解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点目录 中线问题 角平分线问题 高线问题 考点一 中线问题 例1.(2526商三上-江苏南通月考)在A8C中，角4，B,C的对边分别为a,,c已知2asn(C+爱=b+c (1)求生 ②若a=Vi9,b>c,ABC的面积为55 2 ①求b,c ②设BC,AC边上的两条中线AD,BE相交于点O,求cos∠AOB. 【答案】()A= 3 2)0b=5,c=2;②4 91 【详解】(1)由2asin(C+乃)=b+c,可得acosC+V5 asinC-b-c=0, 6 由正弦定理得sinAcosC+√3 sinAsinC-sinB-sinC=0. 因为sinB=sinπ-A-C)=sinA+C)=sinAcosC+cosAsinC, 所以√3 sinAsinC-cosAsinC-sinC=0. 由于sinC0,则sin4-cos4-1=0,所以m4-爱-号 66,故A= 又0<A<元，则A-”=亚， 3 (2)①由题意，ABC的面积S=bcsin4= 5V 3,可得bc=10①， 2 由余弦定理得，a2=b2+c2-2 bccosA,且a=V19,所以b2+c2=29, 则(b+c)2=b2+c2+2bc=29+2×10=49,因为b+c>0,所以b+c=7②， 因为b>c,联立①和②解得，b=5,c=2. ②因为D,E分别是BC,AC的中点，O为AD,BE的交点， 所以A0=)B+AC),BE=E-AB=)4C-B, 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 因为而-死=+4c)}4c-丽-4丽4c-+号4c-4c 4 、 4x2x5cosπ-1 22+x52=3, 32 4 -+2c+c)-,网-4c-衣+石- 所以cos(AD,BE)= 491 √39√2191， 2+ 2 由题意，∠A0B为锐角，则cos∠AOB=cos(D,BE)=4V阿 91 例2.(25-26高二上贵州遵义·月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C,且b2+c2-a2=bc (1)求A; (2)若BC边上的中线为AD,AD=√9，a=2√7，求b+c的值. 【答案】()4= 39 (2)10. 【详解】1)在ABC中，由62+c2-a=bc及余弦定理，得cosA=+c-d=, 2bc 2 而0<A<元，所以A=3 (2)由AD为BC边上的中线，得AB+AC=2AD,两边平方得B+AC+2AB.AC=4AD, 即e2+b2+bc=76,而b2+c2-a2=bc,a=27,则c2+b2-bc=28 因此bc=24,所以b+c=Vb+c2=V2+c2+bc+bc=√76+24=10. 例3.(24-25高三上福建厦门月考)己知ABC的内角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,a=4,b=8,，角C为锐 角，己知ABC的面积为4v万 (1)求c: (2)若CD为AB上的中线，求CD的长度， 【答案】(1)c=4V2 (2)4√2 【详解】(1)由48C的面积为4万可得：2hsi血C=47, 1 因为a=4,6=8,解得：i血C=2 4 ，73 由角C为锐角得cosC=V1-sinC= V164 2 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 故c2=a2+b2-2 abcosC=16+64-2×4×8×2-32,解得c=45 4 (2)因为CD为AB上的中线，所以C而=，(CA+CB, 所以cD=4Cd+C+2 CCBcos∠4cB +d+2 2abeos4∠c8)-=464+16+2x4x8x=32. 解得：CD=42,所以CD的长度为42 1 例4.(24-25高三上·浙江·开学考试)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 csinA=3 asinB,cosA= 3 (1)证明：a=c; (2)若b=√2，求BC边上中线AD的长 【答案】（①）证明见解析 ②AD=V34 4 【详解】(1)证明：因为2 esinA=3 asin B,由正弦定理得，2ca=3ab,所以c=3b, 2 因为cos4=写，由余弦定理，c0s4=+c2-a_， 1 2bc 31 代入c=b得，69-a 3 4 2 362 1,化简得a=。b, 2 3 所以a=c,即证； 1 (2)因为a=c,所以A=C,所以cosC=cosA 3,=32 2 在△ACD中， 由余弦定理，4D2=C4+CD2-2CA4×CDeosc=2+?-2xV2×3V5×{-7 438 故AD=V34 变式1.(2025·安徽芜湖模拟预测)已知函数f(y=2sinx-sinx+62 +πV3 )求/（在0上的值城： 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 ②已知能角6c中，C=万，屏，C=-3,且利-9.求5C边上的中线r的长 【答案】（①） 2© 2 【详解】I)f树=2 2sinxsin+-5-5snx+sin cos- 5 62 V3(1-cos 2x)tsin2s-V3-7sin2s-V3 2 -cos2x 2 因为r 所以2x- π「元2π] 33] 所以 2 ssin(-)s1. 所以f(x在 上的值域为 (2)记ABC的角A,B,C所对的边为a,b,c, 因为8c为微角三角影，所以40引24-骨（香） 以八-24引5所以2号串4号 因为B1AC=-.4C=ccos智-3，所以bc=6, 在ABC中，由余弦定理得7=b2+c2-2bcos5,所以B+c2-13, 因为4T为BC边上的中线，所以7-（丽+AC, 所以-(+aC-a6+ac+2a6ac)-c2+6+bd-9, 所以a7- B 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 变式2.(24-25高三上云南月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bcosA+√3 bsinA=a+c· (1)求角B; (②)若ABC的中线BD=2,求ABC面积的最大值. 【答案】(1)B= 3 245 3 【详解】(1)因为bcos A+√3 bsin A=a+c, 由正弦定理可得sinBcosA+√3 sinBsinA=sinA+sinC, 在ABC中，sinC=sin(M+B)=sinAcosB+cosAsinB,sinA≠0， sinBcos4+3sinBsinA=sinA+sinAcosB cosAsinB, 整理得V5sinB-cosB=2simB-T=1, 6 所以n}分因为5e0,8君司) 所以8 3 (2)因为ABC的中线BD=2,B= 因为BD=(BA+BC), BDP=(BA+BC+2BA.BC)=(e+a'+2accosB)=(a'+c+ae), 即4≥ac+o0,可得ac≤5，当且仅当a=e-45时取等号， 3 所以ABC的面积S=acsin≤}x6x5_45, 2323 所以ABC面积的最大值为4V5 变式3.2425商三上家通州月考)在48C中，角4，B,C所对的边为，bc8=行，b= (1)求sinC; (2)若c=1,D为AC边上的中点，求边长a及中线BD的长. 【答案】①2I 14 2②a=2,BD=5 2 【详解】(1)因为B=,b=7c, 5 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 在ABC中，由正弦定理得b=c sin B sinC' 所以sinc=sinB-V5_V2i √72万14 (2)因为c=1,b=√7c,所以b=√7， 在ABC中，B-号c-16=万， 根据余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B得7=1+a2-2×a× 整理得a2+a-6=0,解得a=2或a=-3（舍)， 因为D为AC中点，故BD=。(BA+BC), 1 2 BA+BC BA+BC BA'+BC'+2BA.BC 12+22+2×1×2× BD= 2 2 2 2 2 故中线BD=目 变式4.(24-25高三上·湖南月考)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2 acosC+c=2b, (1)求A; (2)若cosB=三，BC边的中线是AD,求tan∠BAD. 【答案】(1)A=60° ②9 【详解】(1)由2 a cosC+c=2b及正弦定理， 2 sin A cos C sin C 2 sin B, 2sin AcosC+sin C=2sin(A+C)=2sin Acos C+2cos Asin C, aos=分4ea, A=60°. (2)由cosB=号得snB-45 7 sin C-sin(60+)sin6c0n5 14 设∠BAD=0, ~△ABD的面积等于△ADC的面积， 1 5AB·ADsin0=5AC·ADsin60°-O), 即4-m(60-0,又：4g-snC- AC sine AC sin B8' 6 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 .sim(60°-0_5 即5sin0=8sin60°-0)， sin0 8 解得tan0= 4v5 9 所以tan∠BAD=4 9 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点二 角平分线问题 例1.202s四川德一)模记ABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,←，已知5 5ainR=2hco心，D为 BC中点，且AD-万，∠BAC的角平分线交BC于点E,且AE-2 2 3 (1)求A; (2)求a 【答案】04-月 (2)a=√5 【详解】1D因为5asn8=2冰cos号结合正弦定莲可得，5in4sn8=2sin8cos, 因为B∈(0，x,所以sinB≠0，所以V3sinA=2cos24 2,则2V5 Ssin 4co1=2cos4 2 因为4小，所引则a0,餐m号54 23 3 ,4E=25 (2)因为AE是∠BAC的角平分线，且Sc=SABE+SC,A=, 3 所以csnA-bsmE+cs如号B,得e=b+el, 1 2 2 2 2 a 在△ACD中利用余弦定理得 +AD2-b2 Os∠ADC= 2 a·AD 12 a 在△ABD中利用余弦定理得 +AD2-c2 cOS∠ADB= a·AD 因为os∠ADC+eo0s∠ADB=0,AD=万，所以+7 -+2=b2+c2, 2 22 2081-, a27 则在△ACB中利用余弦定理得1 =cos4=b'+e2-a2 2 2bc 2bc 因为bc=2b+c,所以bc2=4B2+c2+2bc, 9 所以(7-a}-16(g+7 -+。+7-a2 922 解得9a-118a2+273=0,解得a:5或 3 又7-a2=2c>0,解得a<V万<3<9 ,于是a=5 3 例2.(25-26高三上安徽合肥·月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ccosB+√5 csinB=a+b (1)求角C; 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 (2)已知c=√5，角C的角平分线交AB于D点，求CD长度的最大值 【答案】0写 【详解】(1)：ccosB+V3 csin B=a+b, .sinCcosB+3sinCsinB sinA+sinB=sin(B+C)+sinB sinBcosC+cosBsinC+sinB, .V3 sinCsinB=sinBcosC+sinB,又sinB≠0， .3sinC cosC+1, 所以2 21 sinc-cosc =1, 即sinc-}=1, 62 0<C<t,元Cg<6，心C-→Cπ 6 66 3 (2)由于SAARC=S△MCn+S△BCD, C4-CB-sinC4CD.sinCD-CB-sin 2 32 62 6 basbCD.snCD.ai 2 32 62 6’ ∴v5ab=b+a)-cD→cD=5ab a+b a b 3 由正弦定理：sind sinB sinC sin =2→a=2sin4,b=2sinB, 3 因为C-骨所以sn8=sm(4+=s4+引 则V5ab-4V3sin4sinB 2W5sin4sinA+T） 2√3sin4 in4+ -coSA 3 2 a+b 2(sinA+sinB) sinA+smA+;】 sinA+ sin4+V 2c04 1-cos24 3 sin2A+3sinAcos4 2 2 sin24 2+sin 24- 6 3 1 sinA+。cosA 2 2 sinA+r》 6 sin+ 6 令A+刀=0，则2A-亚=20-正，亚<0<5π 6 6 2’6 6 0 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 1 <sin0≤1， 224 1 6 +sim29- 1 2 2 -c0s20 1 2sin- sinA+π sin0 sin 2sin0 6 令1=sin0,由解析式可知y=21-在 单调递增， 21 13 所以0<21 2i2 1 3 ∴.0<2sin0- 2sine2' 即CD长度的最大值为， 例3.(25-26高二上陕西西安·期中)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知 4asinA bsinCcosA+csinAcosB ()求C的值： (②)∠ABC的角平分线交AC于点D ①证明：BD2=2BC2-2DC2; ②若a=2,求AC.BD的最大值. 【答案】(1)2 (2)①证明见解析；②6√2. 【详解】(1)在ABC中，由正弦定理及4 asinA=bsinCcosA+csinAcosB, 4sin24=sinBsinCcos4+sinCsinAcosB 4sin2A sinC(sinBcosA sinAcosB) 4sin2A=sinCsin(A+B)4sin24=sinCsin(-C) 台4sin2A=sin2C台4a2=c2台C=2 (2)①∠ABC的角平分线交4C于点D, ADS.ABD=2 AB·BDsin∠ABD DC S.CBD AB=C=2, 5BC:BDsin∠CBD BC0 即AB=2BC,AD=2DC,由LADB+∠CDB=π，得cosZADB+c0 sLCDB=0, 由余弦定理得： BD:+AD:-AB2 BD+CDi-CB=0, 2BD·AD 2BD·CD 则BD2+4CD2-4BC2+2(BD2+CD2-BC2)=0,所以BD2=2BC2-2DC2 ②由0得4C.BD=3CD2BC2-2DC-32BC-DC)-DC≤3N5.BC =6V2, 10解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点目录 中线问题 角平分线问题 高线问题 考点一 中线问题 例1.(2526商三上-江苏南通月考)在48C中，角4，B,C的对边分别为a,,c已知2asn(C+爱=b+c (1)求4 (②若a=V9,b>c,ABC的面积为55 2 ①求b,c ②设BC,AC边上的两条中线AD,BE相交于点O,求cos∠AOB. 例2.(25-26高二上贵州遵义·月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C,且b2+c2-a2=bc. (1)求A; (2)若BC边上的中线为AD,AD=19,a=2√7，求b+c的值. 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 例3.(24-25高三上·福建厦门月考)已知ABC的内角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,a=4,b=8，,角C为锐 角，已知ABC的面积为4√7 (1)求C; (2)若CD为AB上的中线，求CD的长度. 1 例4.(24-25高三上·浙江开学考试)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 csinA=3 asinB,cosA=。 3 (I)证明：a=c； (2)若b=√2，求BC边上中线AD的长 2 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 变式1.（2025安微笼湖枝拟预测D已知函数62s加r·5加x+-号 (求f在[Q]上的值城： ②已知锐角4BC中，8C=万，A4C=-3,且A)=5,求BC边上的中线4r的长 2 变式2.(24-25高三上·云南月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bcosA+V3 bsinA=a+c· (1)求角B; (2)若ABC的中线BD=2,求ABC面积的最大值. 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 变式3.2425高三上：北京通州月考)在4BC中，角4，A,C所西的题为4，b,CB红，b三8 (I)求sinC; (②)若c=1,D为AC边上的中点，求边长a及中线BD的长 变式4.(24-25高三上湖南月考)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知2 a cosC+c=2b. (1)求A; (2)若cosB=号，BC边的中线是AD,求1an∠BAD. 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点二 角平分线问题 例1.2025-四川德一模)记48C的内角4,8，C的对边分别为4b,,已知5 BainB=2bcos子，D为 BC中点，且AD-万，∠BAC的角平分线交BC于点E,且AE-2 2 3 (1)求A: (2)求a 例2.(25-26高三上·安徽合肥·月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ccosB+√3 csinB=a+b (1)求角C; (②)已知c=√5，角C的角平分线交AB于D点，求CD长度的最大值 5 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 例3.(25-26高二上陕西西安：期中)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 4asinA bsinCcosA+csinAcosB (①)求C的值： (2)∠ABC的角平分线交AC于点D ①证明：BD2=2BC2-2DC2; ②若a=2,求AC·BD的最大值. 例4.(2025高二上·贵州学业考试)记ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、C,A= 3,a=V万 )若C=,求c (2)求bc的最大值； 3)若内角A的角平分线4E交边BC于点E,且AE33,求ABC的面积 6 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 变式1.(2425高三上福建厦门期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,C,ABC的面积记为S ，已知3 esinC+_S -=0,sinB =3sinC. acosA (1)求A; (2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求AD的长 变式2.(25-26高二上广东广州期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C已知asinB=√3 bcosA, c-2b=1,a=√万 (I)分别求出角A,边C的长度； (2)求A的角平分线AD长度 > 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 变式3.(24-25高三上·山东德州期中)已知ABC中的三个角A,B,C的对边分别为4，b,c,且满足 a sin B=3bcos A. (1)求A; (2)若A的角平分线AD交BC于D,AD=2,求ABC面积的最小值. 变式4.(24-25高一下·江苏苏州·期中)法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的 拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边 三角形的顶点，如图，ABC的内角A,B,C的对边分别为ahc,Y5 bsind+acos=c,以48，BC,AC为边向外作 3 三个等边三角形，其中心分别为D,E,F, (1)求角A; (2)若a=3,且△DEF的周长为9，求AD.AB+AF.AC; (⊙若：DEF的面积为25，求ABC的角平分线4W的最天值 6 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点三 高线问题 己上安徽月考)设4BC的内角4，B.C的对边分别为4,6，c,且a (1)求cosB的值： 2法48C的面积为5，a+c=5,求边4C上的高。 例2.(2526高三上广西贺州月考)在4BC中，内角4，B,C的对边分别为a6c,已知co4上,asinh-3S 2 (1)求b的值： (2)若ABC的面积为35，求BC边上的高. 0 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 例3.(25-26高二上广东月考)已知ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,C,且ABC的面积S= abc 28 (I)求ABC的外接圆半径； (2)若a=3V5,b=5V5,且B为锐角，求ABC边AC上的高. 变式1.(25-26高二上·云南曲靖·期中)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为4，b,c,己知 (a-b+c)(sin A+sin B+sinC)=(2+3)csin A. (I)求角B的大小： (2)若b=2,记AC边上的高为h,求h的最大值. o