第四章 指数函数、对数函数与幂函数 单元优化检测卷-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 单元优化检测卷 姓名：___________班级：___________学号：___________ （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．幂函数在上是减函数，则的值为（   ）． A．1 B．2 C．或 D．1或2 【答案】A 【分析】直接由幂函数的定义及性质可得. 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，，解得. 故选：A． 2．如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，结合图象即可得到. 【详解】当时，越大，越大．的值小于的值小于的值小于的值. 故选：D. 3．已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数，所以，即， 又因为对数函数在上为增函数，所以， 综上所述，. 故选：D. 4．已知在上是单调函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性建立关于a的不等式组，解之即可求解. 【详解】因为为R上单调函数， 则或， 解得或． 故选：D． 5．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易知为奇函数，排除选项AC，再由时，判断. 【详解】由知： 为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项AC， 又时，， 故选：D 6．已知函数，若对任意的正实数、，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数定义与指数函数单调性可得性质，即可得、间关系，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】，又定义域为， 故为奇函数，则， 又在上单调递增，故在上单调递增， 则，即， 故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 7．“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则这天可开展户外活动的时长至多为（   ） A．6小时 B．8小时 C．16小时 D．18小时 【答案】D 【分析】当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动；即小于或等于200时适合开展户外活动，根据分段函数的解析式，分情况讨论求出不等式解集，再求出区间长度即可. 【详解】由AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动， 得当小于或等于200时，可开展户外活动，即， 因为 所以当时，，解得， 当时，，解得． 综上，可开展户外活动的时长至多为小时． 故选:D. 8．已知函数在上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据的单调性求得的一个范围，然后根据与的图象有两个交点以及对进行分类讨论来求得正确答案. 【详解】由于在上单调递减，所以，解得. ，， 当时，由解得， 由此画出与的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有两个交点，符合题意，由此排除BC选项. 当时，，由解得， 由此画出与的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有两个交点，符合题意，由此排除D选项，则A选项正确. 当时，，由解得， 由此画出与的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有两个交点，符合题意. 当时，，由解得， 当逐渐变大时，由图可知，当与直线相切时， 与的图象有两个交点（其它位置有个交点或个交点，不符合）， 由消去并化简得， ， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 【点睛】利用函数的单调性求解分段函数的参数问题，一定要注意在分段函数的定义域的分段位置，两段函数对应函数值的关系.求解方程交点的个数问题，可以转化为两个函数图象的交点个数来进行研究. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．函数的值域为 B．若是奇函数，则一定有 C．若的定义域为，则的定义域为 D．若，则 【答案】AC 【分析】对于A，根据指数函数的性质易得；对于B，根据奇函数对定义域的要求，即可排除；对于C，根据抽象函数的定义域的求法即可判断；对于D，先求，再求即可判断. 【详解】对于A，，，则函数的值域为，故A正确； 对于B，是奇函数，但在时不一定有定义，如，是奇函数，但不满足，故B错误； 对于C，由的定义域为可得，对于，需使， 解得，即的定义域为，故C正确； 对于D，由可知，则，故D错误. 故选：AC. 10．已知函数，若有个零点，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数和二次函数得到函数的单调区间，求出函数的极值并作出函数的大致图象，从而得到的取值范围.A选项，作关于对称的函数，观察图象可知的大小关系，从而得到，判断A选项；B选项，由对称性可知的值，根据的取值范围，求出的取值范围，从而求得，判断B选项；C选项，取特殊值，分别求出，从而判断C选项；D选项，由二次方程的韦达定理得到，由，表示出，代入即可求得，然后构造函数，利用函数的单调性求出范围，判断D选项. 【详解】当时，单调递减； 当时，对称轴，且开口向下. ∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴，， 函数大致图象如下： 令，即个零点，即 ∴， A选项，作关于对称的函数，如图： 由图可知，∴，A选项正确； B选项，由对称性可知，∵，∴， ∴，B选项正确； C选项，当时，， ，则，， 此时， ∵，∴，C选项错误； D选项，， ∵是方程的两根，∴， 又∵，即， ∴， 令，显然在上单调递增， ∴，D选项正确. 故选：ABD. 11．已知函数满足，，当时，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．存在，使得恒成立 【答案】AC 【分析】令代入原式，求出的值，即可判断A；令代入原式，求出的值，即可判断B；令，将原式化为，设， 令，证明，即可判断C；利用在上的单调性，即可判断D. 【详解】已知函数满足， 令，可得， 即，解得，故A正确； 令，可得， 因为，又由A可知，所以， 可得，故B错误； 将原式移项变形可得， 令，则上式可化为. 当时，，即. 设，则，. 令， 则有， 因为，， 所以， 又因为，所以，所以， 即，即， 所以在上单调递增，故C正确； 由选项C可知在上单调递增，且当时，， 所以不存在，使得恒成立，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 若某户居民一年的天然气费为元，则此户居民这一年使用的天然气用量为 . 【答案】 【分析】首先确定该户居民使用的天然气用量所在区间，将其设为，根据阶梯定价标准和总费用可构造方程求得的值. 【详解】年天然气用量为时，天然气费为； 年天然气用量为时，天然气费为； 该户居民这一年使用的天然气用量超过但不超过，可设为， 则，解得：， 此户居民这一年使用的天然气用量为. 故答案为：. 13．设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，结合题意可知函数在区间内恰有3个零点，分析时不符合题意，时，结合二次函数的正负及的正负即可求解． 【详解】由题意，函数与函数在区间内恰有3个零点， 设， 即函数在区间内恰有3个零点， 当时，函数在区间内最多有2个零点，不符合题意； 当时，函数的对称轴为， ， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 当，即时，函数在区间上无零点， 所以函数在上有三个零点，不符合题意； 当，即时，函数在区间上只有一个零点， 则当时，， 令，解得或，符合题意； 当，即时，函数在区间上有1个零点， 则函数在上有2个零点， 则，即，所以； 当，即时，函数在区间上有2个零点， 则函数在上只有1个零点， 则或或，即无解． 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 14．已知函数设，若关于的不等式恰有一个整数解，则的最大值是 . 【答案】12 【分析】作出的图象，令，即，由根的判别式得到方程有两个不同的实数根，设为，且，所以的解集为，，分和两种情况，数形结合得到不合要求，时，整数解为，所以，即，从而得到，即的最大值是12. 【详解】作出函数的图象如图所示，有， 当时，令，即， 因为，所以方程有两个不同的实数根， 设为，且，所以的解集为， 由于，则， 当时，，所以0，则， 由图可知的解为或， 此时关于的不等式的解中至少有2个整数，不符合题意； 当时，，的解集为， 由图象可知，当时，对应的值唯一， 因为的解恰有一个整数，所以这个整数为， 所以，即， 此时，即的最大值是12. 故答案为：12 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，得到，通过二次函数即可求解； （2）令，转换成对于恒成立，再通过参变分离，求最值即可求解. 【详解】（1）因为， 令，则， 函数转化为， 则二次函数， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，即， 由，可知当时，取到最大值，即， 故当时，函数的值域为. （2）由于对于恒成立， 令，则，即对于恒成立， 即对于恒成立，时，显然成立； 所以当时，恒成立. 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则时，， 故当时，对于恒成立． 所以的最小值为. 16．已知指数函数的图象过点，函数． (1)求的解析式； (2)证明：在上单调递增； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据指数函数的定义及函数图像所过点求解 ； （2）根据单调递增函数的定义结合指数函数的性质即可证明； （3）根据奇函数的定义和函数的单调性转化为恒成立，通过分类讨论结合分离参数及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）设（，且）， 由，得， 所以. （2）由（1）可知：， 任取，且， 可得， 因为，则，可得，，， 则，即，所以在上单调递增. （3）因为的定义域为， 且，所以是奇函数． 由得， 又因为在上单调递增，则． 当时，恒成立； 当时，可得， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以的取值范围为． 17．已知指数函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式：； (3)试讨论关于的方程的解的个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】本题主要考查指数函数的解析式、单调性以及方程解的个数问题，解题的关键在于先根据已知条件求出指数函数的解析式，再利用指数函数的单调性求解不等式，最后通过换元法讨论二次方程解的个数. 【详解】（1）设，且， 因为指数函数过点，所以，得：，即：. （2）由（1）知函数在上单调递增，则由 可得：，即：，解得：. （3）由已知，得：，即：或， 方程可化为，该方程的解为， （ⅰ）当时，方程可化为，方程的解为； （ⅱ）当且时，方程有1个解，解为，且； （ⅲ）当时，方程有0个解； 综上所述，当或时，方程有1个解；当且时，方程有2个解. 18．已知函数， (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)，，求实数的取值范围； (3)已知函数，若恰有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）由对数函数真数大于0得到，由根的判别式得到不等式，求出答案； （2）转化为在上恒成立，令，对称轴为，分，和三种情况，结合函数单调性和最小值，得到不等式，求出答案； （3）分析出当时，的定义域为，转化为在只有1个解，换元后得到，，由对勾函数单调性和值域得到或，当，分析得到的定义域为，转化为在只有1个解，结合根的判别式得到，故时，满足要求，从而求出的取值范围 【详解】（1）由题意得恒成立， 故，解得， 故实数的取值范围是； （2），， 故在上恒成立， 即在上恒成立， 令，对称轴为， 当时，在上单调递增， 只需，解得， 与取交集得； 当时，的最小值为， 故只需，解得； 当时，在上单调递减， 只需，解得， 与取交集得， 综上，实数的取值范围为； （3）需满足，故， 恰有一个零点， 由（1）知，若，此时的定义域为， 若，的两根为， ， 其中，故，， 故，所以的定义域为， 若，此时定义域为， 综上，当时，的定义域为， 令在只有1个解， 变形得到，令， 则，， 下面证明在上单调递减，在上单调递增， 设， 则， 因为，所以， 故，， 所以在上单调递减， 同理可证在上单调递增， 其中，， 要想在只有1个解，需满足或， 又，所以或， ，的两根为，， 其中，故，， 故，所以的定义域为， 则的定义域为， 故在只有1个解， 令，其中， 故需满足，即， 化简得，显然，当时，上式恒成立， 故时，满足要求， 综上，实数的取值范围为或. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 19．已知函数（，）是奇函数. (1)求实数的值，并判断函数在上的单调性（不需要证明）； (2)当时，函数的值域是，求实数与的值： (3)当时，设函数，若存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求的最大值. 【答案】(1)，在上单调递增. (2)，. (3). 【分析】（1）根据奇函数定义列式求出，分和讨论，利用复合函数单调性判断； （2）分析所给区间是函数定义域的子集，从而得出的范围，确定函数的增减性，再由单调性求其值域即可； （3）先分析二次函数在上单调递减，利用函数单调性得到，即可分析出关系式． 【详解】（1）由已知条件得对定义域中的均成立， 所以，即， 整理得，对定义域中的均成立，即，所以， 当时，无意义，故舍去，当时，为奇函数，故. 所以， 当时，在上单调递减，则在上单调递减， 当时，在上单调递减，则在上单调递增. （2）由（1）得，故函数的定义域为， ①若，则，所以函数在区间上为增函数， 要使的值域为，则，无解； ②若，则，所以函数在区间上为减函数， 要使的值域为，则，解得，， 综上，，. （3）由题可得：， 则函数的对称轴为， 因为，所以，故函数在上单调递减， 要使得时恒成立，则， 由，得； 又，即，所以， 即，所以， 故，所以. 又因为，故，解得， 故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用二次函数的性质，结合的范围得出的对称轴为，从而得出函数在上单调递减. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 单元优化检测卷 姓名：___________班级：___________学号：___________ （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．幂函数在上是减函数，则的值为（   ）． A．1 B．2 C．或 D．1或2 2．如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A． B． C． D． 3．已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．已知在上是单调函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若对任意的正实数、，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则这天可开展户外活动的时长至多为（   ） A．6小时 B．8小时 C．16小时 D．18小时 8．已知函数在上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．函数的值域为 B．若是奇函数，则一定有 C．若的定义域为，则的定义域为 D．若，则 10．已知函数，若有个零点，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 11．已知函数满足，，当时，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．存在，使得恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 若某户居民一年的天然气费为元，则此户居民这一年使用的天然气用量为 . 13．设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是 . 14．已知函数设，若关于的不等式恰有一个整数解，则的最大值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的最小值． 16．已知指数函数的图象过点，函数． (1)求的解析式； (2)证明：在上单调递增； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 17．已知指数函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式：； (3)试讨论关于的方程的解的个数. 18．已知函数， (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)，，求实数的取值范围； (3)已知函数，若恰有一个零点，求实数的取值范围． 19．已知函数（，）是奇函数. (1)求实数的值，并判断函数在上的单调性（不需要证明）； (2)当时，函数的值域是，求实数与的值： (3)当时，设函数，若存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $