精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

高一数学 （120分钟　150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C D. 2. 下列函数中，值域是的幂函数是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数（且）恒过定点P，则点P的坐标是（ ） A B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象（ ） A 关于直线对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于x轴对称 6. 若，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义区间的长度等于，函数的定义域为，值域为，若的长度的最小值为，则实数a=（ ） A. B. 或 C. 2或 D. 4 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “”的一个必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，关于的方程，下列结论正确的是（ ） A. 该方程必定有根 B. 若方程只有一个根，则k的取值范围为 C. 若方程只有两个不同根，则k的取值范围为 D. 若方程只有三个根，则k的取值范围为 11. 已知函数满足，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则____. 13. 设函数，____. 14. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表所示.若某户居民某月交纳水费90元，则该月用水量为____m3.  每户每月用水量 水费 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求的最小值; （2）求的最小值. 16. 已知函数是指数函数. （1）求的解析式; （2）解不等式. 17. 已知二次函数图象过点. （1）求的解析式，并写出函数的单调递增区间（不要求证明）； （2）求不等式的解集. 18. 已知函数. （1）证明：函数是偶函数. （2）根据分段函数性质，写出函数的值域. 19. 已知，我们定义函数表示不小于x的最小整数，例如：. （1）若，求实数x的取值范围； （2）求函数的值域，并求满足的实数x的取值范围； （3）设，，若对于任意的，都有，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 （120分钟　150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数解得集合，由集合的交集的定义求得结果. 【详解】∵，∴，即， ∴. 故选：A. 2. 下列函数中，值域是的幂函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与性质，对选项中的函数进行分析、判断即可． 【详解】由题意可得选项B、D的函数为指数函数，故排除B、D； 对于A：函数，定义域为R，所以值域为R，满足条件； 对于C：函数，定义域为，在第一象限内单调递增，又，所以值域为，不满足条件； 故选：A 3. 若函数（且）恒过定点P，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的性质求解. 【详解】当时，，所以函数恒过定点. 故选：A. 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到函数为单调递增函数，结合零点的存在性定理，即可求解. 【详解】由函数，可得函数在为单调递增函数， 且， 根据零点的存在性定理，可得函数的零点所在区间为. 故选：C. 5. 函数的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于x轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】对进行变形，利用奇函数定义判断即可. 【详解】因为，其定义域为R，， 所以是奇函数， 所以函数的图象关于原点对称. 故选：C. 6. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性及指数函数的单调性，分别判断的大致范围，即可比较大小. 【详解】因为， ，， 所以. 故选：B 7. 已知函数，使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数解析式得到函数的对称轴，以及函数的单调区间，利用函数的对称性和单调性得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵， ， 即，所以函数图象关于直线对称， 当时，，函数在内单调递增， ∵，∴， 解得. 故选：C. 8. 定义区间的长度等于，函数的定义域为，值域为，若的长度的最小值为，则实数a=（ ） A. B. 或 C. 2或 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据题意，求得且，再由值域为，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，作出函数的图象，如图所示， 要使定义域的长度最小，则且， 因为函数的定义域为，值域为， 可得，解得或. 故选：B. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “”的一个必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用必要充分条件定义转化为真子集判断各个选项. 【详解】设，选项对应的集合为N， 因为题中所求的是“”的一个必要不充分条件，所以M是N的真子集， 是的真子集； 故选:AC. 10. 已知函数，关于的方程，下列结论正确的是（ ） A. 该方程必定有根 B. 若方程只有一个根，则k的取值范围为 C. 若方程只有两个不同根，则k的取值范围为 D. 若方程只有三个根，则k的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，画出函数的图象，把方程的根的个数，转化为函数和的图象的交点个数，结合图象，即可求解. 【详解】由函数，作出函数图象，如图所示， 关于的方程的根的个数，即为函数和的图象的交点个数， 对于A，由函数的图象，可得函数的值域为， 所以无论为何值时，和的图象总有公共点，所以A正确； 对于B，若方程只有一个根，则或，即的取值范围为，所以B正确； 对于C，若方程只有两个不同根，则或，所以C错误； 对于D，若方程有三个不同的根，则，即的取值范围为，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数满足，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，计算由代数式的大小判断与的大小，判断A、B选项；当时，由即可得到判断与的大小，判断C选项；先找到函数在定义域上的单调性，假设函数满足题意，设，利用题意化简并判断正负，得到函数单调性，判断D选项. 【详解】A选项，当时，，A选项正确； B选项，，B选项错误； C选项，当时，∵，∴，即， 即，即，C选项正确； D选项，，因为函数在上单调递减， 函数是增函数，所以函数在上单调递减，且， 假设D选项中函数满足，令，， 则， ∵，∴，即函数在上单调递增， 这与函数在上单调递减矛盾，所以假设不成立，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则____. 【答案】2 【解析】 【分析】利用换元法，代入即可求解. 【详解】令，∴，则， 故， 故答案为： 13. 设函数，____. 【答案】5 【解析】 【分析】由分段函数的解析式、对数的运算即可求得结果. 【详解】. 故答案为：5. 14. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表所示.若某户居民某月交纳水费90元，则该月用水量为____m3.  每户每月用水量 水费 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 【答案】20 【解析】 【分析】由题意确定，代入数据即可求解. 【详解】设用水量 m3，交纳水费为元， 由题可知y=， 当时，最大值为36， 当时，最大值为72， 所以，解得. 故答案为：20 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求的最小值; （2）求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求出答案. 【小问1详解】 ，当且仅当时取等号. 的最小值为. 【小问2详解】 ，当且仅当时取等号. 的最小值为. 16. 已知函数是指数函数. （1）求的解析式; （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由指数函数的定义得到的范围和方程，解得的值； （2）由（1）可知值，判断与1的大小关系，结合对数函数的单调性得到不等式，即可解得解集. 【小问1详解】 由题意可知：且， 且，解得或（舍去）， ∴. 小问2详解】 由（1）可知， 即不等式为， ∵，∴， ∴， 原不等式的解集为. 17. 已知二次函数的图象过点. （1）求的解析式，并写出函数的单调递增区间（不要求证明）； （2）求不等式的解集. 【答案】（1），递增区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法得到的解析式，利用二次函数的单调性可得答案； （2）利用一元二次不等式可得答案. 【小问1详解】 因为函数的图象过点， 所以，， 所以的解析式为. ， 故函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 ，即， 即，解得或. 故不等式的解集为. 18. 已知函数. （1）证明：函数是偶函数. （2）根据分段函数性质，写出函数的值域. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用函数奇偶性定义和判定方法，即可得证； （2）化简函数为，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【小问1详解】 证明：由函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又由， 所以函数是偶函数. 【小问2详解】 解：由函数， 画出函数的图象，如图所示，可得函数的值域为 19. 已知，我们定义函数表示不小于x的最小整数，例如：. （1）若，求实数x的取值范围； （2）求函数的值域，并求满足的实数x的取值范围； （3）设，，若对于任意的，都有，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）直接利用定义求解； （2）求出的定义域，求出在上单调性及值域，从而得到的值域，根据定义求出.由，得的值，从而得到，由，得到，从而得到，计算得到实数x的取值范围； （3）在上单调递减，在上单调递增，得到在上单调递增，在上单调递减，从而得到.求出，，得到在上的值域，从而得到 ，继而得到，解得.按照和讨论求解，得到实数a的取值范围. 【小问1详解】 由表示不小于x的最小整数，，得，所以实数x的取值范围是. 【小问2详解】 函数的定义域为，而函数在上单调递增，值域为，因此，即有，所以函数的值域为，则.由，得，则有，由，必有，则必须满足，解得，，，解得.所以实数x的取值范围. 【小问3详解】 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， .而，，于是在上的值域为， ，， 依题意，，，可得. 当时，，即， 当时，，即，. 所以实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $