期末总复习讲义05轴对称图形 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学讲义以“轴对称图形”为核心，系统整合轴对称识别与性质、角平分线、线段垂直平分线、互逆命题及最短路径5大知识点。通过对比表格明晰轴对称图形与成轴对称的区别，步骤化梳理画轴对称图形方法，结合历史背景呈现将军饮马问题，构建逻辑连贯的知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计与数学思维培养，例题如折叠问题分析轴对称性质，变式训练结合坐标对称考查几何直观，课后练习设置最短路径探究题发展推理能力。基础题巩固概念，综合题提升应用，助力不同层次学生掌握轴对称变换思想，教师可据此实施精准复习教学，学生能自主构建知识网络。

八年级数学期末总复习讲义 第5课 轴对称图形 知识点梳理 知识点01——轴对称图形 知识点02——角的平分线 知识点03——线段垂直平分线 知识点04——互逆命题、互逆定理 知识点05——最短路径 知识点01 轴对称图形 1. 轴对称图形的识别 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.同样地，这条直线叫作对称轴， 2. 轴对称图形和轴对称的区别 项目 轴对称图形 两个图形成轴对称 示例图 意义不同 一个图形具有的特殊性质 两个图形的特殊关系 对称轴数量不同 至少一条 只有一条 对称轴的位置不同 经过图形上的某条直线 两个图形间的一条直线 联系 (1)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 (2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称 3. 轴对称的性质 4. 轴对称变换 5. 画轴对称图形 （1） 画出图形中的一些特殊点的对称点； （2）依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 例题讲解 例1（24-25八年级上·全国·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别落在，的位置上，与交于点，若，则 ． 【分析】翻折前后的两个图形是成轴对称的，本质是全等的，所以由折叠可得： 【详解】由题意可得：， ， 由折叠可得：， ， ． 故答案是． 变式训练1.（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 变式训练2：（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知中为钝角，以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于G，交于H，连接．有如下结论：①若，则；②若，则；③平分；④．其中错误的结论是（   ）． A． ① B．② C．③ D．④ 课后练习 1．点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 3．如图把一张纸折起来，用铅笔在上面扎个洞，图1是折起来扎洞的情景，图2是4张展开的纸，其中有一张与图1展开后完全一样，其编号是 ． 4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，点B，，在同一直线上，则为 度． 5．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图所示，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，关于轴对称的点，则的值为 ． 6．如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，点落在点处，若，则的度数为 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，先画出关于x轴对称的图形，再画出所得图形关于y轴对称的图形．你是怎样做的？ 8．如图，将平行四边形ABCD沿着对角线BD折叠，点C的对应点为C′，BC′与AD相交于点E． (1) EB与ED相等吗？证明你的结论； (2)连接AC′，判断AC′与BD的位置关系，并说明理由． 9．如图的三角形纸板中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD． （1）若AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，求△AED的周长； （2）若∠C＝100°，∠A＝70°，求∠BDE的度数． 10．综合与实践． 【知识初探】 （1）如图，长方形纸条中，，，，将纸条按如图所示方式折叠，点落在处，点落在处，得到折痕，交于点． 若，则______度 若，则______（用含的式子表示） 【类比再探】 （2）如图，在图的基础上将对折，点落在直线上的处点落在处．得到折痕．则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． 知识点02 角的平分线 1. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2. 角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 3. 作已知角的平分线：用尺规作已知角的平分线.已知：∠AOB,求作：∠AOB的平分线. 4.常见辅助线：①向角两边作垂线段；②在角的两边上截取相等线段. 例题讲解 例2（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 变式训练1：（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知四边形，点E在边上，且．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使与面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） 变式训练2：（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，平分，，点在边上，． (1)判断的形状并证明； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 课后练习 1．（24-25八年级上·四川·期末）如图，在中，，，点在的内部，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，分别是，的平分线，相交于点F，且，的周长为21，关于甲、乙、丙三人的结论，下列判断正确的是（   ） 甲：；乙；点F到的距离为2；丙：连接，则平分 A．只有甲对 B．甲、乙、丙都对 C．乙错，丙对 D．甲错，乙对 3．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）在中，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·贵州黔南·期中）已知的三边，，长分别是，其三条角平分线交于点O，则 ． 5．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 6．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于点E，且AC＝6cm，则DE+BD等于 ． 7．（125-26八年级·湖南邵阳·月考）如图，平分，，于点M，于点N．求证：． 8．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 9．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图中，，、为、上的点，，垂足为E，且，． (1)求证：平分； (2)求证：． 10．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足．在线段上取一点，连接交于点，且． (1)如图1，若的坐标为，则点的坐标为__________； (2)如图2，连接，求的度数，并说明理由； 知识点03 线段垂直平分线 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 2.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3.逆定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理和逆定理的条件和结论相反 4.画图： 例题讲解 例3（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：，，   ，，，   ，   设，，   ，，，，   ，，   ，   ，   ∴，   ，   ，   ． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 变式训练1：（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 变式训练2：（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，等腰三角形的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点．则的周长的最小值为 ． 课后练习 1．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为 ． 4．如图，已知点P是∠AOB内一点，点P关于直线OA的对称点是点M，点P关于直线OB的对称点是点N，连接线段MN分别交OA、OB于点E、F，连接线段PE、PF．如果△PEF的周长是10cm，那么线段MN的长度是 cm． 5．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是 ．    6．已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 7．如图，已知中，于点D． (1)请作出的垂直平分线，分别交于点E，F； (2)若点D为线段的中点，，求的度数． 8．如图，为锐角三角形． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在边右上方确定点，使，且；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则四边形的面积为______．（如需画草图，请使用图2） 9．如图所示，在中，，点G为的中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)直接写出的长 ． 10．如图，点，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线． (1)连接，，求证：； (2)求证：垂直平分． 知识点04 互逆命题、互逆定理 1.两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 2.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 例题讲解 例4（25-26八年级上·云南大理·期中）下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（   ） A．成轴对称的两个图形全等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．全等三角形的面积相等 【分析】本题考查了命题与逆命题、轴对称图形、直角三角形的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．先写出原命题的逆命题，再根据轴对称图形、直角三角形的性质、全等三角形的性质、对顶角的性质判断原命题与逆命题的真假即可得． 【详解】解：A、原命题：成轴对称的两个图形全等，是真命题；逆命题：全等的两个图形是轴对称图形，是假命题；则此项不符合题意； B、原命题：直角三角形两锐角互余，是真命题；逆命题：两锐角互余的三角形是直角三角形（理由是三角形内角和，若两锐角互余，则第三个角为），是真命题；则此项符合题意； C、原命题：对顶角相等，是真命题；逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；则此项不符合题意； D、原命题：全等三角形的面积相等，是真命题；逆命题：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题；则此项不符合题意； 故选：B． 变式训练1：（25-26八年级上·安徽淮北·期中）命题“垂线段最短”的逆命题是 ． 变式训练2：（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 ． 课后练习 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）下列说法错误的是（   ） A．三角形的角平分线把三角形分成面积相等的两部分 B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 C．两个成轴对称的图形的对称点不一定在对称轴的两侧 D．“全等三角形对应角相等”的逆命题不成立 2．（25-26八年级上·云南昭通·期中）下列命题的逆命题成立的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．若实数，则 C．全等三角形的周长相等 D．若实数，则 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 ，逆命题 （填“成立”或“不成立”）. 4．（25-26八年级上·河南许昌·期中）命题：“如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 5．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理： 6．（25-26八年级上·福建泉州·期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 7．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是 命题（填“真”或“假”） 8．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）把“相等的角是对顶角”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 9．（2013·江苏南京·一模）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 10．（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题是 ，逆命题 （填成立/不成立）． 知识点05 最短路径 将军饮马问题是经典的几何最短路径问题，其理论源头可追溯至古希腊光学研究：欧几里得在《反射光学》中首次系统阐述光的直线传播特性与反射定律；约三个世纪后，海伦在著作中将该反射定律应用于实际问题，提出核心“将军饮马问题”原型。 该问题可以描述为：给定直线同侧的两个定点，在直线上寻找一点，使该点到两定点的距离之和最短。 解决将军饮马问题，需要利用轴对称变换的思想，通过构造其中一个点关于直线的对称点，将折线路径转化为直线距离，依据“两点之间线段最短”原理得出最优解。 例题讲解 例5（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将的最小值转化为的长是解题关键．连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，求出，再根据垂直平分线的性质，得到，从而得出的最小值为的长，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 等腰的底边，D为边的中点， ，， 面积为， ， ， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， 周长的最小值是， 故选：C． 变式训练1：（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式训练2：（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 课后练习 1.（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 2．（24-25八年级上·河南·阶段练习）如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   4.（23-24八年级上·贵州遵义·月考）如图，在三角形中，，，是边上的高，为边上一点，为上一动点，若，则的最小值为 ． 5．（24-25七年级下·吉林长春·期末） 如图，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 6．（24-25七年级下·吉林长春·期末） 如图，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 详解 7. （24-25八年级上·广东·期末） 如图，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 8. （24-25八年级上·广东·期末） 如图，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末总复习讲义 第5课 轴对称图形 知识点梳理 知识点01——轴对称图形 知识点02——角的平分线 知识点03——线段垂直平分线 知识点04——互逆命题、互逆定理 知识点05——最短路径 知识点01 轴对称图形 1. 轴对称图形的识别 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.同样地，这条直线叫作对称轴， 2. 轴对称图形和轴对称的区别 项目 轴对称图形 两个图形成轴对称 示例图 意义不同 一个图形具有的特殊性质 两个图形的特殊关系 对称轴数量不同 至少一条 只有一条 对称轴的位置不同 经过图形上的某条直线 两个图形间的一条直线 联系 (1)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 (2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称 3. 轴对称的性质 4. 轴对称变换 5. 画轴对称图形 （1） 画出图形中的一些特殊点的对称点； （2）依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 例题讲解 例1（24-25八年级上·全国·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别落在，的位置上，与交于点，若，则 ． 【分析】翻折前后的两个图形是成轴对称的，本质是全等的，所以由折叠可得： 【详解】由题意可得：， ， 由折叠可得：， ， ． 故答案是． 变式训练1.（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，符合题意； B． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； C． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； D． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 变式训练2：（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知中为钝角，以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于G，交于H，连接．有如下结论：①若，则；②若，则；③平分；④．其中错误的结论是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的判定．根据对称得到，，则，，，，，，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵以边，所在直线为对称轴作的对称图形和， ∴，， ∵， ①若，则， ∴， ∴，故①正确； ②若，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴的边与的边上的高相等，即点到和的距离相等， ∴平分；，故③正确； 在上截取，连接， 由，，不能证明，故无法证得， ∴不能确定，故④错误； 故选：D． 课后练习 1．点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，关于x轴对称的点的坐标变换规律为：横坐标不变，纵坐标取相反数． 【详解】解：点关于x轴对称时，其横坐标1保持不变，纵坐标2变为， 因此对称点的坐标为， 故选B． 2．如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到，．根据得到，由折叠得到，．即可由，根据三角形的内角和定理可得，由周角的定义得到答案．此题考查了平行线的性质、折叠的性质、邻补角等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． ∴，． ∴， ∵点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点， ∴，，． ∴ ． ∴， ∴． 故选：C． 3．如图把一张纸折起来，用铅笔在上面扎个洞，图1是折起来扎洞的情景，图2是4张展开的纸，其中有一张与图1展开后完全一样，其编号是 ． 【答案】（4） 【分析】本题考查了折叠．熟练掌握折叠性质，是解题的关键． 根据两个穿孔关于折痕对称辨别，即解决问题． 【详解】解：折痕为对称轴，两个穿孔关于折痕对称，只有（4）符合． 故答案为：（4）． 4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，点B，，在同一直线上，则为 度． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，角的和差运算，根据折叠的性质可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵为折痕， ∴， ∵， ∴，则， 故答案为： ． 5．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图所示，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，关于轴对称的点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称问题，轴对称的性质，正确理解图形轴对称的性质是解题的关键．根据图形轴对称的性质，可知，即可求得答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ， ． 故答案为：． 6．如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，点落在点处，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，由折叠的性质得到，再根据，，求出，最后根据平行线的性质得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，先画出关于x轴对称的图形，再画出所得图形关于y轴对称的图形．你是怎样做的？ 【答案】作图见解析 【分析】结合题意，根据轴对称和直角坐标系的性质，首先分别画出三角形三个顶点关于x轴的对称点，即可得到关于x轴对称的图形，再分别画出三角形三个顶点关于y轴的对称点，从而完成求解． 【详解】作关于x轴对称的图形，如下图： 作关于y轴对称的图形 ∴即为所求． 【点睛】本题考查了直角坐标系、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、坐标的性质，从而完成求解． 8．如图，将平行四边形ABCD沿着对角线BD折叠，点C的对应点为C′，BC′与AD相交于点E． (1) EB与ED相等吗？证明你的结论； (2)连接AC′，判断AC′与BD的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)EB与ED相等，证明过程见解析 (2)AC′∥BD．理由见解析 【分析】（1）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB=∠CBD，进而得出BE=DE； （2）由BE=DE，进而得出AE=CE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'=∠EC'A=∠EBD=∠EDB，进而得出AC'∥BD． 【详解】（1）解：EB与ED相等． 由折叠可得，∠CBD=∠C'BD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠EDB=∠EBD， ∴BE=DE； （2）解：AC′∥BD．理由如下： ∵四边形ABCD平行四边形， ∴AD=BC， 由折叠知，BC'=BC， ∴AD=BC'， 由（1）知BE=DE， ∴AE=C'E， ∴∠DAC'=（180°-∠AEC'）=90°-∠AEC'， 同理：∠ADB=90°-∠BED， ∵∠AEC'=∠BED， ∴∠DAC'=∠ADB， ∴AC'∥BD， 故答案为：AC′∥BD． 【点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 9．如图的三角形纸板中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD． （1）若AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，求△AED的周长； （2）若∠C＝100°，∠A＝70°，求∠BDE的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，即可得到，即可得解； （2）由折叠性质可得，，得到，即可得解； 【详解】（1）由折叠的性质得：，， ∴， ∴的周长； （2）由折叠性质可得：，， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了折叠问题，三角形外角定理，准确计算是解题的关键． 10．综合与实践． 【知识初探】 （1）如图，长方形纸条中，，，，将纸条按如图所示方式折叠，点落在处，点落在处，得到折痕，交于点． 若，则______度 若，则______（用含的式子表示） 【类比再探】 （2）如图，在图的基础上将对折，点落在直线上的处点落在处．得到折痕．则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． 【答案】（）；；（），理由见解析． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （）由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； 由题意得，则， 由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （）由题意得，，由平行线的性质得，推出，即可得出． 【详解】解：（）由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （），理由如下： 由题意得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 知识点02 角的平分线 1. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2. 角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 3. 作已知角的平分线：用尺规作已知角的平分线.已知：∠AOB,求作：∠AOB的平分线. 4.常见辅助线：①向角两边作垂线段；②在角的两边上截取相等线段. 例题讲解 例2（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 变式训练1：（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知四边形，点E在边上，且．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使与面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【提示】与有公共底边，面积相等高就相等，所以作的角平分线，根据角平分线的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，点P即为所求． ． 延长，过点P作于点H，于点G， ∴， ∴， ∴． 变式训练2：（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，平分，，点在边上，． (1)判断的形状并证明； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． （提示：角平分线具有轴对称性，添加辅助线时要从构造轴对称全等的角度去思考） 【分析】本题考查了角平分线定义、外角定义，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质． （1）通过角平分线定义、外角定义，得出，可得是等腰三角形； （2）在上取，连接，先证，则，．通过角度关系得出，可求的度数； （3）在上取，连接，在上取，连接．由，可证，，由角得，可得出的值． 【详解】（1）解：是等腰三角形， 证明：平分， ． ，， ． ． 是等腰三角形． （2）解：在上取，连接，设 平分， ． 在和中 ． ，． ， ． ． ， ． ， ． ． ， ． ， ，． 即． ． 由（1）知，． （3）解：在上取，连接，在上取，连接． 平分， ． 在和中 ． ，． ， ． ， ． 在和中 ． ， ， ． ． ， ． ，， ． ． 由（1）知． ． ． ， ． 课后练习 1．（24-25八年级上·四川·期末）如图，在中，，，点在的内部，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．根据，，判断是的角平分线，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴点O到、的距离相等， ∴是的角平分线， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，分别是，的平分线，相交于点F，且，的周长为21，关于甲、乙、丙三人的结论，下列判断正确的是（   ） 甲：；乙；点F到的距离为2；丙：连接，则平分 A．只有甲对 B．甲、乙、丙都对 C．乙错，丙对 D．甲错，乙对 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，连接，过点作，根据角平分线的性质，得到，进而得到平分，利用分割法求面积法，求出的的长，进行判断即可． 【详解】解：连接，过点作， ∵分别是，的平分线， ∴， ∴， ∴平分，故丙说法正确； ∵， ∵的周长为21， ∴， ∴， ∴点F到的距离为4，故乙说法错误； 条件不足，无法得到，故甲说法错误； 故选C． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）在中，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线和角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键，根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，证明，再依据逐项判断即可． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，故选项B正确，不符合题意； ∴，故选项D正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，，故选项A正确，不符合题意；选项C错误，符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级上·贵州黔南·期中）已知的三边，，长分别是，其三条角平分线交于点O，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是，所以面积之比就是 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点， ，，是的三条角平分线， ， 的三边，，长分别是， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点作于，如图，   平分，，， ， 点是射线上的动点， 的最小值为． 故答案为：3． 6．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于点E，且AC＝6cm，则DE+BD等于 ． 【答案】6cm 【分析】根据等腰直角三角形的性质，得；根据角平分线和勾股定理性质，得、；设，通过列一元二次方程并求解，从而完成求解． 【详解】∵AC＝BC，∠C＝90° ∴ ∵AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于点E，∠C＝90° ∴，， ∴, 设 ∵AC＝6cm ∴ ∴ ∴ ∴ ∴或（舍去） ∴cm ∴cm 故答案为：6cm． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、勾股定理、一元二次方程、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、一元二次方程的性质，从而完成求解． 7．（125-26八年级·湖南邵阳·月考）如图，平分，，于点M，于点N．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，再根据角平分线的性质定理即可证明． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ， ， 即平分． 又，， ． 8．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，求出． （1）根据角平分线的作图步骤，作的角平分线即可； （2）利用角平分线的性质定理证明，再根据地块的面积为，求出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：作，，垂足分别为，； ∵是的角平分线， ∴， ∵边，，地块的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为． 9．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图中，，、为、上的点，，垂足为E，且，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，线段的和差，掌握知识点是解题的关键． （1）利用证明，得到，即可得到平分． （2）先证明，得到，得到，即，则，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 和是直角三角形， 在和 中， ， ， ， ，， ， 平分； （2）∵， ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 10．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足．在线段上取一点，连接交于点，且． (1)如图1，若的坐标为，则点的坐标为__________； (2)如图2，连接，求的度数，并说明理由； 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了坐标与平面，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）先根据绝对值和平方式的非负性求出，，然后证明，则，即可求出点的坐标； （2）过分别作于点，作于点，证明  ，则，然后根据角平分线的判定证明平分，即可求解． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过分别作于点，作于点，如图： 由（1）知，， ，， ， ， ， 在与中， ，    ， ，， 平分， ． 知识点03 线段垂直平分线 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 2.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3.逆定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理和逆定理的条件和结论相反 4.画图： 例题讲解 例3（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：，，   ，，，   ，   设，，   ，，，，   ，，   ，   ，   ∴，   ，   ，   ． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 变式训练1：（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式推出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 变式训练2：（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，等腰三角形的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点．则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．如图，连接，由垂直平分线得到，推出的长为的最小值即可解答． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等腰三角形，点D为底边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长的最小值为． 故答案为：11． 课后练习 1．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可． 【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线， ， ， ， 综上，正确的是A、C、D选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题目中的作图方法确定是线段的垂直平分线，得到，即； 接下来根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得以及的度数；再根据三角形外角的性质以及可求得的度数，然后根据列式计算即可得到答案．本题考查线段垂直平分线的画法及应用、三角形内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等． 【详解】解：∵由作图可知，垂直平分， 故选：D． 3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为 ． 【答案】7 【分析】△APC周长，因为AC＝3，所以求出AP+CP的最小值即可求出△APC周长的最小值，根据题意知点关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，AP+CP的值最小，即可得到结论． 【详解】∵直线EF垂直平分AB， ∴A，B关于直线EF对称， 设直线EF交BC于E， ∴当P和E重合时，AP+CP的值最小，最小值等于BC的长， ∴△APC周长的最小值， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出P的位置． 4．如图，已知点P是∠AOB内一点，点P关于直线OA的对称点是点M，点P关于直线OB的对称点是点N，连接线段MN分别交OA、OB于点E、F，连接线段PE、PF．如果△PEF的周长是10cm，那么线段MN的长度是 cm． 【答案】10 【分析】根据轴对称的性质可知EP=EM，PF=FN，结合△PEF的周长为10cm，利用等量代换可知MN=EP+EF+PF=10cm． 【详解】解：∵点M是点P关于AO的对称点， ∴AO垂直平分MP， ∴EP=EM． 同理PF=FN． ∵MN=ME+EF+FN， ∴MN=EP+EF+PF， ∵△PEF的周长为10cm， ∴MN=EP+EF+PF=10cm． 故答案为：10． 【点睛】此题考查轴对称的基本性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等． 5．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是 ．    【答案】6 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长． 【详解】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D， ∴BD＝CD， ∵AB＝3.7，AC＝2.3， ∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键． 6．已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． 【详解】（1）证明：∵是平分线上的一点，，， ∴，，又， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线； 7．如图，已知中，于点D． (1)请作出的垂直平分线，分别交于点E，F； (2)若点D为线段的中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键． （1）如图，作出线段的垂直平分线即可； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，为的垂直平分线， （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ． 8．如图，为锐角三角形． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在边右上方确定点，使，且；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则四边形的面积为______．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)图形见解析 (2)28 【分析】考查角平分线作图、角平分线性质、三角形面积．关键是用角平分线性质转化高，易错点是忽略点D到的距离等于． （1）作平分线，作，交点为D； （2）拆分四边形面积为：用算面积，利用角平分线性质算面积，相加得结果． 【详解】（1）如图所示： （2） ． ， ； 又是的平分线，点D到、的距离相等且，故 ； 因此，四边形的面积． 故答案为：28． 9．如图所示，在中，，点G为的中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)直接写出的长 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质定理， 对于（1），先根据线段垂直平分线的性质定理得出，再根据角平分线性质定理得，然后根据“斜边、直角边”证明，则此题可证； 对于（2），先根据“斜边直角边”证明，可得，进而得出，再代入数值求出，此题可解． 【详解】（1）证明：连接， ∵点G是的中点，且， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵平分，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：8； ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：8． 10．如图，点，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线． (1)连接，，求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定； （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换，即可得证； （2）根据即可得出垂直平分． 【详解】（1）证明：如图连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴垂直平分． 知识点04 互逆命题、互逆定理 1.两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 2.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 例题讲解 例4（25-26八年级上·云南大理·期中）下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（   ） A．成轴对称的两个图形全等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【分析】本题考查了命题与逆命题、轴对称图形、直角三角形的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．先写出原命题的逆命题，再根据轴对称图形、直角三角形的性质、全等三角形的性质、对顶角的性质判断原命题与逆命题的真假即可得． 【详解】解：A、原命题：成轴对称的两个图形全等，是真命题；逆命题：全等的两个图形是轴对称图形，是假命题；则此项不符合题意； B、原命题：直角三角形两锐角互余，是真命题；逆命题：两锐角互余的三角形是直角三角形（理由是三角形内角和，若两锐角互余，则第三个角为），是真命题；则此项符合题意； C、原命题：对顶角相等，是真命题；逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；则此项不符合题意； D、原命题：全等三角形的面积相等，是真命题；逆命题：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题；则此项不符合题意； 故选：B． 变式训练1：（25-26八年级上·安徽淮北·期中）命题“垂线段最短”的逆命题是 ． 【答案】最短的线段是垂线段 变式训练2：（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 ． 【答案】“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 课后练习 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）下列说法错误的是（   ） A．三角形的角平分线把三角形分成面积相等的两部分 B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 C．两个成轴对称的图形的对称点不一定在对称轴的两侧 D．“全等三角形对应角相等”的逆命题不成立 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的基本性质、轴对称的概念及命题的逆命题，熟练掌握三角形角平分线、外角的性质以及轴对称图形对称点的特征和逆命题的判断方法是解题的关键．选项A错误，因为三角形的角平分线不一定将三角形分成面积相等的两部分；选项B正确，符合三角形外角定理；选项C正确，因为轴对称图形中，对称点可能在对称轴上；选项D正确，因为“全等三角形对应角相等”的逆命题不成立． 【详解】解：∵三角形的角平分线不一定平分对边， ∴由角平分线分成的两个小三角形底边不一定相等，高相同，面积不一定相等．故A错误． ∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， ∴B正确． ∵轴对称图形中，对称点可能位于对称轴上，此时不在两侧， ∴C正确． ∵“全等三角形对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，大小不相等的三角形的对应角相等却不全等， ∴逆命题不成立，D正确． 故选：A． 2．（25-26八年级上·云南昭通·期中）下列命题的逆命题成立的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．若实数，则 C．全等三角形的周长相等 D．若实数，则 【答案】A 【分析】本题考查了判断命题的真假，逆命题． 先根据逆命题是将原命题的题设和结论互换后得到的新命题，再判断每个选项的逆命题是否成立． 【详解】解：A．原命题为“同旁内角互补，两直线平行”，其逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”．根据平行线的性质可知逆命题成立； B．原命题为“若，则”，其逆命题为“若，则”．但时，a与b可能相等或互为相反数（如），故逆命题不成立； C．原命题为“全等三角形的周长相等”，其逆命题为“周长相等的三角形是全等三角形”．但周长相等的三角形不一定全等（如边长3，4，5与4，4，4的三角形周长均为12但不全等），故逆命题不成立； D．原命题为“若，则”，其逆命题为“若，则”．但时，a可能小于b（如），故逆命题不成立； ∴只有选项A的逆命题成立． 故选：A． 3．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 ，逆命题 （填“成立”或“不成立”）. 【答案】 对应角相等的两个三角形全等 不成立 【分析】本题考查了命题与逆命题的概念以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握命题与逆命题的概念以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 逆命题是通过交换原命题的条件和结论得到的．原命题的条件是“三角形全等”，结论是“对应角相等”，因此逆命题为“对应角相等的三角形全等”．但对应角相等只能推出三角形相似，不一定全等，故逆命题不成立． 【详解】解：原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”． 根据三角形全等的判定定理，对应角相等是三角形相似的条件，但并非全等的充分条件． 因此，逆命题不成立． 故答案为对应角相等的三角形全等、不成立． 4．（25-26八年级上·河南许昌·期中）命题：“如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题主要考查了命题与定理，解题关键是熟练掌握逆命题的概念． 逆命题是将原命题的结论变为条件，原命题的条件变为结论．即可判断命题真假． 【详解】原命题“如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等”的逆命题是“如果两个图形全等，那么这两个图形成轴对称”．两个图形全等不一定成轴对称，例如通过平移得到的全等图形，因此逆命题是假命题． 故答案为：假． 5．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理： 【答案】 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题考查了逆定理的概念，熟练掌握逆定理的概念是解决本题的关键． 逆定理是通过将原定理的条件和结论互换得到的，即“如果点到线段两端的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上”． 【详解】解：原定理表述为“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”， 其逆命题表述为“到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”． 故答案为：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 7．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查的是命题与定理，根据等腰三角形的定义，等腰三角形只需两边相等，而等边三角形需三边相等，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： “等边三角形是等腰三角形”的逆命题是：“等腰三角形是等边三角形”，该逆命题是假命题， 故答案为：假． 8．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）把“相等的角是对顶角”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查逆命题，命题的题设与结论，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．先要明确命题中的已知条件和结论，然后将已知和结论的描述语言进行适当扩充． 【详解】解：∵原命题的条件是：“相等的角”，结论是：“这两个角是对顶角”， ∴把“相等的角是对顶角”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 9．（2013·江苏南京·一模）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 【答案】有两个锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了逆命题，将原命题的题设和结论互换即可写出它的逆命题，找出原命题的题设和结论是解题的关键． 【详解】解：命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为有两个锐角互余的三角形是直角三角形， 故答案为：有两个锐角互余的三角形是直角三角形． 10．（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题是 ，逆命题 （填成立/不成立）． 【答案】 “角的内部，角平分线上的点到角两边的距离相等” 成立 【分析】本题考查了命题与逆命题，真命题与假命题的判定，掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线的性质进行判定即可求解． 【详解】“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题为“角的内部，角平分线上的点到角两边的距离相等”成立． 故答案为：“角的内部，角平分线上的点到角两边的距离相等”；成立． 知识点05 最短路径 将军饮马问题是经典的几何最短路径问题，其理论源头可追溯至古希腊光学研究：欧几里得在《反射光学》中首次系统阐述光的直线传播特性与反射定律；约三个世纪后，海伦在著作中将该反射定律应用于实际问题，提出核心“将军饮马问题”原型。 该问题可以描述为：给定直线同侧的两个定点，在直线上寻找一点，使该点到两定点的距离之和最短。 解决将军饮马问题，需要利用轴对称变换的思想，通过构造其中一个点关于直线的对称点，将折线路径转化为直线距离，依据“两点之间线段最短”原理得出最优解。 例题讲解 例5（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将的最小值转化为的长是解题关键．连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，求出，再根据垂直平分线的性质，得到，从而得出的最小值为的长，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 等腰的底边，D为边的中点， ，， 面积为， ， ， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， 周长的最小值是， 故选：C． 变式训练1：（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置． 根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：C． 变式训练2：（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可．本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， 即． 故答案为：． 课后练习 1.（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．作点P关于直线的对称点，连接，由，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点P关于直线的对称点，连接，则，    在和中， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值， ∴当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 在中，∵，，， ∴， ∴的最小值是7， 故选：A． 2．（24-25八年级上·河南·阶段练习）如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间线段最短，通过平面展开图和两点之间线段最短即可求解，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点， 根据两点之间，线段最短，则沿线段爬行，就可以使爬行路线最短， 故选：． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，依据两点之间，线段最短，将所求路线长转化为两定点之间的距离是解答本题的关键． 依题意，分析出所需管道最短，利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：如图， 画出点关于的对称点，则： 连接，交直线于点， ， 此时，最小， 故选：． 4.（23-24八年级上·贵州遵义·月考）如图，在三角形中，，，是边上的高，为边上一点，为上一动点，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接，与交于点，此时最小，由等边三角形的性质有，所以的最小值为的长，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接，与交于点，此时最小， 是等边三角形，， ∴， ， ， 即就是的最小值， ，点是边的中点， ∴， ∵，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 5．（24-25七年级下·吉林长春·期末） 如图，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题． 解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 6．（24-25七年级下·吉林长春·期末） 如图，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 详解 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题． 【分析】：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 7. （24-25八年级上·广东·期末） 如图，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 【分析】如图所示，在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8. （24-25八年级上·广东·期末） 如图，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【分析】根据三线合一得到，，即可得到； ②连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； 【详解】①∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； ②如图所示，点F即为所求； ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴； 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为 【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，根据两点之间线段最短，则最小； （2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，根据两点之间线段最短，则的周长最小； 本题考查了轴对称性质，两点之间线段最短等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型 【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； 理由：根据作法得：， ∴， ∴当点共线时，最小； （2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； 理由：根据作法得：，， ∴， ∴当点共线时，的周长最小； 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $