精品解析：重庆市大足中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段检测（期中）数学试题

大足中学2025~2026学年度第一学期高2027届第二次月考 数学试题 总分：150分 时间：150分钟 一､选择题： 1. 已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 两条射线 D. 双曲线的一支 2. 四面体OABC中，M为OA中点，，则=（ ） A. B. C. D. 3. 已知P是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右焦点，若=15，则=（ ） A. 31 B. 27 C. 3或27 D. 3 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相交或相切 D. 相切 6. 二面角的棱上有两个点A､B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直与棱，若，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知椭圆E：，若过点的两条直线，与E都只有一个交点，且，则（ ） A. B. C. 3 D. -3 二､多选题 9. 在正方体中，E为中点，若直线平面，则点F的位置可能是（ ） A. 线段中点 B. 线段中点 C. 线段中点 D. 线段中点 10. 已知，分别为椭圆C：的左右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆C交于P， Q两点，则下列结论正确的有（ ） A. 椭圆离心率为 B. 椭圆长轴长为 C. 若点M是线段PQ中点，则MO的斜率为 D. 的面积最大值为 11. 已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（ ） A. 点P的横坐标为 B. 的周长为 C. 大于 D. 的内切圆半径为 三､填空题 12. 已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为___________. 13. 圆与圆的公共弦长为___________ 14. 设分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，若，则椭圆E的离心率为___________ 四､解答题（15题13分，16､17题各15分，18､19题各17分） 15. 已知的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0. 求（1）AC所在的直线的方程； （2）点B的坐标． 16. 圆内一点，AB为过点P且倾斜角为的弦， （1）若时，求AB的弦长. （2）是否存在弦AB被点P平分？若存在，写出AB的方程；若不存在，请说明理由. 17. 已知椭圆E：离心率为，且过点， （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线与椭圆E相交于A､B两点，求面积的最大值. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点，连接，证明：平面； （2）求到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 动圆：与直线：交于两点． （1）证明：动圆必过两定点，并求出这两点坐标； （2）求的最小值； （3）是否存在一条定直线，在其上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大足中学2025~2026学年度第一学期高2027届第二次月考 数学试题 总分：150分 时间：150分钟 一､选择题： 1. 已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 两条射线 D. 双曲线的一支 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点间距离化简方程，再根据双曲线的定义即可判断. 【详解】设点，点， 而方程的几何意义是点到两定点M，N的距离之差为， 即， ∴动点的轨迹是双曲线的一支． 故选：D. 2. 四面体OABC中，M为OA中点，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形和题设条件，利用向量的线性运算即可求得. 【详解】 如图，连接，因M为OA中点，，且 则 . 故选：A. 3. 已知P是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右焦点，若=15，则=（ ） A. 31 B. 27 C. 3或27 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线定义结合三角形边长关系计算即可得. 【详解】由双曲线定义可得， 则，即或， 又，则， 故. 故选：B. 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行系数满足的关系，列出方程，即可得到结果. 【详解】由，且， 解得或， 故是直线与直线平行充分不必要条件， 故答案选:A 5. 直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相交或相切 D. 相切 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线系经过的定点，即可判断直线与圆的位置关系 【详解】直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1，0)，而(－1，0)在圆上， 故直线与圆相切或相交． 故选：C 6. 二面角的棱上有两个点A､B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直与棱，若，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用向量法求二面角的余弦值，解题的关键思路是通过建立向量关系，利用向量的模长公式和数量积公式来求解二面角的余弦值. 【详解】因为而且 ， 所以， 即，得到 因为 ， 设二面角为，则， 故二面角的余弦值为. 故选：A 7. 已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得到圆心和半径，计算圆心到直线的距离并判断直线和圆的位置关系，再结合半径，判断到直线的距离为的两条直线与圆的位置关系即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，结合圆的半径为，到直线的距离为的直线有两条， 可得一条与圆相离，一条与圆相交，因此圆上有且仅有2个点到直线的距离等于. 故选：B. 8. 已知椭圆E：，若过点的两条直线，与E都只有一个交点，且，则（ ） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】设切线方程为，联立方程结合可得，可知为关于的方程的两根，根据垂直关系结合韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：过点与椭圆E相切直线的斜率存在， 设切线方程为，直线，的斜率分别为， 联立方程，消去y可得， 则，整理可得， 因为，则，可知为关于的方程的两根， 若，则，解得， 且，所以. 故选：A. 二､多选题 9. 在正方体中，E为中点，若直线平面，则点F的位置可能是（ ） A. 线段中点 B. 线段中点 C. 线段中点 D. 线段中点 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间坐标系，求出平面的法向量，由线面平行的向量求法依次判断选项即可. 【详解】 如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设的中点分别为， 不妨设棱长为2，则， ，设平面的法向量，则， 令，则，又， 则， ， 又平面，则都平行于平面，即若直线平面， 则点F的位置可能是线段中点，线段中点或线段中点. 故选：ABD. 10. 已知，分别为椭圆C：的左右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆C交于P， Q两点，则下列结论正确的有（ ） A. 椭圆离心率为 B. 椭圆长轴长为 C. 若点M是线段PQ中点，则MO的斜率为 D. 的面积最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由标准方程得到的值可直接得到离心率和长轴的长，再设出直线方程与椭圆联立可求出线段PQ中点坐标，进而求出MO的斜率，最后利用弦长公式、点到直线的距离公式表示出的面积，利用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】由椭圆的方程，得到 ，所以 ，所以离心率，选项A错误； 长轴长为，选项B正确； 设不过原点且斜率为1的直线为， 联立椭圆的方程得到 ， ，得到 所以 ，所以， 所以线段PQ中点M坐标为 ，所以MO的斜率为，选项C错误； ； 点到直线的距离为 ，所以 当且仅当，即 时等号成立，选项D正确； 故选：BD 11. 已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（ ） A. 点P的横坐标为 B. 的周长为 C. 大于 D. 的内切圆半径为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用的面积，先求出点P的纵坐标，代入双曲线方程计算即得其横坐标；对于B，利用双曲线的焦半径长的公式求出两焦半径，即得的周长，对于C，利用余弦定理求出，结合余弦函数的图象单调性即可判断；对于D，利用等面积运算即可求得. 【详解】如图，由可得，双曲线的离心率为. 对于A，因，则的面积为， 解得，代入，因，则，故A错误； 对于B，因，， 又的周长为.故B正确； 对于C，由余弦定理可得，， 因，则，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为， 则，解得，故D正确. 故选：BD. 三､填空题 12. 已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离. 【详解】因为在直线同侧， 点关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，得最小值为. 答案为： 13. 圆与圆的公共弦长为___________ 【答案】 【解析】 【分析】两圆方程作差可得相交弦所在直线方程，再利用垂径定理计算即可得. 【详解】圆可化为， 则该圆圆心为，半径； 圆可化为， 则该圆圆心为，半径； 有，，， 则，故两圆相交，两圆方程作差有： ， 即为公共弦所在直线方程，到该直线距离， 则公共弦长. 故答案为：. 14. 设分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，若，则椭圆E的离心率为___________ 【答案】 【解析】 【分析】设，得到且，，在中，利用余弦定理列出方程，求得，再由，得到,在直角中，求得，得到，再由椭圆的定义，得到，即可求得椭圆的离心率. 【详解】设，则， 由椭圆的定义，可得，， 在中，由余弦定理得， 可得， 整理得，解得， 所以，，则，所以, 在直角中，可得， 即，所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 四､解答题（15题13分，16､17题各15分，18､19题各17分） 15. 已知的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0. 求（1）AC所在的直线的方程； （2）点B的坐标． 【答案】（1）2x＋y－11＝0；（2）B(－1，－3)． 【解析】 【分析】(1)根据题意设直线AC的方程为2x＋y＋t＝0，接着代点求解即可； （2）利用点B在直线BH，用点B坐标表示点M坐标，又点M在直线CM，点的坐标满足直线方程，列出方程组求解即可. 【详解】因为AC⊥BH， 所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0. 把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11. 所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0. （2）设B(x0，y0)，则AB的中点为. 联立得方程组， 化简得解得， 故B(－1，－3)． 【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 16. 圆内一点，AB为过点P且倾斜角为的弦， （1）若时，求AB的弦长. （2）是否存在弦AB被点P平分？若存在，写出AB的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得直线的方程为，结合圆的弦长公式，即可求解； （2）若弦被点平分，根据圆的性质，得到,求得，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为， 又由直线过点，可得直线的方程为， 即， 因为圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为，所以. 【小问2详解】 解：若弦被点平分，由圆的性质，可得, 因为圆心，，可得，可得， 所以直线的方程为，即. 17. 已知椭圆E：离心率为，且过点， （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线与椭圆E相交于A､B两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式求得，将代入椭圆方程，即可求得和的值，即可求得椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过二次型函数求解最值即可． 【小问1详解】 由题可知，又因为，故. 又点在椭圆上，故有，解得，则， 故椭圆的标准方程：. 【小问2详解】 联立直线与椭圆方程，有，整理得： . 根据韦达定理，有： ，解得. 弦长 点到弦的距离 ，当且仅当时，即时，等号成立. 故面积的最大值为. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点，连接，证明：平面； （2）求到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明如下： 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，， ∵平面，平面， ∴平面． （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距离的向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 又，所以到平面的距离. 【小问3详解】 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 19. 动圆：与直线：交于两点． （1）证明：动圆必过两定点，并求出这两点坐标； （2）求的最小值； （3）是否存在一条定直线，在其上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）将圆的方程整理得，由，可解得两定点； （2）求出圆的圆心坐标和半径，求圆心到直线的距离为，使用公式，将和代入整理得，设，利用二次函数的图像和性质求出； （3）设定，，，根据向量法得出，经整理后得到，因为无论为何值，都有为常数，则有，进而得到定直线. 【小问1详解】 ， 整理得， 由，解得或， 即动圆恒过两定点的坐标为或. 【小问2详解】 由圆的方程可得， 圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的圆心到直线：的距离为， 所以两点间的距离， 整理得， 设，其对称轴为， 故， 所以. 【小问3详解】 设，， 将直线代入圆中， 得， 整理得，根据韦达定理得， 设，则，， 则有， 整理得， 即有， 整理得， 因为无论为何值，都有为常数， 则令，为常数. 故存在定直线，即，其上任意点满足条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $