期末总复习03全等三角形 讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学全等三角形复习讲义通过分点梳理与策略表格系统构建知识体系，将全等三角形性质、判定（含直角三角形HL）、稳定性与尺规作图等核心知识点分层呈现，用“判定策略表格”归纳已知边、角条件下的证明方法，清晰呈现重难点内在联系，培养学生几何直观与空间观念。 讲义亮点在于“例题-变式-综合应用”的递进式练习设计，如例2结合尺规作图考查SSS判定，变式训练融入多地区期中、月考题，培养推理意识与创新意识。课后练习覆盖选择、填空、解答题，分层支持不同学生提升，为教师实施精准复习教学提供实用资源。

八年级数学期末总复习讲义 第3课 全等三角形 知识点梳理 知识点01——全等三角形及其性质 知识点02——全等三角形的判定 知识点03——三角形的稳定性与尺规作图 知识点04——直角三角形全等的判定 知识点04——全等三角形判定的综合应用 知识点01 全等三角形及其性质 1.全等三角形： 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 2.全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等变换：平移、翻折、旋转 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 例题讲解 例1（25-26八年级上·江苏无锡·期中）下列各组图形中，一定是全等图形的是（　　） A．两个底边相等的等腰三角形 B．两个斜边相等的直角三角形 C．两个周长相等的长方形 D．两个面积相等的圆 【答案】D 【分析】此题考查全等图形的定义，全等图形必须形状和大小完全相同，选项A、B、C中，图形可能因其他参数（如腰长、直角边、长宽比）不同而不全等；选项D中，圆的全等仅取决于半径，面积相等则半径相等，故一定全等． 【详解】A、两个底边相等的等腰三角形，腰长不一定相等，故不一定全等； B、两个斜边相等的直角三角形，内角不一定分别相等，直角边长也不一定分别相等，故不一定全等； C、两个周长相等的长方形，长和宽不一定分别相等，故不一定全等； D、∵ 圆的面积公式为 ，且圆的大小由半径唯一确定； ∴ 两个面积相等的圆，其半径必然相等，因此一定全等； 故选：D 变式训练1.（25-26八年级上·陕西渭南·月考）下列各组图形中，是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等图形，根据形状和大小都相同的两个图形是全等图形，进行判断即可． 【详解】解：A、形状不同，不是全等图形； B、大小不同，不是全等图形； C、大小不同，不是全等图形； D、形状和大小都相同，是全等图形； 故选D． 变式训练2：（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形四边形，则的度数是 【答案】 【分析】本题考查了全等图形的性质，根据全等图形的对应角相等求出的度数，进而根据四边形的内角和即可求解，掌握全等图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形四边形， ， 故答案为：． 知识点02 全等三角形的判定 1.基本事实“边角边”：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS” 2. 基本事实“角边角”：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA” 3. 基本事实“角边角”的推论“角角边”：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. 4.基本事实“边边边”：三边分别相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS”. 例题讲解 例2（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，为外部一点，连接、，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使；（保留作图痕迹，不用写做法）； (2)根据你的作图，判定的依据是___________； (3)求的度数． 【答案】(1)作图见详解 (2) (3) 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接即可得到答案； （2）①根据（1）中的尺规作图，结合全等三角形的判定定理即可得到答案； （3）结合全等三角形的判定可得，在和中，由三角形内角和定理得到、，数形结合表示出计算即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 点即为所求； （2）解：由（1）中尺规作图可得， 再由，结合两个三角形全等的判定定理即可得到， 故答案为：； （3）解：在中，由三角形内角和定理可得， 在中，由三角形内角和定理可得， ， ， ． 例3（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）如图，，，，延长至点使， (1)求证：． (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形中线的性质等知识点，证得是解题的关键． （1）先根据同角的补角相等可得，进而得到，再说明，然后运用即可证明结论； （2）先根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分可得，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴． 变式训练1：（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等． （1）通过证明，得出对应边相等，从而证明； （2）先利用已知条件和（1）的结论得出线段相等关系，再证明，结合三角形内角和等知识求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ， 在与中，， ∴ ； （2）解：连接, ， ， 在与中， ∴， ， ∵， ， ∴， ． 变式训练2：（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，相交于点F，若． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理， （1）先证明，利用证明即可； （2）由全等得出，再根据及三角形内角和定理求出结论即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ， ， ； （2）解：∵， ， 设与交于点O， ， ， ， ． 变式训练3.（25-26八年级上·山西晋城·期中）如图，在中，，在上分别截取相等的两条线段，连接交于点，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟知各种判定方法是解题的关键．根据题意先利用判定证明，从而有，，，再用判定证，从而能一一判别各选项的正误． 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴并不能证明出，，，故A、B、C选项错误，D选项正确， 故选：D． 知识点03 三角形的稳定性与尺规作图 1.三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，的这个性质叫做三角形的稳定性. 2. 尺规作图 ①画一个角等于已知角 作图的依据是（SSS） ②过直线外一点画已知直线的平行线 作图的依据是（SSS） ③已知两边及其夹角画三角形 提醒：如图为夹角，可以画出确定的三角形，否则不能确定. ④已知两角及一边画三角形 3. 一个错误的“事实”边边角：两边和一角分别相等的两个三角形全等. 例题讲解 例4（25-26八年级上·内蒙古·期中）有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：①如图所示，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点；②以点为圆心，不等于①中的半径长为半径画弧，交于点；③连接、，相交于点；④作射线，则为的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由． 【答案】正确，见解析 【分析】本题考查了角平分线的作图方法与作图原理，解题的关键是要理解作图过程，由作图可得，，证明，由全等三角形的性质进一步得出，再证明，由全等三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出．即为的平分线． 【详解】解：正确， 理由：由作图可得，， 在和中， 即， 即， 在和中 ， ， 在和中 ， ， 即为的平分线． 变式训练1：（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 尺规作一个角等于已知角是通过构造两个全等三角形来实现的，其中三边对应相等，因此依据是全等判定． 【详解】解：以已知角顶点为圆心，任意长为半径画弧，交、两边于D、C， 以新射线端点为圆心，相同半径画弧，交射线于， 用圆规量取距离，以为圆心画弧交前弧于， 连接，得，如下图： 在和中，，， 因此，用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是， 故选：A． 变式训练2：（25-26八年级上·北京·期中）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形； （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，也得符合条件的三角形； （3）分情况考虑即可：角可以是已知两边的夹角，也可以是其中一边的对角． 【详解】（1）作一个角等于已知角，然后在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形， 如图1所示；    （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，所得三角形也符合条件， 如图2所示；    （3）角是边长为3cm与4cm两边的夹角， 如图3所示的；    角是4cm边的对角，如图4所示的两个三角形：及；角是3cm边的对角，如图5中的，故共有4个这样的三角形满足条件． 故答案为：4． 【点睛】本题是一道开放性的探索题，也考查了尺规作图，在已知两边与一角的情况下，所作的三角形不唯一，注意不同的情况所作的三角形个数不同． 知识点04 直角三角形全等的判定 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 例题讲解 例5（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，与相交于点，于点，于点，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质： （1）利用角角边证明，即可求证； （2）证明，可得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴． 变式训练1：（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在等腰中，，是边上的高，F是外一点，，延长线交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3.5 【分析】本题主要考查角平分线定理，全等三角形的判定与性质，掌握三角形的判定与性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可知证即可求解； （2）延长交于点，先证，得到，结合，可得，进而得到即可求解． 【详解】（1）平分， ， 又是边上的高，F是外一点，， ， ∵， ， ； （2）延长交于点， 由（1）知， ， 又，， ， ， 又， ， 又，， ， ， ， 即． 变式训练2：（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接．求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查角的和差，全等三角形的判定与性质，线段的和差，角平分线的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，再根据，，推导出，则，即可解答； （2）先证明，得到，由，得到，则，得到，即可解答． （3）连接，先证明，得到，继而推导出，即，得到平分，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ． （2），，， ， ， 又∵， ， ， ． （3）连接，如图 ，， ， ， ， 又∵， ， 即， 平分． 知识点05 全等三角形判定的综合应用 全等三角形判定的常见策略： 类型 策略 已知两边 ①找夹角——利用“SAS”证全等（应用最多的策略） ②找第三边——利用“SAS”证全等 已知一边一角 ①找一角——利用“ASA”或“AAS”证全等 ②找一边——利用“SAS”证全等 已知两角 找一边——利用“ASA”或“AAS”证全等 直角三角形 ①“SAS”②“ASA”③“AAS”④“HL” 例题讲解 例6（25-26八年级上·全国·期末）（1）如图1，，点 M，N 分别在上，且，连接交于点 D，求证：； （2）如图2，在中， 于点 M，点 N 在上，且，求证：； （3）如图3，在中，点E 在边上，点 F 在线段上，且，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）由，得到，则，即可解答； (2)过点 B 作于点K，由，，得，即可解答； (3)在的延长线上取一点 H，使得，连接．由，得，， ，则即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）过点 B 作于点K，如图 ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴， ∴； （3）在的延长线上取一点 H，使得，连接，如图 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ， ∴． 变式训练1：（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，点在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据即可证明两三角形全等； （2）由（1）可知，根据平角的定义求出的度数，从而可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵AE和BD相交于点O， ． 在和中， ， ． 又， ， ∴，即． 在和中， ， ． （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ． 变式训练2：（25-26八年级上·广东潮州·期中）阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于D，于E，，，求的长； (3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点在第一、第三象限的角平分线上，点在轴上，为等腰直角三角形．直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，，， 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答． （2）因为，，得，因为，即可通过证明，再运用全等三角形的性质，即可作答． （3）分类讨论，如图，当，，过点B作轴于点，过点A作的延长线于点，如图，通过证明，再设点B的坐标为，，根据，进一步作答即可，当，，和分别作图，接着证明相应三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，列式作答即可． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴ 即， ∵ ∴ ∵ ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 则 ∵ ∴ 即． （3）解：如图，当，，过点B作轴于点，过点A作的延长线于点，如图： ∴， ∴， ∵过点B作轴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴，， 解得， 故点C的坐标为； 当，，过点B作轴于点，过点A作射线轴，且过点B作于，如图： ∴， ∵ ∴， ∵过点B作轴，过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴， 此时方程无解， 当，，过点A作直线轴，与轴交于点D，过点B作于点E，如图： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴，， 解得， 故点C的坐标为； 当，，过点A作直线轴，过点B作于点E，过点C作于点D，如图： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴， ， 解得， 故点C的坐标为； 当时，，过点C作直线轴，过点B作于点E，过点A作于点D，如图： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴，， 解得， 故点C的坐标为； 综上， C点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平角的定义，直角三角形的两个锐角互余，“一线三直角”的模型，综合性较强，难度较大，灵活使用分类讨论思想以及正确掌握作辅助线是解题的关键． 课后练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（   ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：①只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ②则只保留了部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； 而③不但保留了一个完整的边还保留了两个角，所以应该带去③，根据全等三角形判定可以配出一块和原来一样的三角形玻璃． 故选C． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列各组的两个图形属于全等形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形全等的概念，熟练掌握概念的是解题的关键．根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，逐项判断即可． 【详解】解：A、两个图形大小不同，不能完全重合，故本选项错误； B、两个图形形状不同，不能完全重合，故本选项错误； C、两个图形能够完全重合，故本选项正确； D、两个图形大小不同，不能完全重合，故本选项错误． 故选：C． 3．（2021·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键． 4．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图所示，已知一条直线和直线外一点，仅用圆规和无刻度直尺完成其中两条直线的某种位置关系的作图，作图结果为图所示．①以点为圆心画弧线；②以点为圆心画弧线；③以点为圆心画弧线．请从下面选项中选择正确的用圆规画弧线的顺序（   ） A．②①③ B．①③② C．②③① D．①②③ 【答案】A 【分析】根据过直线外一点作已知直线的平行线的尺规作图方法，即可得解． 【详解】解：依图得，该作图过程是过直线外一点作直线的平行线， 则根据过直线外一点作直线的平行线尺规作图方法可知： 第一步，过点作任意一条直线交于点， 第二步，以点为圆心，任意长度为半径画弧，与直线和分别相交于点、，即， 第三步，以点为圆心，长度为半径画弧，与直线相交于点，即， 第四步，以点为圆心，长度为半径画弧，两弧相交于点，即， 第五步，连接， 此时和中， ， ， ， ， 综上，正确的用圆规画弧线的顺序为②①③． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、平行线的判定、尺规作图之过直线外一点作直线的平行线，解题关键是熟练掌握过直线外一点作直线的平行线的尺规作图法． 5．（21-22八年级上·江苏南通·期中）下列选项所给条件能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，根据能画出唯一，故本选项符合题意； C、，不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意； D、，不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 6．（19-20八年级上·福建三明·开学考试）如图，在中，F是高，的交点，，，，则线段的长度为（    ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质，能熟练利用全等三角形的判定及性质进行求解是解题的关键．结合直角三角形的特征，由判定，再由全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：F是高，的交点， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 7．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在学习了全等三角形的判定后，小明编了一道题目：“如图，已知线段与线段交于点，，，是线段的中点，求证：”，老师说他给的已知条件多了，可以去掉一个．那么不能去掉的条件是（   ） A．线段与交于点 B． C． D．是线段的中点 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定． 根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．去掉“线段与交于点”， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“线段与交于点”， ∴选项不符合题意； B．去掉“”， ∵线段与线段交于点，， ∴，， ∵是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“”， ∴选项不符合题意； C．去掉“”， ∵线段与线段交于点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 由“，，，”无法证明， ∴不能去掉“”， ∴选项符合题意； D．去掉“是线段的中点”， ∵线段与线段交于点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴可以去掉“是线段的中点”， ∴选项不符合题意． 故选：C． 8．（25-26八年级上·北京·期中）如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质， 由题意可得：，，即可证明，从而得出，根据三角形的外角可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， , ， ， ． 故选：C． 9．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上截取，连接，利用可证得，于是可得，，根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分，， ， 在和中， ， ， ，， ， 垂线段最短， 当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，如图，， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用垂线段最短解决最短路线问题，涉及角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键． 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【详解】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 二、填空题 11．（20-21八年级上·江苏镇江·月考）如图，已知，要判断，若根据“”，则还需要的一个条件是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定（），解题关键是掌握全等三角形的判定（）． 根据全等三角形的判定（），添加条件即可． 【详解】解：，， 添加或， 可根据“”， 判断， 故答案为：或． 12．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，用尺规作图作一个角等于已知角，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是 ． 【答案】/边边边 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、尺规作图作一个角等于已知角，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据画图过程，利用全等三角形的判定方法“”可证明． 【详解】解：由作图过程得，，， ∴， ∴， 故所用到的判别方法是或（边边边）， 故答案为：或（边边边） 13．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，，，，，则 ． 【答案】50 【分析】先根据得，再利用三角形内角和定理得出，进而得出，再利用角的和差关系得出，进而可求． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差关系等，解题的关键是牢记全等三角形的对应角相等． 14．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，在和中，，，，，连接，，与相交于点，连接．有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、证明三角形全等是解题的关键． 根据题意可得，根据可证明，根据全等三角形的性质得出，即可判断①和③正确；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的外角性质推得，即可判断④正确，由，不能证明不能得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，即①③正确； ∵， ∴，， 由三角形的外角性质得：， ∴，④正确； ∵，不能得出，则不成立故②不正确， 故答案为：①③④． 15．（25-26八年级上·四川绵阳·月考）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．根据题意可证，可得，，再根据，由此即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：7． 16．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等． 【答案】2或 【分析】可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】解：①当，时，， ， ， ， ，解得：， ， ， 解得：； ②当，时，， ， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：2或． 【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 17．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分、， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的是①②④个． 故答案为：①②④． 18．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为4，2，1，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，分别过点作的垂线，分别交直线于点，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：分别过点作的垂线，分别交直线于点， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ∴， ∴，，， 同理可得：， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点B、F、C、E在同一直线上，相交于点G，，垂足为B，，垂足为E，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形外角的性质， 对于（1），根据“斜边直角边”证明即可； 对于（2），先根据全等三角形的对应角相等可得，再根据直角三角形的两个锐角互余求出，再根据三角形外角的性质得出答案. 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴. 在中，，同理. ∵是的外角， ∴. 20．（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是多少? 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的性质及判定，关键是熟练应用知识点找到全等三角形； 由题意可知≌，得到，又已知，即可求得结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴(m)， 即：小丽距地面的高度是. 21．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，四边形中，，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若．求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质得到，证明，进而得到，利用线段的和差关系求出的长即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，．已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据可证明； （2）得出，，求出，则可求出． 【详解】（1）证明：在与中， ； （2）， ∴， ． 23．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，在四边形中，，连接，且，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，进而可得，即可得证； （2）连接，证明，得出，由，可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，，且，点E在边上，，垂足为F，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 24．（21-22八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，高线相交于点O，． (1)求线段的长； (2)若点F是直线上的一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当秒或2秒时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，适当的添加辅助线． （1）根据三角形的高得，根据角之间的关系得，用即可证明，根据边之间的关系得，即可得求出的长度，根据全等三角形的性质得，即可得； （2）由题意得，，，，分情况讨论：时，，得，进行计算即可得，时，，得，进行计算即可得． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下： 解：由题意得，，，，， 如图所示， 当时，， ∴， 解得：； 如图所示， 当时，， ∴， 解得：， 综上所述，存在，当秒或2秒时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等． 25．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，且满足等式． (1)填空：的坐标分别为A________，B________； (2)如图1，点P在上，且，作射线，过B作，垂足为交x轴于点C，求C点坐标； (3)如图2，若D为的中点，E为y轴负半轴上一动点，连接，过点D作交x轴于点F，记的面积为的面积为，当点E在y轴负半轴上运动的过程中，S的值是否发生改变？如发生改变，请说明理由；若不改变，求出S的值． 【答案】(1) (2) (3)S的值不发生改变，S的值为9 【分析】本题考查的是坐标与图形，全等三角形判定与性质，熟练掌握全等三角形判定与性质是解题的关键． （1）根据绝对值及平方的非负性求出，即可求出结论； （2）证明，得出，即可得出结论； （3）连接，证明，得出，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ； （2）解：∵，点P在上，且， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：S的值不发生改变，S的值为9，理由如下： 连接， ∵，D为的中点， ， 在中，D为的中点， ， ， ， ， ， ， 即 在和中， ， ， ， ． 26．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）综合与实践 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 已知：在中，． (1)如图，若，点、、在直线上，，则与的数量关系为 ，与的数量关系为 ． (2)如图，若，点、、在直线上，，试判断线段，和的数量关系，并说明理由． (3)如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等 【答案】(1)； (2) (3)点的运动速度为或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，则由，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $八年级数学期末总复习讲义 第3课 全等三角形 知识点梳理 知识点01——全等三角形及其性质 知识点02——全等三角形的判定 知识点03——三角形的稳定性与尺规作图 知识点04——直角三角形全等的判定 知识点04——全等三角形判定的综合应用 知识点01 全等三角形及其性质 1.全等三角形: 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 2.全等三角形的性质: 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 3.全等变换:平移、翻折、旋转 一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置发生变化,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 例题讲解 例1(25-26八年级上 江苏无锡 期中)下列各组图形中,一定是全等图形的是( ) A.两个底边相等的等腰三角形 B.两个斜边相等的直角三角形 C.两个周长相等的长方形 D.两个面积相等的圆 【分析】此题考查全等图形的定义,全等图形必须形状和大小完全相同,选项A、B、C中,图形可能因其他参数(如腰长、直角边、长宽比)不同而不全等;选项D中,圆的全等仅取决于半径,面积相等则半径相等,故一定全等. 【详解】A、两个底边相等的等腰三角形,腰长不一定相等,故不一定全等; B、两个斜边相等的直角三角形,内角不一定分别相等,直角边长也不一定分别相等,故不一定全等; C、两个周长相等的长方形,长和宽不一定分别相等,故不一定全等; D、∵ 圆的面积公式为 ,且圆的大小由半径唯一确定; ∴ 两个面积相等的圆,其半径必然相等,因此一定全等; 故选:D 变式训练1.(25-26八年级上 陕西渭南 月考)下列各组图形中,是全等图形的是( ) A. B. C. D. 变式训练2:(25-26八年级上 江苏无锡 期中)如图,四边形四边形,则的度数是 知识点02 全等三角形的判定 1.基本事实“边角边”:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS” 2. 基本事实“角边角”:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA” 3. 基本事实“角边角”的推论“角角边”:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. 4.基本事实“边边边”:三边分别相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS”. 例题讲解 例2(25-26八年级上 河北秦皇岛 期中)如图,为外部一点,连接、,已知,. (1)尺规作图:在内求作一点,使;(保留作图痕迹,不用写做法); (2)根据你的作图,判定的依据是_; (3)求的度数. 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题. (1)根据题意,以点为圆心,为半径画弧,再以点为圆心,为半径画弧,两弧交于点,连接即可得到答案; (2)①根据(1)中的尺规作图,结合全等三角形的判定定理即可得到答案; (3)结合全等三角形的判定可得,在和中,由三角形内角和定理得到、,数形结合表示出计算即可得到答案. 【详解】(1)解:如图所示: 点即为所求; (2)解:由(1)中尺规作图可得, 再由,结合两个三角形全等的判定定理即可得到, 故答案为:; (3)解:在中,由三角形内角和定理可得, 在中,由三角形内角和定理可得, , , . 例3(25-26八年级上 四川南充 阶段练习)如图,,,,延长至点使, (1)求证:. (2)若,求. 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形中线的性质等知识点,证得是解题的关键. (1)先根据同角的补角相等可得,进而得到,再说明,然后运用即可证明结论; (2)先根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分可得,再根据全等三角形的性质即可解答. 【详解】(1)解:∵延长至点使, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴. (2)解:∵延长至点使, ∴, ∵, ∴. 变式训练1:(25-26八年级上 湖北武汉 月考)如图,为上一点,为上一点,为延长线上的一点,. (1)求证:; (2)若,求的度数. 变式训练2:(25-26八年级上 广东广州 期中)如图,相交于点F,若. (1)求证:; (2)求的度数. 变式训练3.(25-26八年级上 山西晋城 期中)如图,在中,,在上分别截取相等的两条线段,连接交于点,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 知识点03 三角形的稳定性与尺规作图 1.三角形的稳定性 生活经验告诉我们,如果一个三角形三边的长度确定,那么这个三角形的形状和大小就完全确定,的这个性质叫做三角形的稳定性. 2. 尺规作图 ①画一个角等于已知角 作图的依据是(SSS) ②过直线外一点画已知直线的平行线 作图的依据是(SSS) ③已知两边及其夹角画三角形 ④已知两角及一边画三角形 3. 一个错误的“事实”边边角:两边和一角分别相等的两个三角形全等. 例题讲解 例4(25-26八年级上 内蒙古 期中)有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法,其方法为:①如图所示,以点为圆心,任意长为半径画弧,交于点;②以点为圆心,不等于①中的半径长为半径画弧,交于点;③连接、,相交于点;④作射线,则为的平分线.你认为他这种作法对吗?试说明理由. 【分析】本题考查了角平分线的作图方法与作图原理,解题的关键是要理解作图过程,由作图可得,,证明,由全等三角形的性质进一步得出,再证明,由全等三角形的性质得出,再证明,由全等三角形的性质即可得出.即为的平分线. 【详解】解:正确, 理由:由作图可得,, 在和中, 即, 即, 在和中 , , 在和中 , , 即为的平分线. 变式训练1:(25-26八年级上 黑龙江佳木斯 期中)用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是( ) A. B. C. D. 变式训练2:(25-26八年级上 北京 期中)已知一个三角形的两条边长分别是和,一个内角为. (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形; (2)你是否还能画出既满足题设条件,又与(1)中所画的三角形不全等的三角形?若能,请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形;若不能,请说明理由. 友情提醒:请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度,“尺规作图”不要求写作法,但要保留作图痕迹. (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和,一个内角为”,那么满足这一条件,且彼此不全等的三角形共有_个. 知识点04 直角三角形全等的判定 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 例题讲解 例5(25-26八年级上 安徽芜湖 期中)如图,与相交于点,于点,于点,,. (1)求证:; (2)求证:. 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质: (1)利用角角边证明,即可求证; (2)证明,可得,即可求证. 【详解】(1)证明:∵,, ∴, 在和中, ∵,,, ∴; (2)证明:∵, ∴, ∵,, ∴, 在和中, ∵,, ∴, ∴, ∴. 变式训练1:(25-26八年级上 浙江宁波 期中)如图,在等腰中,,是边上的高,F是外一点,,延长线交于点E,连接,平分. (1)求证:; (2)若,,求的长. 变式训练2:(25-26八年级上 河北邢台 月考)如图,在和中,与相交于点,与相交于点,与相交于点,,,. (1)求证:; (2)求证:; (3)连接.求证:平分. 知识点05 全等三角形判定的综合应用 全等三角形判定的常见策略: 类型 策略 已知两边 ①找夹角——利用“SAS”证全等(应用最多的策略) ②找第三边——利用“SAS”证全等 已知一边一角 ①找一角——利用“ASA”或“AAS”证全等 ②找一边——利用“SAS”证全等 已知两角 找一边——利用“ASA”或“AAS”证全等 直角三角形 ①“SAS”②“ASA”③“AAS”④“HL” 例题讲解 例6(25-26八年级上 全国 期末)(1)如图1,,点 M,N 分别在上,且,连接交于点 D,求证:; (2)如图2,在中, 于点 M,点 N 在上,且,求证:; (3)如图3,在中,点E 在边上,点 F 在线段上,且,连接.求证:. 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质,掌握知识点是解题的关键. (1)由,得到,则,即可解答; (2)过点 B 作于点K,由,,得,即可解答; (3)在的延长线上取一点 H,使得,连接.由,得,, ,则即可解答. 【详解】解:(1)∵, ∴, ∴; (2)过点 B 作于点K,如图 ∵,, ∴, ∵, ∴ ∴, ∴, 即, ∵, ∴ ∴, ∴; (3)在的延长线上取一点 H,使得,连接,如图 ∵, ∴, ∴, ∵ ∴, ∴ , ∴. 变式训练1:(25-26八年级上 全国 单元测试)如图,,点在边上,和相交于点. (1)求证:; (2)若,求的度数. 变式训练2:(25-26八年级上 广东潮州 期中)阅读理解,自主探究:“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况,即三个等角角度为,于是有三组边相互垂直.所以称为“一线三垂直模型”,当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形. (1)问题解决:如图1,在等腰直角中,,过点作直线,于D,于E,求证:; (2)问题探究:如图2,在等腰直角中,,,过点作直线,于D,于E,,,求的长; (3)拓展延伸:在平面直角坐标系中,,点在第一、第三象限的角平分线上,点在轴上,为等腰直角三角形.直接写出符合条件的点的坐标. 课后练习 一、单选题 1.(25-26八年级上 江苏连云港 阶段练习)调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分,认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃,那么应带下列选项中哪片碎玻璃( ) A.① B.①② C.③ D.①②或者③都可以 2.(25-26八年级上 江苏宿迁 阶段练习)下列各组的两个图形属于全等形的是( ) A.B.C.D. 3.(2021 黑龙江哈尔滨 中考真题)如图,,点和点是对应顶点,点和点是对应顶点,过点作,垂足为点,若,则的度数为( ) A. B. C. D. 4.(25-26八年级上 内蒙古呼和浩特 阶段练习)如图所示,已知一条直线和直线外一点,仅用圆规和无刻度直尺完成其中两条直线的某种位置关系的作图,作图结果为图所示.①以点为圆心画弧线;②以点为圆心画弧线;③以点为圆心画弧线.请从下面选项中选择正确的用圆规画弧线的顺序( ) A.②①③ B.①③② C.②③① D.①②③ 5.(21-22八年级上 江苏南通 期中)下列选项所给条件能画出唯一的是( ) A. B. C. D. 6.(19-20八年级上 福建三明 开学考试)如图,在中,F是高,的交点,,,,则线段的长度为( ) A.2 B.1 C.4 D.3 7.(25-26八年级上 内蒙古呼和浩特 期中)在学习了全等三角形的判定后,小明编了一道题目:“如图,已知线段与线段交于点,,,是线段的中点,求证:”,老师说他给的已知条件多了,可以去掉一个.那么不能去掉的条件是( ) A.线段与交于点 B. C. D.是线段的中点 8.(25-26八年级上 北京 期中)如图,点A,点B,点C,点D均在格点上,则的度数为( ) A. B. C. D. 9.(25-26八年级上 江苏南京 月考)如图,在中,,平分,为线段上一动点,为边上一动点,当的值最小时,的度数为( ) A. B. C. D. 10.(25-26八年级上 浙江绍兴 期中)如图,正方形网格中,利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案,直线是它的对称轴,下列结论中:①;②;③;④.正确结论的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题 11.(20-21八年级上 江苏镇江 月考)如图,已知,要判断,若根据“”,则还需要的一个条件是 . 12.(25-26八年级上 江苏南京 阶段练习)如图,用尺规作图作一个角等于已知角,其根据是构造两个三角形全等,它所用到的判别方法是 . 13.(22-23八年级上 江苏镇江 期末)如图,,,,,则 . 14.(25-26八年级上 河南南阳 期中)如图,在和中,,,,,连接,,与相交于点,连接.有下列4个结论:①;②;③;④,其中正确的是 .(填序号) 15.(25-26八年级上 四川绵阳 月考)如图,,,,,垂足分别为,,,,则 . 16.(2021 山东日照 中考真题)如图,在矩形中,,,点从点出发,以的速度沿边向点运动,到达点停止,同时,点从点出发,以的速度沿边向点运动,到达点停止,规定其中一个动点停止运动时,另一个动点也随之停止运动.当为 时,与全等. 17.(24-25七年级下 陕西咸阳 期中)如图,在中,,的角平分线、相交于点,过作交的延长线于点,交于点.现有下列结论:①;②;③;④.其中所有正确结论的序号为 . 18.(2025八年级上 全国 专题练习)如图,且,且,点、、共线,并且点、、到直线的距离分别为4,2,1,则四边形的面积为 . 三、解答题 19.(25-26八年级上 江苏无锡 阶段练习)如图,点B、F、C、E在同一直线上,相交于点G,,垂足为B,,垂足为E,且. (1)求证:; (2)若,求的度数. 20.(25-26八年级上 湖北宜昌 期中)小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置处,与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面高的处接住她后用力一推,爸爸在处接住她.若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和,.爸爸在处接住小丽时,小丽距离地面的高度是多少? 21.(24-25八年级上 河北廊坊 期末)如图,四边形中,,于点F,交于点E,连接,平分. (1)求证:; (2)若.求和的长. 22.(25-26八年级上 全国 课后作业)如图,在中,,点D在边上,点E在边上,连接,.已知. (1)求证:; (2)若,求的长. 23.(24-25八年级上 全国 期末)如图①,在四边形中,,连接,且,点E在边上,连接,过点A作,垂足为F,. (1)求证:; (2)如图②,连接,且是的角平分线,求证:. 24.(21-22八年级上 江苏宿迁 阶段练习)如图,在中,高线相交于点O,. (1)求线段的长; (2)若点F是直线上的一点,且,动点P从点O出发,沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动,动点Q从点B出发,沿射线以每秒4个单位长度的速度运动,P、Q两点同时出发,当点P到达A点时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t秒,则是否存在t值,使得以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在,请求出符合条件的t值,若不存在,请说明理由. 25.(25-26八年级上 广东广州 期中)如图,平面直角坐标系中,直线交x轴于点,交y轴于点,且满足等式. (1)填空:的坐标分别为A_,B_; (2)如图1,点P在上,且,作射线,过B作,垂足为交x轴于点C,求C点坐标; (3)如图2,若D为的中点,E为y轴负半轴上一动点,连接,过点D作交x轴于点F,记的面积为的面积为,当点E在y轴负半轴上运动的过程中,S的值是否发生改变?如发生改变,请说明理由;若不改变,求出S的值. 26.(25-26八年级上 江苏无锡 期中)综合与实践 数学课上,老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动,探究有关线段之间的关系 已知:在中,. (1)如图,若,点、、在直线上,,则与的数量关系为 ,与的数量关系为 . (2)如图,若,点、、在直线上,,试判断线段,和的数量关系,并说明理由. (3)如图,若,,,是中点,点在线段上以的速度由点到点运动,同时点在线段上由点到点运动,它们运动的时间为,当点的运动速度为多少时,能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等 试卷第1页,共3页 2 / 45 学科网(北京)股份有限公司 $