解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 考点目录 中线问题 角平分线问题 高线问题 内切圆问题 考点一 中线问题 例1.(25-26高三上·吉林长春·月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2, (b+c)(sin C-sin B)=a(sin A-sin B) (①)求角C的值： (2)求a+b的最大值； (3)若AB边上的中线CD长为V5,求ABC的面积 【答案】0写 (2)4 (3)V5 【详解】(l)因为(b+c(sinC-sinB)=a(sinA-sinB), 由正弦定理可得(b+c(c-b)=a(a-b), 整理可得a2+b2-c2=ab, 由余弦定理得：+b2-2=2a6c0sC,所以ab=2abc0sC,所以cosC= 2 又因为Ce0,利，所以C-骨 (2)因为c=2,由正弦定理得sinsin BsinC=5=5, 2 4 4 可得a=店n1,6=方血B, 医为4：8+C=:所以m1m[a-(8+C]=m(8+=sm8+到引 则a+者8+争+m创 3 3sin B+3 2 cos B)=4sin(B+, 6 又0<8<径，则后<8+8g 6 66 当8+后分耳8-号时，a+6取得敏大雀为4 3 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 (3)由题意知：CD=V3,c=2, 由(1)知a2+b2-c2=ab,即4=a2+b2-ab, 因为CD为AB边上的中线，所以2CD=CB+CA, 两边平方得4CD2=CB2+C+2CB.CA=a2+b2+2 abcosC=a2+b2+ab, 所以12=a2+b2+ab, 4=a2+b2-ab 联立方程组 12=a2+6+b'解得2ab=8,所以b=4, 1 例2.(24-25高一下·四川攀枝花期末)已知a,b,C分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 cosCc-2b=0. cosA a (1)求A; (2)若a=6, ①求ABC周长的取值范围； ②若AD为BC边上的中线，AD=4,求ABC的面积. 【答案】（①）A= 3 2)012,18],②75 2 【详解】(1)法一：由正弦定理得sin AcosC+cos Asin C-2 cos Asin B=0. 从而sin(A+C)-2 cos A sin B=0,即sinB-2 cos Asin B=0, 又ABC中sinB>0,cosM=: 1 又A∈(0，，所以A=. 3 a2+b2-c2 法二：由余弦定理得+c- 2ab ,c-2b=0, a 2be 化简得b2+c2-a2=bc, 则os4=6+c2-a2 2bc 2, 又A∈(0，，所以A= 3 (2)(i)法：由正弦定理得b。=c-a=45, sin BsinC-sin A 2 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 4sin B.c=4sinC.C=-B,c=4sin(2B). 3 3 ABC的周长为a+b+c=6+4V5sinB+sin(2-B别 3 =6+4w6sm8+5 cos B) =6+12sin(B+. 61 A B D C 又0<B<2, 6 6 ·ABC周长的取值范围是12,18] 法二：由余弦定理得62=b2+c2-2 be cos A=b2+c2-bc, 所以(b+c)2=36+3bc. besb+c)b+c)=36+3bcs3c) 4 4 ∴(b+c)2≤122三b+c≤12（当且仅当b=c=6时取得等号）. 又rb+c>a=6, ·ABC周长的取值范围是(12,18]. (i在ABC中，由余弦定理得cosA=+c-6=,即6+c-36:bc. 2bc 2 在a1DB中，由余弦定理得cos∠ADB=3+4-c 2×3×4 在△1DC中，由余弦定理得cos∠ADC=3+4- 2×3×4 cos ZADB =-cos ZADC,:b2+c2=50,bc=14. 所以bc=14，SMABC= ca45 2 例3.(25-26高二上·浙江衢州期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 (sinC-sinA)(c+a)=(c-b)sinB (I)求角A的正弦值； (2)若AB=4,AC=6,BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点Q,求LMQN的余弦值 【答案】(05 2 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 (2)-2V247 247 【详粉】)smc-m4lec+o=e-小sm,南正孩定gc等c-dle+o小=e-6 .c2-a2=bc-b2.a2=b2+c2-bc. 又由a2=b2+c2-2 becos/4.cosA=1 2 因为4e(0,,所以sin4=-cosA=5 即角A的正弦值为 2 )+C).BN--AB+C :-以：4d-丽+元+亚-6+6+2x46写 =19, 丽-丽号c-丽C-元-6+9-46-而 2 W-N-+4cf-B+C-丽-6ac+}ac=-8-}x4x6×+9=-2. 4 4 2 AM.BN -2 所以cos AM,BN 2W247 AM BN √19x13 =-247 由图可知AM,BN的夹角等于QM,QN的夹角，即∠MQN 所以LMQN的余弦值为- 2W247 247 M 例4.(25-26高三上浙江开学考试)在ABC中，角4，B,C所对的边分别为a,b,,且满足a2c-b cosA cosB (1)求角A; (2)若BC=√2，BC边中线AD长为1，求ABC的面积. 【答案】()A= 3 R 4 【详解】1)由0=2C-中可知，ac0sB=2c05A-bc034, cosA cosB sinAcosB 2sinCcosA-sinBcos4,sin(A+B)=2sinCcosA, 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 又因为sinA+B）=sin(x-C)=sinC, 所以caM=分A=背 1 (2)由AD=(AB+AC), 两边平方得1-6+c2+2ccos4)-2+e2+hd) 又a2=b2+c2-2 becosA, 所以2=+c2-c,解得bc=l,所以Sc=)& 4 B 变式1.(25-26高三上北京丰台期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bC=b2+c2-a2=4 (I)求角A的大小及ABC的面积； (2)已知AC边上的中线BD=√5，求三角形ABD的周长 【答案】山角A为写。48C的面积为5： (2)3+5 详解】D由bc=B+C2a=4,得cosA=c0=城=且AE0,, 所以4-骨5-bc细A-分4 (2)因AC边上的中线BD=√5， 在△4BD中，BD=AB+AD2-2AB:AD:c0sA=AB+(54C-2AB4C-cosA, 2 即3=c2+b2-1b bc,又bc=4, 42 所以4c2+b2=20,消去b,4c2+(}=20, 即c4-5c2+4=0,解得c2=1或c2=4,所以c=1或c=2 当c=1时，b=4,△ABD的周长c+2b+BD=1+2+V5=3+5: 2 当c=2时，6=2，△ABD的周长c+b+BD=2+1+=3+5: 2 故三角形ABD的周长3+√3 变式2.(25-26高三上·天津滨海新·阶段练习)设ABC的内角A、B、C的对边分别为α、b、c,已知 5 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 bsin C+3ccos B=3a (1)求角C的大小： (2)若c=√2a,求cos2A-C: ⑧若c=2,血4n8=号求48边上中线CT的长 【答案】0号 (21+35 8 (3)2 【详解】(1)由bsin C+√3 c cos B=V3a, sin Bsin C+3sin Ccos B=3sin 4=3sin(B+C) =3 sin B cos C+3 sin C cos B, sin B sin C=3 sin B cosC, 又B∈(0，π，故sinB≠0，则sinC=V3cosC, 故amC=5,又Ce0,放C-骨 2)由e=V5a,则snC=sn4,则6m4-smC_sni_6, √2√24 由c=√2a,则A<C,故cosA>0,则cosA= 6 4 cos(24-C)=cos 2AcosC+sin 2Asin C=(2cos2 4-1).cosC+2sin Acos Asin C 4428 a b _c2V246 (3)sin 4 sin B sinC 33, 2 则ab=4v6 ×2=4, 3 3 -sin B=32 3 38 c2=a2+b2-2 abcosC=a2+b2-4=8,则a2+b2=12, 又c7-a+c@), 6 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 则c可=cd+c甙+2c☑c团osc6+a+ab), -2+4-4,故CT=2 变式3.(24-25高一下·云南曲靖期末)在ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知 a=(c-bcos A,3),b=(asin B,3)Ha//b. (I)求角B; (②)若b=√5，△ABC的周长为3√5，D为BC的中点.求中线AD的长度， 【答案】08=行： a号 【详解】1)由题设-bcos4-5,可得V5c-56cosA=asin, asin B 3 由正弦边角关系知√3sinC-√5 cos Asin B=sin Asin B, 所以√3sin(A+B)-√3 cos Asin B=sin Asin B, 即V3 sin AcosB+√3 cos Asin B-√3 cos Asin B=sin Asin B, 所以√5 sin Acos B=sin Asin B,而sinA≠0，故tanB=√5， 由0<B<,则8=号： (2)由题设a+b+c=a+c+√5=3V5,则a+c=25, 又4D=(aB+40,则D=(B+2B.4C+4C)月 所以4AD={c2+2 becos+b), 由cas4=6+-d,osB=g+c-公 则(a+c)2-3ac=3,可得ac=3, 2be 2ac 2 综上，a=e=5,所以4-26+2--a0-号 9 变式4.(24-25高一下·福建福州期末)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c满足 V5b-csin A=√5 acosC. (1)求角A的大小： (②)若a=2√5，BC边上的中线AM的长为√万，求ABC的面积 【答案】()A= 3 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 (2)2√3 【详解】(1)：V3b-csin A=√3 acosC, :由正弦定理得√3sinB-sin Csin A=√3 sin AcosC, .sin B=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C, .3 sin A cosC+3 cos Asin C-sin C sin 4=3 sin Acos C, 3cos Asin C-sin Csin 4=0,sin C(cos 4-sin )=0, :Ce(0,π，sinC>0,V3cosA=sinA, :anA=si4=5,:A= cos 4 3 (2)解法一： :a=2√3，M为BC中点，则BM=CM=√3， 由(1)知A= 3 ·由余弦定理得cosA-+c-a_b+c-12=号符， 2bc2bc 2 b2+c2=12+bc, :在△AMB中，coS∠AMB=BM2+AM2-AB23+7-c2 2BM×AM 2xV3xV万' 在aAMC中，cos∠AMC=CM2+AM2-AC23+7-b2 2CM×AM 2xV3x√万， :∠AMB+LAMC=元， :cos∠AMB+cos∠AMC=0, :20-b2+c2）=20-(12+bC=0, 解得：bc=8, :48c的面凤为5msd-分8x5-25: 2 解法二：：M为BC的中点，则2AM=AC+AB, MCB+2AC+2becos3 又AM=√7，所以b2+c2+bc=28, 由余弦定理可得a=+e2-2bcos骨，即B+c2-bc=12, 解得：bc=8, 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 ：48c的面积为5m-osn4×8x5-25 2 2 0 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 考点二 角平分线问题 3 例1.(2025浙江一模)己知ABC的角A,B,C的对边是a,b,c,a2=b2+bc且cosB= 4 (1)求a:b:c; (②)若AM为ABC的中线，AD为ABC的角平分线，求4M AD 【答案】(1)a:b:c=6:4:5 (②)4M-3V46 AD 20 【详解】(1)在ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2 becos A,又a2=b+bc, 所以b2+bc=b2+c2-2bcc0sA,所以bc=c2-2bcc0sA, 所以b=c-2 b cos A,由正弦定理可得sinB=sinC-2 sin B cos A, 所以sinB=sin(A+B)-2 sin Bcos A,所以sinB=sin AcosB-sin B cosA, 所以sinB=sin(A-B)」 因为0<A<π，0<B<元，所以-π<A-B<π， 所以B=A-B或B+A-B=π（舍去），所以A=2B. 又因为coB=子，所以snB=-csB=万 4 因为sinB= 4 ,sind =sin2B-2sinBeos cos A=cos 2B =2cos2 B-1=, 8 sinc=sin(4+B)-sin Acos B+cos4sinB 8x4+8×4=16 a:b:c=sin A sin B:sinC=6:4:5. 法二：由余弦定理得62=a2+c2-2 ac cos B,所以6=a2+c2-3a 与d=F+bc联立得，b+c=3a,解得a=36.c=b,故a:b:c=6:4:5 3 4 (2)不妨设a=6,则b=4,c=5, 在s4wB中，e=wj2x4neos乙Aw8. 所以6+2=702+24M2,16+25=18+24M2,所以4M-4 由A=2B,AD为ABC的角平分线，所以∠BAD=∠B,所以AD=BD, o解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 考点目录 中线问题 角平分线问题 高线问题 内切圆问题 考点一 中线问题 例1.(25-26高三上·吉林长春·月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2, (b+c)(sin C-sin B)=a(sin A-sin B) (1)求角C的值： (2)求a+b的最大值； (3)若AB边上的中线CD长为V5,求ABC的面积 例2.(24-25高一下四川攀枝花期末)已知a,b,C分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 cosCc-2b=0. cos Aa (1)求A; (2)若a=6, ①求ABC周长的取值范围： ②若AD为BC边上的中线，AD=4,求ABC的面积. 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 例3.(25-26高二上·浙江衢州期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 (sinC-sinA)(c+a)=(c-b)sinB (I)求角A的正弦值； (2)若AB=4,AC=6,BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点Q,求∠MQN的余弦值. 例4.(25-26高三上·浙江~开学考试)在ABC中，角4，B,C所对的边分别为a,b,c,且满足0=2C-b cosA cosB (1)求角A: (2)若BC=√2，BC边中线AD长为1，求ABC的面积. 2 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 变式1.(25-26高三上北京丰台期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bc=b2+c2-a2=4 (1)求角A的大小及ABC的面积； (2)已知AC边上的中线BD=√，求三角形ABD的周长 变式2.(25-26高三上·天津滨海新·阶段练习)设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,己知 bsin C+ccos B=3a (1)求角C的大小： (2)若c=√2a,求c0s2A-C); 同若c=2反，m4sn8-名求4B边上中线cT的长 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 变式3.(24-25高一下·云南曲靖·期末)在ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为4，b,c,已知 a=(c-bcos A,√5)，b=(a sin B,3)且a/b (1)求角B; (2)若b=√5，△ABC的周长为3√5，D为BC的中点.求中线AD的长度 变式4.(24-25高一下·福建福州期末)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c满足 3b-csin A=3a cosC. (1)求角A的大小： (2)若a=2√5，BC边上的中线AM的长为√7，求ABC的面积. 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 考点二 角平分线问题 3 例1.(2025浙江一模)已知ABC的角A,B,C的对边是a,b,c,a2=b2+bc且cosB= (1)求a:b:c; (2)若AM为ABC的中线，AD为ABC的角平分线，求 D 例2.（25-26高三上山东临沂·期中)记ABC的内角A、B、C的对边分别为Q、b、C,已知 a(3sin B+cosB)=b+c (1)求A; (2)设D为边BC上一点， (i)若D为BC中点，a=2√5，ABC的面积为2√5，求AD的长度； (ⅱ)若AD为锐角ABC的角平分线，a=4,求BD长度的取值范围 5 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 例3.(25-26高三上河北月考)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b-a=2 ccos A. (1)求C; (2)若a+b=V3,∠ACB的角平分线交AB于点D (i)求CD的最大值； (i)求L+L的最小值 AD BD 例4.(2526高三上-江苏连云港期中）在4C中，4B=2,sc=1,2sn4=V6sm+C (1)求C; (2)求ABC的角平分线CD的长. 6 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 变式1.(25-26高三上·云南昭通阶段练习)己知ABC的面积为2√5，O为边BC的中点，角C的角平分线交AB于 点D,0A=2,0A.0B=-2. (1)求角C的大小： (2)求CD的长度. 变式2.(25-26高三上广东阶段练习)ABC中、角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知 4a sin A=bsin C cos A+csin Acos B. )求nA的值， sinC (2)B的角平分线BD交AC于D, (i)证明：BD2=BA·BC-DA·DC; (ii)若a=1,求BD·AC的最大值. 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 变式3.(25-26高二上海南阶段练习)在ABC中，角A,，B,C的对边分别为a,b,C,己知 (2c+acosB+bcosA=0,点M是AC上的动点 (1)求角B的大小 (2)若BM是∠ABC的角平分线，a=4,c=5,求BM的长度 (3)若b=4,点M满足MC=3AM,BM=1,求△BMC的面积； 变式4.(2025·安徽一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2 acosB=b+2c,点D是BC上的一动 点，且AD=1: (1)求角A的大小： ②若40为C边上的底，且a=c,求48C的面积： (3)若AD为∠BAC的角平分线，求2 asinA+3 bsinB+3 csinC的最小值. P 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 考点三 高线问题 例1.2526高三上福建龙岩期中)已知函数f=smor+ (o>0满足f(x)≤f 2π 3 恒成立，且相邻两对 称转之何的距离不小于，设x0)为曲线y=八的对称中心 (1)求： (2)若x∈(-π，π，求f(x的取值范围； (3)记ABC的角A,B,C对应的边分别为a,b,C,若cosA=cosx。,b+c=2,求BC边上的高AD长的最大值 例2.(25-26高二上·北京·期中)在ABC中，bsinC=-ccosA )若2+c2=a2-1,B=君，求A和ABC的面积 (2)若a=6,再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在，求AC边上的高. 条件①：acosB=3√2条件②：b=c条件③：a=V5 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 9 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、内切圆问题专项训练 例3.(25-26高二上云南昆明月考)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 asinc-V5 ocoC=bcos2C,a+b=5,A4BC的外接圆半径为4y5 3 (I)求sinC: (2)求ABC的边AB上的高h 例4.(25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知V3c=asin B+V3 a cos B (1)求A的值： (2)点D是边BC上的一动点（包括端点）· ①若1D为C边上的商，且D=La=5c,求48C的月长。 ②若AD=2,DC=2BD,a=3,求ABC的面积 ⊙