专题07 相似（8大考点）（期末真题汇编，江西专用）九年级数学上学期人教版

专题07 相似 8大高频考点概览 考点01 比例的性质 考点02 平行线分线段成比例 考点03 相似三角形的判定和性质 考点04 相似三角形的应用 考点05 利用相似三角形解决多解问题 考点06 图形的位似 考点07 课本再现中的相似三角形问题 考点08 相似三角形的探究综合问题 地 城 考点01 比例的性质 1．(24-25九上·江西九江修水县·期末)若，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查分式的化简，根据得到，把代入，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 2．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质变形，代入求值即可．准确利用性质变形是解题的关键． 【详解】解：由可设，，是非零整数， 则． 故答案为：． 3．(24-25九上·江西吉安·期末)若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质； 由，设，，然后代入式子计算即可． 【详解】解：由，设，， ∴， 故答案为：． 4．(24-25九上·江西吉安市泰和县·期末)若，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．根据题意，设，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，可设， ∴． 故答案为：． 地 城 考点02 平行线分线段成比例 1．(24-25九上·江西南昌南昌一中联考·期末)如图，，，，则的长是（　　） A．6 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．由平行线分线段成比例定理得，即可得出结论． 【详解】， ， 即， 解得：， 故选择：B 2．(24-25九上·江西景德镇乐平·期末)如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”． 3．(24-25九上·江西九江修水县·期末)如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（　　     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由DE∥BC得，由DF∥AC得，于是，可判断A错误；由DE∥BC得，可判断B正确；由DF∥AC得，可判断C正确；由DE∥BC得，可判断D正确． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴， ∵DF∥AC， ∴， ∴， ∴， 故A错误； ∵DE∥BC， ∴， 故B正确； ∵DF∥AC， ∴， 故C正确； ∵DE∥BC， ∴， 故D正确． 故选：A． 4．(24-25九上·江西上饶广信区·期末)如图，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段平行定理是解题的关键，根据平行线分线段成比例，可得，由，即可得． 【详解】， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图，已知，那么线段的长度等于 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值进行计算即可. 【详解】解：∵AB∥CD∥EF ∴ , ∵AD=6，DF=3，BC=7， ∴, ∴CE=. 故答案为：. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键. 6．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是 ． 【答案】2 【分析】过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】过点作于，交于， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 7．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)如图，已知和，是的中点，是的中点，，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查解平行线分线段成比例，掌平行线分线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据，是的中点，得到，则有，所以有（或），即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，是的中点， ， ， ， （或）． 8．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)如图，在中，点、、分别在边、、上，且．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由平行线分线段成比例可求，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．(24-25九上·江西南昌南昌一中联考·期末)【问题背景】一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．已知是的角平分线．求证：． (1)【初步探究】小慧想到了构造角平分线的平行线来解决问题，所以她给出的证明思路是：如图1，过点C作，交的延长线于点E，……就可以运用所学知识予以证明．请你沿着小慧提供的思路写出下面的证明过程； (2)【类比研究】小慧类比上面的思路继续研究，如图2，已知是一个外角的平分线，是否还成立？请说明理由； (3)【应用拓展】直接利用上面的结论解决问题：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理可得，角平分线的概念和平行线性质可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证； （2）过点C作，交于点E，根据平行线分线段成比例定理可得，角平分线的概念和平行线性质可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证； （3）由勾股定理可得，由折叠的性质得出，，由（1）知，，从而求得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ； （2）成立；理由如下： 过点C作，交于点E， 证明： ，， 是的角平分线， ， ， ； ， ， ； （3）在中，，，， ， 由折叠性质可知：，， 由（1）可知：， ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理、灵活转化比例关系是解题的关键． 地 城 考点03 相似三角形的判定和性质 1．(24-25九上·江西吉安·期末)如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的高线之比等于相似比以及面积比等于相似比的平方是解题的关键．       根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵这两个相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形的面积比为． 故选C． 2．(24-25九上·江西上饶广信区·期末)若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， 故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意， 故选：D． 3．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)如图，平行四边形中，，交于点E如果，的面积为，那么的面积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．由于四边形是平行四边形，可得，；由易证得，已知了对应边、的比例关系，即可得到两个三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得它们的面积比． 【详解】】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ，， 设，则，， ， ， ． 故答案为：． 4．(24-25九上·江西吉安吉安县·期末)如图所示，在平行四边形中，为的中点，延长至点，使，连接交于点，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形判定和性质，根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求出答案．解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型． 【详解】解：设，， 在中， ， 点为的中点， ， ， ， ， 故答案为：． 5．(23-24九上·江西南昌雷式学校·期末)如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是 ．    【答案】27 【分析】根据矩形的性质，很容易证明∽，相似三角形面积之比等于对应边比的平方，即可求出的面积． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ∽， ，， ：：， ：：，即：：， ． 故答案为：． 6．(24-25九上·江西南昌南昌一中联考·期末)如图，是的边上的一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． （1）根据，即可得出结论； （2）设，，根据△和△相似得，将，，代入比例式整理得，由此解出即可得的长． 【详解】（1）证明：，， ； （2）解：设， ，， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 7．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)如图，在中，，于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）根据（1）中相似，然后结合相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴，即， ∵，， ∴， ∴ 解得：（负根舍去）． 8．(24-25九上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)如图，在中，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．问经过几秒，与相似？ 【答案】秒或秒 【分析】设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，可知∠CPQ=∠A或∠CPQ=∠B，则有或，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】解：设运动时间为，与相似， 当与相似时，则有或， 所以，或， 解得：，或． 因此，经过秒或秒，与相似． 9．(24-25九上·江西赣州龙南·期末)如图，中，是的延长线上一点，与交于点，． (1)求证：； (2)若的面积为2，求的面积 【答案】(1)证明过程见详解 (2)8 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键． （1）由四边形是平行四边形，得， ，所以，进而推断出． （2）根据相似三角形的性质，由的面积为2，故可求的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ． （2）解：，， ， ． 10．(24-25九上·江西赣州章贡区·期末)如图，在平行四边形中，连接DB，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得出，结合可得出，再由即可证出； （2）由，利用相似三角形的性质可求出BF的长度，由可得出，再利用相似三角形的性质及即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 11．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°且CF＝3FD．    （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求 CG的长． 【答案】（1）见解析；（2）CG＝6． 【分析】（1）由正方形的性质得出∠A＝∠D＝90°，证出∠ABE＝∠DEF，即可得出△ABE∽△DEF； （2）求出DF＝1，CF＝3，由相似三角形的性质得出，解得DE＝2，证明△EDF∽△GCF，得出，求出CG＝6，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°， ∵∠BEF＝90°， ∴∠DEF+∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝∠DEF， ∴△ABE∽△DEF； （2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD， ∴DF＝1，CF＝3， ∵△ABE∽△DEF， ∴，即， 解得：DE＝2， ∵AD∥BC， ∴△EDF∽△GCF， ∴，即， ∴CG＝6． 12．(24-25九上·江西南昌三中教育集团·期末)如图，已知在中，，点P从点B开始沿边向点A以的速度移动，同时点Q从点A开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为． (1)当 时与相似； (2)是否存在某一时刻t的值使得的面积等于， 若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)不存在t的值，见解析 【分析】（1）利用勾股定理求出，根据题意表示出，分当时，当时，两种情况讨论即可； （2）过点P作于点D，证明，求出， 再根据，得到，利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵， ∴， 设运动时间为t秒，则， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得： ∴秒或秒后，与相似； （2）解：如图，过点P作于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 方程无解， ∴不存在t的值使得的面积等于 13．(24-25九上·江西南昌铁路第一中学·期末)如图，中，，D为上任意一点，，． (1)求证：； (2)若，，若四边形为菱形，求出此时菱形的边长； (3)若，且的面积为4，则四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12 【分析】本题主要考查平行线的性质，菱形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识： （1）由平行线的性质可证明，从而可证明； （2）设菱形的边长为x，得由列方程，求出x的值即可； （3）由得，证明，得出的面积为25，再证明得出的面积为9，从而可求出菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 又 ∴； （2）解：四边形为菱形， ∴ 设菱形的边长为x，得 ∵， ∴， ∴， 解得，， 即菱形的边长为； （3）解：∵， ∴，, ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴菱形的面积， 故答案为：12． 14．(23-24九上·江西南昌三中教育集团·期末)4．如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， (1)当时，x为何值？ (2)能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由． (3)当时，求．（直接写答案） 【答案】(1) (2)能，的长为或 (3) 【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据平行线分线段成比例得即可求解； （2）根据，分类讨论 ，即可求解； （3）根据题意可得，，进而求得，；推出，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， （2）解：存在．理由如下： ， ， 时： ． 即： 解得：， ∴ 时： ， 即： 解得：（舍去） ， ∴的长为或 （3）解：∵， ，， ∴ ∴， ∴，， ∴ ∴ 15．(23-24九上·江西南昌·期末)5．在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5）， (1)用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm． (2)当t为何值时△POQ的面积为6cm2？ (3)当△POQ与△AOB相似时，求出t的值． 【答案】(1)2t，（5﹣t） (2)当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2； (3)当t=或1时，△POQ与△AOB相似． 【分析】（1）由运动知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，得出结论； （2）根据△POQ的面积为6cm2，建立方程6=×2t×（5-t），解方程即可求出答案； （3）分△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm， ∴OQ=（5-t）cm， 故答案为：2t，（5-t）； （2）解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm， ∵△POQ的面积为6cm2， ∴6=×2t×（5-t）， ∴t=2或3， ∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2； （3）（3）∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°， ∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA， ∴或， 当，则， ∴t=； 当时，则， ∴t=1， ∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似． 地 城 考点05 相似三角形的应用 1．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC． 若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=5m，则路灯的高度OP为 m． 【答案】 【分析】根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解． 【详解】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变： ∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=5m ∴ ，代入得： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查利用相似三角形测高，掌握同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变是解题关键． 3．(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)图中左边是装满液体的高脚杯示意图，图中右边是用去一部分液体后的示意图，此时液面 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得到点到的距离为，点到的距离为，，再证明，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∴点到的距离为，点到的距离为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3 ． 4．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是 米． 【答案】2 【分析】由题意知，得出，根据求出的值． 【详解】解：由题意知 在和中 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似．解题的关键与重点是找出判定三角形相似的条件以及计算三角形的相似比． 5．(24-25九上·江西上饶广信区·期末)如图，在综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高度，，于是这个小组设计出一种测量方案，步骤如下： 第一步：把直角尺的顶点E放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边所在直线分别经过建筑物外立面的顶部A和C． 第二步：用皮尺度量和的长． 第三步：通过计算得到建筑物的高度． 已知示意图中点A，B，C，D，E，M，N均在同一平面内，．若测得，．请求出建筑物的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 由“等角的余角相等”得到，继而，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵ 设， 可得，， 解得：（舍负）， 经检验：是方程的解， ∴ 答：建筑物的高度为． 6．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)完成下列各题． (1)课本中有一道练习题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形（），边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是 mm． 拓展应用 (2)若原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形两条边，如图2所示，求此时EF的长．    【答案】(1)48 (2) 【分析】（1）设正方形零件的边长为，则，，根据，得到，根据相似三角形的性质得到比例式列方程求解即可； （2）由可得，，根据，得到，根据相似三角形的性质得到比例式列方程求解即可． 【详解】（1）解：设正方形零件的边长为， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即，解得． 故答案为48． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得． 答：的长为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 地 城 考点06 利用相似三角形解决多解问题 1．(24-25九上·江西吉安万安县·期末)在矩形ABCD中，，，点E在边CD上，且，点P是直线BC上的一个动点．若是直角三角形，则BP的长为 ． 【答案】或或6 【分析】分三种情况讨论：当∠APE=90°时，当∠AEP=90°时，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，，，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°， 如图，当∠APE=90°时， ∴∠APB+∠CPE=90°， ∵∠BAP+∠APB=90°， ∴∠BAP=∠CPE， ∵∠B=∠C=90°， ∴△ABP∽△PCE， ∴，即， 解得：BP=6； 如图，当∠AEP=90°时， ∴∠AED+∠PEC=90°， ∵∠DAE+∠AED=90°， ∴∠DAE=∠PEC， ∵∠C=∠D=90°， ∴△ADE∽△ECP， ∴，即， 解得：， ∴； 如图，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F， 根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°， ∴四边形ABPF为矩形， ∴PF=AB=9，AF=PB， ∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°， ∴∠DAE=∠APF， ∵∠F=∠D=90°， ∴△APF∽△EAD， ∴，即， 解得：，即； 综上所述，BP的长为或或6． 故答案为：或或6 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 2．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、求点的坐标等知识点，解题的关键是根据两直角三角形的公共锐角，判断出两三角形相似的所有情况． 根据公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当为公共锐角时，只存在为直角的情况；当为公共锐角时，存在和为直角两种情况，根据各种情况，可求得点的坐标． 【详解】 解： 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，作，假设交于点，此时， 为的中点， 点坐标为， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 根据得： ， 即：， 解得：， ， 在上， ， 此时点坐标为； 综上所述，点坐标为或或． 故答案为：或或． 3．(24-25九上·江西九江同文中学·期末)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，，，，若与以E，C，F为顶点的三角形相似，则BE的长为 ． 【答案】或 【分析】设BE=x，当∽△ECF时，即，当∽△FCE时，即，解方程即可． 【详解】解：设BE=x， 当∽△ECF时，即 整理得， 解得， 经检验都符合题意， 当∽△FCE时，即， 解得． 经检验符合题意， 故答案为或． 地 城 考点07 图形的位似 1．(24-25九上·江西吉安·期末)如图，在中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长扩大到原来的2倍，设点B的对应点的横坐标是b，则点B的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 以点为坐标原点建立新的坐标系，表示出点的横坐标，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：以点为坐标原点建立新的坐标系， 点的坐标是， 点的横坐标为：， 以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形， 则点在以为坐标原点的坐标系中的横坐标为：， 点在原坐标系中的横坐标为：， 故选：D． 2．(24-25九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小到原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，熟练掌握位似图形对应点坐标的变化规律是解题的关键．根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将缩小到原来的得到， ∴点与点的坐标关系为点的坐标是点坐标乘以的相反数（与在位似中心两侧）． ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：D． 3．(24-25九上·江西吉安吉安县·期末)如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的横坐标为，然后表示出、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解. 【详解】设点的横坐标为， 则、间的横坐标的差为，、间的横坐标的差为， 放大到原来的倍得到， ， 解得：. 故选：A. 【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键. 4．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由与位似，可得到，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，由题意可知，可得相似比为，从而可得答案． 【详解】解：∵是由经过位似变换得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为27． 故答案为：． 5．(24-25九上·江西南昌江西师范大学附属中学红谷滩区滨江分校·期末)如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为 ．（结果用含，的式子表示）    【答案】 【分析】过点分别作轴的垂线垂足分别为，根据题意得出，则，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线垂足分别为，    ∵与的相似比为，点是位似中心， ∴ ∵， ∴, ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 6．(24-25九上·江西萍乡·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= ．    【答案】4.5 【详解】解：已知A（1，0），D（3，0），可得OA=1，OD=3， 又△ABC与△DEF位似，AB=1.5， ， DE=4.5. 7．(24-25九上·江西吉安安福县·期末)如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作出与关于x轴对称的． (2)以原点O为位似中心，在原点的另一个侧画出．使，并写出、、的坐标．    【答案】(1)作图见解析； (2)画图见解析， ，，． 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标的变化得出A，B，C关于x轴的对称点，即可得出答案； （2）把A，B，C的坐标乘以得到其对应点，，，再连线即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）如图所示：，即为所求； ∵，，，， ∴，，，      【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，关于x轴对称图形画法及位似图形的画法，熟练运用位似图形的性质是解题关键． 8．(24-25九上·江西景德镇乐平·期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，-2)、B(4，-1)、C(3，-3)． (1)画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标____________； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2∶1，并写出点B1的对应点B2的坐标____________； (3)若△A1B1C1内部任意一点P1 的坐标为(a-5，b+3)，直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．P2的坐标是____________．    【答案】(1)B1(-1，2) (2)B2(-2，4) (3)P2(2a -10，2b+6) 【分析】（1）先按要求画出平移后所得△A1B1C1，再对照图形写出点B1的坐标即可； （2）连接OA1，并延长到点A2，使OA2=2OA1可得点A2，用同样的方法画出点B2、C2，再顺次连接三点即可得到△A2B2C2，对照图形写出点B2的坐标即可； （3）由△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2：1可知点P2的坐标是点P1坐标的2倍，由此可得到点P2的坐标； 【详解】（1）如下图所示，△A1B1C1为所求三角形，B1的坐标为：(-1，2)； （2）如下图所示，△A2B2C2为所求三角形，B2的坐标为：(-2，4)；    （3）由题意可知△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2：1 ∴当点P1的坐标为(a-5，b+3)时，对应点P2的坐标为：(2a -10，2b+6)． 地 城 考点08 课本再现中的相似三角形问题 1．(24-25九上·江西吉安青原区·期末)【课本再现】 （）如图（），在中，为上一点，是否与相似？（填“是”或“不是”） 【类比探究】 （）如图（），在中，为上一点，已知，求证：． 【拓展应用】 （）在Rt，点为上一点，如图（），点分别在上，，垂足为．若，求的值．    【答案】（）是； （）证明见解析； （）． 【分析】（）根据相似三角形的判定即可求解； （）证明得到，即可求证； （）设，则，同()得，求出，由三角函数得，过作于，则，在中，，由，推出是等腰直角三角形，得到，进而得到，由平行线等分线段定理即可求解． 【详解】（）解：∵，， ∴， 故答案为：是； （）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （）解：∵， ∴设，则， ∵，， 同()得， ∴， 在中，， 过作于，如图所示，    则， 在中，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似形是判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 2．(24-25九上·江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)课本再现 （1）将两个等腰直角三角形（，）按如图1所示的方式摆放（图中所有的点、线都在同一平面内），则与相似的三角形有________．（填序号） ①；②；③． 类比迁移 （2）将两个等腰直角三角形（，）按如图2所示的方式摆放，点在边上． ①求证：； ②如图3，若是的中点，与交于点，与交于点，，，连接，求的长． 【答案】（1）②③（2）①见详解②5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的性质，解题的关键在于发现“一线三等角”的相似． （1）由等腰直角三角形判定出相等的角，利用三角形相似的判定定理即可求解； （2）①由等腰直角三角形判定出相等的角，利用三角形相似的判定定理得出，然后利用对应边成比例即可得出答案； ②假设，同①得，利用对应边成比例求出的值，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）与都是等腰直角三角形， ∴， 又∵, ∴； 又∵, ∴； 无法判断与相似， 故答案为：②③； （2）①证明：与都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； ②解：∵是的中点， ∴， 假设，同①得， ∴， 即， 解得，（负值已舍） ∴， 由勾股定理得， 即， 解得，（负值已舍） ∴，， 由勾股定理得． 3．(23-24九上·江西南昌进贤县文港初级中学·期末)课本再现： （1）在图1中，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，求这个正方形的边长． 变式探究： （2）如图2，若一块三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图3，若一块三角形材料可以加工成4个相同大小的正方形零件，且，请你探究的值． （4）如图4，若一块三角形材料用同样的方式，可以加工成个相同大小的正方形零件，设每个正方形的边长为a，则 ．（用含a，n的代数式表示，直接写出结果） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）；（4） 【分析】（1）设这个正方形的边长为，则，根据，得到，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果； （2）根据题意可得，证明以及，可得，再证明，可得，即可求解； （3）如图，设分别交于点M、N，设每个正方形的边长为a，根据，推出，于是得到，列方程即可得到，从而得到，，再根据，可得，即可求解； （4）过点A作分别交于点M、N，根据，可得，即可求解． 【详解】解：（1）如图，设交于点K，    设这个正方形的边长为，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 即这个正方形的边长为； （2）如图，    设这个正方形的边长为， 根据题意得， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，设分别交于点M、N，    设每个正方形的边长为a， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 解得：， ， ∵， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； （4）如图，过点A作分别交于点M、N，    ∵， ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．(23-24九上·江西南昌雷式学校·期末)课本再现： (1)如图1， 是的一个外角，写出与，的数量关系 类比探究： (2)如图2，是与的公共边，，． ①与的数量关系是 ； ②求证 拓展应用： (3)如图3，点D是正方形内一点，且在以O 为圆心， 为半径的圆弧上，若，，直接写出线段的长.    【答案】（1）； （2）① ；②证明见解析 （3） 【分析】（1）根据三角形的外角定理可得； （2）①根据1周角 ，可得，由此可得； ②证明，则可得，由此可得； （3）先根据圆周角定理得出，再求出．再证明，则可得．设，则可得，，在中根据勾股定理列方程求出x的值，即可知的长． 【详解】（1）∵是的一个外角， ∴； 故答案为：； （2）①，且， ． ， ． 故答案为: ； ②中， ． 又， ， ， ， ． （3）如图，连接、，    则，， ， ． 又， ， ． 又， ， ， ． 设， 则， ，． 又， ， 解得， ． 地 城 考点09 相似三角形的探究综合问题 1．(24-25九上·江西上饶广信区·期末)综合与实践 某数学兴趣小组在探索正方形的中心与等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程： 如图，O是正方形的中心，等腰直角三角形的直角顶点E在的延长线上，与交于点G． 规律探究 （1）如图1，若，求的值． （2如图2，若，求的值． 拓展延伸 （3）如图3，设正方形的面积为，以O，E，F，C为顶点的四边形面积为，若，求的值．    【答案】（1）；（2）；（3）1 【分析】（1）过点O作于点H，首先根据题意得到，然后证明出，得到，设，则，然后求出，进而求解即可； （2）过点O作于点M，设，表示出，，然后证明出，得到，然后代入求出，然后勾股定理求出，进而求解即可； （3）连接，，过点O作，分别交于点M，N，设，，然后表示出，设，证明出，得到，，然后利用表示出，然后根据得到，然后求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点O作于点H ∵O是正方形的中心 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴； （2）如图所示，过点O作于点M ∵O是正方形的中心 ∴设 ∵ ∴ ∴ ∴ 同（1）可证 ∴ ∴ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，连接，，过点O作，分别交于点M，N ∵O是正方形的中心 ∴设 ∴ ∴ 设 ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ 整理得， ∴ 解得或（舍去） ∴ ∴． 2．(24-25九上·江西南昌江西师范大学附属中学红谷滩区滨江分校·期末)【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接． 判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．    【答案】（1）；（2）判断：，理由见解析；（3） 【分析】（1）由正方形的性质得，，，，则有，即可证明，有成立； （2）由矩形的性质得，，结合题意可证得，则有，故； （3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，结合矩形的性质证得，有，即可证得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，将，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 则， 那么，， 故答案为：； （2）判断：，理由如下： ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线， 作点D关于直线的对称点，则， ∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为， 由（2）得 ， ∴， ∴， ∴的最小值为的最小值，即， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 3．(23-24九上·江西南昌三中教育集团·期末)数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知中，，，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段绕点P顺时针旋转a，得线段，E、F分别是、的中点，设直线与直线相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： 　   （1）填空： 【问题发现】 小明研究了时，如图1，求出了______，______；    小红研究了时，如图2，求出了______，______；    【类比探究】 他们又共同研究了时，如图3，也求出了和的度数． 【归纳总结】 最后他们终于共同探究得出规律：______（用含m、n的式子表示；______（用含α的式子表示）． （2）把当时（图3），求的值和的度数的解答过程写出来．    【答案】（1）【问题发现】，；，；【类比探究】，；【归纳总结】，； （2）， 【分析】（1）当时，和都是等边三角形，可证，从而有，； 当时，和都是等腰直角三角形，同理可证即可解决，依此可得出规律； （2）当，可证，，从而有，由，可得即可解决问题． 【详解】解：（1）【问题发现】如图1，连接，，延长、交于点，    当时，和都是等边三角形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， 又， ， ，， ， 当时，和都是等腰直角三角形， 【类比探究】如图2，连接，，延长、交于点Q，    ，，， 、分别是、的中点， ，， ， 又， ， ，， ， 【归纳总结】由此，可归纳出，． （2）当，连接，，延长、交于点，如图3，    ，为的中点， ， ， 同理可得：， ， ， 又， ， ，， ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07相似 ☆8大高频烤点概览 考点01比例的性质 考点02平行线分线段成比例 考点O3相似以三角形的判定和性质 考点04相似三角形的应用 考点05利用相似三角形确解决多解问题 考点06图形的位似 考点07课本再现中的相似三角形问题 考点O8相似三角形的探究综合问题 目目 考点01 比例的性质 1.(24-25九上江西九江修水县期末)若号=2，则苦- 2.(24-25九上江西吉安万安县期末)若安=号，则字= 3.(24-25九上江西吉安期末)若安=号，则景=一· 4.(24-25九上江西吉安市泰和县期末)若多=，则号=一 目目 考点02 平行线分线段成比例 1.(24-25九上江西南昌南昌一中联考期末)如图，DE‖BC,AD:BD=2:3,EC=12,则AE的长是 B A.6 B.8 C.12 D.20 2.(24-25九上江西景德镇乐平.期末)如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DEBC,交AC于 点E.若AD=2,BD=3,则的值是（) 1/17 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D E B A.月 B.专 c. D.号 3.(24-25九上江西九江修水县·期末)如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DEBC交AC于 点E,过点D作DFAC交BC于点F,则下列结论错误的是() E B A.器=熙B.品= C.器-器 D.器-器 4.(24-25九上江西上饶广信区期末)如图弘11213，若器=号，EF=6,则DE的长为一 5.(24-25九上江西萍乡·期末)如图，已知AB//CD//EF,AD=6,DF=3,BC=7,那么线段CE的 长度等于 B 6.(24-25九上江西吉安安福县·期末)五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值 的音符及其他记号来记载音乐.如图，A,B,C为直线与五线谱的横线相交的三个点，则器的值是 2/17 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 7.(24-25九上江西鹰潭余江区·期末)如图，己知△ADC和△NBC,D是BC的中点，M是AD的中点， MNI‖DE,求AN:NC的值. M B C D 8.(24-25九上江西吉安万安县期末)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且 DEBC,EFIAB.若AD=2BD,求器的值. B 9.(24-25九上江西南昌南昌一中联考·期末)【问题背景】一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了 关于三角形角平分线的一个结论.已知AD是△ABC的角平分线.求证：器=器. E F A 个 B D B C E B 图1 图2 图3 (1)【初步探究】小慧想到了构造角平分线的平行线来解决问题，所以她给出的证明思路是：如图1，过点C 作CE‖AD,交BA的延长线于点E,.就可以运用所学知识予以证明.请你沿着小慧提供的思路写出下 面的证明过程； (②)【类比研究】小慧类比上面的思路继续研究，如图2，已知AD是△ABC一个外角的平分线，是=器 是否还成立？请说明理由： 3/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)【应用拓展】直接利用上面的结论解决问题：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90·,D是BC边上 一点.连接AD,将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处.若AC=1,AB=2, 请直接写出DE的长， 目目 考点03 相似三角形的判定和性质 1.(24-25九上·江西吉安期末)如果两个相似三角形对应高的比为3：4，那么这两个三角形的面积比为() A.3:4 B.4:3 C.9:16 D.16:9 2.(24-25九上江西上饶广信区·期末)若△ABC∽△DEF,AB=6,DE=4,则下列说法错误的是() A.∠B=∠E B.DF=AC C.SAABC=SADER D.BC=EF 3.(24-25九上江西吉安安福县期末)如图，平行四边形ABCD中，AF:FB=2:3,DF交AC于点E如果， △CDE的面积为20cm2,那么△AEF的面积是=_ 4.(24-25九上江西吉安吉安县·期末)如图所示，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E, 使DE:AD=1:3,连接EF交DC于点G,则S△DEG:S△CFG等于一 B 5.(23-24九上江西南昌雷式学校期末)如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE=2DE,BD与 CE相交于点F,若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是一· E 6.(24-25九上江西南昌南昌一中联考·期末)如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD,己知 ∠ABD=∠C 4/17 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B (I)求证：△ABD△ACB: (2)若AB=6,CD=5,求AD的长， 7.(24-25九上江西鹰潭余江区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. A B D (I)求证：△CBD∽△ABC; (2)若AD=4,BD=2,求BC的长。 8.(24-25九上江西南昌南昌外国语学校教育集团期末)如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=8m,BC=6m,点P由C点出发以2ms的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发 以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动.问经过几秒，△PCQ与 △ACB相似？ C 9.(24-25九上江西赣州龙南期末)如图，☐ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F, DE=CD. A B (1I)求证：△ABF∽△CEB; (2)若△DEF的面积为2，求△ABF的面积 10.(24-25九上江西赣州章贡区期末)如图，在平行四边形ABCD中，连接DB,点F是边BC上一点，连 5/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 接DF并延长，交AB的延长线于点E,且∠EDB=∠A. D B (I)求证：△BDF△BCD; (2)如果BD=35,BC=9,AB=4,求BE的长. 11.(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠ BEF=90°且CF=3FD (1)求证：△ABE~△DEF; (2)若AB=4,延长EF交BC的延长线于点G,求CG的长. 12.(24-25九上江西南昌三中教育集团·期末)如图，已知在△ABC中， ∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,点P从点B开始沿BA边向点A以2cm/s的速度移动，同时点Q从 点A开始沿AC边向点C以1Cm/s的速度移动.当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动.设运 动时间为ts (I)当t=时△PAQ与△ABC相似； (2)是否存在某一时刻t的值使得△PAQ的面积等于号，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由. 13.(24-25九上江西南昌铁路第一中学·期末)如图，Rt△ABC中，∠A=90°，D为AB上任意一点， DEBC,DFLAC. 6/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：△ADE∽△DBF: (2)若AC=6,BC=10,若四边形DECF为菱形，求出此时菱形的边长； (3)若部=号，且△ADE的面积为4，则四边形DECF的面积为· 14.(23-24九上江西南昌三中教育集团期末)4.如图，己知，在△ABC中，BA=BC=40cm, AC=60cm,点P从A点出发，沿AB以4Cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以 3cm/s的速度向A点运动，设运动时间为x, B (1)当PQIBC时，x为何值？ (2)△APQ能否与△CQB相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由. (3)当S△BCQ:S△4BC=1:3时，求S△BPQ:S△ABc.(直接写答案) 15.(23-24九上江西南昌·期末)5.在平面直角坐标系中，已知OA=10cm,OB=5cm,点P从点O开始沿 OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cms的速度移动.如果P、Q同时 出发，用t(s)表示移动的时间(0≤5)， yA B Q 0 P (1)用含t的代数式表示：线段PO=_cm;OQ=_cm. (2)当t为何值时△PO0的面积为6cm2? (3)当△POQ与△AOB相似时，求出t的值. 目目 考点05 相似三角形的应用 7/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25九上江西萍乡·期末)如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直 放置，其中AB与“0”刻度线重合，0点落在3刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB=50cm,则 CD的长是() 77777777777777777777777 A 2 A.30cm B.190cm C.20cm D.要cm 2.(24-25九上江西吉安青原区期末)如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC.若树高AB=2m,树 影BC-3m,树与路灯的水平距离BP=5m,则路灯的高度OP为m. 路灯 3.(24-25九上·江西鹰潭余江区·期末)图中左边是装满液体的高脚杯示意图，图中右边是用去一部分液体后 的示意图，此时液面AB=_Cm. 6cm 15cm 11cm 7cm 水平线 4.(24-25九上江西吉安万安县·期末)如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC,己知路灯高P0=5m, 树影AC=3m,树AB与路灯O的水平距离AP=4.5m,则树的高度AB长是__米. 8/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25九上江西上饶广信区期末)如图，在综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物AB和 CD的高度，CD=2AB,于是这个小组设计出一种测量方案，步骤如下： 第一步：把直角尺的顶点E放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边EM,EN所在直线分 别经过建筑物外立面的顶部A和C 第二步：用皮尺度量BE和DE的长. 第三步：通过计算得到建筑物的高度， 己知示意图中点A,B,C,D,E,M,N均在同一平面内，AB⊥BD,CD⊥BD.若测得BE=12m, DE=96m,请求出建筑物CD的高度. M E 6.(24-25九上江西吉安安福县期末)完成下列各题. (1)课本中有一道练习题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形（△ABC),边BC=120mm,高 AD=80mm·把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，则这 个正方形零件的边长是mm. 拓展应用 (2)若原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形两条边EF:EG=5:2,如图2所示，求此时EF的长. B D H 图1 图2 目目 考点06 利用相似三角形解决多解问题 1.(24-25九上江西吉安万安县期末)在矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点E在边CD上，且CE=4 ,点P是直线BC上的一个动点.若△APE是直角三角形，则BP的长为」 2.(24-25九上江西吉安青原区·期末)己知Rt△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，P(3,4)为 OB的中点，点C是折线OAB上的一个动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分.若分割得到的三角形与 9/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Rt△OAB相似，则符合条件的点C的坐标为 本y C A 3.(24-25九上江西九江同文中学期末)如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，AB=4 ,AD=8,CF=3,若△ABE与以E,C,F为顶点的三角形相似，则BE的长为· 目目 考点07 图形的位似 1.(24-25九上江西吉安期末)如图，在△ABC中，A,B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是 (-1,0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△ABC,并把△ABC的边长扩大 到原来的2倍，设点B的对应点B'的横坐标是b,则点B的横坐标是() B A.-b B.-(b+1)C.-(b-1)D.-(b+3) 2.(24-25九上江西南昌青山湖区江西科技学院附属中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，以原点0为位 似中心，将△OAB缩小到原来的吃，得到△OAB.若点B的坐标是(2，一1)，则点B的坐标是() 10/17