期末总复习讲义06等腰三角形 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学期末总复习讲义以“定义-性质-判定-拓展”为主线构建等腰三角形知识体系，通过分类框架图呈现等腰三角形的三类讨论情形（腰与底、顶角底角、高的位置），用对比表格梳理性质与判定的区别联系，清晰展现重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与模型方法指导，如例1“优美比”问题培养分类讨论的推理意识，例2半角模型综合题发展几何直观与抽象能力。基础题巩固性质应用，压轴题（如动态全等问题）提升创新思维，助力不同层次学生自主复习，为教师提供精准教学支持。

八年级数学期末总复习讲义 第6课 等腰三角形 知识点梳理 知识点01——等腰三角形的定义与分类讨论 知识点02——等腰三角形的性质 知识点03——等腰三角形的判定 知识点01 等腰三角形的定义与分类讨论 1.定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰. 2.分类讨论的三种情形： ①腰与底不明时需分类讨论. ②顶角或底角不明时需分类讨论. ③高位置不明时（在形内或形外）需分类讨论. 例题讲解 例1（25-26八年级上·陕西西安·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（   ） A． B． C．或 D．或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 分两种情况：为腰或为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比． 【详解】解：当为腰时，则底边； 此时，优美比； 当为底边时，则腰为； 此时，优美比； 故选：C． 变式训练1.（24-25八年级上·宁夏固原·期末）等腰三角形的一个角是，它的顶角的外角度数是____ 变式训练2.等腰三角形一腰上的高与底边之比为1:2，求底角的度数. 课后练习 1．（23-24八年级上·广东江门·期末）等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（    ） A．17 B．22 C．17或22 D．13 2．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（24-25八年级下·广东河源·期末）若的三边长分别是a、b、c，且满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：① 是等腰三角形， ；②折叠后和一定相等； ③和一定是全等三角形，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 5．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得平行，则度数是（    ） A． B． C． D． 6.（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图所示，在等腰中，，将中的沿向下翻折，使点A落在点C处．若，则的长是 ．    7. （25-26八年级上·广东·期中）等腰三角形腰长为，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为，则这个等腰三角形的周长为 ． 8. （25-26八年级上·黑龙江·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此等腰三角形的顶角的度数为 度． 9．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在等腰三角形中，，过点作直线，若点从点出发，以每秒的速度沿射线向左运动，同时，点也从点出发，以每秒的速度在直线上向上或向下运动．连接，，设运动时间为，当为何值时，与全等？（分两种情况讨论） 10．（25-26八年级上·北京·期中）如图：点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α.将线段OC绕点[来C按顺时针方向旋转60°得到线段CD，连接OD、AD． (1) 求证：AD=BO (2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； (3)探究：当α为多少度时（直接写出答案），△AOD是等腰三角形？ 知识点02 等腰三角形的性质 性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”). 3.拓展： (1)等腰三角形两腰上的中线、高，两底角的平分线分别相等. (2)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. (3)当等腰三角形的顶角为90°时（等腰直角三角形），它的两条直角边相等，两个锐角都是45°. (4)当等腰三角形的顶角为36°时（黄金三角形），等腰三角形底角平分线把三角形分成两个等腰三角形. 例题讲解 例2（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，以为边，作，满足，点为边上一点，连接，，连接．下列结论正确的是 （填序号）①；②；③若，则；④． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、三线合一、全等三角形的判定与性质，解题关键是作出正确的辅助线．因为已知∠BAE=∠CAD,这是个“半角模型”，思路是把∠BAE扩大一倍之后得到“等角”关系。 【详解】解：延长到点，使，连接，和相交于点， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， 即，②正确； ， ， 平分， 当时，可证，则， 当时，，则无法说明， ①是不正确的； 设，则， ， ， ， ， ， ， ③正确； ， ， ， ， ④正确． 故答案为：②③④． 变式训练1：（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知等腰的一底角，为腰，且，则的面积为 ． 变式训练2：（24-25八年级上·内蒙·期末）如图，在中，，，是的平分线且，若P、Q分别是、上的动点，则的最小值是 ． 课后练习 1．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知，凳腿与地面所成的角，则为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明平分的是（   ） A． B． C． D． 3．（2021·湖南永州·中考真题）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交､于点D和点E，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（20-21九年级上·福建福州·期中）如图所示，中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数是（    ） A．46° B．48° C．50° D．52° 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，有一腰长为，底边长为的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 个不同的四边形． 6．（19-20八年级下·广东湛江·开学考试）如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明． 7．（24-25八年级上·湖北·期末）如图，在四边形中，，，E是的中点，且，连接．求证：． 8．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 9．（24-25八年级上·福建厦门·期中） 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 10．（24-25八年级上·广东广州·期中）在△中，，点为的中点，点、分别在边、上．若， (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，当DE与AB不垂直时，的值是否会发生改变？ 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 知识点03 等腰三角形的判定 1.判定方法 (1)定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”). 2.性质和判定的区别 性质和判定是互逆命题; 性质是已知三角形是等腰三角形，从而可知它的两个底角相等； 判定是已知一个三角形有两角相等，从而得出它是等腰三角形.但是“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等。因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些“专属概念”. 3.一个常见模型：“角平分线+平行等腰” 例题讲解 例3（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，．将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线于点D、E，如图1，2，3是旋转三角板得到的三种情况． (1)如图1，当点D是的中点时，点E恰为的中点，请写出线段之间的数量关系：________________； (2)当三角板绕点P旋转至图2所示的位置时，判断线段之间的数量关系，并说明理由； (3)若AB长为a,三角板绕点P旋转时，能否成为以为腰的等腰三角形？若能，请直接写出的长(没学勾股定理的可以用含a的代数式表示)；若不能，请说明理由． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质、判定；此题是分类讨论题，应分情况进行论证，不能漏解． （1）根据三角形中位线定理和等腰三角形的性质求解即可． （2）连接 ，通过证明，得出，即可求解． （3）分两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：（或） 理由：根据题意可得， ∵点D是的中点，点E为的中点，点P是的中点， ∴， ∴（或） （2）解：． 理由如下：连接． ∵是等腰直角三角形，点P是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：能成为以为腰的等腰三角形， ∵点是斜边的中点， ， 当时，此时点 与点 重合，； 当在线段 上时，； 当在 的延长线上，； 综上，能成为以为腰的等腰三角形，的长为0或或． 变式训练1：（23-24八年级上·北京朝阳·期末）已知：如图，是等边三角形，D是上一点，，，求证：是等边三角形． 变式训练2：（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知，，且，满足，，点关于轴的对称点为． (1)求，的值和点的坐标； (2)如图1，点在的延长线上，点在边上，且，连接，若点为的中点，求证：； (3)如图2，若点在线段上，点在线段上，满足，试探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 课后练习 1．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，是原点，与轴正半轴的夹角为，是轴上的动点，且满足为等腰三角形，点的可能位置共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23八年级下·宁夏中卫·开学考试）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． ， D． 3．（21-22八年级上·全国·课后作业）已知一个三角形中有两个角度数如下，其中不能构成等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，已知，平分，于点D，交于点C，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，的周长为10，，的面积是7，则的面积是 ． 6．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，平分，．试说明： (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）一内角的平分线与边相交并把这条边分成2cm，3cm的两条线段，求的周长． 小华的解答过程如下： 如图，平分一内角． 当时，∵平分， ∴，∵，∴， ∴，∴．∴的周长为． 你认为小华的解答过程对吗？如果不对，请写出正确的解答过程． 9.（19-20八年级上·湖南长沙·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．    （1）当∠BDA＝105°时，∠BAD＝　 　°，∠DEC＝　 　°； （2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE； （3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数；若不存在，请说明理由． 10.（25-26八年级上·四川自贡·阶段练习）已知：如图所示，在ΔABC和ΔADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE,，且点B，A，D在同一条直线上，连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点, 连接AM,AN,MN． ⑴.求证：BE=CD ⑵.求证：ΔAMN是等腰三角形. 知识点04 等边三角形 1.等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形. 2.等边三角形的性质： ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. ②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； ③等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 3.等边三角形的判定 ①定义法：三边都相等的三角形是等边三角形. ②三个角都相等的三角形是等边三角形. ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 4. 常见的几何模型 例题讲解 例1（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，是等边三角形，点是边上一点，连接． (1)如图1，在边上取点，使，连接，交于点．求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若点为中点，求的值； (3)如图3，是内一点，且，连接，求的度数． 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，即可由定理得出结论； （2）由得到，从而证得，则，，由勾股定理得，再代入计算即可； （3）延长交于D，延长交于N，连接，先证明，得到，再证明，（三线合一），得到，然后证明，得到，从而得出，最后利用等腰三角形与三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵ ∴， ∵点为中点，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3）解：延长交于D，延长交于N，连接，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ， ， ∵， ∴， ∴，（三线合一）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】第二小问可以用30o的直角三角形的性质,不用勾股定理. 变式训练1.（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰三角形，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，以下结论；；是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 变式训练2.（24-25八年级上·江苏南通·期末）综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：等边中，O是的中点，D是射线上一点（不与点C、B重合），连接，作等边（点E和点C在边的同侧），连接并延长交直线于点F． 【特例分析】（1）如图1，当点D与点O重合时，发现“”，请证明； 【拓展探究】（2）当点D在线段上（不与端点重合），在图2中补全图形，并证明； 【推广应用】（3）当点D在射线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 课后练习 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列推理中，错误的是(   ) A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形 B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形 C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形 D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，直线l，m相交于点O，夹角为α．P为这两直线外一点，且．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离为2.8，则α度数为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则的长为（   ）    A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在等边中，，分别为，边上的两个动点，且总使，与交于点F，于点，则以下结论：①；②；③．其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．（24-25八年级上·河北·期末）如图， 在等边△ABC中， AB=2， 点D在△ABC内或其边上，AD=2， 以AD为边向右作等边△ADE，连接CD，CE．设CE的最小值为m； 当ED的延长线经过点B时，， 则m， n的值分别为（ ） A．，55 B．，60 C．2-2，55 D．2-2，60 7．（25-26八年级上·内蒙古·期中）如图在等边△ABC中，OA＝PB＝CD，若∠POD＝60°，OP＝3，则点P、D间的距离等于 8．（19-20八年级上·福建南平·期中）如图，△ABC是等边三角形，点D在BC上，△ADE是等腰三角形，AD ＝AE ，∠DAE ＝100°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数. 9．（25-26八年级上·云南·期中）如图，已知和是等边三角形，且三点共线，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 10．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末） 问题初探 如图①，中，，，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图②，中，，，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，则________．（直接写出答案，不写过程） 方法迁移 如图③，是等边三角形，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，则、、之间有怎样的数量关系？答案：________（直接写出答案，不写过程）． 拓展创新 如图④，是等边三角形，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，猜想的度数，并说明理由． 知识点05 含有30o的直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 例题讲解 例1（25-26八年级上·广东汕头·期中）实验操作： 如图1，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起，你能通过实验操作，借助这个图形，找到的直角边与斜边之间的数量关系．教材中有这样的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)请结合图2，已知：在中，，，求证：． (2)实践思考：如图3，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕后再把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点D恰好落在折痕上的点M处．求证：． (3)拓展运用：如图4，已知三角形衣架中，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）以B为圆心，以长为半径作弧，交延长线于D，连接，则，证得是等边三角形，进而证得； （2）根据折叠的性质折叠、，进而证得，根据，证得； （3）过点C作交延长线于点D，证得、，根据直角三角形的面积公式进行计算求解即可． 【详解】（1）证明：以B为圆心，以长为半径作弧，交延长线于D，连接， 则, 、 是等边三角形， ； （2）证明：对折矩形纸片，为折痕， 、 沿折叠，使点D落在矩形内部点M处， 、、 ； （3）解：如图4，过点C作交延长线于点D， ． 变式训练1.（25-26八年级·上海静安·课后作业）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3， 如果∠BAC的平分线AD=6， 那么∠B= ． 变式训练2.（25-26八年级上·广东·期中）把一副三角板按如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板绕点顺时针旋转得到（如图乙）．这时与相交于点、与相交于点． (1)写出 度； (2)线段的长为 ； 课后练习 1．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（11-12八年级上·天津南开·期中）如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A．10米 B．15米 C．25米 D．30米 3．（18-19七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（   ） ①是的平分线；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，2.5，则的度数为 ． 5．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）在直角三角形中，如果一个锐角为，而斜边与较小直角边的和为，那么斜边长为 ． 6．（22-23九年级上·广西河池·期中）如图所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形，若，，，则的长度为 ． 7．（2025·山东聊城·三模）如图，在中，，，，点P为上一点，点Q为上一点，且，分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，若恰好经过的中点，则的长为 ． 8．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 9．（25-26八年级上·吉林四平·月考）如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿射线、运动，且它们的速度都为2厘米／秒，设运动时间为t（秒）（）． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)如图①，点P、Q分别在线段、上运动时，、相交于点M，求的度数； (3)如图②，当点P、Q分别运动到线段、的延长线上时，、的延长线相交于点M，的度数会变化吗？若不变，请求出的度数；若改变，请说明理由； (4)如图③，若点P的速度不变，点Q的速度为3厘米／秒，点P、Q分别在线段、上运动时，连接，当为直角三角形时，直接写出t的值． 10．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图，，平分，点在射线上，点，分别在边，上，且求证：． 如图，小喆同学从条件的角度出发给出如下解题思路：作于，于，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．如图： 可证：， ，又可证出， ，  ， ， 在中，，，， ， ． 如图，小昀同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在射线上截取 ，连接，将线段，，之间的数量关系转为线段与之间的数量关系． 请你写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换并提出下面的问题，请你解答． 如图，，平分，点在射线上，点在射线的反向延长线上，点在射线上，且求证：． 【学以致用】（3）在等边的外侧作直线，点关于直线的对称点为点，连接，，其中交直线于点（点不与点重合），连接，． 如图，当时，直接写出的度数及线段，，之间的数量关系； 如图，当时，直接写出的度数及线段，，之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末总复习讲义 第6课 等腰三角形 知识点梳理 知识点01——等腰三角形的定义与分类讨论 知识点02——等腰三角形的性质 知识点03——等腰三角形的判定 知识点01 等腰三角形的定义与分类讨论 1.定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰. 2.分类讨论的三种情形： ①腰与底不明时需分类讨论. ②顶角或底角不明时需分类讨论. ③高位置不明时（在形内或形外）需分类讨论. 例题讲解 例1（25-26八年级上·陕西西安·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（   ） A． B． C．或 D．或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 分两种情况：为腰或为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比． 【详解】解：当为腰时，则底边； 此时，优美比； 当为底边时，则腰为； 此时，优美比； 故选：C． 变式训练1.（24-25八年级上·宁夏固原·期末）等腰三角形的一个角是，它的顶角的外角度数是____ 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质； 本题等腰三角形的一个角是80o，未指明是顶角还是底角，需要进行分类讨论； 【详解】解：当80o的角是底角时，顶角是20o，外角是160o; 当80o的角是顶角时，外角是100o. 变式训练2.等腰三角形一腰上的高与底边之比为1:2，求底角的度数. 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形高的性质； 腰上的高有可能在三角形内部，也有可能在三角形的外部，需要进行分类讨论； 【详解】解：如图，当高在三角形外部时，因为HC：AC=1:2，所以∠HAC=30o,所以底角的度数是15o; 当高在三角形外部时，因为HC：AC=1:2，所以∠HAC=30o,所以底角的度数是75o; 课后练习 1．（23-24八年级上·广东江门·期末）等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（    ） A．17 B．22 C．17或22 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能组成三角形，这点非常重要，也是解题的关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分两种情况：当腰为4时，，不能组成三角形； 当腰为9时，，所以能构成三角形， 周长是：． 故选：B． 2．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质； 本题等腰三角形的一个角是，未指明是顶角还是底角，需要进行分类讨论；当的角是底角时，不满足三角形内角和定理，再分析的角是顶角时的情况，满足三角形内角和定理，然后即可求解 【详解】解：当的角是底角时，另一底角也为，不满足三角形内角和定理， 当的角是顶角时，底角的度数为， 故选：C 3．（24-25八年级下·广东河源·期末）若的三边长分别是a、b、c，且满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】题目主要考查因式分解的应用，三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解题关键 根据平方差公式和提取公因式即可得，再由三角形三边关系得出，得，即可得出结果． 【解答】解：∵， ∴， ∴，     ∴， ∵a、b、c是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 故选：B． 4．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：① 是等腰三角形， ；②折叠后和一定相等； ③和一定是全等三角形，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换，解题的关键是正确理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．根据长方形的性质得到，，再由对顶角相等可得，推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得①③正确，无法判断和是否相等． 【详解】解：根据长方形的性质和折叠可得： ，， 在和中， ∴，故③正确； ∴， ∴ 是等腰三角形，故①正确； 无法判断和是否相等，故②错误， 综上可知：①③正确，共2个． 故选：B． 5．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得平行，则度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据旋转的性质得出，根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据题意可得，将绕点旋转得到， 故， ∴， ∴． 故选：A． 6.（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图所示，在等腰中，，将中的沿向下翻折，使点A落在点C处．若，则的长是 ．    【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的判断与性质、折叠的性质、三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，由折叠的性质可知，再证明是等腰三角形即可得到，即可得出答案． 【详解】解：， ， ∵将中的沿向下翻折，使点A落在点C处， ， ， ∴， 故答案为：3． 7.（25-26八年级上·广东·期中）等腰三角形腰长为，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】或/20或16 【分析】由为中点，得到，再根据将其周长分成两部分的差为，分别表示出分三角形周长的两部分，求出方程的解得到的长． 【详解】解：，为中点， ， 根据题意得：或， 即或， 解得：或， 故周长为或， 故答案为：或．    【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是求出底边的长，同时注意因为没有指明周长分成两部分的长短，故求出有两解，不要遗漏． 8．（25-26八年级上·黑龙江·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此等腰三角形的顶角的度数为 度． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．分等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况，分别根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：当为钝角三角形时． ①当为锐角三角形时，如图1， ，， ， 三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ，， ， ， 三角形的顶角为， 该等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 9．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在等腰三角形中，，过点作直线，若点从点出发，以每秒的速度沿射线向左运动，同时，点也从点出发，以每秒的速度在直线上向上或向下运动．连接，，设运动时间为，当为何值时，与全等？（分两种情况讨论） 【答案】秒或秒 【分析】本题考查了全等三角形的性质，动点问题（一元一次方程的应用）．根据当点N在射线上时，当点N在的反向延长线上时，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵点从点出发，以每秒的速度沿射线向左运动， ∴， 依题意，与全等 ∴当点N在射线上，如图所示： ∵也从点出发，以每秒的速度在直线上向上或向下运动． ∴， 则， ， ∴， 解得； 当点N在的反向延长线上时，如图所示： 此时 ∴， 依题意，，， ， ． 综上所述，当秒或秒时，与全等． 10．（25-26八年级上·北京·期中）如图：点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α.将线段OC绕点[来C按顺时针方向旋转60°得到线段CD，连接OD、AD． (1) 求证：AD=BO (2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； (3)探究：当α为多少度时（直接写出答案），△AOD是等腰三角形？ 【答案】(1)见解析;(2) △AOD是直角三角形,理由见解析;(3) α=110°，α=140°，α=125° 【分析】（1）由旋转的性质就可以得出△BOC≌△ADC就可以得出AD=BO； （2）由旋转可以得出 OC=DC，∠DCO=60°，就可以得出△ODC是等边三角形，就可以得出∠ODC=60°，从而得出∠ADO=90°，而得出△AOD的形状； （3）由条件可以表示出∠AOC=250°-a，就有∠AOD=190°-a，∠ADO=a-60°，当∠DAO=∠DOA，∠AOD=ADO或∠OAD=∠ODA时分别求出a的值即可． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=60°， ∵OC绕点C按顺时针方向旋转60°， ∴△BOC≌△ADC， ∴AD=BO； （2）△AOD是直角三角形． 理由：∵△BOC≌△ADC， ∴DC=OC．∠BOC=∠ADC=150° ∵∠DCO=60°， ∴△OCD是等边三角形． ∴∠ODC=60° ∴∠ADC=90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵∠AOB=110°，∠BOC=α ∴∠AOC=250°-a． ∵△OCD是等边三角形， ∴∠DOC=∠ODC=60°， ∴∠ADO=a-60°，∠AOD=190°-a， 当∠DAO=∠DOA时， 2（190°-a）+a-60°=180°， 解得：a=140° 当∠AOD=ADO时， 190°-a=a-60°， 解得：a=125°， 当∠OAD=∠ODA时， 190°-a+2（a-60°）=180°， 解得：a=110° ∴α=110°，α=140°，α=125°． 【点睛】考查了等边三角形的判定与性质的运用、旋转的性质的运用、直角三角形的判定、全等三角形的判定及性质的运用和等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 知识点02 等腰三角形的性质 性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”). 3.拓展： (1)等腰三角形两腰上的中线、高，两底角的平分线分别相等. (2)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. (3)当等腰三角形的顶角为90°时（等腰直角三角形），它的两条直角边相等，两个锐角都是45°. (4)当等腰三角形的顶角为36°时（黄金三角形），等腰三角形底角平分线把三角形分成两个等腰三角形. 例题讲解 例2（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，以为边，作，满足，点为边上一点，连接，，连接．下列结论正确的是 （填序号）①；②；③若，则；④． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、三线合一、全等三角形的判定与性质，解题关键是作出正确的辅助线．因为已知∠BAE=∠CAD,这是个“半角模型”，思路是把∠BAE扩大一倍之后得到“等角”关系。 【详解】解：延长到点，使，连接，和相交于点， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， 即，②正确； ， ， 平分， 当时，可证，则， 当时，，则无法说明， ①是不正确的； 设，则， ， ， ， ， ， ， ③正确； ， ， ， ， ④正确． 故答案为：②③④． 变式训练1：（25-26八年级上·辽宁大连·期中）已知等腰的一底角，为腰，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，交的延长线于点，利用等腰三角形性质和的直角三角形的性质，求出，再利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于点， ∵等腰的一底角，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质．熟练掌握等边对等角，所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 变式训练2：（24-25八年级上·内蒙·期末）如图，在中，，，是的平分线且，若P、Q分别是、上的动点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴垂直平分， ∴． 如图，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长， ∵， ∴， 即的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称——最短路线问题、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的面积，掌握最短路径问题的解决方法是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 课后练习 1．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知，凳腿与地面所成的角，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边对等角是解题的关键．由等腰三角形的性质得，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明平分的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一性质，三角形中线的性质逐项判定即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴平分，故选项A不符合题意； ∵，， ∴平分，故选项B不符合题意； ∵， ∴， 又， ∴平分，故选项D不符合题意； 而无法说明平分，故选项C符合题意， 故选：C． 3．（2021·湖南永州·中考真题）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交､于点D和点E，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由尺规作图痕迹可知，MN是线段AB的垂直平分线，进而得到DB=DA，∠B=∠BAD，再由AB=AC得到∠B=∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°即可求解． 【详解】解：由题意可知：MN是线段AB的垂直平分线， ∴DB=DA， ∴∠B=∠BAD=50°， 又AB=AC， ∴∠B=∠C=50°， ∴∠BAC=80°， ∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°， 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的两底角相等，线段垂直平分线的尺规作图等，属于基础题，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解决本题的关键． 4．（20-21九年级上·福建福州·期中）如图所示，中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数是（    ） A．46° B．48° C．50° D．52° 【答案】C 【分析】根据旋转的性质和∠C＝65°，从而可以求得∠AC′B′和∠AC′C的度数，从而可以求得∠B′C′B的度数． 【详解】∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边BC上， ∴AC＝AC′，∠C＝∠AC′B′， ∴∠C＝∠AC′C， ∵∠C＝65°， ∴∠AC′B′＝65°，∠AC′C＝65°， ∴∠B′C′B＝180°−∠AC′B′−∠AC′C＝50°， 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，有一腰长为，底边长为的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 个不同的四边形． 【答案】4 【分析】本题主要考查了图形的剪拼，长直角边重合时可拼成一个四边形，短直角边重合时可拼成一个四边形，斜边重合时可拼成两个四边形，据此画出对应的拼接图形即可得到答案． 【详解】解：长直角边重合时可拼成一个四边形，短直角边重合时可拼成一个四边形，斜边重合时可拼成两个四边形，一共可拼成4个四边形． 故答案为4． 6．（19-20八年级下·广东湛江·开学考试）如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明． 【答案】CN=MN+BM，见解析 【分析】采用“截长补短”法，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，结合等边及等腰三角形的性质利用SAS可证△MBD≌△ECD，继而可证△MND≌△END，由全等的性质可得结论. 【详解】解：CN=MN+BM．证明： 如图，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB=∠ABC=60°． 又∵△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°， ∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°． ∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°． 在△MBD和△ECD中， ∴△MBD≌△ECD（SAS）． ∴MD=ED，∠MDB=∠EDC． 又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°， ∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°． ∴∠MDN=∠EDN． 在△MND与△END中， ∴△MND≌△END（SAS）． ∴MN=NE． ∴CN=NE+CE=MN+BM． 【点睛】本题考查了等边及等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，并采用了截长补短法，灵活利用已知条件证明三角形全等是解题的关键. 7．（24-25八年级上·湖北·期末）如图，在四边形中，，，E是的中点，且，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质以及等腰三角形的性质．熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质得出，再证明，根据，证明四边形为平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴△ABE≌△CEB， ∴． 8．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三线合一． 根据等边三角形三线合一推出，进而推出，结合，即可证明结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 9．（24-25八年级上·福建厦门·期中） 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，，则，求出，由垂直平分，可得，则，由，计算求解即可； （2）由，可得，，由的周长为，，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为，， ∴， 解得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（24-25八年级上·广东广州·期中）在△中，，点为的中点，点、分别在边、上．若， (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，当DE与AB不垂直时，的值是否会发生改变？ 【答案】(1)3， (2)不会，具体原因见解析。 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论； （2）如图2中，连接，作于，于．证明，，可得，，推出，再利用直角三角形30度角性质即可解决问题． 【详解】（1）解：连接， 点为的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 同理，， ； （2）如图2中，连接，作于，于． ，， ，， ，， ，， ∴ ， ， ， ， ∴ ，， ，， ， ，， ， ，， ， ； AE+AF的值不会发生变化. 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 知识点03 等腰三角形的判定 1.判定方法 (1)定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”). 2.性质和判定的区别 性质和判定是互逆命题; 性质是已知三角形是等腰三角形，从而可知它的两个底角相等； 判定是已知一个三角形有两角相等，从而得出它是等腰三角形.但是“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等。因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些“专属概念”. 3.一个常见模型：“角平分线+平行等腰” 例题讲解 例3（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，．将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线于点D、E，如图1，2，3是旋转三角板得到的三种情况． (1)如图1，当点D是的中点时，点E恰为的中点，请写出线段之间的数量关系：________________； (2)当三角板绕点P旋转至图2所示的位置时，判断线段之间的数量关系，并说明理由； (3)若AB长为a,三角板绕点P旋转时，能否成为以为腰的等腰三角形？若能，请直接写出的长(可以用含a的代数式表示)；若不能，请说明理由． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质、判定；此题是分类讨论题，应分情况进行论证，不能漏解． （1）根据三角形中位线定理和等腰三角形的性质求解即可． （2）连接 ，通过证明，得出，即可求解． （3）分两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：（或） 理由：根据题意可得， ∵点D是的中点，点E为的中点，点P是的中点， ∴， ∴（或） （2）解：． 理由如下：连接． ∵是等腰直角三角形，点P是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：能成为以为腰的等腰三角形， ∵点是斜边的中点， ， 当时，此时点 与点 重合，； 当在线段 上时，； 当在 的延长线上，； 综上，能成为以为腰的等腰三角形，的长为0或或． 变式训练1：（23-24八年级上·北京朝阳·期末）已知：如图，是等边三角形，D是上一点，，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，先由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可得，据此证明得到，即可证明是等边三角形． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ， ． ． ， ． ． 是等边三角形． 变式训练2：（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知，，且，满足，，点关于轴的对称点为． (1)求，的值和点的坐标； (2)如图1，点在的延长线上，点在边上，且，连接，若点为的中点，求证：； (3)如图2，若点在线段上，点在线段上，满足，试探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识及利用非负性求值，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由非负性可求，的值，可求得点的坐标，再根据关于轴对称坐标的特征，即可求得点的坐标； （2）根据（1）中所求坐标，可知是等边三角形，过点作交于，可得也是等边三角形，利用垂直平分线的性质可得，，，可得（），从而得到，延长至，使得，连接，可得（），从而得到，，可证得（），即可证得； （3）在上截取，连接，在的延长线上截取，连接，由“”可证，可得由外角的性质可得，可得结论． 【详解】（1）解：∵，即 ∴，， ∴ ∵点关于轴的对称点为 ∴点的坐标为： （2）由（1）可知，，， ∴，，由勾股定理，得：， ∴是等边三角形，则， 过点作交于，可得也是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵点为的垂直平分线与的交点， ∴， ∴ 在与中， ∴（）， 又∵ ∴， 延长至，使得，连接， 又∵点为的中点， ∴ 又∵ ∴（） ∴， ∴ 又∵， ∴，即， 在与中， ∴（） ∴ （3），理由如下： 如图2，在上截取，连接，在的延长线上截取，连接， 由（2）可知是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 课后练习 1．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，是原点，与轴正半轴的夹角为，是轴上的动点，且满足为等腰三角形，点的可能位置共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】为等腰三角形，但没有说明哪条边为腰，故分，，三类讨论，确定点的位置，再根据与轴正半轴的夹角为，去掉重合的点，问题得解． 【详解】解：当时，如图，共有2个符合条件； 当时，如图，共有1个符合条件； 当时，如图，共有1个符合条件； 其中、、点重合， 符合条件的点有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的分类思想，等边三角形的性质，根据题意分别确定符合条件的点，并根据等边三角形的性质，确定出重合的点是解题的关键． 2．（22-23八年级下·宁夏中卫·开学考试）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． ， D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的定义，以及判定定理：等角对等边即可判断． 【详解】解：A、， ， ，即是等腰三角形，故选项不合题意； B、， ，即是等腰三角形，故选项不合题意； C、 ，即是等腰三角形，故选项不合题意； D、由不能得出其中的两个角相等，故不一定是等腰三角形，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等角对等边． 3．（21-22八年级上·全国·课后作业）已知一个三角形中有两个角度数如下，其中不能构成等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角形内角和定理求出另一个角的度数，然后根据等角对等边求解即可． 【详解】解：A、由题意可得另一个角的度数为70°，即三角形的三个角的度数分别为40°，70°，70°是等腰三角形，不符合题意； B、由题意可得另一个角的度数为50°，即三角形的三个角的度数分别为50°，50°，80°是等腰三角形，不符合题意； C、由题意可得另一个角的度数为30°，即三角形的三个角的度数分别为30°，60°，90°不是等腰三角形，符合题意； D、由题意可得另一个角的度数为30°，即三角形的三个角的度数分别为30°，30°，120°是等腰三角形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 4．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，已知，平分，于点D，交于点C，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线性质定理，角直角三角形性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图，过点P作，垂足为E，由角平分线性质，得，，由平行性质，可推证，，得，中，，所以． 【详解】解：如图，过点P作，垂足为E， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ； ∴， ； ∴， 中，， ∴； 故选：B． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，的周长为10，，的面积是7，则的面积是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解题的关键。 如图：过点O作于M，作于N，于D，连接，根据三角形面积可得，再根据角平分线的性质可得；然后根据角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边可得，则，进而得到，即，最后根据的面积以及三角形的面积公式求解即可。 【详解】解：如图：过点O作于M，作于N，于D，连接， ∵，的面积是7， ∴,即，解得：， ∵和的平分线相交于点O， ∴， ∵在中，的平分线与的平分线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∵， ∴的面积． 故答案为：17． 6．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，平分，．试说明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由两直线平行内错角相等可得，由平分可得，进而可得，由等角对等边可得，由三线合一可得，利用可证得，然后利用全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）得，由全等三角形的性质可得，由可得，根据线段的和差关系可得，于是结论得证． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， 又是的角平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）得：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三线合一，等角对等边，两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算，线段的和与差等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质三线合一及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）一内角的平分线与边相交并把这条边分成2cm，3cm的两条线段，求的周长． 小华的解答过程如下： 如图，平分一内角． 当时，∵平分， ∴，∵，∴， ∴，∴．∴的周长为． 你认为小华的解答过程对吗？如果不对，请写出正确的解答过程． 【答案】小华的解答过程不对，正确的解答过程见解析；的周长为14cm或16cm 【分析】应分两种情况解答：当cm，cm时；当cm，cm时，利用平行线的性质及角平分线的性质得到AB的长度，由此即可求得平行四边形的周长. 【详解】 小华的解答过程不对，正确的解答过程如下： 如图（1），平分一内角． 当cm，cm时， ∵平分， ∴． ∵AD∥BC， ∴， ∴， ∴cm． ∴的周长为（cm）． 如图（2），当cm，cm时， 同理可得cm． 则的周长为（cm）． 综上所述．的周长为14cm或16cm． 【点睛】此题考查平行四边形的对边平行的性质，角平分线的性质，等腰三角形等角对等边的性质. 9.（19-20八年级上·湖南长沙·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．    （1）当∠BDA＝105°时，∠BAD＝　 　°，∠DEC＝　 　°； （2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE； （3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）25，105；（2）见解析；（3）当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为100°或115°. 【分析】（1）利用邻补角的性质、等边对等角和三角形内角和定理解题即可； （2）利用∠DEC+∠EDC＝130°，∠ADB+∠EDC＝130°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AAS即可得出△ABD≌△DCE； （3）根据等腰三角形的腰的情况分类讨论，在利用等腰三角形的性质和三角形的外角即可分别求出∠BDA. 【详解】解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠50°，∠BDA＝105°，∠ADE＝50°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝25°，∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE=25° ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝50°， ∴∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣50°﹣25°＝105°， 故答案为：25，105； （2）∵∠B＝∠C＝50°， ∴∠DEC+∠EDC=180°﹣∠C＝130°， 又∵∠ADE＝50°， ∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE =130°， ∴∠ADB＝∠DEC， 在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（AAS）． （3）当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为100°或115°， ①当ED=EA时， ∴∠DAE＝∠EDA=50°， ∴∠BDA＝∠C＋DAE＝100°； ②当DA=DE时， ∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝65°， ∴∠BDA＝∠C＋DAE＝115°， ③当AD=AE时， ∠ADE=∠AED=50° ∵∠C=50° ∠AED是△EDC的外角 ∴∠AED＞∠C，与∠AED=50°矛盾 所以此时不成立； 综上所述：当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为100°或115°． 【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和三角形外角的性质，掌握等边对等角、利用AAS判定两个三角形全等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键. 10.（25-26八年级上·四川自贡·阶段练习）已知：如图所示，在ΔABC和ΔADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE,，且点B，A，D在同一条直线上，连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点, 连接AM,AN,MN． ⑴.求证：BE=CD ⑵.求证：ΔAMN是等腰三角形. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【详解】试题分析：（1）由∠BAC=∠DAE，等式左右两边都加上∠CAE，得到一对角相等，再由AB=AC，AF为公共边，利用SAS可得出三角形ABE与三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等可得出BE=CD； （2）由M与N分别为BE，CD的中点，且BE=CD，可得出ME=ND，由三角形ABE与三角形ACD全等，得到对应边AE=AD，对应角∠AEB=∠ADC，利用SAS可得出三角形AME与三角形AND全等，利用全等三角形的对应边相等可得出AM=AN，即三角形AMN为等腰三角形． 试题解析：⑴.∵ ∴ 即 在和中 ∴≌ ∴ ⑵.由≌知： 又∵分别为的中点，且 ∴ 在和中 ∴≌ ∴ 即是等腰三角形 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 知识点04 等边三角形 1.等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形. 2.等边三角形的性质： ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. ②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； ③等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 3.等边三角形的判定 ①定义法：三边都相等的三角形是等边三角形. ②三个角都相等的三角形是等边三角形. ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 4. 常见的几何模型 例题讲解 例1（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，是等边三角形，点是边上一点，连接． (1)如图1，在边上取点，使，连接，交于点．求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若点为中点，求的值； (3)如图3，是内一点，且，连接，求的度数． 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，即可由定理得出结论； （2）由得到，从而证得，则，，由勾股定理得，再代入计算即可； （3）延长交于D，延长交于N，连接，先证明，得到，再证明，（三线合一），得到，然后证明，得到，从而得出，最后利用等腰三角形与三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵ ∴， ∵点为中点，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3）解：延长交于D，延长交于N，连接，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ， ， ∵， ∴， ∴，（三线合一）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】第二小问可以用30o的直角三角形的性质,不用勾股定理. 变式训练1.（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰三角形，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，以下结论；；是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】①连接，根据垂直平分线性质求出，即可解题；②可求得，，从而推出，结合得证；③在上截取，先证明是等边三角形，接着证，推出，即可解题；④过点作于，先证明，结合，可推导出答案；⑤根据，可得，进而可得，故当时结论成立，故⑤错误； 【详解】解：如图，连接， ，， ，， ，. ， ， ，， . 故①正确； ， . ， ， . ， 是等边三角形. 故②正确； 如图，在上截取，   ， 是等边三角形， ，， . ， . ， ， ， . 故③正确； 如图，过点作于，   ，， ， ， ， . 故④正确. ∵，， ∴， ∴， ∴当时结论才成立， ∴不一定等于，故⑤错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 变式训练2.（24-25八年级上·江苏南通·期末）综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：等边中，O是的中点，D是射线上一点（不与点C、B重合），连接，作等边（点E和点C在边的同侧），连接并延长交直线于点F． 【特例分析】（1）如图1，当点D与点O重合时，发现“”，请证明； 【拓展探究】（2）当点D在线段上（不与端点重合），在图2中补全图形，并证明； 【推广应用】（3）当点D在射线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点D在线段上时，；当点D在线段上时，；当点D在线段的延长线上时，． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，根据等角对等边可得结论； （2）如图2，连接，证明和，即可得结论； （3）分三种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，当点在线段的延长线上，根据线段的和与差可解答． 【详解】（1）证明：如图，∵等边中，点O是的中点， ∴，． ∵等边， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）证明：如图，连接． ∵和是等边三角形， ∴，，． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵点O是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：①当点在线段上时，如图3，连接 ， ∵是等边三角形， ， 是的中点， ， ， 由（2）同理知：， ， ， ； ②当点在线段上时，如图2， 由①知：， 由（2）知：， ， ； ②当点在线段的延长线上时，如图4，连接， 由①知：， 由（2）知：， ， ． 课后练习 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列推理中，错误的是(   ) A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形 B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形 C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形 D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形 【答案】B 【详解】A∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确； B条件重复且条件不足，故不正确； C∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确； D根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确. 故选B. 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，等边对等角，掌握等边三角形的定义是解题关键．根据选项所给条件逐一判断即可． 【详解】解：A、，则，为等边三角形，不符合题意； B、，若不是的中点时，则不是等边三角形，符合题意； C、，为等边三角形，不符合题意； D、，则，为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 3.（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，直线l，m相交于点O，夹角为α．P为这两直线外一点，且．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离为2.8，则α度数为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定．连接，，得出，根据已知条件得出是等边三角形，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 依题意， ∴，即， ∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2， ∴， ∵，P1，P2之间的距离为2.8， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明平分，再证明是等边三角形，接着利用平行线的性质，求得，，从而可证明，根据等腰三角形的判定，可得，再利用，求出． 【详解】解：连接交于点，   ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，． ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 5．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在等边中，，分别为，边上的两个动点，且总使，与交于点F，于点，则以下结论：①；②；③．其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】由题意知，，证明，进而可判断①的正误；由可得，由三角形外角的性质可知，，进而根据含度角的直角三角形的性质，可判断②的正误；由是动点，可知与的值不一定相等，进而可判断③的正误． 【详解】解：由题意知， 在和中， ∵ ∴， 故①正确； 由可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故②正确； ∵是动点， ∴与的值不一定相等，仅当时，，则， 故③错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的灵活运用． 6．（24-25八年级上·河北·期末）如图， 在等边△ABC中， AB=2， 点D在△ABC内或其边上，AD=2， 以AD为边向右作等边△ADE，连接CD，CE．设CE的最小值为m； 当ED的延长线经过点B时，， 则m， n的值分别为（ ） A．，55 B．，60 C．2-2，55 D．2-2，60 【答案】D 【分析】先判断点E在以A为圆心，2为半径的圆上，利用三角形三边关系得到CE≥AC-AE（当且仅当A、E、C共线时取等号），从而可求得m的值；当ED的延长线经过点B时，如图，通过证明△ABD≌△ACE可得∠ADB=∠AEC，然后再求得∠AED的度数即可求得答案． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=2，∠BAC=60°， ∵△ADE是边长为2的等边三角形， ∴点E在以A为圆心，2为半径的圆上， ∴CE≥AC-AE（当且仅当A、E、C共线时取等号）， ∴m=AC-2=2-2； 当ED的延长线经过点B时，如图， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE=∠DAE=∠AED=60°，AD=AE， ∴∠BAC-∠DAC=∠CAE-∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB=∠AEC， 而∠ADB=180°-∠ADE=120°， ∴∠AEC=120°， ∴∠DEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°， 即：n=60°， 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 7．（25-26八年级上·内蒙古·期中）如图在等边△ABC中，OA＝PB＝CD，若∠POD＝60°，OP＝3，则点P、D间的距离等于 【答案】3 【分析】根据“一线三等角”模型，证明，得到OP=OD=3，再证明△是等边三角形，由等边三角形三边相等解答． 【详解】解：连接PD， 在等边△ABC中，∠A=∠C=60° ∠POD＝60°， △是等边三角形， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 8．（19-20八年级上·福建南平·期中）如图，△ABC是等边三角形，点D在BC上，△ADE是等腰三角形，AD ＝AE ，∠DAE ＝100°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数. 【答案】30° 【分析】首先利用等边三角形的性质得出∠B=∠BAC=∠C=60°，再利用等腰三角形的性质得出∠ADE＝∠E＝40°，进而得出∠BAD=10°，进而利用三角形外角性质得出答案． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形 ∴∠B=∠BAC=∠C=60° 又∵AD =AE ，∠DAE =100°， ∴∠ADE=∠E =40° ∵DE⊥AC ∴ ∠DAC =∠EAC =50° ∴ ∠BAD=60°-50°=10° 又∵∠ADC=∠B +∠BAD =70° ∴∠EDC =∠ADC -∠ADE =30° 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质和三角形外角的性质等知识，熟练结合外角性质得出是解题关键． 9．（25-26八年级上·云南·期中）如图，已知和是等边三角形，且三点共线，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，得到，，，进而得到，即可得证； （2）在上取点Q使得，连接，得为正三角形，得到，，证明，得到，根据，即可得证． 【详解】（1）证明：∵与是正三角形， ∴，，， ∴， 在与中 ， ∴； （2）在上取点Q使得，连接，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为正三角形， ∴，， 又∵为正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 10．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末） 问题初探 如图①，中，，，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图②，中，，，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，则________．（直接写出答案，不写过程） 方法迁移 如图③，是等边三角形，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，则、、之间有怎样的数量关系？答案：________（直接写出答案，不写过程）． 拓展创新 如图④，是等边三角形，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，猜想的度数，并说明理由． 【答案】问题初探：，理由见解析；类比再探：；方法迁移：；拓展创新：，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．本题的综合性较强，解题的关键是添加辅助线，构造手拉手全等模型，证明三角形全等． （1）根据题意可推出，然后利用边角边即可证明，即可推出； （2）过点作交于点，则，同（1）可证：，即可算出； （3）根据题意推出，然后利用边角边即可证明，推出，即可推出； （4）过点作交于点，得到是等边三角形，再证明，得到，根据，即可得解． 【详解】解：（1），理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）如图所示，过点作交于点， ， ， 在中， ， ， ， ， 同（1）可得：， ， ， 故答案为：； （3）和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （4），理由如下： 如图所示，过点作交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 知识点05 含有30o的直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 例题讲解 例1（25-26八年级上·广东汕头·期中）实验操作： 如图1，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起，你能通过实验操作，借助这个图形，找到的直角边与斜边之间的数量关系．教材中有这样的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)请结合图2，已知：在中，，，求证：． (2)实践思考：如图3，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕后再把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点D恰好落在折痕上的点M处．求证：． (3)拓展运用：如图4，已知三角形衣架中，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）以B为圆心，以长为半径作弧，交延长线于D，连接，则，证得是等边三角形，进而证得； （2）根据折叠的性质折叠、，进而证得，根据，证得； （3）过点C作交延长线于点D，证得、，根据直角三角形的面积公式进行计算求解即可． 【详解】（1）证明：以B为圆心，以长为半径作弧，交延长线于D，连接， 则, 、 是等边三角形， ； （2）证明：对折矩形纸片，为折痕， 、 沿折叠，使点D落在矩形内部点M处， 、、 ； （3）解：如图4，过点C作交延长线于点D， ． 变式训练1.（25-26八年级·上海静安·课后作业）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3， 如果∠BAC的平分线AD=6， 那么∠B= ． 【答案】30° 【分析】利用勾股定理求得CD=3，根据含30度角的直角三角形的性质推出∠ACD=30°，利用角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD=30°，从而求得∠B=30°． 【详解】在△ABC中，∠C=90°，AC=3， AD=6， ∴CD=， ∴∠CAD=30° ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD=∠BAD=30°， ∴∠B． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质以及角平分线的定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 变式训练2.（25-26八年级上·广东·期中）把一副三角板按如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板绕点顺时针旋转得到（如图乙）．这时与相交于点、与相交于点． (1)写出 度； (2)线段的长为 ； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转角度，可算出，在中，可算出，根据是的外角，由此即可求解； （2）根据（1）可知垂直平分，，，可算出，的长度，在中，由勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：∵旋转角为， ∴， ∴， ∴， 在中，． （2）解：由（1）可知，，且， ∴平分，， ∴， 在中，由勾股定理得，． 课后练习 1．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了含直角三角形的性质，解题的关键是掌握在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，求解即可 【详解】解：在中，，，则， 故选：A 2．（11-12八年级上·天津南开·期中）如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A．10米 B．15米 C．25米 D．30米 【答案】B 【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，由此即可得到AB=2AC，而根据题意找到CA=5米，由此即可求出AB，也就求出了大树在折断前的高度． 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°， ∴AB=2AC， 而CA=5米， ∴AB=10米， ∴AB+AC=15米． 所以这棵大树在折断前的高度为15米． 故选B． 【点睛】本题主要利用定理--在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题． 3．（18-19七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（   ） ①是的平分线；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、含30度角的直角三角形，由作图过程可知，射线为的平分线，即是的平分线；由题意得，由角平分线的定义得，则；根据，可得；过点D作于点E，由角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，进而可得，则，即可得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，射线为的平分线， 即是的平分线， 故①正确，符合题意； ∵， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 过点D作于点E， ∵是的平分线，， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， 故④不正确，不符合题意． 综上所述，正确的个数是3． 故选：C． 二、填空题 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，2.5，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 根据在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，则该边所对的锐角为，可得，根据三角形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：在中，，已知，则； 是所对的直角边，为斜边，且， ， 三角形内角和为，， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）在直角三角形中，如果一个锐角为，而斜边与较小直角边的和为，那么斜边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，设较小的直角边是，则根据直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半得到斜边是，根据题意得，然后即可求出斜边．解题的关键是掌握：在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半的性质． 【详解】解：设较小的直角边是，则斜边是， 根据题意得：， 解得：， ∴，即斜边长为． 故答案为：． 6．（22-23九年级上·广西河池·期中）如图所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形，若，，，则的长度为 ． 【答案】4 【分析】根据题意得是直角三角形，根据，，可求得，而，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形， ∴， 故答案为：4． 【点晴】本题主要考查了直角三角形的性质，中心对称图形的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 7．（2025·山东聊城·三模）如图，在中，，，，点P为上一点，点Q为上一点，且，分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，若恰好经过的中点，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形、垂直平分线的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设的中点为，连接，由，得到，根据中点的定义得到，由作图可得直线是的垂直平分线，则有，通过计算可得，推出是等边三角形，得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，设的中点为，连接， ，， ， 的中点为， ， 由作图可得，直线是的垂直平分线， 恰好经过的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：2． 8．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·吉林四平·月考）如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿射线、运动，且它们的速度都为2厘米／秒，设运动时间为t（秒）（）． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)如图①，点P、Q分别在线段、上运动时，、相交于点M，求的度数； (3)如图②，当点P、Q分别运动到线段、的延长线上时，、的延长线相交于点M，的度数会变化吗？若不变，请求出的度数；若改变，请说明理由； (4)如图③，若点P的速度不变，点Q的速度为3厘米／秒，点P、Q分别在线段、上运动时，连接，当为直角三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3) (4)t的值为或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据题意速度乘以时间即可得出，（秒），分点P在线段上和射线上，求出的长； （2）利用等边三角形的性质即可证明，则有，即可求解； （3）证明，则，即可求解； （4）分两种情况考虑：；；根据含30度直角三角形的性质建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点P分别从顶点出发，沿射线运动，速度为2厘米／秒，则， （秒）， ∴当时，点P在线段上，； 当时，点P在射线上，； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为； （3）解：不变化，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：根据题意得，，， ∴， 分以下两种情况讨论： ①当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得，； ②当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 综上可得，t的值为或． 10．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图，，平分，点在射线上，点，分别在边，上，且求证：． 如图，小喆同学从条件的角度出发给出如下解题思路：作于，于，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．如图： 可证：， ，又可证出， ，  ， ， 在中，，，， ， ． 如图，小昀同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在射线上截取 ，连接，将线段，，之间的数量关系转为线段与之间的数量关系． 请你写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换并提出下面的问题，请你解答． 如图，，平分，点在射线上，点在射线的反向延长线上，点在射线上，且求证：． 【学以致用】（3）在等边的外侧作直线，点关于直线的对称点为点，连接，，其中交直线于点（点不与点重合），连接，． 如图，当时，直接写出的度数及线段，，之间的数量关系； 如图，当时，直接写出的度数及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3），，， 【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，解答即可． 在射线上截取 ，连接，根据等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等量代换证明即可． （2）作于，于，先证明，接着再证明，利用直角三角形的性质证明即可． （3）根据等边三角形的性质，折叠的性质，得到，根据三角形外角性质即可得到；在射线上截取 ，连接，利用等边三角形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，等量代换思想解答即可． 先证明；在射线上截取 ，连接，根据等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，等量代换思想解答． 【详解】（1）如图，小喆同学从条件的角度出发给出如下解题思路：作于，于，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．如图： 可证：， ，又可证出， ，   ， ， 在中，，，， ， ． 证明：如图，在射线上截取 ，连接， ∵，平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故． （2）证明：作于，于， ∵，平分， ∴，， 在和中 ， ∴， ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ，   ， ， 在中，，，， ， ． 故． （3）解：，； 理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 在射线上截取 ，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故． 解：，； 理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 在射线上截取 ，连接， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠的性质，得， 故． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角性质，熟练掌握性质和全等的判定是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $