精品解析：内蒙古杭锦后旗奋斗中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

奋斗中学2025-2026学年第一学期期期中考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效； 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效； 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 将根式化为分数指数幂是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用根式与指数幂的互化直接求解. 【详解】根式化为分数指数幂是. 故选：A 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求出结果. 【详解】由，得到，所以，又， 所以， 故选：C. 3. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 利用特殊值排除判断ABC，由不等式的性质判断D即可. 【详解】当时，不成立，故A错误； 当时，不成立，故B错误； 当时，不成立，故C错误； ，由不等式性质知，故D正确. 故选：D 4. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用指数函数和的性质，即可求解. 【详解】因为是增函数，又，所以， 又是减函数，所以，则， 故选：C. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】依题意，. 故选：B 6. 已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用乘“1”法即可求出最值. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 7. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 8. 已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据偶函数概念得是定义域为的偶函数，再根据指数函数的单调性及偶函数性质将不等式转化为，即可求解. 【详解】因为函数满足，所以是定义域为的偶函数， 当时，，此时在上单调递减， 则在上单调递增， 所以，即，解得. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中是真命题的有（ ） A. B. C. “”是“”的充分不必要条件 D. “四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A配方即可判断；对B，求解方程即可判断；对C，解出一元二次不等式即可判断；对D，根据菱形和正方形关系即可判断. 【详解】对于A项，因为，所以，此命题为真命题，A正确； 对于B项，由，解得或1，所以命题“”为真命题，B正确； 对于C项，由，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D项，由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，充分性不成立， 但由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，必要性成立，D错误， 故选：ABC. 10. 已知函数，则正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的解集为 C. 的图象与的图象关于轴对称 D. 函数是偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】A项，根据的性质易求出函数的值域；B项，写出的表达式，根据的单调性，即可求出的解集；C项，求出的表达式，得出与的表达式相同，即可得出结论；D项，设，利用函数的奇偶性定义即可判断. 【详解】对于A，因，则，即值域为，A正确； 对于B，因，由得，即， ∵函数为减函数，∴，解得，故的解集为，B错误； 对于C，由， 可得， 由图知，的图象与的图象关于轴对称，C正确； 对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数，故D错误. 故选：AC. 11. 已知定义域为的函数满足：，，且，则下列结论成立的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件利用赋值法分析判断即可. 【详解】因为，， 取可得， 又，所以，A对； 取可得， 因为，所以， 所以为偶函数，C错，B对； 取可得， 又， 所以，D对． 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则集合的子集有________个． 【答案】4 【解析】 【分析】求得集合，可求子集. 【详解】因为，所以集合的子集有共4个. 故答案为：4. 13. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点______． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和性质，求得的值，再利用指数函数的图象过定点，得出结论． 【详解】幂函数在上单调递增， ，且，解得， 故， 令，得，且， 可得的图象过定点． 故答案为：. 14. 已知表示不超过的最大整数，定义函数.有下列结论： ①函数的图象是一条直线；②函数的值域为； ③方程有无数个解；④函数是上的增函数. 其中错误的是______.(填写所有错误结论的序号) 【答案】①④ 【解析】 【分析】 根据已知条件，写出函数的解析式，画出函数图像，数形结合得出正确答案. 【详解】由题意知，对任意的实数x，若存在整数k，满足，则 ，作出图像，如图所示 由图可知，函数的图像在每个单位区间内是一条线段，不是一条直线，故①错误； 由图可知，，故函数的值域为，故②正确； 由图可知，直线与函数的图像有无数个交点，即有无数个解，故③正确； 由图可知，函数在每个单位区间内单调递增，但在整个定义域内不具备单调性，故④错误； 故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的图像与性质，作出函数图像是解题的关键，考查学生的数形结合思想，属于一般题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. （1）计算； （2）计算；． （3）已知，若，求下列各式的值： ①；②． 【答案】（1）； （2）； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用根式的运算性质即可求解； （2）利用分数指数幂的运算性质即可求解； （3）①由已知等式两边平方可求得；②令，两边平方，进而可求得. 【详解】（1）因为，所以； （2） ； （3）①因为，两边平方得，所以， 所以； ②令，由于，故， 将两边平方得， 所以，所以 16. 求下列函数的解析式 （1）已知是二次函数，且满足． （2）已知． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由可求得的值，由可得出关于的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）设，代入化简可得函数的解析式； 【小问1详解】 设，因为，所以， 因为， 又，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 令，则，， 代入有， 所以. 17. 已知关于x的一元二次函数. （1）若的解集为或，求实数a、b的值； （2）若实数a、b满足，求关于的不等式的解集. 【答案】（1），； （2） 当时，解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与系数的关系求解即可； （2）化简可得，再以0，1为分界点讨论a的范围，求解不等式即可 【小问1详解】 ∵的解集为或， ∴与1是方程的两个实数根， 由韦达定理可知：， 解得，. 【小问2详解】 ∵，则不等式化为：， 因式分解为：，(). 当时，化为，则解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得或，不等式的解集为或. 18. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为． （1）求函数的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）、且时，判断并证明与的大小关系． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合图象，分类讨论求得函数解析式； （2）将问题转化为，求出函数的最大值即可； （3）作差比较． 【小问1详解】 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述， 【小问2详解】 恒成立，则恒成立，即， 由图象可知，是最大值是， 所以，， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 、 ， ， 因为， 所以 所以． 19. 已知函数，且是上的奇函数. （1）求实数的值； （2）①判断函数的单调性并用定义证明； ②求不等式的解集； （3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0 （2）①由（1）得， 所以， 所以函数在上单调递增，证明如下： 由于的定义域为R，任取， 则， 因为，所以，，，所以， 所以，所以函数在上单调递增； ② （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数为奇函数，结合其定义，即可求得答案； （2）①结合（1）得出的解析式，结合函数单调性的定义可判断并进行证明；②利用函数单调性的定义求解，即得答案； （3）由已知可分离参数，得对恒成立，即可构造函数，求出新函数的最值，即可求得答案. 【小问1详解】 因为是上的奇函数，所以， 所以，所以， 即，化简得， 即，所以，解得； 【小问2详解】 ①略 ②因为是上的奇函数，所以不等式等价于，即， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 因为，所以，即， 因为，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则； 当时，恒成立， 令，， 则，该函数在为减函数， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奋斗中学2025-2026学年第一学期期期中考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效； 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效； 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 将根式化为分数指数幂是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 9 7. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中是真命题的有（ ） A. B. C. “”是“”的充分不必要条件 D. “四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 10. 已知函数，则正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的解集为 C. 的图象与的图象关于轴对称 D. 函数是偶函数 11. 已知定义域为的函数满足：，，且，则下列结论成立的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则集合的子集有________个． 13. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点______． 14. 已知表示不超过的最大整数，定义函数.有下列结论： ①函数的图象是一条直线；②函数的值域为； ③方程有无数个解；④函数是上的增函数. 其中错误的是______.(填写所有错误结论的序号) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. （1）计算； （2）计算；． （3）已知，若，求下列各式的值： ①；②． 16. 求下列函数的解析式 （1）已知是二次函数，且满足． （2）已知． 17. 已知关于x的一元二次函数. （1）若的解集为或，求实数a、b的值； （2）若实数a、b满足，求关于的不等式的解集. 18. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为． （1）求函数的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）、且时，判断并证明与的大小关系． 19. 已知函数，且是上的奇函数. （1）求实数的值； （2）①判断函数的单调性并用定义证明； ②求不等式的解集； （3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $