同一个圆上； （2）根据圆周角定理可得： 故答案为：； （3）证明：， 点，，在以为圆心，为半径的圆上， 可以构造出过，，三点的，然后用图2或图3所示的方法解决. 方法1：如图， ， . 又在中，， 在中， ， . 方法2：延长交于点，连接 则为的直径， 在中，， 又在中，， . （4）解：由折叠性质知， 又是的中点， ， 点在以为圆心，为直径的圆上， 当点为与的交点时，长度取最小值， 过点作的延长线于点， 菱形中，， ， ， 在中，， 在中，， . 地 城 考点04 解答题压轴题——二次函数综合问题 1．(24-25九上·江西赣州大余县·期末)如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长，      ∵，， ∴， 即：的最小值为：； （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 2．(24-25九上·江西宜春上高县·期末)如图1，已知二次函数图象与轴交点为，其顶点为． (1)求二次函数的表达式； (2)直线与轴交于，现将线段上下移动，若线段与二次函数的图象有交点，求向上和向下平移的最大距离； (3)若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕点顺时针旋转，得到抛物线，如图2所示，直线与交于，两点，为上位于直线左侧一点，求面积最大值，及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)CM向下平移的最大距离为，向上平移的最大距离为6． (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①设直线向下平移最大距离为，由△，即可求解；②设直线向上平移最大距离为，同理可解； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：顶点， 设二次函数的解析式为， 把代入得：， ， ， 即； （2）解：由点、的坐标得，直线解析式为， ， ①设直线向下平移最大距离为， 平移后的直线解析式为， 此时直线与抛物线有一个交点， 把 代入， 得， ， △， 即：． ②设直线向上平移最大距离为， 此时，对应点为，， 则， 当恰在二次函数上时， ， ， 向上平移的最大距离为6． 综上，向下平移的最大距离为，向上平移的最大距离为6； （3）解：二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为， 则函数的解析式为：， 设 为 上一点， 绕顺时针旋转 后，对应点为， 则， 则，， ， 若在轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方， 所以， 把 代入， ， 解得：，； 则，， 设：， 过点作轴交于点， ， ， ， ， 当 时，有最大值，， 此时． 3．(24-25九上·江西赣州安远县·期末)抛物线：（其中）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)①填空：当时，点A的坐标为______，点B的坐标为______；当时，点A的坐标为______，点B的坐标为______； ②随t值的变化，抛物线是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由； (2)若将抛物线经过适当平移后，得到抛物线：，A，B的对应点分别为，，求抛物线的解析式； (3)设抛物线的顶点为P，当，为直角三角形时，求方程的根______． 【答案】(1)①， ；，；②会经过定点 (2)或 (3)， 【分析】（1）①分别把，代入函数解析式，再令，再建立方程求解即可；②把函数化为，从而可得答案； （2）根据平移的性质可得，再求解即可得到答案； （3）求解顶点P的坐标，如图，当为直角三角形时，结合抛物线的性质可得：为等腰直角三角形，可得，，，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①当时，函数为， 当时，， 解得：，， ∴， 当时，函数为， 当时，， 解得：，， ∴，， ② 当时，， ∴抛物线会经过定点； （2），解得， ∴ ∵A，B的对应点分别为， ∴ ∴   ∴， ∴抛物线的解析式为：或 （3）方程的根， ∵ ∴顶点P的坐标，如图， 当为直角三角形时，结合抛物线的性质可得：为等腰直角三角形， ，，， ∴， 解得，，， ∵且， ∴， ∴， 解得，． 4．(24-25九上·江西南昌心远中学·期末)如图（1），在中，，点为边上一动点，过点作，交于点．将沿折叠，点的对应点为，若的长为与重叠部分的面积为（点与点或点重合时，不妨设），与之间的函数关系如图（2）所示． (1)①的长为___________，的长为___________； ②当时，关于的函数解析式为___________． (2)当时，与之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，取得最大值，求抛物线的解析式． (3)在（2）的条件下，若存在对应的值相等，且，求此时与重叠部分的面积． 【答案】(1)①，；② (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的性质与判定，折叠问题； （1）根据函数图象可得时，则，当时，则点与点重合，此时是的中点，进而可得是的中位线，则，根据函数图象时，，进而根据三角形的面积公式求得，即可得出的长； ②根据得出，根据相似三角形的性质求得，进而根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解； （2）根据题意设抛物线解析式为：，根据函数图象可得，在抛物线上，待定系数法求解析式，即可求解； （3）分，两种情况讨论；当时根据对称性可得，联立，确定和的值，代入（2）中解析式，即可求解；当时，确定的范围，联立与求得的值，进而根据的取值范围取舍，即可求解． 【详解】（1）解：①根据函数图象可得与重合时，时，则， 当时，则点与点重合，此时是的中点， 根据函数图象可得时，， 即时，，则 ∵ ∴ ∴ ∴是的中位线，则 ∴， 故答案为：，． ②∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴当时，， 故答案为：． （2）解：∵时，与之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，取得最大值， ∴设抛物线解析式为：， 将，，代入， 得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （3）解：∵时，，存在对应的值相等， ∴对称轴为直线① 又∵②， 联立①②解得： ∴此时与重叠部分的面积为． 当时， ∵，则 ∴ ∴ ∵当时， ∴当 整理得， 解得：或 ∵ ∴不存在此情形， 综上所述，与重叠部分的面积为． 5．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)如图1，在矩形中，为的中点，点沿折线运动，以为边作正方形，设点运动的路线为，在运动过程中正方形的面积为． 初步感知： （1）当点在上运动时，若，则______；关于的函数关系式为______． （2）当点在上运动时，经探究发现，是关于的二次函数，请求出关于的函数解析式． 延伸探究： （3）图2为点在运动过程中关于的函数关系图象，请结合图象信息解决如下问题： ①当点运动到的延长线过点时，______，______；若图象上点和点的横坐标分别为和，根据点的运动过程可知，当时，点的坐标为______． ②点在上运动的过程中，是否存在点的两个位置，（均为整数），使得对应的，满足？如果存在，求出，的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）3，；（2）；（3）①4或6，8或20；，②存在， 【分析】本题考查点的运动和画函数图象，相似三角形的判定和性质，勾股定理，能利用分类讨论是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式得到函数关系式，代入自变量的值即可解题； （2）利用勾股定理解题即可； （3）①利用得到，进而得到方程解题即可； ②运用分类讨论，利用方程解题即可． 【详解】解：（1）当点在上运动时，， 当时，， 故答案为：3，； （2）当点在上时，即当时， ． ． ， 当时，关于的函数解析式为． （3）①解：如图，当运动到的延长线过点时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， 当时，； 当时，； 由图可知，点的横坐标为， 又∵， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：4或6；8或20；； ②当点在上运动时，． ①当时，． ． 解方程，得（负值舍去）， 不是整数， 这种情况不存在． ②当时，． ． 解方程，得（负值舍去）． ，符合题意． ③当时，． ， 解方程，得（负值舍去）． 不是整数， 这种情况不存在． ④当时，． ． 解方程，得（负值舍去）． ，且不是整数，舍去． 综上所述，当时，． 6．(24-25九上·江西宜春·期末)如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点在直线上方抛物线上运动，过点作于点，轴于点，交于点，求的最大值，以及此时点的坐标． (3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度后，得到新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限内新抛物线上的点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，，请求出点的坐标． (4)在（3）的条件下，点是新抛物线的对称轴上一点，在轴上是否存在一点，使得以点，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为； (3) (4)存在点Q，点的坐标或或 【分析】（1）把点，点代入即可求解； （2）根据题意可得，是等腰直角三角形，并求出直线的解析式为：，可得是等腰直角三角形，则，设，则，，且，，，结合二次函数图象的性质即可求解； （3）根据抛物线的平移可得，，，并求出直线的解析式，过点作，交抛物线与点，运用待定系数法求出直线的解析式，再联立新抛物线为方程组即可求解． （4）分两种情况：当时或当为以点，为顶点的四边形为平行四边形的对角线时，根据平行四边形性质分别求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， 代入可得，， 解得，， ∴抛物线解析式为：； （2）解：当时，，即， ∵，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为：， ∵点，点． ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 如图所示， ∵轴， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则，，且， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴； （3）解：存在点，点的横坐标为，理由如下， ∵抛物线， ∴将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则， 令，则， 解得， ∴，， ∵点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半， ∴，且， 把代入得，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 新抛物线图像如图所示， 过点作，交抛物线与点，则， ∴设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴； （4）解：新抛物线的解析式为：， 对称轴为直线， ，，点在轴上，以点为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如下图： ，则， 点M向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到， 点向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到， 同理，得，则； 当为以点，为顶点的四边形为平行四边形的对角线时， 则， ，则， ， ； 综上所述，存在点Q，点的坐标或或． 7．(24-25九上·江西宜春高安·期末)如图，抛物线位于轴上方的图象记为，它与轴交于、两点，图象与关于原点对称，与轴的另一个交点为，将与同时沿轴向右平移的长度即可得到与；再将与同时沿轴向右平移的长度即可得到与；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象．我们把这组图象称为“波浪抛物线”． (1)当时， 求、及图象的顶点坐标； 点是否在“波浪抛物线”上，并说明理由；若图象的顶点的横坐标为，请求出图象对应的解析式，并写出自变量的取值范围． (2)设图象、的顶点分别为、（为正整数），轴上一点的坐标为，试在各用图中先标出点所在的位置，再探究：当为何值时，以O、、、四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时的值． 【答案】(1) ，，；不在，理由见解析；，的取值范围为：； (2)，的值为4． 【分析】本题考查的是二次函数综合题，熟知二次函数平移的性质、二次函数的最值问题是解题的关键． （1）把代入抛物线的解析式，然后令等于可求得对应的的值，从而可得到的坐标，然后依据平移的方向和距离可得到点的坐标，接下来，利用配方法可求得抛物线的顶点的坐标； 根据该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和-1即可得出结论； （2）设中点为，则线段经过，再根据图形平移的性质即可得出结论． 【详解】（1）解： 当时，， 令，解得：或． 点的坐标为，由平移的性质可知的坐标为． ， 图象的顶点坐标为：； 该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为和， 点，不在该“波浪抛物线”上， 图象．的顶点的横坐标为，，故其图象与…形状相同， 图象对应的解析式为：，其自变量的取值范围为：； （2）解：设中点为，则线段经过，由题意可知， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴对应的解析式为， ∴的顶点坐标为， ∴由平移的性质可知，点的纵坐标为， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 故此时的值为4． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $