3.3.2抛物线的简单几何性质(1) 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质，先复习抛物线定义及标准方程，再以y²=2px为范例探究范围、对称性、顶点、离心率等性质，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过代数推理（如对称性证明）培养数学思维，用表格对比四种抛物线性质体现数学语言的简洁，结合例题变式和待定系数法四步骤，助力学生用数学眼光解决问题。学生能系统掌握知识，教师可直接用于教学，提升效率。

3.3.2 抛物线的简单几何性质(1) KAI的小炸鸡 https://www.58pic.com/newpic/32912639.html 图形 焦点位置 标准方程 焦点坐标 准线方程 x轴的 正半轴上 x轴的 负半轴上 y轴的 正半轴上 y轴的 负半轴上 F(- - - - 抛物线定义：{ M | |MF|=d }． 复习回顾 2 新知探究 下面，我们用抛物线 来研究抛物线的几何性质. 1. 范围 x y F l M H d · · 由抛物线 y2 =2px (p>0) 有 所以抛物线的范围为 新知探究 2. 对称性 x y F l H · 从图形上看，抛物线 关于x轴对称. 关于x轴对称 则(-y)2 = 2px 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 新知探究 3. 顶点 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 在 y2 =2px(p>0)中， 令y=0，则x=0. x y F l M H d · · 即抛物线y2 =2px(p>0)的顶点 (0,0) . 新知探究 4. 离心率 抛物线上的点M与焦点F的距离和它到准线的距离d之比 ，叫做抛物线的离心率，用e表示. x y F l M H d · · 由定义知, 抛物线y2 =2px(p>0)的离心率为e=1. 性质总结 图形 标准方程 范围 对称性 顶点 离心率 x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 例题分析 例3 已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M(2,)，求它的标准方程. 因为抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2, 所以可设它的标准方程为y2=2px (p>0) 因为点M在抛物线上，所以2p2 解得p=2 因此，所求抛物线的标准方程为y2=4x 解： 例题分析 变式 已知抛物线关于坐标轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,)，求它的标准方程. 解： y2=4x 或 x2= y x y M · 分类讨论 补充：经过点的抛物线的标准方程为？ ∵点在第三象限， ∴设所求抛物线的标准方程为或. 若抛物线的标准方程为，则由，解得； 若抛物线的标准方程为，则由，解得. ∴所求抛物线的标准方程为或. 补充练习 方法总结 用待定系数法求抛物线标准方程的4步骤： 设方程：根据焦点位置，设出标准方程； 列方程：根据条件建立关于参数的方程； 解方程：解关于参数的方程，求出(>0)的值； 得问题：根据参数的值，写出所求的标准方程. 求抛物线的标准方程时需注意的3个问题： (1) 把握开口方向与方程间的对应关系. (2) 当抛物线的类型没有确定时，可设方程为或，这样可以减少讨论情况的个数. (3)注意与的几何意义. 练习 书本P136 1.求适合下列条件的抛物线的标准方程 (1)关于x轴对称，并且经过点M(5,-4); (2)关于y轴对称，准线经过点E(5,-5); (3)准线在y轴的右侧，顶点到准线的距离是4; (4)焦点在y轴的负半轴上，经过横坐标为16的点P, 且FP平行于 准线. 新知探究 1. 焦半径 与弦长有关的问题 x y F l M H · · 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径. 由焦半径公式可知： 抛物线的顶点到焦点的距离最小， 且最小值为 焦半径公式： (x0,y0) 练习 书本P133 (2)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于9的点坐标是？ 习题3.3 书本P138 3. 抛物线y2＝2px (p>0)上一点M与焦点F的距离|MF|=2p，求点M的坐标是. 补充： 设抛物线x2＝8y上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ） A.12 B.4 C.6 D.8 　C 新知探究 2. 焦点弦 与弦长有关的问题 x y F l A · · 过抛物线的焦点的线段，叫做抛物线的焦点弦. 焦点弦公式： (x1,y1) · B (x2,y2) H J 推导： 新知探究 2. 焦点弦 与弦长有关的问题 x y F l A H · · 通径：过焦点而垂直于对称轴的弦，称为抛物线的通径. 通径长： · B J 2p 抛物线的通径是所有焦点弦中最短的弦. 2p越大，抛物线张口越大. 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. 性质总结 图形 标准方程 焦半径 焦点弦 通径 新知探究 3. 一般弦长 与弦长有关的问题 x y F l A · · (x1,y1) · B (x2,y2) 1. 两点距离公式： 2. 弦长公式： 前提：直线斜率k存在 (或者消去x) 例题分析 例4 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长. l F A x y B 思考 你能想到哪些解法呢？ 例题分析 例4 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长. l F A x y B 解：由题意可知，焦点，p=2 ∵直线的斜率为1，且过焦点， ∴直线的方程为 设, ，消y得： 由韦达定理，得 =6 ∴ =+p=6+2=8 所以，线段AB的长是8. A′ ┑ B′ ┑ 习题3.3 书本P138 3. 过M(2,0)作斜率为1的直线,交抛物线y2=4x于A,B两点,求|AB|. 解: 习题3.3 书本P138 4. 垂直于轴的直线交抛物线于A，B两点，且，求直线AB的方程. AB: x=3 课堂小结 图形 标准方程 范围 对称性 顶点 离心率 x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 课堂小结 图形 标准方程 焦半径 焦点弦 通径 感谢聆听！ 26 法一: 直接求两点坐标, 两点距离求弦长(运算量一般较大); 法二: 设而不求,运用韦达定理, 由弦长公式求弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义, 用焦点弦公式，再由韦达定理求弦长. $