精品解析：湖南省株洲市天元区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025年下学期期中联合检测 八年级数学学科试题卷 时量：120分钟满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式：，，，5，，，，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 多项式的公因式是（　　） A. B. C. ma D. mb 5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则的值为（ ） A. －7 B. －4 C. D. 7. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 8. 5・12汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修米，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 10. 将1、、、按如图所示方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则 （7，5）与（12，10）表示的两数之积是（　　） A. B. 3 C. 2 D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分，18题第一空1分，第二空2分） 11. 分解因式： _________． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 13. 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为___________． 14. 若分式的值为0，则的值为_____． 15. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为_____． 16. 对于任意正实数，，定义一种新的运算：，例：．按照这种运算方法，则______． 17. 已知：，则x的值是_________． 18. 若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是_______；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是______． 三、解答题（共8个小题，满分66分，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，要有必要的推理和解答过程） 19. 计算：． 20. （1）解方程：； （2）因式分解：． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 23. 某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现A，B两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知B种图书每本的进价比A种图书贵6元，用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同． （1）A，B两种图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本A种图书的利润为3元，每本B种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1600元，则至多购进A种图书多少本？ 24. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 25. 先阅读材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将看成整体，设，则原式， 再将代入，得． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想解答下列问题： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）求证：无论为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 26. 新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有 ，（填字母） A： B： （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． （3）若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期中联合检测 八年级数学学科试题卷 时量：120分钟满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式：，，，5，，，，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，，是分式， 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，判断一个代数式是分式还是整式的方法：若分母中含有字母，则是分式；若分母中不含字母，则是整式． 2. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，是整式乘法，不符合题意； B、，不是积的形式，不符合题意； C、，故原式分解错误，不符合题意； D、，分解正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简分式，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最简分式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A. ，不是最简分式； B. ，是最简分式； C. ，不是最简分式； D. ，不是最简分式； 故选：B． 4. 多项式的公因式是（　　） A. B. C. ma D. mb 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了提取公共因式． 直接提取公共因式即可． 【详解】解：、均存在因式， 故选：A． 5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判定，熟练掌握满足最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含开得尽方的因数或因式是解题的关键．根据最简二次根式的定义判定即可． 【详解】A、是最简二次根式，故选项A符合题意； B、，故不是最简二次根式，故选项B不符合题意； C、，故不是最简二次根式，故选项C不符合题意； D、被开方数含分母，故不是最简二次根式，故选项D不符合题意； 故选：A． 6. 若，，则的值为（ ） A. －7 B. －4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D： 7. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：把分式中的、同时扩大为原来的2倍得：， ∵， ∴把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 8. 5・12汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修米，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“提前4天开通了列车”；等量关系为：原来所用的时间实际所用的时间． 【详解】解：原来所用的时间为：，实际所用的时间为：． 故所列方程为：． 故选：B． 【点睛】考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率． 9. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，绝对值，算术平方根． 先根据数轴推出，，再化简绝对值，求算术平方根，合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴化简的结果为． 故选：C． 10. 将1、、、按如图所示方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则 （7，5）与（12，10）表示的两数之积是（　　） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】所给一系列数是4个数一循环，看（7，5）与（12，10）是第几个数，除以4，根据余数得到相应循环的数即可． 【详解】∵第6排最后一个数为1+2+3+4+5+6==21， ∴（7，5）表示21+5=26个数， ∵26÷4=6…2， ∴（7，5）表示的数为， 同理（12，10）表示的数为， 则（7，5）与（12，10）表示的两数之积是2． 故选C． 【点睛】此题考查数字的变化规律；判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分，18题第一空1分，第二空2分） 11. 分解因式： _________． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式，分解因式即可． 本题考查了因式分解，正确选择分解方法是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 13. 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a× ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】数据0.0000046用科学记数法表示为：， 故答案为： 【点睛】此题考查科学记数法，解题关键在于确定a和n的值． 14. 若分式的值为0，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式值为0的条件．根据题意得到，计算即可求出． 【详解】解：根据题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形面积与边长的关系，二次根式的计算和面积的和差关系，先根据正方形面积公式求出两个小正方形的边长，进而得到大正方形的边长，再根据正方形面积公式求出大正方形的面积，最后用大正方形的面积减去两个小正方形的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 16. 对于任意正实数，，定义一种新的运算：，例：．按照这种运算方法，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义下的实数运算，二次根式的混合运算． 根据新定义将数代入，按照运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 17. 已知：，则x的值是_________． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题考查零指数幂的性质和有理数的乘方运算，正确分类讨论是解题的关键． 利用的偶次幂等于1，1的任意次幂等于1，任意非零数的零次幂等于1，分别列出方程，进一步可求出x的值． 【详解】解：∵， ∴或或， 当时，即，此时，故舍去； 当时，即，此时，满足等式； 当时，即， 时，，满足等式； 时，，无意义，不满足等式； ∴的值为：或2． 故答案为：或2 ． 18. 若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是_______；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是______． 【答案】 ①. 1001 ②. 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，化简二次根式，二元一次方程的解，熟练掌握新定义是解题的关键，根据新定义，结合，得到，根据最小的“蛟龙数”得到，得到，进而得到时，最小，求出最小的“蛟龙数”，求出，进而得到，根据式子的结果是整数，得到为完全平方数，根据，推出，根据，，得到，根据，得到蛟龙数最大时，，此时只能为0，得到的最大值为9，进而求出此时的值，即可得出结果． 【详解】解：∵是蛟龙数，且M满足， ∴， ∴， ∴， ∵蛟龙数最小， ∴， ∴， ∴当时，蛟龙数最小，为； ∵ ， ∴， ∵式子的结果是整数， ∴为完全平方数， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当蛟龙数最大时，，此时只能等于0， ∵， ∴最大为9， ∴， ∴， ∴最大的蛟龙数为：； 故答案为：1001，． 三、解答题（共8个小题，满分66分，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，要有必要的推理和解答过程） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先进行乘方、零次幂、负指数幂运算，再进行加减运算，即可求解；掌握（），（）是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. （1）解方程：； （2）因式分解：． 【答案】 （1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，可化为一元一次方程的分式方程的解法，整式的因式分解．正确解方程、正确因式分解是解题的关键． （1）依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可； （2）先提公因式，再运用公式分解因式即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 检验：把代入最简公分母，得， 所以，原分式方程的解是； （2）原式， = 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）18 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的化简求值及完全平方公式，掌握二次根式的加减法则和乘法法则是解题关键． （1）直接利用已知得出的值即可； （2）直接利用已知得出的值，再根据完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 ， 则． 23. 某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现A，B两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知B种图书每本的进价比A种图书贵6元，用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同． （1）A，B两种图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本A种图书的利润为3元，每本B种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1600元，则至多购进A种图书多少本？ 【答案】（1）种图书进价为30元，则种图书进价为36元 （2）至多购进种图书33本 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． （1）设种图书进价为元，则种图书进价为元，根据“用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同”列方程求解即可； （2）设购进种图书本，则购进种图书本，根据“销售完后所获利润不少于1600元”列不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设种图书进价为元，则种图书进价为元， 由题意得：， 解得：， 检验：当时是原分式方程的根且符合实际， ∴， ∴种图书进价为30元，则种图书进价为36元； 【小问2详解】 设购进种图书本，则购进种图书本， 由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴的最大整数为33， ∴至多购进种图书33本． 24. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】回顾旧知，类比求解：，5，5；学会转化，解决问题：（1）；（2） 【解析】 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． 回顾旧知，类比求解：根据题意可直接进行求解； 学会转化，解决问题： （1）先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； （2）先移项，然后两边同时平方得到新的一个方程，进而问题可求解． 【详解】回顾旧知，类比求解： 解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． 学会转化，解决问题： 解：（1） ， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2） 解得：， 经检验，是原方程的解． 25. 先阅读材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将看成整体，设，则原式， 再将代入，得． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想解答下列问题： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）求证：无论为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握整体思想解决问题的方法是解题的关键． （1）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式； （2）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式； （3）先由，运用整体思想，再即可得到式子的值一定是一个不小于1的数． 【小问1详解】 解：令， 原式， 将“”还原，得原式； 【小问2详解】 解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式； 【小问3详解】 证明：令， 原式 ， 将还原， 原式， 因为无论为何值， 所以． 即式子的值一定是一个不小于1的数． 26. 新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有 ，（填字母） A： B： （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． （3）若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】（1）A （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 故答案为：A； 【小问2详解】 解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得； 【小问3详解】 解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，， ，， ， ， 当时，解得， 将化简得：， 解得， 关于的方程有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $