精品解析：内蒙古呼和浩特市回民区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

九年级数学 注意事项：1．本试卷共4页，答题时间90分钟，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合， 根据定义判定即可． 【详解】解：A、是中心对称图形而不是轴对称图形； B、是轴对称图形而不是中心对称图形； C、不是轴对称图形而是中心对称图形； D、是中心对称图形也是轴对称图形； 故选：D． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程是一元二次方程，符合题意； C、方程中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 3. 已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．根据自变量与函数值的情况判定即可． 【详解】解：当时，，而当时，， 在时，必有一个的值使得． 一元二次方程的一个根的范围是． 故选：B． 4. 2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 根据每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛， 所以： 故选：A． 5. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图像的平移规律，可得答案． 本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线的表达式为， 故选：A． 6. 一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，解题的关键是根据一次函数、二次函数的图象，分别确定系数的符号，再作出判断． 对每个图象中的一次函数的图象确定，的符号，再对照二次函数得出，的符号比较是否一致，然后作出选择． 【详解】从选项A中的直线可知，，，抛物线开口向下，所以错误； 从选项B中的直线可知，，，抛物线对称轴在轴左侧，所以错误； 从选项C中的直线可知，，，抛物线开口向上，所以错误； 从选项D中的直线可知，，，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，所以正确． 故选：D． 7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转变换的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 根据图象旋转的性质，得，，从而得，结合，，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到． ∴，， ∴， ∴，， ∴； 故选：B 8. 二次函数（）的部分图象如图，图象过点，下列结论： ①；②；③，④若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，抛物线与一元二次方程的关系等解答即可． 【详解】解：根据图象过点，对称轴为直线，设抛物线与x轴的另一个交点为， 则， 解得， 故图象过点， 故抛物线与x轴有两个不同的交点，即有两个不同的实数根， 故，即，故①正确， ∵二次函数开口向下， ∴， ∵对称轴在x轴的正半轴上， ∴, ∴，， ∴, 故②正确； 根据抛物线的性质，得时，， ∴， ∴, 故③错误； 由抛物线的顶点坐标为，， 故该二次函数的最大值为4，即直线与抛物线有唯一交点， 由， 故直线与抛物线无交点，即方程没有实数根． 故④正确； 故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 如果一元二次方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条边长，那么这个直角三角形的周长为___________． 【答案】12或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解一元二次方程．先解一元二次方程，然后分两种情况，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：， ∴， 解得：， ∵一元二次方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条边长， ∴直角三角形的两条边长分别为4和5， 若5为斜边，另一条直角边长为， 此时这个直角三角形的周长为； 若5为直角边，斜边长为， 此时这个直角三角形的周长为； 综上所述，这个直角三角形的周长为12或． 故答案为：12或 10. 二次函数，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据，得开口方向向下，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，再把代入，得出，因为，再把代入，得出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， ∴把代入，得，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大 ∵， ∴把代入，得； ∴在，则的取值范围是， 故答案为： 11. 一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系表达式为，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为_____秒． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解当飞机滑行停止时，取得最大值时解题关键．利用二次函数的性质，求出当取得最大值时，的值即可得． 【详解】解：将函数化成顶点式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，即此时飞机滑行停止， 所以这种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为20秒， 故答案为：20． 12. 不论自变量x取什么实数，二次函数y＝2x2﹣3x﹣m的值总是正值，你认为m的取值范围是____． 【答案】m＜﹣． 【解析】 【分析】根据二次函数的函数值总是正值，且开口向上，可判断出二次函数与x轴没有交点，根据b2﹣4ac＜0，即可求出m的取值范围． 【详解】∵二次函数y＝2x2﹣3x﹣m的值总是正值，且二次函数的开口向上， ∴二次函数与x轴没有交点， ∴b2﹣4ac＜0，即：9+8m＜0， 解得：m＜﹣， 故答案为m＜﹣． 【点睛】本题主要考查二次函数与x轴的交点问题，根据题意，判断出二次函数与x轴没有交点，是解决此题的关键． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 14. 年是全面贯彻落实党的二十大精神的关键之年，各地积极推进“红色文旅乡村振兴”融合发展．某革命老区依托红色资源打造研学基地，月接待研学团队个，随着宣传推广和服务升级，月接待研学团队达到个． （1）假设从月到月，每月接待研学团队数量的增长率相同，求月到月每个月的增长率． （2）按照这个增长率，月该基地能接待多少个研学团队？ 【答案】（1） （2）个 【解析】 【分析】（）设月到月每个月的增长率为，根据题意列出方程即可求解； （）根据（）的结果列出算式解答即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，有理数乘法的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设月到月每个月的增长率为， 由题意得，， 解得，（不合理，舍去）， 答：月到月每个月的增长率为； 【小问2详解】 解：（个）， 答：月该基地能接待个研学团队． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，绕原点逆时针旋转，得到，将向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到． （1）画出和； （2）经旋转后点A的对应点为，经平移后点A的对应点为，是的边上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，请写出点，，的坐标． 【答案】（1） 解：如图，和即为所求； （2），， 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解题的关键． （1）根据旋转和平移的性质作图即可； （2）由图可直接得，点的坐标．设经旋转后点P的对应点为，由旋转的性质可得点的坐标为，再由平移的性质可得点的坐标为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可得，，， 设经旋转后点P的对应点为， 点的坐标为， 平移后点的坐标为． 16. 露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 【答案】[建立模型]；[运用模型]张；[分析计算] 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． [分析计算]设抛物线函数关系式为，根据“且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子”，建立不等式，即可作答． 【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张； [分析计算]依题意，设抛物线函数关系式为， ∵且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子 ∴即刚好经过点点， ∴ ∴经过点 即当时，即 解得． ∴的最小值为． 17. 【问题情境】如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． （1）【猜想证明】如图2，当时，判断四边形的形状并说明理由； （2）如图3，当时，连接，求此时的面积； （3）【能力提升】是否存在，使点三点共线．若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 解：四边形是正方形，理由如下， 如图2， 四边形是矩形， ， 将边绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得，，则四边形是正方形； （2）作于，可得，从而得到，再根据勾股定理求出，利用三角形面积公式计算即可； （3）分两种情况讨论：当点在上时；当点在的延长线上时，根据三角形全等可得，然后根据勾股定理列出方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，作于， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ 在中，， ； 【小问3详解】 存在， ∵四边形是矩形 ， 如图，当点在上时，连接， ， ∴ ，，， ， ， 设，则， 根据旋转的性质得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：； 如图，当点在的延长线上时， 同理，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． （2）已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】（1）①；②， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象性质，二次函数图象平移规律“上加下减”是解题的关键． （1）①把代入，得，即可得出顶点坐标； ②根据平移规律得平移后抛物线解析式为，把代入，求得，则，设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，则，，又，即可得出，解之即可求解． （2）把，代入，得，根据，求得；把代入，得，根据和，求得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：①∵， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为， ②∵将抛物线向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 把代入，得， ∴ ∴ 设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，， 则，， ∴ ∴ ∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6， ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． 【小问2详解】 解：把，代入，得 ， ∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项：1．本试卷共4页，答题时间90分钟，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数（）的部分图象如图，图象过点，下列结论： ①；②；③，④若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 如果一元二次方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条边长，那么这个直角三角形的周长为___________． 10. 二次函数，若，则的取值范围是_____． 11. 一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系表达式为，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为_____秒． 12. 不论自变量x取什么实数，二次函数y＝2x2﹣3x﹣m的值总是正值，你认为m的取值范围是____． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程： （1） （2） 14. 年是全面贯彻落实党的二十大精神的关键之年，各地积极推进“红色文旅乡村振兴”融合发展．某革命老区依托红色资源打造研学基地，月接待研学团队个，随着宣传推广和服务升级，月接待研学团队达到个． （1）假设从月到月，每月接待研学团队数量的增长率相同，求月到月每个月的增长率． （2）按照这个增长率，月该基地能接待多少个研学团队？ 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，绕原点逆时针旋转，得到，将向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到． （1）画出和； （2）经旋转后点A的对应点为，经平移后点A的对应点为，是的边上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，请写出点，，的坐标． 16. 露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 17. 【问题情境】如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． （1）【猜想证明】如图2，当时，判断四边形的形状并说明理由； （2）如图3，当时，连接，求此时的面积； （3）【能力提升】是否存在，使点三点共线．若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由． 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． （2）已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $