精品解析：河南省洛阳市汝阳县2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题

汝阳县2025～2026学年第一学期期中学科素养检测卷 九年级数学 （总分120分，时间100分钟） 一、选择题（各小题四个答案中，只有一个是正确的，将正确的答案代号字母填入题后括号内．每小题3分，共30分．） 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的识别，二次根式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据二次根式的定义，需满足被开方数非负且根指数为2．选项A被开方数为负，选项B根指数不为2，选项D在给定条件下被开方数为负，只有选项C的被开方数恒为正，符合定义． 【详解】解：二次根式定义为()，且根指数为2． ，被开方数，故A不符合； ，根指数为3，故B不符合； ， ∵， ∴，且根指数为2，故C符合； 且，则，被开方数小于0，故D不符合． 故选：C． 2. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，且， 解得且． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加法，减法，乘法，除法，根据各自的运算法则逐一验证各选项是否正确即可． 【详解】选项A：∵ ， ， ∴ ， 而 ， 故A错误． 选项B：∵ ， ， ∴ ， 与右边相等，故B正确． 选项C：∵ ， 而 ， 故C错误． 选项D：∵ = = ， 而， 故D错误． 故选：B． 4. 一元二次方程解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，正确解一元二次方程是解题的关键．通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：∵ 可因式分解为 ， ∴ 或 ， 即 或 ， 故选项： B． 5. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，注意二次项系数不为零和判别式非负的条件．根据一元二次方程的定义和判别式与根的关系求解． 【详解】解：方程一元二次方程且有两个实数根， ，且， 解得且， 故选：B． 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查比的性质，熟练掌握比的性质是解题的关键；利用已知比例，通过代入法或分式运算求解目标表达式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A． 7. 如图，D、E分别是边上的点，，若，，，则的长是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据条件证明即可求解。 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故选：C． 8. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下b与全身a的高度比值接近，可以增加视觉美感，若图中a为20米，则b约为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题． 【详解】解：由题意可知，，代入米， ∴（米）． 故选：A． 9. 某品牌手机原价为3000元，经过两次降价后售价为2430元，设每次降价的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据连续两次降价，每次降价后价格变为原价的倍，两次降价后价格变为原价的倍，据此列方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， ∵第一次降价后价格：， 第二次降价后价格：， ∴． 故选：A． 10. 土圭之法是在平台中央竖立一根杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至时日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，杆长6尺，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与平台的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，第二时刻的影长为（ ） A. 4尺 B. 12尺 C. 24尺 D. 36尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵尺，尺， ∴尺； 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，将各平方根化简为最简二次根式，然后合并同类项即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为2，则的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 将已知根代入方程求解参数即可． 【详解】解：将代入方程，得：， 即，整理得， 解得； 故答案为：5． 13. 已知，相似比为，若的面积为50，则的面积为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：，相似比为， ∴的面积的面积， ∵的面积为50， ∴的面积为8， 故答案为：8． 14. 小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长，小尺长，点D到铁塔底部的距离，则铁塔的高度为_________m． 【答案】16 【解析】 【分析】设交于点，根据题意，证明，可得，代入数据即可求得． 【详解】如图，设交于点， ， ， ， ， ， ， ， 小明的手臂长，小尺长，点D到铁塔底部的距离， （m）， 故答案为：16. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15. 阅读：点是线段上一点，若线段长度是线段长度的一半，则称点是线段的一个三等分点．显然线段的三等分点有两个． 探究：已知点是正方形的对角线上的三等分点，连接并延长，交边所在直线于点，交边所在直线于点．若，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，分两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵正方形，， ∴，， 当时，如图，点在线段上， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，点在线段的延长线上， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 综上，或， 故答案为：或． 三、解答题（共8个小题，满分75分，要求写出必要的规范的解答步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先化简二次根式，再合并即可； （2）原式根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据因式分解法可求解方程； （2）根据公式法可求解方程． 【小问1详解】 解：方程左边分解因式得， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 解： ∴， ∴， ∴． 解得：，． 18. 已知等腰三角形的其中两边长是关于x的方程的两个实数根． （1）若，求的周长． （2）若为等边三角形，求的值和三角形的周长． 【答案】（1） （2）；的周长为9 【解析】 【分析】（1）分腰为3，腰为7两种情况讨论等腰三角形边长，再求三角形的周长． （2）因为等边三角形三边相等，所以方程有两个相等实数根，故．转化为关于m的方程求解，再将m的值代入原方程，求出方程的解，再求三角形的周长． 【小问1详解】 解：当时，方程为， 即． 因式分解得：， 解得，． 分情况讨论等腰三角形边长： 若腰为3，底为7时，，不满足三角形三边关系，应舍去， 若腰为7，底为3时，，满足三边关系，周长为． 所以的周长为． 小问2详解】 因为等边三角形三边相等，所以方程有两个相等实数根， 故． 所以 ， 解得：， 代入方程得， 解得：， 所以的周长为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，根据一元二次方程根的情况求参数，等腰三角形的定义，等边三角形的性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 19. 如图，是矩形的边上的一点，于点，，，． （1）求证：． （2）求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明两个角对应相等； （2）点到直线的距离就是线段的长度，由相似三角形对应边成比例求解即可； 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中 ∵，， ∴ 由（）知 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证得是解题的关键． 20. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的顶点都在格点上． （1）以点为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使与的位似比为； （2）以点为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，若点在线段上，请直接写出点经过（1）的位似变换后的对应点的坐标． （3）直接写出的面积为______． 【答案】（1）图见详解 （2） （3）6 【解析】 【分析】本题主要考查位似，熟练掌握位似是解题关键； （1）根据位似的性质可进行作图； （2）根据“与的位似比为”可进行求解； （3）根据割补法可进行求解． 【小问1详解】 解：所作如图所示： 【小问2详解】 解：∵与的位似比为，且， ∴； 【小问3详解】 解：． 故答案为：． 21. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 22. 阅读：我们知道式子，不是最简结果，我们可以这样进一步化简． 如：； ． 这样的化简过程叫做分母有理化． 简单运算：根据上述内容，完成下列各题． （1）的化简结果为______； 探究应用： （2）请你尝试化简：； （3）计算 的值． 【答案】（1）；（2）；（3）2 【解析】 【分析】（1）分子、分母都乘以即可； （2）分子、分母都乘以即可； （3）先分母有理化，再相加即可． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2） ． （3）原式 ． 【点睛】本题考查了分母有理化，运用平方差公式进行运算,利用二次根式的性质化简，二次根式的加减运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 23. 如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示） （2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）或；（3）四边形ABQP与CPQ的面积不相等，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形和勾股定理的性质，计算得，结合题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，根据相似三角形的性质列方程并求解，即可得到答案； （3）过点P作，交BC于点M，通过证明，根据相似比的性质，推导得，根据题意列一元二次方程，根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）∵矩形ABCD中，， ∴m ∵动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动， ∴， ∴ 故答案为：，，； （2）根据（1）的结论，得，，， ∵ ∴当，或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似 当时，得 ∴ ∴； 当时，得 ∴ ∴； （3）如图，过点P作，交BC于点M ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵四边形ABQP与CPQ的面积相等,四边形ABQP面积 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴无解，即四边形ABQP与CPQ的面积不相等． 【点睛】本题考查了代数式、相似三角形、一元二次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汝阳县2025～2026学年第一学期期中学科素养检测卷 九年级数学 （总分120分，时间100分钟） 一、选择题（各小题四个答案中，只有一个是正确的，将正确的答案代号字母填入题后括号内．每小题3分，共30分．） 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 已知，则值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，D、E分别是边上的点，，若，，，则的长是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 8. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下b与全身a的高度比值接近，可以增加视觉美感，若图中a为20米，则b约为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 某品牌手机原价为3000元，经过两次降价后售价为2430元，设每次降价的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 土圭之法是在平台中央竖立一根杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至时日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，杆长6尺，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与平台的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，第二时刻的影长为（ ） A. 4尺 B. 12尺 C. 24尺 D. 36尺 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11 化简：__________． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根为2，则的值为__________． 13. 已知，相似比为，若面积为50，则的面积为__________． 14. 小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长，小尺长，点D到铁塔底部的距离，则铁塔的高度为_________m． 15. 阅读：点是线段上一点，若线段长度是线段长度的一半，则称点是线段的一个三等分点．显然线段的三等分点有两个． 探究：已知点是正方形的对角线上的三等分点，连接并延长，交边所在直线于点，交边所在直线于点．若，则______． 三、解答题（共8个小题，满分75分，要求写出必要的规范的解答步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. 已知等腰三角形的其中两边长是关于x的方程的两个实数根． （1）若，求的周长． （2）若为等边三角形，求的值和三角形的周长． 19. 如图，是矩形的边上的一点，于点，，，． （1）求证：． （2）求线段的长． 20. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的顶点都在格点上． （1）以点为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使与的位似比为； （2）以点为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，若点在线段上，请直接写出点经过（1）的位似变换后的对应点的坐标． （3）直接写出的面积为______． 21. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 22. 阅读：我们知道式子，不是最简结果，我们可以这样进一步化简． 如：； ． 这样的化简过程叫做分母有理化． 简单运算：根据上述内容，完成下列各题． （1）的化简结果为______； 探究应用： （2）请你尝试化简：； （3）计算 的值． 23. 如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示） （2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $