精品解析：吉林省长春市力旺实验初级中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

数学试卷2025.11 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一般地，我们把形如（其中是、、为常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的定义逐项判断即可． 本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】A．，是一次函数，故该选项不符合题意； B．，是一次函数，故该选项不符合题意； C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D．，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 2. 小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数．这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数．这个事件是随机事件， 故选：D． 3. 抛物线y=2(x+4)2-3的对称轴是 ( ) A. 直线x=4 B. 直线x=－4 C. 直线x=3 D. 直线x=－3 【答案】B 【解析】 【分析】根据y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h即可得解． 【详解】解：∵抛物线的顶点式方程为y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h， ∴抛物线y=2（x+4）2-3的对称轴是x=-4； 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握y=a（x-h）2+k的性质是解题的关键． 4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据“左加右减，上加下减”的二次函数的平移规律即可解答． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为，即． 故选：A． 5. 如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至，此时测得点B的俯角为，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：由题意，得，，， ∴． 故选：B． 6. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 8. 如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 某校为了解全校720名学生的家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，对八年级某班全体学生家长进行了调查，这种调查方式是___________．（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】本题考查抽样调查和普查的区别．普查是对所有个体进行全面调查，抽样调查是从总体中抽取部分个体进行调查． 全校有720名学生的家长，但只调查了八年级某班全体学生家长，因此属于抽样调查． 【详解】解：由于只调查了八年级某班全体学生家长来推断全校家长的意见，并非对所有家长进行调查，因此这种调查方式是抽样调查． 故答案为：抽样调查． 10. 二次函数的图象与轴交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握求交点的基本方法是解题的关键． 根据题意，求出时的函数值即可得到二次函数图象与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图像与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 11. 如图，在的正方形网格中，______． 【答案】 【解析】 【分析】利用网格特点得到，然后根据正切的定义求解． 【详解】解：如图，在中，，， 所以， 即． 故答案为． 【点睛】本题考查了解直角三角形：灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义计算直角三角形中未知的边和角． 12. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 13. 如图，已知，如果，那么的长为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．由平行线分线段成比例定理可得，进而可得，根据即可求得的长． 【详解】解：， ， ， 又， 解得：， ∴． 故答案为：15． 14. 关于二次函数，以下说法：①函数图象的开口向上；②二次函数的最小值为1；③该函数图象的对称轴为直线；④当时，随的增大而减小；⑤是二次函数图象上一点，若，则或；正确的有___________．（填写正确的序号） 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的图象及性质等．根据二次函数的顶点形式，判断开口方向、对称轴、最值及增减性；对于不等式，求解满足条件的自变量范围． 【详解】解∶∵， ∴， 故图象开口向上，①正确； 函数图象的顶点坐标是，最小值为 5，故②错误； 对称轴为直线 ，故③正确； 当 时，函数值随自变量增大而增大，故④错误； 由 得 ，即 ，解得 或 ，故⑤正确． 故答案为①③⑤． 三、解答题（共10题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，需熟记各特殊角的三角函数值，并正确计算绝对值和有理数运算． （1）运用特殊角的三角函数值计算； （2）运用特殊角的三角函数值计算和绝对值化简． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 16. 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． （1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ； （2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【小问1详解】 解：盒子里装有四张卡片， 从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”，1张为“好”的结果有2种， ∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为：． 17. 如图，在中，为上一点，且． 求证：． 若，，求的长． 【答案】 证明：在和中， ∵，， ∴； 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明△ADC∽△ACB； （2）根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB=AD：AC，即AC2=AB•AD，将数值代入计算即可求出AC的长． 【详解】略 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）；②相似三角形的对应边成比例． 18. 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：） 【答案】乙楼的高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形为矩形，，，，则，，，然后解求出，再由即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，四边形为矩形，，， ∴，，， ∵在中，， ∴， ∴， 答：乙楼的高为． 19. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中确定一点D，连结，使与全等； （2）在图②中的边上确定一点E，连结，使； （3）在图③中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连结，使，且相似比为1∶2． 【答案】（1） 如图①中，点，点，点即为所求； （2） 如图②中，点即为所求； （3） 如图③，点，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定，作出图形即可； （2）根据相似三角形的判定作出图形即可； （3）作出，的中点，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 20. 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 （1）表中m的值为_______； （2）表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 【答案】（1） （2） （3）乙、丁、甲、丙 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数定义即可求解； （2）根据方差计算公式求解，再比较即可； （3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可． 【小问1详解】 解：甲的10次测试成绩排列为：， ∴中位数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：乙的10次测试成绩平均数为：， ∴方差为： ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：丙的平均数， ∴丙的平均数最大，则实力最弱， ∵方差， ∴乙实力最强， ∵丁的测试成绩中位数为， ∴第次成绩和为， ∴前5次测试成绩小于平均数， ∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次， ∴丁比甲强， ∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙， 故答案为：乙、丁、甲、丙． 21. “十一”假期，全国各地的游客慕名来绍兴旅游，鲁迅故里检票口从早上7∶30开始检票，等待检票人数（人）与时间（分钟）的关系如图所示．（图象段是抛物线，段在轴上） （1）请观察图象，7∶30时等待检票的游客有_________人； （2）当时，求与的函数关系式； （3）何时开始，游客可以随到随检？ 【答案】（1） （2） （3）从时，游客可以随到随检 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）观察图象，可得当时间为0时，即可得7∶30时等待检票的游客； （2）根据抛物线的顶点坐标设y与x的函数关系式为，把代入即可得； （3）根据题意，当时， 即，解方程即可得． 【小问1详解】 解：观察图象得，时等待检票的居民有人， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设y与x的函数关系式为， 把代入得，， 解得：， ∴y与x的函数关系式为． 【小问3详解】 解：由（2）知，抛物线的解析式为； 当时，即， 解得：，（不合题意舍去）， ∴7∶30开始65分钟后，即从8：35时，游客可以随到随检． 22. 【感知特例】 （1）如图1，点在直线上，，垂足分别为，点在线段上，且，垂足为． 结论： （请将下列证明过程补充完整） 证明：∵ ∴， ∴，， ∴___________，（同角的余角相等） ∴∽，（两角分别相等的两个三角形相似） ∴___________，（相似三角形的对应边成比例） 即． 【建构模型】 （2）如图2，点在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在中，，点和点分别是线段上的动点，始终满足．设长为，当___________时，有最大值是___________． 【答案】（1），；（2）成立，理由解析；（3）4， 【解析】 【分析】（1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求最大值即可． 【详解】证明：，，， ， ，， ，同角的余角相等 ∴，两角分别相等的两个三角形相似 ，相似三角形的对应边成比例 即． 故答案为：；； （2）成立，理由如下： ∵， 又， ∴， ∴， ， 即． （3）∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵长为，则， ∴， 解得： ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：4，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 23. 如图，在中，，，，为边上一动点(不与点重合)，过点作于，以为边向右作正方形． （1）___________； （2）当时，求的长； （3）当落在上时，求的长； （4）当到的距离等于到的距离的一半时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）或． 【解析】 【分析】（）由勾股定理得，然后通过即可求解； （）由四边形是正方形，则，所以，由（）得，，即，求出即可； （）由四边形是正方形，则，，即，，所以，，则有，设，，则，通过勾股定理得，然后代入，求出即可； （）分当在内部时，当在外部时两种情况，再通过解直角三角形，勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由（）得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当落在上， ∵四边形是正方形， ∴，，即，， ∴，， ∴， 由（）得，，， ∴， 设，，则， ∴， ∴，解得：， ∴； 【小问4详解】 解：如图，当在内部时，过作于点，作于点，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， 由（）得，，， ∴， 设，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵到的距离等于到的距离的一半，即， ∴， 解得：， ∴， 如图，当在外部时，过作于点，作于点，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，， 由（）得，，， ∴， 设，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵到的距离等于到的距离的一半，即， ∴， 解得：， ∴， 综上可得：的长为或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，抛物线与轴正半轴交于点，点是抛物线上一动点，点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）求点的坐标； （3）设抛物线在、两点之间的部分(含、两点)为图象，当图象的最高点与最低点的纵坐标之差为4，求的值； （4）点的坐标为，以线段为对角线构造矩形，轴，当抛物线在矩形内的部分随增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，矩形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求解抛物线的解析式，即可作答． （2）由（1）得，结合抛物线与轴正半轴交于点，进行列式计算，即可作答． （3）充分理解题意，得出该函数的开口向上，对称轴为直线，即抛物线的顶点坐标为，在对称轴的左边，随着的增大而减小；在对称轴的右边，随着的增大而增大，再进行分类讨论，运用二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． （4）充分理解题意，结合点的坐标为，以线段为对角线构造矩形，轴，进行作图，运用分类讨论思想和数形结合思想进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， 则， 解得， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）得， 故该函数的开口向上，对称轴为直线， 则，即抛物线的顶点坐标为， 在对称轴的左边，随着的增大而减小；在对称轴的右边，随着的增大而增大， ∵点是抛物线上一动点，点的横坐标为． ∴， ∵设抛物线在、两点之间的部分(含、两点)为图象，当图象的最高点与最低点的纵坐标之差为4，且； ∴当时，图象的最高点与最低点的纵坐标分别是 则， ∴， 解得（舍去） 当时，图象的最高点与最低点的纵坐标分别是顶点的纵坐标 则， 此种情况舍去； 当时，图象的最高点与最低点的纵坐标分别是顶点的纵坐标 则， ∴， 解得（舍去）， 综上：满足题意的的值为或； 【小问4详解】 解：∵点的坐标为，以线段为对角线构造矩形，轴，且由（3）得， ∴当点在点的左边时，则， 解得 ∴当时，符合抛物线在矩形内的部分随增大而减小， 如图所示： ； 当时，如图所示： 此时二次函数在时，抛物线在矩形内的部分随增大而减小， 二次函数在时，抛物线在矩形内的部分随增大而增大， 故舍去； 当时，则点B与点A重合，此时都在轴上， 不能形成矩形； 故舍去； ∴， 当时，如图所示： 则抛物线不在矩形内的部分， ∴不存在抛物线在矩形内的部分随增大而减小， 故舍去； 当点与A重合时，则 ∴； 当时，如图所示： ∴抛物线在矩形内的部分随增大而减小， 当时，则，如图所示： 此时二次函数在时，抛物线在矩形内的部分随增大而减小， 二次函数在时，抛物线在矩形内的部分随增大而增大， ∴不符合题意， 综上：满足题意的的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷2025.11 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数．这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 3. 抛物线y=2(x+4)2-3的对称轴是 ( ) A. 直线x=4 B. 直线x=－4 C. 直线x=3 D. 直线x=－3 4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 5. 如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至，此时测得点B的俯角为，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 某校为了解全校720名学生的家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，对八年级某班全体学生家长进行了调查，这种调查方式是___________．（填“普查”或“抽样调查”） 10. 二次函数的图象与轴交点坐标是______． 11. 如图，在的正方形网格中，______． 12. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 13. 如图，已知，如果，那么的长为___________． 14. 关于二次函数，以下说法：①函数图象的开口向上；②二次函数的最小值为1；③该函数图象的对称轴为直线；④当时，随的增大而减小；⑤是二次函数图象上一点，若，则或；正确的有___________．（填写正确的序号） 三、解答题（共10题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． （1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ； （2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 17. 如图，在中，为上一点，且． 求证：． 若，，求的长． 18. 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：） 19. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中确定一点D，连结，使与全等； （2）在图②中的边上确定一点E，连结，使； （3）在图③中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连结，使，且相似比为1∶2． 20. 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 （1）表中m的值为_______； （2）表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 21. “十一”假期，全国各地的游客慕名来绍兴旅游，鲁迅故里检票口从早上7∶30开始检票，等待检票人数（人）与时间（分钟）的关系如图所示．（图象段是抛物线，段在轴上） （1）请观察图象，7∶30时等待检票的游客有_________人； （2）当时，求与的函数关系式； （3）何时开始，游客可以随到随检？ 22. 【感知特例】 （1）如图1，点在直线上，，垂足分别为，点在线段上，且，垂足为． 结论： （请将下列证明过程补充完整） 证明：∵ ∴， ∴，， ∴___________，（同角的余角相等） ∴∽，（两角分别相等的两个三角形相似） ∴___________，（相似三角形的对应边成比例） 即． 【建构模型】 （2）如图2，点在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在中，，点和点分别是线段上的动点，始终满足．设长为，当___________时，有最大值是___________． 23. 如图，在中，，，，为边上一动点(不与点重合)，过点作于，以为边向右作正方形． （1）___________； （2）当时，求的长； （3）当落在上时，求的长； （4）当到的距离等于到的距离的一半时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，抛物线与轴正半轴交于点，点是抛物线上一动点，点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）求点的坐标； （3）设抛物线在、两点之间的部分(含、两点)为图象，当图象的最高点与最低点的纵坐标之差为4，求的值； （4）点的坐标为，以线段为对角线构造矩形，轴，当抛物线在矩形内的部分随增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $