精品解析：广东省仲元中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度第一学期高一年级期中考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简，即得解. 【详解】由题得， 因为， 所以. 故选：A 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由在上有解，由，判断包含关系，进而求解. 【详解】因为在上有解，所以，解得． 因为包含， 所以“”是“，”的必要不充分条件． 故选：B. 3. 下列命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质及特殊值法逐项判断，即可求解. 【详解】对A：若，当时，，故A错误； 对B：若，，设，，，， 则，故B错误； 对C：若，当时，，故C错误； 对D：若，则得，故D正确. 故选：D. 4. 近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位时间内心跳的次数）与其自身体重满足的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg、脉搏率为205次，若经测量一匹马的脉搏率为41次，则这匹马的体重为（ ） A. 350kg B. 450kg C. 500kg D. 250kg 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知函数模型代入即可得出，最后再根据脉搏率得出体重. 【详解】根据题意，当时，，则， 当时，则，故. 故选：D. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项. 【详解】函数的定义域为，且， 所以函数是奇函数，故排除A， 且当时，，故排除C， ，当时，，故排除D，满足条件的只有B. 故选：B 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数单调性先得，再根据指数函数和幂函数的单调性比大小. 【详解】根据题意，， 因为函数为增函数，所以， 则为减函数，所以， 而在为增函数，所以， 所以. 故选：C 7. 已知表示不超过的最大整数，例如，则关于的方程的解集为（ ） A. B. ，或 C. D. ，或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先对进行化简后，然后解不等式后进行求解. 【详解】由题意得，从而可知：， 化简得：，解之得：或， 故解集为：，故D项正确. 故选：D 8. 已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合指数函数和一次函数的性质、最小值定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增， 所以当时，，即， 显然不存在最小值，不符合题意， 当时，当时，， 当时，函数单调递增，则有， 因为，所以此时函数存在最小值，最小值为，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递增，则有， 要想存在最小值，只需，而，所以； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递减，则有， 因此函数存在最小值，最小值为， 综上所述：， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部．选对得6分，部分选对得得部分分，有选错的的0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 函数最小值为2 C. 已知，则 D. 函数的单调递增区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得选项A正确；根据基本不等式成立的条件可得选项B错误；根据得，即可计算，选项C正确；利用指数型复合函数的单调性可得选项D正确. 【详解】A. 命题“，使得”的否定是“，都有”，选项A正确. B. 令，则， 当，即时等号成立，但，故选项B错误. C. 由题意得，，所以， 所以，选项C正确. D. 令，对称轴为直线，函数在上单调递减， 因为在上为减函数，所以的单调递增区间为，选项D正确. 故选：ACD. 10. 关于函数，下列结论中正确的是（ ） A. 当时，是上的增函数 B. 当时，的值域为 C. 若的定义域为，则 D. 当时，是偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据得复合函数的单调性可判断Ａ；根据指数函数的性质及不等式性质可求得函数的值域，判断Ｂ；根据指数函数的性质及基本不等式可判断Ｃ；偶函数的定义可判断Ｄ. 【详解】令，则.. 对于Ａ，当时，函数. 因为函数在Ｒ上单调递增，且恒成立，函数在上单调递增， 所以函数是上的增函数. 所以选项Ａ正确. 对于Ｂ，当时，令，则. 所以. ，当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以等号不成立，且在上单调递增，所以，所以. 所以的值域为，所以选项Ｂ错误. 对于Ｃ，若的定义域为，则恒成立，即. 因为，所以，所以选项Ｃ正确. 对于Ｄ，当时，函数， ，即的定义域为. ， 所以函数不是偶函数，所以选项Ｄ错误. 故选：AC. 11. 定义域为的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 在上单调递减 D. 函数的图像关于原点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，A，取可得；B，取，再由条件当时，推理可得；对于C，运用单调性定义法推导得出相反结论，排除；对于D，取，得，又令，得，所以函数为奇函数即可. 【详解】对于A项，由，取， 得，故A项正确； 对于B项，由，取，因， 故，即， 当时，，则，故，即，故B项正确； 对于C项，任取，则，依题意，， 而， 则，即，即在上是增函数. 于是，对于， 任取，因，则，即， 即函数在上单调递增，故C项错误； 对于D项，由，取， 得，又， 则， 又令，得， 则，所以函数为奇函数， 即函数的图像关于原点对称，故D项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则可得： 原式 . 故答案为： 13. 已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与对称性求出值，进而求解一元二次不等式. 【详解】根据幂函数定义，函数的系数必须为1， 因此，，即，解得或. 当时，，是奇函数，图象关于原点对称，符合条件； 当时，，是偶函数，图象关于轴对称，不符合条件. 因此，. 于是，即， 展开并化简：， 得，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 设函数，任意恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式整理为，分和进行参变分离，分别求的最值即可. 【详解】已知函数， 任意恒成立， 即有，整理得：,① 当时，，则①式化为， 即，因，所以，则，即， 当时，，则①式化为，即， 因为，则，解得，即， 综上所述，. 故答案为： 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知函数的定义域为．函数的值域为． （1）求； （2）设集合，若，求实数取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用被开方数为非负数和分母不为0求M，利用二次型函数来求N，再求并集即可； （2）分和，利用子集关系来研究端点值的大小关系，最后求解范围. 【小问1详解】 由函数可得：，解得：， 即； 由函数，其值域， 所以； 【小问2详解】 由， 当时，，得， 当时，即，解得， 所以的取值范围是. 16. 若命题：存在，，命题：二次函数在的图像恒在轴上方 （1）若命题，中均为假命题，求的取值范围？ （2）对任意的，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方便求出命题，为真命题时的取值范围，进而可求均为假命题时的取值范围；（2）把不等式看成关于的一次不等式，结合图像即可求解. 【小问1详解】 若命题为真命题，则命题可转化为， 即，令，得函数y在上单调递增， 所以，则， 若命题为假命题，则； 若命题为真命题，则命题可转化为在上恒成立， 即，则，当且仅当时， 即时等号成立，则， 若命题，则， 则命题，均为假命题，则 【小问2详解】 任意的，使得不等式成立， 即在上恒成立， 令， 当时，，不合题意； 当时，有，解得； 所以的取值范围是. 17. 如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. （1）若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ （2）若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】（1） （2），宣传单的面积最小，最小的面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【小问1详解】 由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. 【小问2详解】 设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求m的值; （2）根据函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）若关于x函数的图象与x轴有交点，求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3） 【解析】 分析】（1）由题意得，即可求解； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）有实根，由是定义在上的奇函数可得，由在上单调递增，可得，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意得，即. 【小问2详解】 由（1）知， ，且， 因为，函数在上单调递增， 所以，即，又， 所以，即， 所以在上单调递增. 【小问3详解】 函数的图象与x轴有交点， 即有实根， 所以，又是定义在上的奇函数， 所以， 又由（2）知在上单调递增， 所以， 所以， 令，则， 所以，所以实数的取值范围为. 19. 已知，函数. （1）若，求的单调递增区间； （2）函数在上的值域为，求，需要满足的条件. 【答案】（1）的单调递增区间为，；（2）或. 【解析】 【分析】（1）分两种情况取绝对值，得到函数的解析式，再利用二次函数的单调性即可得出结果； （2）分段函数求值域，对分情况讨论，由值域得到的值. 【详解】（1）因为，， 当时，，开口向上，对称轴为， 故函数在区间上单调递增； 当时，，开口向下，对称轴为， 故函数在区间上单调递增； 所以的单调递增区间为，. （2）因为在上的值域为， 所以， 即， （i）当时，， 所以时，， 又， 所以， 得，此时， 而， 所以得， 所以. （ii）当时， ， 所以， ①当时， ， 所以， 得，； ②当时，， 所以， 所以， 所以或，不成立. 由（i）、（ii）可知或 【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的处理方法，考查了二次函数的单调性，值域问题；考查了分类讨论思想.属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高一年级期中考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列命题中的真命题是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位时间内心跳的次数）与其自身体重满足的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg、脉搏率为205次，若经测量一匹马的脉搏率为41次，则这匹马的体重为（ ） A. 350kg B. 450kg C. 500kg D. 250kg 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知表示不超过最大整数，例如，则关于的方程的解集为（ ） A. B. ，或 C. D. ，或 8. 已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部．选对得6分，部分选对得得部分分，有选错的的0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 函数最小值为2 C. 已知，则 D. 函数单调递增区间为 10. 关于函数，下列结论中正确是（ ） A. 当时，是上增函数 B. 当时，的值域为 C. 若的定义域为，则 D. 当时，是偶函数 11. 定义域为的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 在上单调递减 D. 函数的图像关于原点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________． 13. 已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为___________． 14. 设函数，任意恒成立，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知函数的定义域为．函数的值域为． （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 16. 若命题：存在，，命题：二次函数在的图像恒在轴上方 （1）若命题，中均为假命题，求的取值范围？ （2）对任意的，使得不等式成立，求的取值范围. 17. 如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. （1）若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ （2）若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求m的值; （2）根据函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）若关于x的函数的图象与x轴有交点，求实数的取值范围. 19. 已知，函数. （1）若，求的单调递增区间； （2）函数在上的值域为，求，需要满足的条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $