精品解析：湖北省荆门市京山市2025-2026学年九年级上学期期中教学质量检测数学试卷

京山市2025－2026学年度上学期期中教学质量监测九年级试卷 数学 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化成一般式后，若二次项系数是5，则一次项系数和常数项分别是（　　） A. 4， B. ， C. ，1 D. 4，1 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此解答即可． 【详解】解：化成一元二次方程一般形式是， 它的一次项系数是，常数项是． 故选：B． 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 关于抛物线，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 函数有最小值 D. 可由抛物线向右平移4个单位再向下平移2个单位而得 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的平移，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据二次函数顶点形式的性质，分析开口方向、对称轴、最值和平移规律即可． 【详解】解：∵， ∴，开口向下，故A错误； 对称轴为直线，故B正确； 顶点坐标为，开口向下，函数有最大值，无最小值，故C错误； 抛物线向右平移4个单位得， 再向下平移2个单位得，与给定抛物线不符，故D错误． 故选：B． 4. 有一人患流感，经过两轮传染后共有人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？若设每轮传染中平均一个入传染了个人，则依题意可得方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染后总患者为人；第二轮传染时，这些患者每人传染x人，故新增患者为人，两轮后总患者为人，故可得方程． 【详解】∵ 初始患者为1人， 每轮传染中平均一人传染人， ∴ 第一轮后患者总数为：人， 第二轮传染时，有个患者，每人传染人， ∴ 第二轮新增患者为：人， ∴ 两轮后总患者为：人， 故方程为． 故选：B． 5. 下列说法中，正确的是（　　） 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；圆中的直径是弦，弦是直径；在圆中，弦的垂直平分线经过圆心；三点可以确定一个圆． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括圆心角与弧的关系、弦与直径的定义、弦的垂直平分线的性质以及确定圆的条件．掌握这些是解题的关键．根据圆心角与弧的关系、弦与直径的定义、弦的垂直平分线的性质以及确定圆的条件等知识点，逐个判断即可． 【详解】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故符合题意； 直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径弦），故不符合题意； 在同圆中，弦的垂直平分线必过圆心，故符合题意； 只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，三点共线时不能确定圆，故不符合题意，所以正确的是． 故选：B． 6. 如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，然后分别作这两条线段的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：连接，， 分别作这两条线段的垂直平分线，如图所示： 则交点D即为旋转中心， 故答案选：D． 【点睛】本题考查了旋转图形的性质，解题的关键是旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上． 7. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法． 根据题意可得推出的距离就是当高度时，x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：依题意，令，则， 整理得 解得： （舍去）， ∴他将铅球推出的距离为 故选：C 8. 如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连结、．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交半圆于点．连结，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图及圆周角的性质，熟练掌握角平分线的尺规作图及圆周角的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据同弧所对圆周角相等可进行求解． 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 由尺规作图可知：平分， ∴， ∴； 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，直角三角形的性质，勾股定理．首先求出点的坐标，根据题意得四次一循环，第次旋转结束时，点的坐标和第一次旋转后的坐标相等，再求出第一次旋转后点的坐标即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ， 由题意知，四次一循环， ， 第次旋转结束时，点的坐标和第一次旋转后的坐标相等， 绕点顺时针第一次旋转，如下图所示： 由题意得：， ，， ， 第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：B． 10. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】①当时， ∵正方形的边长为， ∴； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合， 故选A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则___． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则且，从而得出，，推理得出结论． 【详解】解：根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴且 即：且， ． 故答案为：3． 12. 请写出一个有一根为1的一般形式的一元二次方程_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查方程的根的定义，所写的方程只要把代入成立即可．设方程的两根是1和2，因而方程是，化成一般式即可，本题答案不唯一． 【详解】解：设方程的两根是1和2，则根据因式分解法可得方程为， 即． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 二次函数y=﹣2x2﹣3x+k的图象在x轴下方，则k的取值范围是_____． 【答案】k＜﹣ ． 【解析】 【详解】因为二次函数y=﹣2x2﹣3x+k的图象在x轴下方，所以△＜0，即（﹣3）2﹣4×（﹣2）k＜0，解得k＜﹣，故答案为k＜﹣． 14. 在抛物线上有和三点，若抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，则和的大小关系用“”排列为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．根据题意得到，对称轴，再根据增减性即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与y轴的交点在正半轴上， ∴， 解得：， ∴该抛物线开口向下， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∴和三点，到对称轴的距离由远到近依次是点C、A、B， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等角对等边、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 由矩形的性质得，，，则，由折叠得，，，，，则，，所以，由勾股定理得，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， ， 由折叠得，，，，， ，，， ， ， ， 整理得， 或， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共75分） 16. 用适当的方法解方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）将方程变形为，利用开平方法解方程即可得； （2）将方程变形为，利用因式分解法解方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 或， 所以方程的解为，． 17. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，点落在上，连接．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质得，，，，又由已知可得到，进而由等腰三角形的性质得到，再根据角的和差关系即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵旋转得到， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 【答案】比赛组织者应邀请8个队参赛. 【解析】 【分析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛.依题意列方程得： ， 解得：，. 不合题意舍去， 答：比赛组织者应邀请8个队参赛. 【点睛】本题是一元二次方程的应用，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若，是一元二次方程的两个根，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式大于0建立不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系结合（1）中m的范围解答即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，属于常考题型，利用根的判别式和根与系数的关系构建关于m的不等式和方程是解题的关键． 20. 如图，利用函数的图象，直接回答： （1）方程的解是__________； （2）当x__________2时，y随x的增大而增大（填“≤、≥”）； （3）当函数值y小于0时，x的取值范围是__________； （4）当时，y的取值范围是__________． 【答案】（1）， （2）≥ （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由图象可得，抛物线与x轴的交点为、，即可求解； （2）根据对称轴和二次函数图象即可求解； （3）根据二次函数图象即可求解； （4）把解析式转化成顶点式，可得时，y的最小值为，再把代入得，，即可求解． 【小问1详解】 解：由图象可得，抛物线与x轴的交点为、， ∴当时，， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵对称轴， 由图象可得，，y随x的增大而增大， 故答案为：≥； 【小问3详解】 解：由图象可得，当时，， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵， ∴时，y的最小值为， 把代入得，， ∴当时，y的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质及利用二次函数图象求出x轴的交点是解题的关键． 21. 如图，在中，半径弦，点E为垂足，点D在优弧上． （1）若，求的度数； （2）若，求的半径． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）垂径定理得到，根据圆周角定理即可得出结果； （2）利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵半径弦， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵半径弦， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得， 故的半径为10． 22. 【课本再现】九年级上册第51页探究3： 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．水面下降，水面宽度增加多少？ 分析：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系． 解：设这条抛物线表示的二次函数为，由抛物线经过点可得， ，即，… （1）请你完成剩余部分； （2）【实际应用】赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某市计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，已知水面的宽度为，拱桥最高点到水面的距离为9米，设桥拱上的点到水面的竖直高度米，到点的水平距离米． ①以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求与的函数关系式； ②据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计多少条龙舟赛道． 【答案】（1） 设这条抛物线表示的二次函数为，由抛物线经过点可得， ， 即， ∴抛物线表示的二次函数为， 当时，， 解得， 此时水面宽度为， ∴水面下降，水面宽度增加； （2）①；②最多可设计5条龙舟赛道 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）依据题意，令，解方程求出x的值，即可得此时的水面宽度，再减去即可得水面增加的宽度； （2）①由题意可知，拱桥所在抛物线的顶点为，可设拱桥所在抛物线的解析式为，将代入，求出k的值即可； ②依据题意，令，解方程求出x的值，求出可设计赛道的宽度，再除以8得出可设计赛道的条数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：由题意可知，拱桥所在抛物线的顶点为， 可设拱桥所在抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴拱桥所在抛物线的解析式为； ②当时，， 解得或， ∴可设计赛道的宽度为， ∵， ∴最多可设计5条龙舟赛道． 23. 在中，，将绕点A旋转得到，直线与直线相交于点P． （1）如图1，当点P落在线段上时，求证：； （2）如图2，当C的对应点E落在上时，连接．若求的周长． （3）如图3，当点P落在的延长线上，且时，连接，判断线段与的数量关系并说明理由． 【答案】（1） 证明：连接． ∵将绕点A旋转得到， ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴． （2） （3） 解：，理由如下：由（1）的方法可证， ， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ 又∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可求证； （2）由勾股定理得，由，得到，则．那么，故； （3），理由如下：由（1）的方法可证，，则，由，得到，则，故，下面证明即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∴． ∴． 即的周长为． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与直线交于点，点P是抛物线上不与O，B重合的一动点，点P的横坐标为m，过点P作y轴的平行线交直线于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点P在x轴下方的抛物线上时，若，求m的值； （3）设线段的长为l． ①求l与m的函数解析式； ②当l随m的增大而增大时，写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①当或时，；当时，；②或 【解析】 【分析】（1）把，代入列方程计算即可； （2）由，轴可得，两点关于x轴对称，再由横坐标相同标出两点坐标，最后列方程求解即可； （3）①由，，得到，再分情况讨论去绝对值即可； ②画出函数大致图象，结合函数图象分析判断即可． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得，， 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，轴， ∴x轴垂直平分，即，两点关于x轴对称， ∵点P的横坐标为m， ∴，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）． ∴m的值为； 【小问3详解】 解：∵点P的横坐标为m，过点P作y轴的平行线交直线于点Q， ∴，， ∴， ①当点P在y轴左侧的抛物线上时，， ， 当点P在直线下方的抛物线上时，， ， 当点P在点B右侧的抛物线上时，， ， 综上所述，当或时，；当时，； ②函数大致图象如下： ∴当l随m的增大而增大时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 京山市2025－2026学年度上学期期中教学质量监测九年级试卷 数学 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化成一般式后，若二次项系数是5，则一次项系数和常数项分别是（　　） A. 4， B. ， C. ，1 D. 4，1 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于抛物线，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 函数有最小值 D. 可由抛物线向右平移4个单位再向下平移2个单位而得 4. 有一人患流感，经过两轮传染后共有人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？若设每轮传染中平均一个入传染了个人，则依题意可得方程（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（　　） 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；圆中的直径是弦，弦是直径；在圆中，弦的垂直平分线经过圆心；三点可以确定一个圆． A. B. C. D. 6. 如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连结、．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交半圆于点．连结，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则___． 12. 请写出一个有一根为1的一般形式的一元二次方程_________． 13. 二次函数y=﹣2x2﹣3x+k的图象在x轴下方，则k的取值范围是_____． 14. 在抛物线上有和三点，若抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，则和的大小关系用“”排列为_______． 15. 如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为_________． 三、解答题（本题共9小题，共75分） 16. 用适当的方法解方程． （1） （2） 17. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，点落在上，连接．若，求的度数． 18. 组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若，是一元二次方程的两个根，且，求m的值． 20. 如图，利用函数的图象，直接回答： （1）方程的解是__________； （2）当x__________2时，y随x的增大而增大（填“≤、≥”）； （3）当函数值y小于0时，x的取值范围是__________； （4）当时，y的取值范围是__________． 21. 如图，在中，半径弦，点E为垂足，点D在优弧上． （1）若，求的度数； （2）若，求的半径． 22. 【课本再现】九年级上册第51页探究3： 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．水面下降，水面宽度增加多少？ 分析：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系． 解：设这条抛物线表示的二次函数为，由抛物线经过点可得， ，即，… （1）请你完成剩余部分； （2）【实际应用】赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某市计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，已知水面的宽度为，拱桥最高点到水面的距离为9米，设桥拱上的点到水面的竖直高度米，到点的水平距离米． ①以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求与的函数关系式； ②据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计多少条龙舟赛道． 23. 在中，，将绕点A旋转得到，直线与直线相交于点P． （1）如图1，当点P落在线段上时，求证：； （2）如图2，当C的对应点E落在上时，连接．若求的周长． （3）如图3，当点P落在的延长线上，且时，连接，判断线段与的数量关系并说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与直线交于点，点P是抛物线上不与O，B重合的一动点，点P的横坐标为m，过点P作y轴的平行线交直线于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点P在x轴下方的抛物线上时，若，求m的值； （3）设线段的长为l． ①求l与m的函数解析式； ②当l随m的增大而增大时，写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $