期末总复习04全等模型与常见辅助线 讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学讲义聚焦八年级全等模型与常见辅助线，通过表格对比、模型图解析系统梳理知识体系，涵盖平移、翻折、旋转等全等变换及手拉手、一线三等角、倍长中线、截长补短五大核心模型，清晰呈现各模型特征与内在逻辑联系。 讲义亮点在于“模型-例题-变式”三阶练习设计，如手拉手模型通过等边三角形旋转证明线段关系，培养推理能力，倍长中线以“8字全等”口诀强化辅助线添加技巧，兼顾基础与拔高。课后分层练习覆盖选择、解答题，助力学生自主复习，为教师精准教学提供系统资源。

八年级数学期末总复习讲义 第4课 全等模型与常见辅助线 知识点梳理 知识点01——常见的全等变换：平移、翻折、旋转 知识点02——手拉手模型（缩放+旋转） 知识点03——一线三等角模型（一线三垂直） 知识点04——倍长中线 知识点05——截长补短证明线段的和与差 知识点01 常见的全等变换 常见的全等变换主要有：平移、翻折、旋转，辨析这些图形是识别全等的基本能力，要在练习过程中不断地培养“识图”能力。 1.平移 变换类型 全等模型 解题策略 平移 △ABC≌DEF BE+EC=EC+CFBE=CF 1.翻折 有公共边BC=BC 有公共边BC=BC 有叠角∠ACE+∠ECB=∠DCB+∠ECB 3.旋转 旋转任意度数 旋转90o 旋转60o 两个等腰△CAD,△CEB 两个等腰直角△CAD,△CEB 两个等边△CAD,△CEB 例题讲解 例1（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，两个全等直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，平移距离为6，则的面积为（   ） A．27 B．40 C．42 D．48 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，全等三角形的性质，首先由平移的性质知，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】由平移的性质知， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以的面积为． 故选A． 变式训练1.变式训练3.（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，，，图中全等三角形的对数是（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；注意：从已知条件开始寻找，从由易到难，逐个验证，做到不重不漏． 先利用证明，，得到，再用证明即可． 【详解】解：，，， ， ． ，，， ∴． 又∵，，， ． ∴图中共有3对全等三角形． 故选：C． 变式训练2.（24-25八年级上·山东省淄博·期中）【问题呈现】：我们知道，正方形的四个角都是直角，四条边都相等．如图（1），小明在正方形的边上取一动点，在的延长线上取一动点，使，并连接，．小明发现：线段，之间存在数量关系，请直接写出线段，之间的数量关系：______． 【问题探索】：如图（2），小明在【问题呈现】的条件下，又在正方形的边上取了该边的中点，并连接，． 小明又发现：当时，线段，，之间也存在数量关系．请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． [问题呈现]根据正方形的性质得出，，利用可证明，根据全等三角形的性质得出，即可得答案； [问题探索]根据全等三角形的性质可得，，利用角的和差关系得出，利用可证明，即可得出，根据线段的和差关系即可得答案； [问题探索]解：（1），理由如下： 由[问题呈现]可知：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式训练3.（24-25八年级上·河南周口·期末）小红用两个全等的等腰和等腰设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，它们关于直线l对称，点E，F分别是底边，的中点，且，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．当时，等腰和等腰均为等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等；根据轴对称图形的性质可得，从而得到，可判断A；根据等腰三角形的性质判断B；过点O作，则，根据题意可得，，再由，可得，从而得到，然后根据轴对称图形的性质可得，由此判断C；根据求出，由此判断D． 【详解】解：∵它们关于直线对称， ∴， ∴， ∵点E，F分别是底边的中点， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵等腰和等腰， ∴， ∴， ∵ ∴，故选项B正确，不符合题意； 如图，过点O作，则， ∵点E，F分别是底边的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵它们关于直线对称， ∴， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； 当时，， ∴ ∴等腰和等腰均不是等边三角形，故选项D错误，符合题意； 故选：D 知识点02 手拉手图形（缩放+旋转） 手拉手图形：手拉手图形其实也属于旋转变换，它是由两个共顶点且顶角相等的的等腰三角形旋转形成的图形，旋转后得到一对全等三角形，且手拉线的夹角等于旋转角。也可以逆向思维：一对“共点”的全等三角形旋转得到两个等腰三角形。 两个等边三角形 △ACE≌△BCD BD=CE，∠DHE=60o 两个等腰直角三角形 △ACE≌△BCD BD=CE，∠DHE=90o 例题讲解 例2（24-25九年级上·四川广元·期末）【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，请直接写出线段、、之间存在的数量关系为______； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形． ①当点在线段上时，过点作于点．求证： ②当点在线段的延长线上时，请直接写出线段，与之间存在的数量关系为______． 【分析】（1）由和都是等边三角形得，，，进而推出，证明即可得证； （2）由和都是等边三角形得，，，从而推出，进而证明得，即可得证； （3）如图，当点在线段上或当点在线段的延长线上时，证明，可得，结合证明从而得出结论． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ． （2）解：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：①和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ， ， ． ②如图，当点在线段的延长线上时， 和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，， ， ， ． ， ， ． 变式训练1：（25-26八年级上·广东珠海·期中）综合与探究 (1)如图1，在和中，，将绕点A顺时针旋转，连接；当点E落在边上且D、E、C三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是 ； (2)求的度数； (3)如图2，在和中，，将绕点A逆时针旋转，连接；当点B、D、E在同一条直线上时，请判断线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 且． 理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）利用证明即可解答； （2）根据全等三角形的对应角相等结合三角形的外角的性质推出即可； （3）利用证明即可得到，再根据角的和差以及等量代换即可证明． 【详解】（1）解：在和中： ， ∴， 故答案为． （2）解：， ∴， ∵， ∴． （3）解： 且． 理由如下： ， ． ． 在和中， ， ， ， ， ， 即， ， ． 变式训练2：（20-21八年级上·浙江金华·期中）在直线上顺次取，，三点，分别以，为腰在直线的同侧作顶角和均为的两个等腰三角形和． （1）如图1，连结，，且，求的长； （2）如图1，连结，交于点，当时，求的度数； （3）如图2，连结，当，，时，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）6；（2）40°；（3）DE⊥BD 【分析】（1）由题意易得AB=DB，BE=BC，∠ABE=∠DBC，进而可得△ABE≌△DBC，则问题可求解； （2）由（1）可得∠EBC=∠EFC，进而问题得解； （3）取BE的中点F，连接DF，则有△DBF是等边三角形，进而可得∠DEF=30°，则问题可证． 【详解】解：（1）由题意得：AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=， ∵∠DBE是公共角， ∴∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，即∠ABE=∠DBC， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∵， ∴AE=DC=6； （2）由（1）可得：△ABE≌△DBC， ∴∠AEB=∠DCB， ∵∠EBC=∠EAB+∠AEB，∠EFC=∠EAB+∠DCB， ∴∠EBC=∠EFC， ∵， ∴∠EFC=40°； （3）DE⊥DB，理由如下： 取BE的中点F，连接DF，如图所示： ∵， ∴∠ABD=∠EBC=60°， ∴∠DBE=60°， ∵AB=1，BC=2， ∴BD=1，BF=EF=1， ∴BD=BF， ∴△BDF是等边三角形， ∴DF=EF=1，∠BDF=∠DFB=60°， ∴∠EDF=∠DEF=30°， ∴∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°， ∴BD⊥DE． 变式练习3.（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【答案】（1）B；（2），；（3） 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可； （2）先证明得到，，再延长与交于点O，证明即可得到； （3）过A作交延长线于M，作交于N，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1），，， ．依据的是判定定理， 故选：B； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点O，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过A作交延长线于M，作交于N，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 知识点03 一线三等角 一线三等角其实是图形变换“平移+旋转”的产物.读图时能够识别这些内在本质属性，有助于我们快速寻找全等的对应角和对应边. ∠B=∠ADE=∠C，AB=CD ∠B+∠BAD=∠ADE+EDC∠BAD=∠EDC △BAD≌△CDE ∠B=∠ADE=∠C=90o，AB=CD ∠BAD=∠CDE △BAD≌△CDE 例题讲解 例3（25-26八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图① ， 在 中，，直线 l 经过点 A，直线 l，直线 l，垂足分别为 D、E．求证： (2)在（1）的条件下直接写出的数量关系为 ； (3)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图② ， 将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线 l上，并且有， 其中 α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)（1）中的结论成立，理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键． 先证明，进而依据“”判定； （2）由得，由此即可得出的数量关系； （3）先证明，进而依据“”判定，得，则，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：直线l，直线l，垂足分别为D、E， ， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ； （2），理由见解析， 由（1）可知， ， ， 即， 故答案为：； （3）成立，证明如下： 在中，， 根据邻补角定义得：， ， ， 在和中， ， ， ， 即． 变式训练1：（25-26八年级上·贵州黔西·期中）（1）“构造全等”是解决数学几何问题常用的方法之一．如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，分别过点、向直线作垂线，构造了一对全等三角形，这对全等的三角形是__________； （2）如图2，在平面直角坐标系中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，根据（1）中的方法，求点的坐标； （3）如图，点为轴负半轴上一动点．当点沿轴负半轴向下运动时，以为顶点，为腰作等腰直角三角形，过点作轴于点，求的长．（用含的式子表示） 【答案】（1）和；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了坐标与图形及三角形全等的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． （1）根据证明； （2）作轴于，证明，得，进而可得； （3）作轴于，证明，得，结合线段的和差关系即可求解． 【详解】解：（1）和． 由题意得 在和中， （2）过点作轴于点，如答图1所示． 在和中， （3）过点作轴于点，如答图2所示． 在和中， 轴，轴， 轴， 点为轴负半轴上一动点， ． 变式训练2：（24-25七年级下·湖南·期末）一线三垂直模型是初中数学中常见的几何模型，这个模型的关键是抓住“同一直线”和“三个垂直”的特点，通常需要构造三垂直证明三角形全等从而探究出线段的长度，位置关系等问题．    (1)如图1，于点D，，于点E，，求证：； (2)如图2，，，连接，过点A作直线于点F交于点G，若G为的中点，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）可证得从而 根据得出 ，从而，进一步得出结论； （2）延长至， 使，连接，可证得，从而，进而证得，从而得到结论； 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：如图，    延长至，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 变式训练3.（25-26八年级上·河南安阳·月考）如图（1），线段，过点A、B分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为． (1)当时， ______， ______，用含a的代数式表示的长为______． (2)当，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图（2），将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值． 【答案】(1)2，4， (2)①见解析；②见解析 (3)，或， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，列代数，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）①可证明，再由垂线的定义可得，据此可证明结论；②由全等三角形的性质得到，则可证明，再由平角的定义即可证明结论； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， ∴， 故答案为：2，4，； （2）证明：①当，时，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，，或，． 知识点04 倍长中线 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。倍长中线也是全等三角形中的重要模型。 题型识别：出现中线(或中点) 口诀：三角形中有中线，倍长中线是关键，8字全等立呈现，转移边角平行线。 关键步骤：延长一倍构造全等边角关系. 若D为BC中点,求证：AD<（AB+AC） △ABC中AB=AC,DF=EF求证：BD=CE 例题讲解 例4已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE.求证：AB=CD. 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它 们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此，要证AB=CD,必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明， 详解：如图2所示，延长AE至F，使AE=EF，连接FC， ∵在△ABE和△CEF中，BE=CE，∠AEB=∠FEC，AE=EF ∴△ABE≌△CEF ∴FC=AB，∠BAE=∠F 又∵∠BAE=∠EDC ∴∠F=∠EDC ∴CD=CF=AB 变式训练1：如图，△ABC中，若AB-8,AC-6,则BC边上的中线AD长度的取值范围为(). A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7 【答案】C 【解析】如图，延长AD至点E,使ED=AD,连接BE, ∵AD是BC边上的中线， ∴由倍长中线模型可知BE=AC. ∵AB-BE<AE<AB+BE, ∴AB-AC<AE<AB+AC. ∵AB=8,AC=6,∴8-6<AE<8+6,A ∴2<AE<14.∵AD=ED, ∴AE=AD+ED=AD+AD=2ADBCD 即2<2AD<14,∴1<AD<7.故选C 变式训练2：（25-26八年级上·贵州安顺·期中）阅读与思考 数学课上，老师提出了如下问题，巧用中线构造全等数学问题 任务： （1）小亮判断的依据是________． （2）如图3，在中，是边上的中线，，，若的长为奇数．请你根据小亮的思路求出边的长． 迁移应用： （3）如图4，是的中线，在边上取一点，连接，交于点，若，，，求的度数． 【答案】（1）；（2）或或或；（3） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的三边关系等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）根据定理即可得； （2）延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，根据的长为奇数求解即可得； （3）延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再根据等腰三角形的性质可得，则，然后证出，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：（1）在和中， ， ∴， ∴小亮判断的依据是， 故答案为：． （2）如图，延长至点，使，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴， ∵的长为奇数， ∴边的长为或或或． （3）∵，， ∴， 如图，延长至点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 变式训练3.（24-25七年级下·山东威海·期中）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是 ． (2)如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为 ． 【答案】(1) (2)①．理由见解析；②2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线模型，平方差公式的计算； （1）证明，得到，即可求解； （2）①延长到点G，使，连接，先证明，得到，，再由平分和，得到，即可得到； ②由，得到，设，则，由①得，得到，最后由，求解方程即可． 【详解】（1）解：在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故答案为：； （2）①．理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 知识点05 截长补短证线段的和与差 “截长补短”是一种常用的数学方法，也是全等三角形常见辅助线之一,主要用于几何题中证明线段的“和与差”。 ·截长：在最长的线段中截取一段，使其与已知线段相等，然后证明剩余部分与另一已知线段的关系。 ·补短：将较短的线段延长至与另一已知线段相等，接着求出延长后的线段与最长线段的关系。 例题讲解 例5（24-25七年级下·福建福州·期末）（1）如图1，在中，，，过点的直线经过三角形内部，过点作于点，过点作于点．则与的数量关系为___________，请证明你所写的结论； （2）尝试探究：若； ①如图1，连接，，四边形的面积为：___________（用含，的代数式表示）； ②如图2，过点的直线不经过内部，其它不变，则四边形的面积为：___________（用含的代数式表示）． （3）拓展迁移：如图3，，，点，的坐标分别是，，直接写出点的坐标___________；在坐标平面内找一点（不与点重合），使与全等．直接写出点的坐标． 【分析】（1）.由图可知得出，，根据，即可得出答案； （2）①根据解析（1）可知：，根据，求出结果即可； ②同（1）可证，利用梯形面积公式求解即可； （3）作轴于点D，证明，得出，，求出，分三种情况求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：；理由如下： ，， ∴， ∵， ，， ， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴； （2）①∵， ∴根据解析（1）可知：， ∴ ； ②根据解析（1）同理可证， ，， ∴， 四边形的面积为：； （3）如图所示，作轴于点D． ，， ，， ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 若与全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示： 当点P在第二象限时，作轴于点H， ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 同理可得，， 综上可知，B点坐标为，点P的坐标为或或． 变式训练1.（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，平分，，点在边上，． (1)判断的形状并证明； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 【答案】(1)是等腰三角形，证明见解析 (2) (3)8 【分析】本题考查了角平分线定义、外角定义，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质． （1）通过角平分线定义、外角定义，得出，可得是等腰三角形； （2）在上取，连接，先证，则，．通过角度关系得出，可求的度数； （3）在上取，连接，在上取，连接．由，可证，，由角得，可得出的值． 【详解】（1）解：是等腰三角形， 证明：平分， ． ，， ． ． 是等腰三角形． （2）解：在上取，连接，设 平分， ． 在和中 ． ，． ， ． ． ， ． ， ． ． ， ． ， ，． 即． ． 由（1）知，． （3）解：在上取，连接，在上取，连接． 平分， ． 在和中 ． ，． ， ． ， ． 在和中 ． ， ， ． ． ， ． ，， ． ． 由（1）知． ． ． ， ． 变式训练3.（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）已知，在的平分线上有一点P，将一个角的顶点与P重合，它的两条边分别与、（或它们的反向延长线）相交于点M、N，当把这个角绕点P旋转到时（如图）易证：．当这个角绕点P旋转到不与垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不需要证明． 【答案】图2中，，证明见解析；图3中，，证明见解析 【分析】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键． 图2，过点作于，于，得．再根据即可得出，进而得到．图3，利用同样的方法即可证明 【详解】解：图2，，理由如下： 如图，过点作于，于， ，平分，，， ， ． ， ， ，， ， ， ． ， ． ； 图3，，理由如下： 过点作于，于， , 同上，可得，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 课后练习 1．（25-26八年级上·北京·期中）点P在的角平分线上，点P到边的距离为10，点Q是边上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短即可进行解答． 【详解】解：∵P在的角平分线上，点P到边的距离为10， ∴点P到边的距离为10， ∴的最小值为10． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及垂线段最短，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到两边的距离相等，以及点到直线的所有连线中，垂线段最短． 2．（25-26八年级上·重庆合川·阶段练习）如图，△ABC中，AB+BC＝10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则△BCD的周长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到AD=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=DC， ∴△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=AB+BC=10， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 3．（12-13九年级上·全国·课后作业）如图所示，是线段上一点，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质、三角形的全等证明，得到三角形的全等，即可选出答案； 【详解】解：△EBC≌△DAC，△GCE≌△FCD，△BCG≌△ACF．理由如下： BC=AC，EC=CD，∠ACB=∠ECD，∠ACE是共同角⇒△EBC≌△DAC． CD=EC，∠FCD=∠ECG，∠GEC=∠CDF⇒△GCE≌△FCD． BC=AC，∠GBC=∠FAC，∠FCA=∠GCB⇒△BCG≌△ACF． 故选C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及旋转的性质的综合运用．解题的关键在于熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定方法． 4．（25-26八年级·辽宁·期中）如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB＝7，DE＝4，则S△ABD＝（　　） A．28 B．21 C．14 D．7 【答案】C 【分析】作DH⊥BA于H，根据角平分线的性质，得出DH＝DE＝4，从而可以计算S△ABD． 【详解】解：作DH⊥BA于H． ∵BD平分∠ABC，BC⊥DE，DH⊥AB， ∴DH＝DE＝4， ∴S△ABD＝×7×4＝14， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DE⊥AC，若AB=8cm，AC=6cm，S△ABC=14cm2，则DF的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质求出DE=DF，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DE⊥AC， ∴DE=DF， ∵AB=8cm，AC=6cm，S△ABC=14cm2， ∴×8×DF+×6×DE=14， 解得，DF=2， 故选B． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 6．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（    ） ①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4． A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】如图，连接AC，由△ABD是等边三角形得AB=AD，从而得点A、CD都在线段BD的垂直平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，即可判断②正确，三角形的外角性质得∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，从而判断③错误，先找到CE=AE，又由△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，得AD=AB=8，EF=DE=2，从而有CF=CE-EF=4，即可判断④正确． 【详解】解：如图，连接AC， ∵△ABD是等边三角形， ∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°， ∵， ∴点A、C都在线段BD的垂直平分线上， ∴连接AC，则AC垂直平分线段BD，故①正确， ∵， ∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°， ∴△DEF是等边三角形，故②正确， ∵BC=BD，， ∴∠CDB=∠CBD=40°， ∵∠DFE=60°， ∴∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③错误， ∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°， ∴∠CAB=∠CAD=30°， ∵AB//CE， ∴∠ACE=∠CAB=∠CAD， ∴CE=AE， ∵△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2， ∴AD=AB=8，EF=DE=2， ∴CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=8-2-2=4，故④正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键． 7．（25-26八年级上·海南·期中）如图，在中，，，顶点A、B、C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是3个单位长度，则的面积是（　　） A．123 B．117.5 C．112.5 D．225 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，过C作垂直于该组平行线，交A所在直线于点E，交B所在直线于点F，易证，即可证明，可得，即可求得的值，即可解题． 【详解】解：如图所示，过C作垂直于该组平行线，交A所在水平直线于点E，交B所在水平直线于点F， ∴， 又∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 二、填空题 9．（25-26九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，将绕着直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则 度． 【答案】70 【分析】首先由旋转的性质，得△ABC≌△A′B′C，然后利用等腰直角三角形的性质等角转换，即可得解. 【详解】解：由旋转的性质，得△ABC≌△A′B′C， ∴AC=A′C，∠BAC=∠B′A′C，∠ACA′=90°， ∴∠CAA′=∠CA′A=45° ∵ ∴∠BAC=25° ∴∠BAA′=∠BAC+∠CAA′=25°+45°=70° 故答案为：70. 【点睛】此题主要考查利用全等三角形，旋转求解角度，熟练掌握，即可解题. 10．（22-23八年级上·山西长治·期末）如图，某同学拿着含角的直角三角板绕点C逆时针旋转得到，连结，与AC相交于点O．已知，则OC的长为 ． 【答案】2 【分析】连接，由题意可得为等边三角形，，再根据，，得到垂直平分，即可解得． 【详解】如图，连接， ∵含角的直角三角板绕点C逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 11．（14-15八年级上·江苏盐城·课后作业）如图已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，∠B=62°，求∠C= 【答案】31°． 【详解】试题分析：：如图，在AC上截取AE=AB，连接DE，可以证明△ABD≌△ADE，然后利用全等三角形的性质和已知条件可以证明△DEC是等腰三角形，接着利用等腰三角形的性质即可求解． 试题解析：如图，在AC上截取AE=AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠EAD， 而AD是公共边， ∴△ABD≌△ADE， ∴∠B=∠AED=62°，DE=BD， 而AB+BD=AC=AE+CE， ∴DE=CE， ∴∠EDC=∠C， 而∠AED=∠C+∠EDC=62°， ∴∠C=31°． 考点：全等三角形的判定与性质． 三、解答题 12．（22-23八年级上·广东阳江·期中）如图，，，，，交于点，连接.求证：    (1)； (2)平分. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由得，再由，，利用，即可判定； （2）首先作于点，于点，由，可得，即可证得平分． 【详解】（1）证明：， 在和中， （2）证明：如图：过点作于点，于点    ， 在和中， ， 又，， 平分 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质以及角平分线的判定，此题难度适中，注意掌握辅助线的做法，注意掌握数形结合思想的应用，解题关键是证明三角形全等． 13．（25-26八年级上·贵州遵义·单元测试）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝10 cm，BC＝8 cm，D为AB的中点，点P在线段上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动．当△BPD与△CQP全等时，求点P运动的时间． 【答案】1s 【详解】试题分析：根据等边对等角可得∠B=∠C，然后表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD与CQ是对应边两种情况讨论求解即可． 试题解析： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 设点P、Q的运动时间为t，则BP=3t，CQ=3t， ∵AB=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点， ∴BD=×10=5cm， PC=（8-3t）cm， ①BD、PC是对应边时，∵△BPD与△CQP全等， ∴BD=PC，BP=CQ， ∴5=8-3t且3t=3t， 解得t=1， ②BD与CQ是对应边时，∵△BPD与△CQP全等， ∴BD=CQ，BP=PC， ∴5=3t，3t=8-3t， 解得t=且t=（舍去）， 综上所述，△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为1秒． 14．（25-264八年级上·安徽合肥·阶段测试）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，据此即可求证． 【详解】（1）证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. （2）解：， . 又，， . 15．（2019九年级·全国·专题练习）如图所示，，且，延长交于点，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】延长BF至G，使，连结EG，得，，BF=GF，再证，得. 【详解】证明：延长BF至G，使，连结EG， 在△BDF和△GEF中， ， ∴ ， ∴，BF=GF， ∴BG=2BF， ∵BE⊥BA， ∴∠C=∠G=90°，∠A=∠EBG， 在△ABC和△BEG中， ， ∴， ∴AC=BG=2BF. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键． 16．（25-26八年级上·黑龙江·阶段练习）已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N． (1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN (2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 【答案】（1）见解析；（2）；【分析】（1）延长到使，连接AG，先证明，由此得到，，再根据，，可以得到，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可证明； （2）在BM上取一点G，使得，连接AG，先证明，由此得到，，由此可得，再根据可以得到，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可证明； 【详解】（1）证明：如图，延长到使，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在与中， ， ， ，， ，， ∴， ， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， ； （2），理由如下： 如图，在BM上取一点G，使得，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在与中， ， ， ，， ∴， ∴， 又， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， ∴， 故答案为：； 17.（25-26八年级上·全国·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (2)如图2，已知等腰直角△中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点．是的角平分线，求证：； 【答案】(1)点的坐标为或； (2) 见解析； 【分析】（1）先根据非负性求出，，①点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点，证明 ，则，，由得到，求出，即可求解点的坐标；②点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点，同理可求即可； （2）延长、，相交于点F，证，得，再证，得，则，即可得出结论； 【详解】（1）解：∵， ，， ，， ，， ，． 分两种情况： ①如图1，点在第一象限时，过点作轴于点，过点作于点， ∵轴， ∴， ∴， 同理， ∵， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标为； ②如图，点在第四象限时，过点作轴于点，过点作于点， 同①得：， ，， ， ， ， ， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （2）证明：如图2，延长、，相交于点， ， ， ，， ， 又， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ； 18．（25-26八年级上·天津南开·期中）如图，，是的中点，平分， (1)求证：平分； (2)填空：①______（度）； ②若，，的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)①90；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，平行线的性质与判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）过点作于点，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的判定可得平分； （2）①根据平分，平分，，，由已知，可得，则，即可得出，进而得出； ②首先证明，可得，同理可得，再由利用等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ，平分，， ， 是的中点， ， ， 又，， 平分； （2）解：①∵平分，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 故答案为：90； ②， 在和中， ， ， ， 同理， ， ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末总复习讲义 第4课 全等模型与常见辅助线 知识点梳理 知识点01——常见的全等变换：平移、翻折、旋转 知识点02——手拉手模型（缩放+旋转） 知识点03——一线三等角模型（一线三垂直） 知识点04——倍长中线 知识点05——截长补短证明线段的和与差 知识点01 常见的全等变换 常见的全等变换主要有：平移、翻折、旋转，辨析这些图形是识别全等的基本能力，要在练习过程中不断地培养“识图”能力。 1.平移 变换类型 全等模型 解题策略 平移 △ABC≌DEF BE+EC=EC+CFBE=CF 1.翻折 有公共边BC=BC 有公共边BC=BC 有叠角∠ACE+∠ECB=∠DCB+∠ECB 3.旋转 旋转任意度数 旋转90o 旋转60o 两个等腰△CAD,△CEB 两个等腰直角△CAD,△CEB 两个等边△CAD,△CEB 例题讲解 例1（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，两个全等直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，平移距离为6，则的面积为（   ） A．27 B．40 C．42 D．48 变式训练1.变式训练3.（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，，，图中全等三角形的对数是（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 变式训练2.（24-25八年级上·山东省淄博·期中）【问题呈现】：我们知道，正方形的四个角都是直角，四条边都相等．如图（1），小明在正方形的边上取一动点，在的延长线上取一动点，使，并连接，．小明发现：线段，之间存在数量关系，请直接写出线段，之间的数量关系：______． 【问题探索】：如图（2），小明在【问题呈现】的条件下，又在正方形的边上取了该边的中点，并连接，． 小明又发现：当时，线段，，之间也存在数量关系．请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； ∴． 变式训练3.（24-25八年级上·河南周口·期末）小红用两个全等的等腰和等腰设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，它们关于直线l对称，点E，F分别是底边，的中点，且，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．当时，等腰和等腰均为等边三角形 知识点02 手拉手图形（缩放+旋转） 手拉手图形：手拉手图形其实也属于旋转变换，它是由两个共顶点且顶角相等的的等腰三角形旋转形成的图形，旋转后得到一对全等三角形，且手拉线的夹角等于旋转角。也可以逆向思维：一对“共点”的全等三角形旋转得到两个等腰三角形。 两个等边三角形 △ACE≌△BCD BD=CE，∠DHE=60o 两个等腰直角三角形 △ACE≌△BCD BD=CE，∠DHE=90o 例题讲解 例2（24-25九年级上·四川广元·期末）【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，请直接写出线段、、之间存在的数量关系为______； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形． ①当点在线段上时，过点作于点．求证： ②当点在线段的延长线上时，请直接写出线段，与之间存在的数量关系为______． 变式训练1：（25-26八年级上·广东珠海·期中）综合与探究 (1)如图1，在和中，，将绕点A顺时针旋转，连接；当点E落在边上且D、E、C三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是 ； (2)求的度数； (3)如图2，在和中，，将绕点A逆时针旋转，连接；当点B、D、E在同一条直线上时，请判断线段与的数量和位置关系，并说明理由． 变式训练2：（20-21八年级上·浙江金华·期中）在直线上顺次取，，三点，分别以，为腰在直线的同侧作顶角和均为的两个等腰三角形和． （1）如图1，连结，，且，求的长； （2）如图1，连结，交于点，当时，求的度数； （3）如图2，连结，当，，时，请判断与的位置关系，并说明理由． 变式练习3.（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      知识点03 一线三等角 一线三等角其实是图形变换“平移+旋转”的产物.读图时能够识别这些内在本质属性，有助于我们快速寻找全等的对应角和对应边. ∠B=∠ADE=∠C，AB=CD ∠B+∠BAD=∠ADE+EDC∠BAD=∠EDC △BAD≌△CDE ∠B=∠ADE=∠C=90o，AB=CD ∠BAD=∠CDE △BAD≌△CDE 例题讲解 例3（25-26八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图① ， 在 中，，直线 l 经过点 A，直线 l，直线 l，垂足分别为 D、E．求证： (2)在（1）的条件下直接写出的数量关系为 ； (3)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图② ， 将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线 l上，并且有， 其中 α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 变式训练1：（25-26八年级上·贵州黔西·期中）（1）“构造全等”是解决数学几何问题常用的方法之一．如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，分别过点、向直线作垂线，构造了一对全等三角形，这对全等的三角形是__________； （2）如图2，在平面直角坐标系中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，根据（1）中的方法，求点的坐标； （3）如图，点为轴负半轴上一动点．当点沿轴负半轴向下运动时，以为顶点，为腰作等腰直角三角形，过点作轴于点，求的长．（用含的式子表示） 变式训练2：（24-25七年级下·湖南·期末）一线三垂直模型是初中数学中常见的几何模型，这个模型的关键是抓住“同一直线”和“三个垂直”的特点，通常需要构造三垂直证明三角形全等从而探究出线段的长度，位置关系等问题．    (1)如图1，于点D，，于点E，，求证：； (2)如图2，，，连接，过点A作直线于点F交于点G，若G为的中点，求证：； 变式训练3.（25-26八年级上·河南安阳·月考）如图（1），线段，过点A、B分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为． (1)当时， ______， ______，用含a的代数式表示的长为______． (2)当，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图（2），将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值． 知识点04 倍长中线 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。倍长中线也是全等三角形中的重要模型。 题型识别：出现中线(或中点) 口诀：三角形中有中线，倍长中线是关键，8字全等立呈现，转移边角平行线。 关键步骤：延长一倍构造全等边角关系. 若D为BC中点,求证：AD<（AB+AC） △ABC中AB=AC,DF=EF求证：BD=CE 例题讲解 例4已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE.求证：AB=CD. 变式训练1：如图，△ABC中，若AB-8,AC-6,则BC边上的中线AD长度的取值范围为(). A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7 变式训练2：（25-26八年级上·贵州安顺·期中）阅读与思考数学课上，老师提出了如下问题，巧用中线构造全等数学问题 任务： （1）小亮判断的依据是________． （2）如图3，在中，是边上的中线，，，若的长为奇数．请你根据小亮的思路求出边的长． 迁移应用： （3） 如图4，是的中线，在边上取一点，连接，交于点，若，，，求的度数． 变式训练3.（24-25七年级下·山东威海·期中）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1) 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是 ． (2)如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为 ． 知识点05 截长补短证线段的和与差 “截长补短”是一种常用的数学方法，也是全等三角形常见辅助线之一,主要用于几何题中证明线段的“和与差”。 ·截长：在最长的线段中截取一段，使其与已知线段相等，然后证明剩余部分与另一已知线段的关系。 ·补短：将较短的线段延长至与另一已知线段相等，接着求出延长后的线段与最长线段的关系。 例题讲解 例5（24-25七年级下·福建福州·期末）（1）如图1，在中，，，过点的直线经过三角形内部，过点作于点，过点作于点．则与的数量关系为___________，请证明你所写的结论； （2）尝试探究：若； ①如图1，连接，，四边形的面积为：___________（用含，的代数式表示）； ②如图2，过点的直线不经过内部，其它不变，则四边形的面积为：___________（用含的代数式表示）． （3）拓展迁移：如图3，，，点，的坐标分别是，，直接写出点的坐标___________；在坐标平面内找一点（不与点重合），使与全等．直接写出点的坐标． 变式训练1.（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，平分，，点在边上，． (1)判断的形状并证明； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 变式训练3.（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）已知，在的平分线上有一点P，将一个角的顶点与P重合，它的两条边分别与、（或它们的反向延长线）相交于点M、N，当把这个角绕点P旋转到时（如图）易证：．当这个角绕点P旋转到不与垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不需要证明． 课后练习 1．（25-26八年级上·北京·期中）点P在的角平分线上，点P到边的距离为10，点Q是边上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（25-26八年级上·重庆合川·阶段练习）如图，△ABC中，AB+BC＝10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则△BCD的周长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．无法确定 3．（12-13九年级上·全国·课后作业）如图所示，是线段上一点，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级·辽宁·期中）如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB＝7，DE＝4，则S△ABD＝（　　） A．28 B．21 C．14 D．7 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DE⊥AC，若AB=8cm，AC=6cm，S△ABC=14cm2，则DF的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 6．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（    ） ①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4． A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 7．（25-26八年级上·海南·期中）如图，在中，，，顶点A、B、C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是3个单位长度，则的面积是（　　） A．123 B．117.5 C．112.5 D．225 8．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 9．（25-26九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，将绕着直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则 度． 10．（22-23八年级上·山西长治·期末）如图，某同学拿着含角的直角三角板绕点C逆时针旋转得到，连结，与AC相交于点O．已知，则OC的长为 ． 11．（14-15八年级上·江苏盐城·课后作业）如图已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，∠B=62°，求∠C= 三、解答题 12．（22-23八年级上·广东阳江·期中）如图，，，，，交于点，连接.求证：    (1)； (2)平分. 13．（25-26八年级上·贵州遵义·单元测试）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝10 cm，BC＝8 cm，D为AB的中点，点P在线段上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动．当△BPD与△CQP全等时，求点P运动的时间． 14．（25-264八年级上·安徽合肥·阶段测试）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 15．（2019九年级·全国·专题练习）如图所示，，且，延长交于点，且．求证：． 16．（25-26八年级上·黑龙江·阶段练习）已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N． (1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN (2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 17.（25-26八年级上·全国·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (2)如图2，已知等腰直角△中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点．是的角平分线，求证：； 18．（25-26八年级上·天津南开·期中）如图，，是的中点，平分， (1)求证：平分； (2)填空：①______（度）； ②若，，的长为______． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $