精品解析：辽宁省鞍山市岫岩满族自治县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级（上）十一月学情调查 数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义“形如（为常数，且）的函数叫做二次函数”进行判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是二次函数，符合题意； 、是一次函数，不合题意； 、是反比例函数，不合题意； 、是正比例函数，不合题意； 故选：． 2. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别，掌握其定义，数形结合，找到对称轴，对称中心是解题的关键． 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形：在平面内，如果一个图形绕着某个点旋转后，旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形被称为中心对称图形，这个点被称为对称中心；由此即可求解． 【详解】解：A、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； D、没有对称轴，没有对称中心，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A ． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 过圆心的直线是圆的直径 B. 直径是弦，弦是直径 C. 半圆是轴对称图形 D. 长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识∶熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、弧、等圆、等弧等)是解决问题的关键，也考查了轴对称图形，根据直径、弦的定义对A选项和B选项进行判断∶根据对称轴图形的定义对C选项进行判断；根据等弧的定义对D选项进行判断． 【详解】解∶A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意； B．直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意； C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意； D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意； 故选∶C 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根，方程没有实根． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故选B． 5. 抛物线上部分点的坐标如下表，则下列说法正确的是（ ） x 0 1 y … … A. 抛物线开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【详解】解：由表格中点，，可知对称轴是直线，故B正确，符合题意； 根据对称轴是直线，当时，y随x的增大而减小，可知抛物线开口向下，故A正确，符合题意； 所以，当时，y随x的增大而增大，故C错误，不符合题意； 根据对称轴是直线可知顶点为故D正确，符合题意； 故选：ABD． 6. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设段的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设段的长为，根据篱笆总长为以及有两个宽为的门，表示出的长，再根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设段的长为，  篱笆总长为，且中间隔有一道篱笆，  垂直于墙的三段篱笆总长为，  在上有两扇宽为的小门（不用篱笆），   平行于墙的边的长度为 ，即，  花圃的面积为，  可列方程为 ． 7. 如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 8. 如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．下列说法正确的是（ ） A. 小球飞行时飞行高度为 B. 小球飞行高度为时，小球飞行的时间是 C. 小球飞行的最大高度达到 D. 小球从飞出到落地要用 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，掌握二次函数图象的性质，自变量、函数值的计算是解题的关键． 根据二次函数图象及解析式，代入计算即可求解． 【详解】解：当时，，故A选项错误，不符合题意； 当时，， 解得，或，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴当时，小球飞行的最大高度为，故C选项错误，不符合题意； 当时，， 解得，或， ∴小球从飞出到落地要用，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 9. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在边上，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．由旋转可知，，利用三角形内角和可求，从而得解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ． 故选：B． 10. 已知抛物线经过点，，中的两点，且与y轴交于点D，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的解析式得到对称轴为直线，然后判断抛物线过的两点为，，即可求出，代入计算得到，然后得到点D的坐标为，点B的坐标为，，，再求出直线的解析式，然后表示，，利用比差法解题即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 当抛物线经过点，， 则，解得， 即过点，代入得，解得，不符合题意； 当抛物线经过点，， 则，解得， 即过点，代入得，解得，不符合题意； ∴抛物线经过点，， 则，解得，故B错误； ∴，，代入得： ，解得，故C错误； ∵， ∴，故A错误； ∴抛物线解析式为， ∵点D的坐标为，点B的坐标为，，， 设直线的解析式为， 则，解的， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为与y轴交点坐标为， ∴，， ∴， ∴，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标，求直线解析式，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 12. 把抛物线的图象先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单长度，则平移后抛物线的解析式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象的平移的规律：左加右减，上加下减，直接根据抛物线的平移规律作答即可． 【详解】解：将抛物线的图象先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单长度后，得到抛物线解析式为：，即， 故答案为： 13. 如图的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于 _____． 【答案】 【解析】 【分析】利用半径相等得到，则，根据三角形外角性质得，所以，同理得到，然后利用进行计算即可． 【详解】解：连接OD，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形的外角定理，解题的关键是掌握在圆中，所有的半径都相等，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 14. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于x的方程的实数根的个数为______． 【答案】1或2##2或1 【解析】 【分析】由直线解析式求得，然后确定判别式的符号即可． 【详解】解：∵直线不经过第一象限， ∴， 当时，方程是一次方程，有一个根， 当时， ∵关于x的方程， ∴， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根， 故答案为：1或2． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 15. 如图，点E是等边边的中点，点D是直线上一动点，连接，并绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，若运动过程中的最小值为，则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质等知识点，确定取最小值的条件是解题的关键． 如图：连接，延长到，使得，连接，证明，得到，即点F在与成的直线上运动，证明当时，有最小值为：，求出，即可得． 【详解】解：如图：连接，延长到，使得，连接， ∵点E是等边边的中点， ∴， ∴， 根据旋转可得， ，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点F在与成的直线上运动， ∴时，有最小值为：， ∴，解得：， ∴． 故答案为：4． 三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的一般方法步骤． （1）利用提公因式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ∴； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ∴． 17. 已知二次函数（m是常数）． （1）求证：无论m取何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点； （2）取一个你喜欢的m的值，并求出此时函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1） 证明：由，， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴无论取何值，该函数的图象与轴一定有两个交点． （2）答案不唯一 当时，当时，，即， ∴此时函数图象与轴的交点坐标为和． 【解析】 【分析】(1)利用方程根的判别式计算即可． (2)选择一个m的值，计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解方程，熟练掌握方程的根的判别式是解题的关键． 18. 在中，，，顺时针旋转一定角度后与重合，点E落在边上，且点E是的中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数； （2）连接，求出的长． 【答案】（1）旋转中心是点A，旋转角的度数为 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）根据旋转的性质可得答案； （2）连接，证明，，再利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心是点A，旋转角的度数； 【小问2详解】 连接， ∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴． 19. 某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】（1） （2）会超过 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握病毒传播问题的数量关系是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑，第一轮感染后有台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染台，所以两轮后被感染的电脑数为，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【小问1详解】 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． ， ， ，（舍）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． 【小问2详解】 解：， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 20. 已知是半圆的直径，弦于，过点作交半圆于点，过点作于．若，． （1）求的长； （2）连接，求的长． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）根据垂径定理以及勾股定理解答，即可； （2）证明，可得，再由勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：∵是半圆的直径，， ∴， ∵弦，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米． （1）如图2，两墙、的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ； （2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 【答案】（1）3； （2）点M到地面的距离为2.25米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式． （1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由待定系数法求出函数表达式，再把代入解析式即可求解． 【小问1详解】 由题意得，抛物线的对称轴为， 则， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∴点， 当时，， 故答案为：3； 【小问2详解】 设抛物线的表达式为， 将点A的坐标代入上式得， 解得， ∴抛物线的表达式为， 当时，（米）， ∴点M到地面的距离为2.25米． 22. 在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动． （1）探究发现 如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ． （2）类比延伸 如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由． （3）迁移应用 如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2） 解：，理由如下： 如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）由旋转的性质可得是等边三角形，由勾股定理的逆定理判定可得，再利用角的和差关系即可求解； （）将绕点顺时针旋转得到，连接，得等腰直角，进而得，再由勾股定理即可得出结论； （）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，得等腰，，进而可得，用勾股定理即可得出，再在等腰中求出即可得出结论． 【小问1详解】 解：由旋转性质可知：，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、一次函数的图象及性质、正方形的性质是解题的关键． （1）令，求点，令，求点，将点、点代入抛物线，即可求解； （2）设，由轴交于点，则，再由，可知，则有，连接，延长交轴于点，可证四边形是平行四边形，为等腰直角三角形，可求， ，，求出，，得到，即可求； （3）先求出，直线的解析式为，联立，求出，分四种情况讨论：①当时，点在上，点在上，可确定或，当时，，；②当时，此时轴，或，当时，；当时，． 【小问1详解】 解：令，则， ． 令，则， ． 抛物线经过点，， ，解得， 抛物线解析式为． 【小问2详解】 设， 轴交于点， ． ， ． ． ， ． 如图，连接，延长交轴于点， 四边形是平行四边形， ， ． 为等腰直角三角形． ． ． ． 点横坐标为， ∴，即， ． ． ，解得或（舍）． ． 【小问3详解】 令，则，解得或， ． 设直线的解析式为， 将，代入， ，解得， ∴直线的解析式为， ， ． 联立，解得 ． 以点，，，为顶点的四边形是正方形， ①如图2，图3，当时，点在上，点在上， 点在抛物线上， 或． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 此时与轴重合， 不符合题意． ②如图4，图5，当时，此时轴， 或． 当时，， ． 当时，， ． 综上所述，当以点，，，为顶点的四边形是正方形，点坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）十一月学情调查 数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 过圆心的直线是圆的直径 B. 直径是弦，弦是直径 C. 半圆是轴对称图形 D. 长度相等的两条弧是等弧 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 5. 抛物线上部分点的坐标如下表，则下列说法正确的是（ ） x 0 1 y … … A. 抛物线开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 6. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设段的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．下列说法正确的是（ ） A. 小球飞行时飞行高度为 B. 小球飞行高度为时，小球飞行的时间是 C. 小球飞行的最大高度达到 D. 小球从飞出到落地要用 9. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在边上，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 10. 已知抛物线经过点，，中的两点，且与y轴交于点D，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 12. 把抛物线的图象先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单长度，则平移后抛物线的解析式是_______． 13. 如图的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于 _____． 14. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于x的方程的实数根的个数为______． 15. 如图，点E是等边边的中点，点D是直线上一动点，连接，并绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，若运动过程中的最小值为，则的值为_____． 三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程． （1） （2） 17. 已知二次函数（m是常数）． （1）求证：无论m取何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点； （2）取一个你喜欢的m的值，并求出此时函数图象与x轴的交点坐标． 18. 在中，，，顺时针旋转一定角度后与重合，点E落在边上，且点E是的中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数； （2）连接，求出的长． 19. 某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 20. 已知是半圆的直径，弦于，过点作交半圆于点，过点作于．若，． （1）求的长； （2）连接，求的长． 21. 在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米． （1）如图2，两墙、的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ； （2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 22. 在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动． （1）探究发现 如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ． （2）类比延伸 如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由． （3）迁移应用 如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值． 23. 直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $