精品解析：甘肃省武威第六中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段考试数学试卷

武威六中教育集团2025~2026学年度第一学期第二次阶段性测试 高二年级数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等差数列中，，，则 A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 2 3. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 设是圆上的任意点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 5. 设数列的前n项和为，若，则＝（ ） A. －63 B. －31 C. 31 D. 63 6. 已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 平面直角坐标系中直线的方程为：，则下列说法正确的有（ ） A. 直线没有经过第三象限 B. 直线的一个方向向量为 C. 直线的一个法向量为 D. 直线在两坐标轴上的截距之和等于 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 圆半径 B. 圆的一条切线方程是 C. 直线过定点 D. 当被圆截得的弦长最短时， 11. 已知的两个顶点的坐标分别是，，且所在直线的斜率之积等于，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，点的轨迹是双曲线 B. 当时，点的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去两个顶点） C. 当时，点在圆（除去点，）上运动 D. 当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与互相垂直，则实数的值为_____________. 13. 已知点在抛物线C：上，则点A到抛物线C的准线的距离为__________． 14. 波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有，，则当的面积最大时，AC边上的高为_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上， （1）求圆心为C的圆的标准方程； （2）若线段的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，求的中点M的轨迹方程． 17. 已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点． （1）求椭圆C的方程： （2）求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值． 18. 经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点． （1）若直线的斜率是，求的值； （2）若是坐标原点，求的值． 19. 已知曲线上任意一点满足方程. （1）求曲线的方程； （2）已知定点，过点的直线与曲线交于两点.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威六中教育集团2025~2026学年度第一学期第二次阶段性测试 高二年级数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等差数列中，，，则 A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式基本量的计算，求得进而可得解. 【详解】由题意，则， 所以， 故选：D． 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心，再应用点到直线距离公式计算求解. 【详解】圆的圆心为， 所以圆心到直线的距离为. 故选：B. 3. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入双曲线的渐近线方程公式，即可求解. 【详解】双曲线化简为标准形式是， 其中，，焦点在轴， 所以渐近线方程. 故选：B 4. 设是圆上的任意点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将所求最值转化为求解圆上的点到定点距离的平方，即求圆心到直线距离与半径之和的平方，由此可计算求得结果. 【详解】表示点到的距离的平方， 是圆上一点， 的最大值为圆心到的距离与半径之和的平方， 即. 故选：. 【点睛】本题考查圆上的点到定点距离最值的求解问题，关键是明确圆上的点到圆外定点的距离最大值为圆心到定点的距离与半径之和；最小值为圆心到定点的距离与半径之差. 5. 设数列的前n项和为，若，则＝（ ） A. －63 B. －31 C. 31 D. 63 【答案】D 【解析】 【分析】本题首先根据可判断出数列是公比为的等比数列，然后根据计算得出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果． 【详解】因为，所以， 所以，，其中, 而，结合可得，此时， 故数列是公比为的等比数列， 所以. 故选：D 6. 已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用点差法求解，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，将交点坐标代入圆锥曲线方程，然后作差，从而得到直线斜率与中点坐标之间的关系. 【详解】设，，因为，两点在曲线上，所以有： 用式减去式可得： 因为点是线段的中点，根据中点坐标公式：可得： ,即，. 代入可得： 化简得：，可得： 而就是直线的斜率，所以直线的斜率为. 故选：B. 7. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】 由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：， 故选：A. 8. 双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点在轴右侧，由双曲线定义可得，，由是直角三角形，建立等式求解即可. 【详解】如图，设点在轴右侧，则， 因为， 所以， 因为点在以为直径的圆上， 所以是直角三角形，， 即，化简得， 所以离心率. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 平面直角坐标系中直线的方程为：，则下列说法正确的有（ ） A. 直线没有经过第三象限 B. 直线的一个方向向量为 C. 直线的一个法向量为 D. 直线在两坐标轴上的截距之和等于 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程判断斜率和截距，再根据直线的方向向量和法向量的知识点判断即可. 【详解】选项A：将直线方程化为斜截式方程. 斜率为，直线下降，截距为，直线与轴正半轴相交，因此直线不经过第三象限，故选项A正确. 选项B：，因此不是该直线的方向向量，故选项B错误. 选项C：因为直线的方程为，所以其一个法向量为。由于，所以也是该直线的一个法向量，故选项C正确. 选项D：直线的方程为：，令，则；令，则. 所以截距之和为：.故选项D正确. 故答案为：ACD. 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 圆半径 B. 圆的一条切线方程是 C. 直线过定点 D. 当被圆截得的弦长最短时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线l经过的定点及圆的圆心、半径，再逐一分析、计算各选项判断作答. 【详解】圆的方程：，所以，A错； 圆心到的距离，所以直线与圆相切，B对； 直线方程：，由，得：，所以直线过定点，C对； 当圆心与的连线与直线垂直时，弦长最短，即，解得：，D 对， 故选：BCD 11. 已知的两个顶点的坐标分别是，，且所在直线的斜率之积等于，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，点的轨迹是双曲线 B. 当时，点的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去两个顶点） C. 当时，点在圆（除去点，）上运动 D. 当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大 【答案】BC 【解析】 【分析】由题知点的轨迹为，再结合椭圆，双曲线，圆的方程依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：设，则． 当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线（除去两个顶点），A错误，B正确； 当时，方程为，则点C在圆（除去点，）上运动，C正确； 当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆（不含左、右顶点），则离心率，此时e随着m的增大而减小，D错误． 故选：BC． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与互相垂直，则实数的值为_____________. 【答案】0或 【解析】 【分析】根据两直线垂直的系数关系列方程求解即可得实数的值. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得或. 故答案为：0或. 13. 已知点在抛物线C：上，则点A到抛物线C的准线的距离为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】将点代入抛物线方程，求出及准线方程，进而可得出答案. 【详解】因为在抛物线C：上， 所以，解得， 故抛物线C的准线为， 所以点A到抛物线C的准线的距离为. 故答案为：. 14. 波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有，，则当的面积最大时，AC边上的高为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】 ，,即．根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹为圆, 以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系,求出B的轨迹方程，进而得出结论． 【详解】解：为非零常数， 根据阿波罗尼斯圆可得：点B的轨迹是圆. 以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系 则，设，∵ ∴ ，整理得 因此，当面积最大时，BC边上的高为圆的半径. 【点睛】本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式; （2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可. 【小问1详解】 因为， 所以 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上， （1）求圆心为C的圆的标准方程； （2）若线段的端点Q的坐标是，端点P在圆C上运动，求的中点M的轨迹方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求标准方程； （2）用直接法求轨迹方程. 【小问1详解】 由题可设圆心的坐标为，则有，整理求得， 故圆心为，， 则圆的方程为； 【小问2详解】 设线段中点，， 由题意知，， ∵点P在圆上运动， ∴， ∴的轨迹方程为. 17. 已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点． （1）求椭圆C的方程： （2）求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率可得，的关系，设椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆的方程，可得参数的值，即可得，的值，求出椭圆的方程； （2）设与平行的直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0，可得参数的值，进而求出两条直线的距离，即求出椭圆上的点到直线的最大距离． 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，可得， 可得，设椭圆的方程为：，， 又因为椭圆经过点，所以， 解得， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 设与直线平行的直线的方程为， 联立，整理可得：， ，可得，则， 所以直线到直线的距离． 所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为． 18. 经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点． （1）若直线的斜率是，求的值； （2）若是坐标原点，求的值． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）联立方程可求解方程两个根，即可根据焦点弦公式求解， （2）根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 抛物的焦点是，直线方程是，与，联立得：， 解得，所以． 【小问2详解】 当垂直于轴时，． 当不垂直于轴时，设，代入得， 所以，从而． 故， 综上． 19. 已知曲线上任意一点满足方程. （1）求曲线的方程； （2）已知定点，过点的直线与曲线交于两点.证明：. 【答案】（1）； （2） 证明：设，，直线的方程：， 由知其渐近线方程为：， 曲线与曲线交于两点，， 由得：，， 又，，，， ， 即，. 【解析】 【分析】（1）根据方程表示含义和双曲线定义可知曲线为双曲线的右半支，结合实轴和焦点坐标可得方程； （2）设，与双曲线方程联立可得韦达定理的形式，将韦达定理代入即可证得，即，由此可得结论. 【小问1详解】 方程表示到的距离与到的距离之差为， 由双曲线定义可知：曲线是以为实轴长，和为焦点的双曲线的右半支， 即，，， 曲线的方程为：； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $