3.4 方差（题型专练）数学苏科版九年级上册

3.4 方差 题型一 求一组数据的方差 1．（2024·姑苏区·校级二模）已知一组数据1，2，x，3，4的平均数是2，则这组数据的方差是（　　） A． B．2 C． D．10 2．（2024·秦淮区·期中）已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·南京·开学）若从一组数据2，4，6，8，10中去掉一个最大数和一个最小数，则所得新数据与原数据相比（　　） A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．平均数变小，方差变小 D．平均数变小，方差变大 4．（2024·无锡·期末）某射击爱好者的8次射击成绩（单位：环）依次为7，9，10，8，9，8，10，10，则下列结论正确的是（　　） A．众数是9环 B．中位数是9环 C．平均数是8环 D．方差是1.2环2 5．（沭阳县·月考）随着体育中考的临近，我校随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，并根据数据绘成统计图如下，则关于这50个数据的说法错误的是（　　） A．平均数是9 B．众数是9 C．中位数是9 D．方差是9 题型二 已知方差求未知数据的值或求相关数据的方差 1．（2025·海陵区·一模）如果一组数据1，2，3，4，5的方差大于另一组数据102，103，104，105，x的方差，那么x的值可能是（　　） A．98 B．101 C．104 D．107 2．（2024·邗江区·校级期中）某校举行体操比赛，甲、乙两个班各选18名学生参加比赛，若甲班参赛学生身高数据的方差是3.4，且甲班参赛学生的身高比乙班的更整齐，则乙班参赛学生身高数据的方差不可能是（　　） A．5 B．4.5 C．4 D．3 3．（2025·苏州·模拟）已知五个数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是a，方差是b，则3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2这五个数据的平均数和方差分别是（　　） A．3a﹣2，3b﹣2 B．3a，3b﹣2 C．3a，3b D．3a﹣2，9b 4．（2025·崇川区·期末）教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是7.5，方差是1.64．后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为9环，实际成绩应是6环；另一个错录为7环，实际成绩应是10环．教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是，方差是s2，则（　　） A．1.64 B．1.64 C．1.64 D．1.64 5．（2024·海安市·期末）已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是5，则数据x1+6，x2+6，…，xn+6的方差是　　． 题型三 根据方差公式分析数据 1．（2025·慈溪市·期中）方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，xn可用如下算式计算方差：，其中“3”是这组数据的（　　） A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数 2．（2025·扬州·校级三模）小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 3．（2024·江都区·期末）小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（　　） A．x1＝1 B．中位数是3 C．n＝5 D．s2＝2.4 4．（2025·江宁区·校级模拟）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为　　． 5．（2025·崇川区·校级期末）一组数据的方差计算如下：s2，则这组数据的方差s2＝　　． 题型四 根据图象判断方差大小或判断数据稳定性 1．（2025·丰县·校级模拟）甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B．甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C．乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D．乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 2．（2025·常熟市·模拟）学校计划从甲、乙两人中选拔1名同学参加市知识竞赛，两位同学6次知识竞赛选拔的成绩如图，其成绩的方差分别记作、，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 3．（2025·扬州·一模）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20m，方差是m2．若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是m2，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 4．（2024·市北区·期末）学校篮球场上初三（1）班5名同学正在比赛，将场上五名队员的身高绘制成如图所示的统计图，其中“△”是换人前五名队员的身高，“●”是换人后五名队员的身高，与换人前相比，换人后场上队员的身高（　　） A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 5．（2025·姑苏区·校级二模）某学习小组5名同学测试成绩如图所示，拿到试卷后，小刚发现自己的成绩少加了15分，老师加回分数后，下列说法正确的是（　　） A．小刚的成绩位于组内中上等水平 B．该小组成绩不存在中位数 C．小组的成绩稳定性增加，方差变小 D．小组平均分增加2分 题型五 运用方差判断数据稳定性或做决策 1．（2025·南通·期中）某省举行射击比赛，教练打算从甲、乙、丙、丁四人中选派一人参赛，每人都进行20次射击，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝0.9，s乙2＝0.4，s丙2＝1.2，s丁2＝0.6，则成绩最稳定的选手是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2024·仪征市·期末）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 S2 2.1 1.8 2 1.9 今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（2025·如皋市·期末）某班三位男生5次立定跳远的成绩（单位：米）如表所示． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 李明 2.55 2.45 2.44 2.42 2.39 王强 2.47 2.45 2.45 2.44 2.44 周华 2.50 2.50 2.50 2.30 2.45 根据表格内的成绩可知，三人5次立定跳远的平均成绩均为2.45米，若要选择一位发挥较稳定的同学代表班级参加年级立定跳远比赛，应选择　　（填姓名）． 4．（2025·盱眙县·期中）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某校组织七、八年级各200名学生对相关知识进行学习并组织定时测试．现分别在七、八两个年级中各随机抽取了10名学生，统计这部分学生的测试成绩，相关数据整理如下：七年级：74，86，74，93，81，71，80，87，77，97； 八年级：87，74，94，86，82，76，77，82，78，84． （1）分别计算两组数据的平均数、中位数、众数、方差，填入下表（部分结果已填入）： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 ①　 74 66.6 八年级 ②　 82 ③　 33 （2）通过上述分析你认为哪个年级的学生环保知识掌握的更好，请说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 5．（2024·扬州·期末）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，八（1）、八（2）班各选取五名选手参赛．两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分） 八（1）班：8，8，7，8，9 八（2）班：5，9，7，10，9 学校根据两班的成绩绘制了如下不完整的统计表： 班级 平均数 众数 中位数 八（1） 8 b c 八（2） a 9 9 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）填空：a＝　　，b＝　　，c＝　　． （2）已知八（1）班比赛成绩的方差是0.4，请你计算八（2）班比赛成绩的方差，并从方差的角度分析哪个班级成绩更稳定． 题型六 统计数据的变化 1．（2025·锡山区·校级二模）在体操比赛评分时，要去掉一个最高分和一个最低分，这样做的目的是（　　） A．使平均数不受极端值的影响 B．使众数不受极端值的影响 C．使中位数不受极端值的影响 D．使方差不受极端值的影响 2．（2024·新吴区·期末）佳琪在处理一组数据“22、22、38、45、●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间．根据以上信息可以确定这组数据的（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 3．（2025·镇江·模拟）一组数7、9、11、11、15，若将每个数都加20，下列不会改变的量是（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 4．（2025·启东市·期末）学校组织运动会报名，每位学生最多能报3个项目．下表是八年级六班50名学生报名项目个数的统计表： 报名项目个数 0 1 2 3 人数 8 24 m n 其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（　　） A．中位数，众数 B．平均数，方差 C．平均数，众数 D．众数，方差 5．（2025·宝应县·月考）某中学有11位同学参加了县教育和体育局举行的中学生歌咏比赛，比赛后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则以上数据中一定不会发生变化的是　　． 题型一 方差与统计图的综合应用题 1．（2025·海门区·校级月考）为落实劳动教育评价，学校对七、八年级学生的劳动技能实践成绩进行抽样分析，从两个年级参与劳动技能考核的学生中各随机抽取20名学生的成绩（满分100分），并将成绩分为A、B、C、D四个等级：A：x＜60分；B：60≤x＜70分；C：70≤x＜80分；D：80≤x≤100分． 七年级学生的劳动技能成绩为：55，62，65，68，70，72，73，75，75，75，76，76，78，78，80，82，85，88，90，95 八年级学生等级C的成绩为：71，72，73，73，76，78，79． 两组数据的统计量如下表： 七、八年级学生的劳动技能实践成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 75.9 75.5 a 91.8 八年级 75.9 b 85 102.5 （1）填空：a＝　　，b＝　　，m＝　　． （2）从不同角度分析分析，哪个年级学生的劳动技能成绩更好？请说明理由（任选两个角度即可）． （3）若七、八年级共有2000名学生参与劳动技能考核，估计两个年级中成绩等级为D（大于或等于80分）的学生人数． 2．（2024·玄武区·期末）为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理． （1）填空： 平均数/min 中位数/min 众数/min 方差/min2 A 70 69.5 ①　 ②　 B 72 ③　 69 14 （2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由． 3．（2024·丹徒区·期末）某校九年级学生随机对A、B两家网约车公司各10名司机的月收入进行抽样调查，并根据调查所得的数据绘制统计图，如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元2 A公司 m 6 6 1.2 B公司 6 4.5 4 7.6 （1）填空：m＝　　； （2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，说说你的理由； （3）若A公司与B公司网约车司机人数比为3：2，试估计这两家公司月收入不低于6千元的司机总数占A、B两公司的司机总人数的百分比． 4．（2025·海州区·一模&2024·钟楼区·校级月考）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分2 甲 8.8 ①　 0.56 乙 8.8 9 ②　 丙 ③　 8 0.96 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为s2，则s2　　0.56．（填“＜”或“＞”或“＝”） 1．某校“π节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 85，86，88，90，90，91，92，94 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组80≤x＜85，第2组85≤x＜90，第3组90≤x＜95，第4组95≤x＜100） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 89.5 90 m 学生评委 90.2 n 93 根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分的众数m＝　　，n的值位于学生评委打分数据分组的第　　组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则　　89.5（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 90 92 90 89 91 乙 90 91 89 90 91 丙 92 89 91 91 k 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是　　，表中k（k为整数）的值为　　． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4 方差 题型一 求一组数据的方差 1．（2024·姑苏区·校级二模）已知一组数据1，2，x，3，4的平均数是2，则这组数据的方差是（　　） A． B．2 C． D．10 【详解】解：∵数据1，2，x，3，4的平均数是2， ∴x＝2×5﹣（1+2+3+4）＝0， ∴这组数据的方差是[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（0﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝2． 故选：B． 2．（2024·秦淮区·期中）已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【详解】解：∵3，4， [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2， s[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2， ∴，s． 故选：B． 3．（2025·南京·开学）若从一组数据2，4，6，8，10中去掉一个最大数和一个最小数，则所得新数据与原数据相比（　　） A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．平均数变小，方差变小 D．平均数变小，方差变大 【详解】解：原数据平均数为：， 2，4，6，8，10中去掉一个最大数和一个最小数后数据为4，6，8，则新数据平均数为， ∴平均数不变， 原数据方差为：， 新数据方差为：， ∴平均数不变，方差变小． 故选：A． 4．（2024·无锡·期末）某射击爱好者的8次射击成绩（单位：环）依次为7，9，10，8，9，8，10，10，则下列结论正确的是（　　） A．众数是9环 B．中位数是9环 C．平均数是8环 D．方差是1.2环2 【详解】解：将8次射击成绩从小到大排列为：7，8，8，9，9，10，10，10， 众数为：10环，故A错误； 中位数为：（环），故B正确； 平均数为：（环），故C错误； 方差：，故D错误． 故选：B． 5．（沭阳县·月考）随着体育中考的临近，我校随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，并根据数据绘成统计图如下，则关于这50个数据的说法错误的是（　　） A．平均数是9 B．众数是9 C．中位数是9 D．方差是9 【详解】解：A、平均数是：（2×7+12×8+20×9+16×10）＝9，故说法正确； B、众数是9，故说法正确； C、中位数是9，故说法正确； D、方差是：[2×（7﹣9）2+12×（8﹣9）2+20×（9﹣9）2+10×（10﹣9）2]＝0.6，故说法错误． 故选：D． 题型二 已知方差求未知数据的值或求相关数据的方差 1．（2025·海陵区·一模）如果一组数据1，2，3，4，5的方差大于另一组数据102，103，104，105，x的方差，那么x的值可能是（　　） A．98 B．101 C．104 D．107 【详解】解：数据1，2，3，4，5中，相邻两数相差为1， 另一组数据102，103，104，105，x前4个数据也相差1， 当x＝101或106时，两组数据方差相等， ∵数据1，2，3，4，5的方差大于另一组数据102，103，104，105，x的方差， ∴x的值大于101，小于106， 故选：C． 2．（2024·邗江区·校级期中）某校举行体操比赛，甲、乙两个班各选18名学生参加比赛，若甲班参赛学生身高数据的方差是3.4，且甲班参赛学生的身高比乙班的更整齐，则乙班参赛学生身高数据的方差不可能是（　　） A．5 B．4.5 C．4 D．3 【详解】解：∵甲班参赛学生身高数据的方差是3.4，且甲班参赛学生的身高比乙班的更整齐， ∴乙班参赛学生身高数据的方差大于3.4， ∴不可能是3． 故选：D． 3．（2025·苏州·模拟）已知五个数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是a，方差是b，则3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2这五个数据的平均数和方差分别是（　　） A．3a﹣2，3b﹣2 B．3a，3b﹣2 C．3a，3b D．3a﹣2，9b 【详解】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是a，方差是b， ∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数为：3×a﹣2＝3a﹣2，方差为：32×b＝9b． 故选：D． 4．（2025·崇川区·期末）教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是7.5，方差是1.64．后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为9环，实际成绩应是6环；另一个错录为7环，实际成绩应是10环．教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是，方差是s2，则（　　） A．1.64 B．1.64 C．1.64 D．1.64 【详解】解：由题意可知：录入有误的两个数的和为9+7＝16，实际的两个数的和为6+10＝16， ∴更正后实际成绩的平均数是与原来平均数相同， ∴7.5， ∵（7.5﹣9）2+（7.5﹣7）2＝2.5， （7.5﹣6）2+（7.5﹣10）2＝8.5， ∴s2＞1.64． 故选：C． 5．（2024·海安市·期末）已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是5，则数据x1+6，x2+6，…，xn+6的方差是　　． 【详解】解：由题意可知：原数据的平均数为 ，新数据的每一个数都加上了6，则平均数变为6， 设原来的方差[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]＝5， 则现在的方差[（x1+66）2+（x2+66）2+…+（xn+66）2] [（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]＝5， ∴方差不变． 故答案为：5． 题型三 根据方差公式分析数据 1．（2025·慈溪市·期中）方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，xn可用如下算式计算方差：，其中“3”是这组数据的（　　） A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数 【详解】解：对于一组数据x1，x2，x3，…，xn可用如下算式计算方差： ，其中“3”是这组数据的平均数． 故选：B． 2．（2025·扬州·校级三模）小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【详解】解：由题意可知：这组数据为2、4、5、5， ∴这组数据的平均数为4，①正确； 中位数为4.5，②错误； 众数为5，③正确； 样本容量为4，④错误． 故选：C． 3．（2024·江都区·期末）小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（　　） A．x1＝1 B．中位数是3 C．n＝5 D．s2＝2.4 【详解】解：∵， ∴这组数据为x1，2，3，3，6，共5个数，即n＝5，故C不合题意； 这组数据的平均数为3， ∴3，解得：x1＝1，故A不合题意； ∴数据1，2，3，3，6的中位数为3，故B不合题意； S2[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，故D符合题意． 故选：D． 4．（2025·江宁区·校级模拟）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为　　． 【详解】解：∵s2[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]， ∴这组数据的平均数是6，数据个数是4， ∴这组数据的总和为4×6＝24． 故答案为：24． 5．（2025·崇川区·校级期末）一组数据的方差计算如下：s2，则这组数据的方差s2＝　　． 【详解】解：由题意可知：这组数据为3、4、4、5， ∴4， ∴s2 [（3﹣4）2+（4﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2] ＝0.5． 故答案为：0.5． 题型四 根据图象判断方差大小或判断数据稳定性 1．（2025·丰县·校级模拟）甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B．甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C．乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D．乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 【详解】解：由统计图可知：甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高；甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定． 故选：D． 2．（2025·常熟市·模拟）学校计划从甲、乙两人中选拔1名同学参加市知识竞赛，两位同学6次知识竞赛选拔的成绩如图，其成绩的方差分别记作、，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【详解】解：由统计图可知：甲在93至99之间波动，乙在95至97之间波动， ∴甲的波动比乙大，即则． 故选：A． 3．（2025·扬州·一模）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20m，方差是m2．若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是m2，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【详解】解：由题意可得：前9次标枪的平均数和10次投掷标枪的平均数相同，均为20m， ∵第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上， ∴， ∴． 故选：A． 4．（2024·市北区·期末）学校篮球场上初三（1）班5名同学正在比赛，将场上五名队员的身高绘制成如图所示的统计图，其中“△”是换人前五名队员的身高，“●”是换人后五名队员的身高，与换人前相比，换人后场上队员的身高（　　） A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 【详解】解：换人前平均身高为：， 换人后平均身高为：， 换人前的方差为：， 换人后的方差为：， ∵176.4＝176.4，4.24＜7.04， ∴平均数不变，方差变大，故B正确． 故选：B． 5．（2025·姑苏区·校级二模）某学习小组5名同学测试成绩如图所示，拿到试卷后，小刚发现自己的成绩少加了15分，老师加回分数后，下列说法正确的是（　　） A．小刚的成绩位于组内中上等水平 B．该小组成绩不存在中位数 C．小组的成绩稳定性增加，方差变小 D．小组平均分增加2分 【详解】解：由条件可知：其他4名同学成绩分别为81，89，90，93，小刚加分前成绩为69分， A、小刚加分后成绩为69+15＝84（分）， 将5名同学成绩从小到大排列为81，84，89，90，93，小刚成绩处于中间位置，是中等水平，并非中上等水平，故A错误； B、将5名同学成绩从小到大排列为81，84，89，90，93，最中间的数是89， ∴中位数是89，该小组成绩存在中位数，故B错误； C、原来平均数， ， 小刚加分后5个数平均数， ， ∵， ∴方差变小，成绩稳定性增加，故C正确； D、原来平均分，加分后平均分， ∴平均分增加了87.4﹣84.4＝3（分），并非2分，故D错误． 故选：C． 题型五 运用方差判断数据稳定性或做决策 1．（2025·南通·期中）某省举行射击比赛，教练打算从甲、乙、丙、丁四人中选派一人参赛，每人都进行20次射击，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝0.9，s乙2＝0.4，s丙2＝1.2，s丁2＝0.6，则成绩最稳定的选手是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【详解】解：∵s甲2＝0.9，s乙2＝0.4，s丙2＝1.2，s丁2＝0.6， ∴乙的方差最小， ∴射击成绩最稳定的是乙，应该选择乙运动员参赛． 故选：B． 2．（2024·仪征市·期末）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 S2 2.1 1.8 2 1.9 今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【详解】解：∵甲组、乙组的平均数比丙组、丁组大，而乙组的方差比甲组的小， ∴乙组的产量既高又稳定， ∴从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种为乙． 故选：B． 3．（2025·如皋市·期末）某班三位男生5次立定跳远的成绩（单位：米）如表所示． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 李明 2.55 2.45 2.44 2.42 2.39 王强 2.47 2.45 2.45 2.44 2.44 周华 2.50 2.50 2.50 2.30 2.45 根据表格内的成绩可知，三人5次立定跳远的平均成绩均为2.45米，若要选择一位发挥较稳定的同学代表班级参加年级立定跳远比赛，应选择　　（填姓名）． 【详解】解：∵[（2.55﹣2.45）2+（2.45﹣2.45）2+（2.44﹣2.45）2+（2.42﹣2.45）2+（2.39﹣2.45）2]＝0.00292， [（2.47﹣2.45）2+（2.45﹣2.45）2+（2.45﹣2.45）2+（2.44﹣2.45）2+（2.44﹣2.45）2]＝0.00012， [（2.50﹣2.45）2+（2.50﹣2.45）2+（2.50﹣2.45）2+（2.30﹣2.45）2+（2.45﹣2.45）2]＝0.0063， ∴王强的方差最小，成绩最稳定， ∴应选择王强． 故答案为：王强． 4．（2025·盱眙县·期中）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某校组织七、八年级各200名学生对相关知识进行学习并组织定时测试．现分别在七、八两个年级中各随机抽取了10名学生，统计这部分学生的测试成绩，相关数据整理如下：七年级：74，86，74，93，81，71，80，87，77，97； 八年级：87，74，94，86，82，76，77，82，78，84． （1）分别计算两组数据的平均数、中位数、众数、方差，填入下表（部分结果已填入）： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 ①　 74 66.6 八年级 ②　 82 ③　 33 （2）通过上述分析你认为哪个年级的学生环保知识掌握的更好，请说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 【详解】解：（1）①七年级测试成绩从小到大排列为：71，74，74，77，80，81，86，87，93，97， ∴七年级测试成绩的中位数：（80+81）÷2＝80.5； ②八年级测试成绩的平均数：（87+74+94+86+82+76+77+82+78+84）＝82， ③八年级测试成绩的众数为：82， 故答案为：①80.5，②82，③82； （2）八年级学生环保知识掌握的更好，理由如下： 由表可知：八年级学生环保知识的中位数大于七年级、方差小于七年级， ∴八年级学生环保知识的高分人数多于七年级且成绩更加稳定， ∴八年级学生环保知识掌握的更好． 5．（2024·扬州·期末）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，八（1）、八（2）班各选取五名选手参赛．两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分） 八（1）班：8，8，7，8，9 八（2）班：5，9，7，10，9 学校根据两班的成绩绘制了如下不完整的统计表： 班级 平均数 众数 中位数 八（1） 8 b c 八（2） a 9 9 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）填空：a＝　　，b＝　　，c＝　　． （2）已知八（1）班比赛成绩的方差是0.4，请你计算八（2）班比赛成绩的方差，并从方差的角度分析哪个班级成绩更稳定． 【详解】（1）解：， 八（1）班：7，8，8，8，9， ∵8出现的次数最多， ∴众数为：8，即b＝8， c＝（8+8）÷2＝8， 故答案为：8，8，8； （2）解：由（1）可知：八（2）班的平均数是8， ∴方差为： ＝3.2， ∵3.2＞0.4， ∴八（1）班成绩更稳定． 题型六 统计数据的变化 1．（2025·锡山区·校级二模）在体操比赛评分时，要去掉一个最高分和一个最低分，这样做的目的是（　　） A．使平均数不受极端值的影响 B．使众数不受极端值的影响 C．使中位数不受极端值的影响 D．使方差不受极端值的影响 【详解】解：在体操比赛评分时，要去掉一个最高分和一个最低分，这样做的目的是使平均数不受极端值的影响． 故选：A． 2．（2024·新吴区·期末）佳琪在处理一组数据“22、22、38、45、●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间．根据以上信息可以确定这组数据的（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【详解】解：一组数据“22、22，38，45，●”时，该数据●在40～50之间， 四个数据的和随数据●的变化而变化，∴平均数是变化的，故A不合题意； 中位数是38，不变，故B符合题意； 众数也变化，故C不合题意； 数据的波动幅度随数据●的变化而变化，∴方差随着改变，故D不合题意． 故选：B． 3．（2025·镇江·模拟）一组数7、9、11、11、15，若将每个数都加20，下列不会改变的量是（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【详解】解：一组数7、9、11、11、15，若将每个数都加20， 则这组数据的波动幅度不会发生变化， ∴不会发生改变的量是方差． 故选：D． 4．（2025·启东市·期末）学校组织运动会报名，每位学生最多能报3个项目．下表是八年级六班50名学生报名项目个数的统计表： 报名项目个数 0 1 2 3 人数 8 24 m n 其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（　　） A．中位数，众数 B．平均数，方差 C．平均数，众数 D．众数，方差 【详解】解：∵8+24+m+n＝50， ∴m+n＝50﹣8﹣24＝18， ∴m和n均小于24， ∴众数为1，不会发生改变； 由题意可知：将报名项目个数按大小顺序排列后，第25、26位均是1， ∴中位数为1，不会发生改变． 故选：A． 5．（2025·宝应县·月考）某中学有11位同学参加了县教育和体育局举行的中学生歌咏比赛，比赛后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则以上数据中一定不会发生变化的是　　． 【详解】解：一组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是中位数；平均数、众数、方差都会发生改变． 故答案为：中位数． 题型一 方差与统计图的综合应用题 1．（2025·海门区·校级月考）为落实劳动教育评价，学校对七、八年级学生的劳动技能实践成绩进行抽样分析，从两个年级参与劳动技能考核的学生中各随机抽取20名学生的成绩（满分100分），并将成绩分为A、B、C、D四个等级：A：x＜60分；B：60≤x＜70分；C：70≤x＜80分；D：80≤x≤100分． 七年级学生的劳动技能成绩为：55，62，65，68，70，72，73，75，75，75，76，76，78，78，80，82，85，88，90，95 八年级学生等级C的成绩为：71，72，73，73，76，78，79． 两组数据的统计量如下表： 七、八年级学生的劳动技能实践成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 75.9 75.5 a 91.8 八年级 75.9 b 85 102.5 （1）填空：a＝　　，b＝　　，m＝　　． （2）从不同角度分析分析，哪个年级学生的劳动技能成绩更好？请说明理由（任选两个角度即可）． （3）若七、八年级共有2000名学生参与劳动技能考核，估计两个年级中成绩等级为D（大于或等于80分）的学生人数． 【详解】解：（1）∵七年级20名学生的比赛成绩中，75出现的次数最多， ∴众数a＝75， ∵八年级A级有：20×10%＝2（人），B级有：20×15%＝3（人）， 把八年级20名学生的比赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是76，78， ∴中位数b77， m%＝1﹣10%﹣15%40%，即m＝40， 故答案为：75，77，40； （2）八年级的成绩更好，理由如下： ∵两个年级的平均数相同，但八年级的中位数、众数均和优秀率高于七年级， ∴八年级的成绩更好； （3）八年级D等级人数为：20×40%＝8（人）， 2000700（人）， 答：估计两个年级中成绩等级为D（大于或等于80分）的学生人数约为700人． 2．（2024·玄武区·期末）为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理． （1）填空： 平均数/min 中位数/min 众数/min 方差/min2 A 70 69.5 ①　 ②　 B 72 ③　 69 14 （2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由． 【详解】解：（1）A组数据为64、66、67、68、69、70、72、72、72、80， ∴众数为72， 方差为[（64﹣70）2+（66﹣70）2+（67﹣70）2+（68﹣70）2+（69﹣70）2+（70﹣70）2+3×（72﹣70）2+（80﹣70）2]＝17.8， B组数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80， ∴其中位数为71， 故答案为：72，17.8，71； （2）B款无人机运行时间更有优势，理由如下： ∵B款无人机运行时间的平均时间大于A款无人机， ∴B款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）． 3．（2024·丹徒区·期末）某校九年级学生随机对A、B两家网约车公司各10名司机的月收入进行抽样调查，并根据调查所得的数据绘制统计图，如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元2 A公司 m 6 6 1.2 B公司 6 4.5 4 7.6 （1）填空：m＝　　； （2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，说说你的理由； （3）若A公司与B公司网约车司机人数比为3：2，试估计这两家公司月收入不低于6千元的司机总数占A、B两公司的司机总人数的百分比． 【详解】解：（1）A公司网约车司机平均月收入为： 7×20%+8×10%+4×10%+5×20%+6×（1﹣10%﹣20%﹣20%﹣10% ）＝6（千元）， ∴m＝6， 故答案为：6； （2）选择A公司，理由如下： ∵A，B两家公司网约车司机月收入的平均数相同，中位数和众数都是A公司大些，且A公司网约车司机月收入的方差小，更稳定些， ∴选择A公司； （3）设A公司网约车司机人数为3x，则B公司网约车司机人数为2x， ∴占比54%， 答：这两家公司月收入不低于6千元的司机总数占A、B两公司的司机总人数的百分比为54%． 4．（2025·海州区·一模&2024·钟楼区·校级月考）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分2 甲 8.8 ①　 0.56 乙 8.8 9 ②　 丙 ③　 8 0.96 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为s2，则s2　　0.56．（填“＜”或“＞”或“＝”） 【详解】解：（1）甲的中位数为9； 乙的方差为：[（7﹣8.8）2+3×（9﹣8.8）2+（10﹣8.8）2]＝0.96； 丙的平均数为：10×40%+8×60%＝8.8， 故答案为：9，0.96，8.8； （2）选甲更合适，理由如下： ∵三位选手的平均数相同，但甲的方差最小，稳定性最好， ∴选甲更合适； （3）去掉一个最高分和一个最低分之后甲的平均数为， 方差s2[]0.56， 故答案为：＜． 1．某校“π节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 85，86，88，90，90，91，92，94 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组80≤x＜85，第2组85≤x＜90，第3组90≤x＜95，第4组95≤x＜100） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 89.5 90 m 学生评委 90.2 n 93 根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分的众数m＝　　，n的值位于学生评委打分数据分组的第　　组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则　　89.5（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 90 92 90 89 91 乙 90 91 89 90 91 丙 92 89 91 91 k 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是　　，表中k（k为整数）的值为　　． 【详解】解：（1）①由题意可得：教师评委打分中90出现的次数最多， ∴众数m＝90， ∵50名学生评委打分数据的中位数是第25、26个数的平均数， ∴n的值位于学生评委打分数据分组的第3组， 故答案为：90，3； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分， 则其余6名教师评委打分的平均数为（86+88+90+90+91+92）＝89.5， ∴89.5， 故答案为：＝； （2）（90+92+90+89+91）＝90.4， （90+91+89+90+91）＝90.2， （92+89+91+91+k）， ∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， ∴90.2≤（92+89+91+91+k）≤90.4，解得：88≤k≤89， ①当k＝88时，（92+89+91+91+88）=90.2， ， ， 此时，，， ∴丙排在乙的后面，不合题意； ②当k＝89时，（92+89+91+91+89）=90.4， ， ， 此时，，， ∴甲排在丙的前面，丙排在乙的前面，符合题意； 综上，k＝89， 故答案为：甲，89． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$