3.4方差（基础篇）练习2025-2026学年苏科版数学九年级上册

3.4方差 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、极差 定义：一组数据中最大值与最小值的差值，反映数据的波动范围。 计算公式：极差 =最大值} - 最小值 特点： · 优点：计算简单，直观反映数据的极端差异。 · 缺点：仅依赖两个极端值，忽略中间数据的分布，易受异常值影响，稳定性差。 适用场景：初步快速了解数据的离散程度，适用于小样本或数据分布较均匀的情况。 二、方差 定义：各数据与平均值的离差平方的平均数，衡量数据偏离平均值的平均程度。 计算公式： · 优点：利用所有数据信息，精确反映数据的离散程度，是衡量数据波动的核心指标。 性质：方差非负，若方差为0，则所有数据相等；方差越大，数据离散程度越高。 三、标准差 定义：方差的算术平方根，将方差的量纲转换为与原数据一致，更便于解释。 型 习 练 题 求方差 1．将一组数据1，2，3，4，5增加一个数3，则新的一组数据的（   ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数不变，方差变小 D．平均数不变，方差变大 【答案】C 【分析】本题考查了平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义． 根据平均数和方差的定义分别计算出原数据和新数据的平均数和方差，从而做出判断． 【详解】解：∵原数据的平均数为， ∴方差为； ∵新数据的平均数为， ∴方差为 ∴新数据与原数据相比平均数不变，方差变小． 故选：C． 2．已知一组数据，，，平均数和方差分别是，，那么另一组数据，，的平均数和方差分别是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平均数和方差的变化规律，解题的关键是掌握数据变换后平均数和方差的计算方法． 根据平均数和方差的性质，若数据变换为，则新平均数为，新方差为；代入已知数据的平均数、方差，以及、，分别计算新数据的平均数和方差． 【详解】解：∵ 原数据平均数为2，方差为， ∴ 新数据的平均数为 ， 方差为 ． 故选D． 3．样本方差的作用是（　　） A．估计总体的平均水平 B．表示总体的平均水平 C．表示总体的波动大小 D．估计总体的波动大小 【答案】D 【分析】本题考查方差，用样本估计总体，解题的关键是理解方差的意义． 方差反映了数据的波动大小，据此进行选择． 【详解】解：方差表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小． 故选：D． 4．若一组数据4，5，，6，7的平均数是5，则这组数据的方差为（　　）． A．4 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平均数和方差，熟练掌握平均数和方差的计算方法是解题的关键． 先根据平均数求出，再用方差的公式解题即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：， ∴这组数据的方差为：． 故选：C ． 5．据统计某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7，下列说法错误的是（   ） A．中位数是6 B．众数是6 C．平均数是6 D．方差是6 【答案】D 【分析】本题考查了众数、平均数、中位数、方差，解决本题的关键是掌握众数：一组数据中出现次数最多的数值；平均数：在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；中位数：按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数；方差：每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数． 根据中位数与众数的定义、平均数和方差公式逐项判断即可得． 【详解】解：将这组数据从小到大进行排序后，第4个数即为中位数， 则中位数是6，选项A正确； 因为6出现的次数最多， 所以众数是6，选项B正确； 平均数是，选项C正确； 方差是，选项D错误； 故选：D． 利用方差求位置数据的值 6．某组数据的方差，则该组数据的总和是（    ） A．8 B．20 C．40 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了方差的定义，解题的关键是对方差公式的理解． 根据方差的求解公式可知这组数的平均数以及这组数的个数，据此即可作答． 【详解】解：∵数据的方差， ∴该组数据共有8个，平均数为5， ∴该组数据的总和是． 故选：C 7．一组数据：，，，，，若加入一个数后，方差变小，则最可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求方差，熟知方差的性质是解答的关键．先求出原数据的平均数，再根据方差性质，分析加入数a后方差变小的条件，进而确定a的可能取值． 【详解】解：由题意，原数据的平均数为， 加入一个数a后，原数据的个数变为6，平均数为，要使加入a后方差变得更小，那么a应该更接近原数据的平均数6.6， 在各选项中，∵，，，，又， ∴时最接近平均数6.6，此时方差最小， ∴a最可能为7， 故选：D． 8．如图，小雨将一学期的五次数学成绩制作成了折线统计图，并计算了5次成绩的方差．当他得知期末数学成绩时，计算出六次成绩的方差，发现，小雨的期末数学成绩可能是（   ） A．82 B．88 C．90 D．93 【答案】A 【分析】本题考查了方差：方差公式…，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 先计算前5次的平均数，要使六次成绩的方差小于5次成绩的方差，则第6次的成绩要等于或接近平均数，据此可得答案． 【详解】解：前5次的平均数为：， ， 小雨的期末数学成绩可能是 故选：A 9．圆圆在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查方差，中位数，众数，平均数的定义以及总体、个体、样本、样本容量，根据已知的方差计算公式得出这组数据为2、4、5、5，再根据中位数，众数，平均数的概念求解即可． 【详解】解：由题意可知：这组数据为2、4、5、5， ∴平均数为，故①正确； ∴中位数为，故②错误； ∵5出现的次数最多， ∴众数为5，故③正确； 共有4个数，样本容量是4，故④错误； 综上所述，错误的有②④． 故选：D． 10．八年级某班准备从甲、乙两位同学中选一人参加学校跳绳比赛．通过多次测试统计，他们的平均成绩都是每分钟180个，方差分别是：．最终选择了更稳定的甲参加比赛，则可能是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了方差的意义． 根据方差越小，成绩越稳定判断即可． 【详解】解：∵，甲更稳定， ∴， 只有D符合， 故选：D． 根据方差判断稳定性 11．某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查方差，折线统计图，掌握方差越大，数据的波动程度越大；方差越小，数据的波动程度越小是解决问题的关键．解题思路是通过观察折线统计图中甲乙成绩的波动幅度，判断方差的大小关系． 【详解】解：从折线统计图中可以看出，甲的成绩折线波动幅度较小，乙的成绩折线波动幅度较大， 根据方差的意义，数据波动幅度越小，方差越小；波动幅度越大，方差越大， ∴甲的方差小于乙的方差，即． 故选：B． 12．在一场物理实验探究中，甲、乙、丙、丁四名同学分别对同一测量仪器进行10次测量操作，他们测量的平均值相同，测量数据的方差分别是，，，，则这四名同学中测量成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了利用方差判断稳定性．方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，表示数据越稳定,比较甲、乙、丙、丁四人的方差值，乙的方差最小，因此测量成绩最稳定，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，，，，且， ∴乙的测量成绩最稳定， 故选：B 13．下列说法不正确的是（    ） A．明天下雨是随机事件 B．要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查 C．已知一组数据：3，3，4，5，8，10，11，则这组数据的中位数是5 D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 【答案】B 【分析】本题考查随机事件、调查方式、中位数和方差的概念．选项A正确，明天下雨是随机事件；选项B错误，因为日光灯使用寿命的测试是破坏性的，全面调查不现实，应采用抽样调查；选项C正确，数据中位数为5；选项D正确，方差越小数据越稳定． 【详解】解：∵选项A：明天下雨可能发生也可能不发生，是随机事件，正确； ∵选项B：全面调查需检查所有个体，但日光灯寿命测试是破坏性的，全面调查不经济且不现实，应采用抽样调查，错误； ∵选项C：数据3，3，4，5，8，10，11按升序排列，共7个数，中位数为第4个数5，正确； ∵选项D：方差，乙组数据方差更小，更稳定，正确； 故选B． 14．甲、乙、丙、丁四名同学在次数学测验中，平均成绩均为分，这四名同学成绩的方差分别是，，，则成绩最稳定的是（  ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的实际意义是做题的关键．方差是反映一组数据波动大小的一个量，根据方差越大，则数据的离散程度越大，稳定性也越差，反之，则数据的离散程度越小，稳定性越好．比较四人的方差值，最小者最稳定． 【详解】解：∵ ，，，， 且 ， ∴ 最小， ∴ 乙同学成绩最稳定． 故选：B． 15．甲、乙、丙、丁四人参加射击训练，经过三组练习，他们的平均成绩都是9.5环，方差分别是，那么成绩最稳定的选手是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题主要考查了方差的性质，熟练掌握方差的性质，是解题的关键．根据方差越小数据越稳定的性质，比较四人方差大小即可判断． 【详解】解：∵方差越小成绩越稳定，且， ∴丁的成绩最稳定． 故选：D． 运用方差做决策 16．藤球是一项古老而独特的体育运动项目，有着悠久的历史，又叫“脚踢的排球”．下表是学校藤球队中四名同学成绩的平均数及方差，若要从这四名队员中，选择一名成绩好且状态稳定的选手代表学校参加市藤球赛，应选择（   ） 甲 乙 丙 丁 分 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了平均数和方差的意义，根据平均数可选出成绩好的同学是乙、丁，再根据方差的意义即可得出答案，解题的关键是理解平均数和方差的意义：平均数是反映一组数据的平均水平；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小． 【详解】解：∵乙、丁两同学的平均数相等，且比甲、丙两同学的高， ∴乙和丁两同学成绩较好，应从乙和丁两同学中选， 又∵丁同学的方差比乙同学的小， ∴丁同学的状态更稳定，应选丁同学， 故选：． 17．对甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是环，方差分别为，，，现选派一人参加比赛，则选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，四人平均成绩相同，那么要选方差最小的人参赛，因为方差越小，成绩越稳定，据此可得答案． 【详解】解：∵四人的平均成绩相同，且， ∴应选择丙参加比赛， 故选：C． 18．下列是一组数据：2，2，2，3，4，7，9，9，114514，可以较好反映这组数据平均水平的关于此数据的值是（    ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】D 【分析】本题考查利用中位数作决策，掌握中位数的意义是解决本题的关键． 根据平均数，众数，中位数和方差表示的意义和影响因素进行判断即可． 【详解】解：2，2，2，3，4，7，9，9，114514， 众数为2，数值过小，不能很好地反映这组数据平均水平， 方差表示波动情况，它和平均数一样受极端值的影响大，不能很好地表示平均水平， ∴中位数不受极端值影响，能较好地代表中间位置， 故选D． 19．第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办，中国代表团取得优异成绩．为了让学生更好地了解奥运会，某学校组织了一次关于“奥运会”的知识竞赛，在竞赛的半决赛中，某年级4个班的成绩统计结果如下表： 班级 一班 二班 三班 四班 平均分 方差 要从4个班中选出一个班代表年级参加决赛，选出参赛较为合理的班级是（   ） A．一班 B．二班 C．三班 D．四班 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平均数和方差的意义等知识内容，正确掌握平均数和方差的内容是解题的关键．先从平均数分析，取平均数高的，再结合方差分析，方差越小，成绩越稳定，取方差小的即可． 【详解】解：∵， ∴选一班和二班代表， 又∵，方差越小，成绩越稳定， ∴选二班参赛比较合理， 故选：B． 20．若要从甲、乙、丙、丁四名种子选手中选出一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是9环，方差分别为 你认为派谁去参赛更合适（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查方差，根据方差越小，成绩越稳定即可判断． 【详解】解：， ， 乙的成绩最稳定， 又他们的平均成绩都是9环， 派乙去参赛更合适． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4方差 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、极差 定义：一组数据中最大值与最小值的差值，反映数据的波动范围。 计算公式：极差 =最大值} - 最小值 特点： · 优点：计算简单，直观反映数据的极端差异。 · 缺点：仅依赖两个极端值，忽略中间数据的分布，易受异常值影响，稳定性差。 适用场景：初步快速了解数据的离散程度，适用于小样本或数据分布较均匀的情况。 二、方差 定义：各数据与平均值的离差平方的平均数，衡量数据偏离平均值的平均程度。 计算公式： · 优点：利用所有数据信息，精确反映数据的离散程度，是衡量数据波动的核心指标。 性质：方差非负，若方差为0，则所有数据相等；方差越大，数据离散程度越高。 三、标准差 定义：方差的算术平方根，将方差的量纲转换为与原数据一致，更便于解释。 型 习 练 题 求方差 1．将一组数据1，2，3，4，5增加一个数3，则新的一组数据的（   ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数不变，方差变小 D．平均数不变，方差变大 2．已知一组数据，，，平均数和方差分别是，，那么另一组数据，，的平均数和方差分别是（  ） A．， B．， C．， D．， 3．样本方差的作用是（　　） A．估计总体的平均水平 B．表示总体的平均水平 C．表示总体的波动大小 D．估计总体的波动大小 4．若一组数据4，5，，6，7的平均数是5，则这组数据的方差为（　　）． A．4 B．5 C．2 D． 5．据统计某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7，下列说法错误的是（   ） A．中位数是6 B．众数是6 C．平均数是6 D．方差是6 利用方差求位置数据的值 6．某组数据的方差，则该组数据的总和是（    ） A．8 B．20 C．40 D．无法确定 7．一组数据：，，，，，若加入一个数后，方差变小，则最可能为（   ） A． B． C． D． 8．如图，小雨将一学期的五次数学成绩制作成了折线统计图，并计算了5次成绩的方差．当他得知期末数学成绩时，计算出六次成绩的方差，发现，小雨的期末数学成绩可能是（   ） A．82 B．88 C．90 D．93 9．圆圆在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 10．八年级某班准备从甲、乙两位同学中选一人参加学校跳绳比赛．通过多次测试统计，他们的平均成绩都是每分钟180个，方差分别是：．最终选择了更稳定的甲参加比赛，则可能是（    ） A． B． C． D．3 根据方差判断稳定性 11．某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 12．在一场物理实验探究中，甲、乙、丙、丁四名同学分别对同一测量仪器进行10次测量操作，他们测量的平均值相同，测量数据的方差分别是，，，，则这四名同学中测量成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 13．下列说法不正确的是（    ） A．明天下雨是随机事件 B．要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查 C．已知一组数据：3，3，4，5，8，10，11，则这组数据的中位数是5 D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 14．甲、乙、丙、丁四名同学在次数学测验中，平均成绩均为分，这四名同学成绩的方差分别是，，，则成绩最稳定的是（  ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 15．甲、乙、丙、丁四人参加射击训练，经过三组练习，他们的平均成绩都是9.5环，方差分别是，那么成绩最稳定的选手是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 运用方差做决策 16．藤球是一项古老而独特的体育运动项目，有着悠久的历史，又叫“脚踢的排球”．下表是学校藤球队中四名同学成绩的平均数及方差，若要从这四名队员中，选择一名成绩好且状态稳定的选手代表学校参加市藤球赛，应选择（   ） 甲 乙 丙 丁 分 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 17．对甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是环，方差分别为，，，现选派一人参加比赛，则选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 18．下列是一组数据：2，2，2，3，4，7，9，9，114514，可以较好反映这组数据平均水平的关于此数据的值是（    ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 19．第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办，中国代表团取得优异成绩．为了让学生更好地了解奥运会，某学校组织了一次关于“奥运会”的知识竞赛，在竞赛的半决赛中，某年级4个班的成绩统计结果如下表： 班级 一班 二班 三班 四班 平均分 方差 要从4个班中选出一个班代表年级参加决赛，选出参赛较为合理的班级是（   ） A．一班 B．二班 C．三班 D．四班 20．若要从甲、乙、丙、丁四名种子选手中选出一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是9环，方差分别为 你认为派谁去参赛更合适（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 学科网（北京）股份有限公司 $