精品解析：广东省清远市英德市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025学年第一学期初中期中学业质量监测 九年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（ ） A. B. C. 2 D. 1 2. 菱形的两条对角线长分别是：，，则菱形的面积为（ ） A. 40 B. 28 C. 24 D. 14 3. 一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 5. 图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，， ，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 某驿站11月1日揽件200件，11月3日揽件242件，设该驿站揽件数日平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的方程有实根，则（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 用两块边长为的等边三角形纸片（确保仅有一边重合）能拼成的四边形的是（ ） A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 10. 如图，正方形的对角线与相交于点，是边上一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在上的点处．若，则的周长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 方程的解是________． 12. 如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是___________ 13. 若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 14. 在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则纸箱中白球最可能为_______个． 15. 在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标，点的坐标是，则点的坐标是________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分. 16. 解方程： 17. 如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证:. 18. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. （1）尺规作图：已知两条对角线a，b，利用尺规作一个菱形． （2）若，，则你所作的菱形周长为：______． 20. 如图，在矩形中，点在上，，于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）在问题（1）中，的面积能否等于？请说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22. 如图，在四边形纸片中，，，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，折痕交于点E，连接． （1）请确定四边形的形状，并说明理由； （2）若，，过点作于F，连接交于点M，连接： ①四边形的面积为 ； ② ． 23. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角． （1）如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形． （2）如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D． （3）如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，求四边形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期初中期中学业质量监测 九年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 （），再确定一次项系数． 本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握将方程化为一般形式后确定各项系数的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴一次项系数为 ， 故选：A． 2. 菱形的两条对角线长分别是：，，则菱形的面积为（ ） A. 40 B. 28 C. 24 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质． 菱形的面积等于其两条对角线乘积的一半． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴则菱形的面积． 故选：C． 3. 一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后根据概率的概念即可得到两枚硬币都是正面朝上的概率． 【详解】同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=1÷4=． 故选：D． 考点：概率的计算． 【点睛】本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算P． 4. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，点P是的中点， 则（米）， 故选：D． 5. 图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，是解题的关键．利用正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O， ∴ ∴， 故选项正确；选项B错误； 故选B． 6. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，， ，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出是等边三角形是解题的关键． 根据矩形的对角线相等且互相平分可得，由，判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， ， 是等边三角形， ， 故选：B． 7. 某驿站11月1日揽件200件，11月3日揽件242件，设该驿站揽件数日平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程． 驿站11月1日揽件200件，11月3日揽件242件，可列出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：由题意，得 ． 故选C． 8. 关于x的方程有实根，则（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的知识，需掌握一元二次方程的根与之间的关系是解此题的关键．本题分两种情况进行讨论：①，是一元一次方程，必有实数根；②，是一元二次方程，可得判别式，继而可得：，解此不等式即可求得答案． 【详解】解：分两种情况： ①若，则方程为，必有实数根； ②若，则方程是一元二次方程，那么， 解得：． 综上可知，当时，关于x的方程有实根． 故选：B． 9. 用两块边长为的等边三角形纸片（确保仅有一边重合）能拼成的四边形的是（ ） A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，菱形的判定，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据题意，画出图形，再利用等边三角形的性质，证明四边形是菱形． 【详解】解：如图，与是两块边长为的等边三角形纸片, 则， 所以四边形是菱形， 故选：B． 10. 如图，正方形的对角线与相交于点，是边上一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在上的点处．若，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，折叠的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 先根据正方形的性质求出，由勾股定理求出，由折叠得到，，然后求出，再由等腰直角三角形求出，即可求解周长． 【详解】解：正方形， ∴，， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 方程的解是________． 【答案】1或-1 【解析】 【分析】将1移到右边，用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：1或-1． 【点睛】本题考查直接开平方法解已一元二次方程，形如或的一元二次方程，可利用直接开平方法求解． 12. 如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是___________ 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定．需要知道及矩形的判定定理，比如有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．本题从这两个判定角度去考虑添加条件． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 若， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时平行四边形就成为矩形， 故答案为：． 13. 若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 14. 在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则纸箱中白球最可能为_______个． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 根据摸到黑球的频率得出球的总数，然后减去黑球个数即可． 【详解】解：根据题意得：， 则纸箱中白球个数很可能是8个． 故答案为：8． 15. 在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标，点的坐标是，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】由全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性质得到即可解答． 【详解】解：作轴，轴于点，与交于点， ∵点的坐标，点的坐标是， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故答案为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正确添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分. 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法． 利用因式分解法，求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 即或， 解得：，． 17. 如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证:. 【答案】证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=BC，. 又分别是、的中点， 所以BE=CF,所以（SAS）， 所以（全等三角形的对应边相等）. 【解析】 【分析】若证明线段相等，通常证明线段所在的两个三角形全等，此题通过正方形性质及已知E,F分别为AB,BC中点，利用边角边证明即可得出结论. 【详解】略 18. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子， ∴选中“乒乓球”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种， ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. （1）尺规作图：已知两条对角线a，b，利用尺规作一个菱形． （2）若，，则你所作的菱形周长为：______． 【答案】 （1）如图，即为所求的菱形． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的性质． （1）利用菱形的特点及垂直平分线的性质即可求解； （2）根据勾股定理及菱形的性质计算即可． 【详解】（1）解：①先作线段； ②作的垂直平分线，与的交点为O，以交点O为圆心，为半径画弧交B、D两点； ③顺次连接，即为所求的菱形． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴菱形周长． 故答案为：． 20. 如图，在矩形中，点在上，，于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，，， ，， ， 于， ， 在 和中，， ， ， ； （2）. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是利用全等三角形的性质找线段之间的相等关系． 根据矩形的性质可知，，，根据同角的余角相等可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等，可证结论成立； 根据全等三角形对应边相等可得：，，利用勾股定理可以求出，根据线段之间的关系可以得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ，， 在中，， ． 21. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）在问题（1）中，的面积能否等于？请说明理由． 【答案】（1） （2）不能 设后，的面积等于根据题意，得， ， ． 此方程无实数根， 的面积不能等于． 【解析】 【分析】本题通过动点的形式考查一元二次方程求解及利用判别式判定是否存在实数根； （1）根据题意可以求得对应运动时经过的路程，利用三角形面积公式即可求得时间； （2）根据题意列出一元二次方程，用判别式求解方程根的情况，即可说明是否存在． 【小问1详解】 解：设后，的面积等于根据题意，得 解得，． 当时，不合题意，舍去， 答：后，的面积等于； 【小问2详解】 略 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22. 如图，在四边形纸片中，，，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，折痕交于点E，连接． （1）请确定四边形的形状，并说明理由； （2）若，，过点作于F，连接交于点M，连接： ①四边形的面积为 ； ② ． 【答案】（1）四边形是菱形， 理由如下： 根据折叠的性质可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）①2；② 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得：，，，再根据平行线的性质可得，进而得到，即可得出，即可求证； （2）①根据菱形的性质可得，，，则，即可得出，，再根据菱形面积公式求解即可；②先求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形的面积， 故答案为：2； ②∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 23. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角． （1）如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形． （2）如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D． （3）如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵对角线平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为邻等四边形． （2） 如图，，，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，，再证明，即可得到结论； （2）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①，结合图形再确定满足或的格点D；②，结合图形再确定满足的格点D； （3）如图，过作于，可得四边形是矩形，，，证明四边形为平行四边形，可得，，设，而，，，由新定义可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 设，而， ∴，， 由新定义可得， 由勾股定理可得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $