精品解析：四川省成都市成华区某校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

数学半期试卷 注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设集合，，，则（    ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中，既是偶函数又在上为减函数的是（   ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中是真命题的有（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 设函数，则 D. 函数的图像必过定点 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 与函数是同一个函数 C. 若不等式解集为，则不等式的解集是 D. 已知函数，则解析式是 11. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则（ ） A. 的最大值为4 B. 在区间单调递增 C. 的解集为 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填涂在答题卡的相应位置上. 12. 已知函数为幂函数，则_____. 13. 已知正数满足，则的最小值为_____. 14. 定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，，若，且，，恒成立，实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）计算：. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知点在函数上. （1）求解析式并判断奇偶性，加以证明； （2）用定义法证明在上的单调性； （3）求在上的值域. 18. 2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2025年的全年利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 19. 已知指数函数. （1）当时，解不等式； （2）若，当且时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）若，求函数在上的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学半期试卷 注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设集合，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的基本运算求解即可. 【详解】全集，集合， 则集合，且， 所以集合. 故选：B. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可写出答案. 【详解】命题“，”的否定为,，, 故选：D 3. 下列函数中，既是偶函数又在上为减函数的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由解析式判断函数奇偶性、单调性. 【详解】对于A，不是偶函数，故A错误； 对于B，不是偶函数，故B错误； 对于C，当时，，即在上不为减函数，故C错误； 对于D，经检验是偶函数又在上为减函数，故D正确. 故选：D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据偶次方根被开方数大于等于零和分母不为零的要求直接求解即可. 【详解】由于，需满足， 解得：且，. 故选：A. 5. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性，可判断三个式子的大小. 【详解】解：函数为减函数，故， 函数为增函数，故， 所以， 即 故选：C. 【点睛】本题考查指数函数的单调性，属于基础题. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论． 【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD， 由，，故C错误， 故选：A. 7. 若函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，由题可得在上单调递减，在上单调递减，，据此可得答案. 【详解】令，函数是上的减函数， 则在上单调递减，在上单调递减，. 则. 故选：A 8. 已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数单调性，结合单调性性质即可求解. 【详解】因为在上单调递减，因为在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 则,解得：，则关于的不等式的解集是: 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中是真命题的有（ ） A. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 设函数，则 D. 函数的图像必过定点 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，由空集定义可判断选项正误；对于B，由必要不充分条件定义可判断选项正误；对于C，由分段函数解析式可判断选项正误；对于D，由可判断选项正误. 【详解】对于A，空集为不含有任何元素的集合，则不属于空集，故A错误； 对于B，或，则“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，令，则，故的图像必过定点，故D正确. 故选：CD 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 与函数是同一个函数 C. 若不等式解集为，则不等式的解集是 D. 已知函数，则解析式是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式性质推理判断A；利用同一函数定义判断B；求出不等式的解集判断C；求出函数解析式判断D. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，函数定义域为，函数定义域为R，它们不是同一函数，B错误； 对于C，由不等式解集为，得是方程的两根，且， 则，即，不等式化为， 即，解得，C正确； 对于D，函数，则，D错误. 故选：ABD 11. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则（ ） A. 的最大值为4 B. 在区间单调递增 C. 的解集为 D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的函数，利用偶函数的性质，结合二次函数性质逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时取等号， 由函数是上的偶函数，得当或时，取得最大值4，A正确； 对于B，函数在上单调递增，则在上单调递减，B错误； 对于C，当时，由，得， 由偶函数性质得时，的解为，因此的解集为，C正确； 对于D，当时，，，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填涂在答题卡的相应位置上. 12. 已知函数为幂函数，则_____. 【答案】4 【解析】 【分析】首先根据幂函数的定义求得，再代入. 【详解】由题意，解得，所以. 故答案为：4. 13. 已知正数满足，则的最小值为_____. 【答案】9 【解析】 【分析】由基本不等式可得答案. 【详解】, 当且仅当，即，时取等号. 故答案为：. 14. 定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，，若，且，，恒成立，实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的奇偶性及单调性并求出在上的最小值，再结合恒成立建立不等式，利用一次型函数性质列式求解. 【详解】对任意，都有， 当时，， 对任意，取，得，函数是奇函数， 设且，则，而当时，， 因此，即，所以函数在上是减函数， 当时，， 由，恒成立， 得，恒成立， 由一次型函数性质得，解得或或， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）计算：. 【答案】（1）；（2）6. 【解析】 【分析】（1）根据根式运算法则计算即可； （2）根据对数运算法则和性质计算即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2）或. 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式，将代入集合，再根据交集的定义计算即可； （2）根据题意得集合和的包含关系，列不等式，求解即可. 【小问1详解】 由，得，解得或，则或， 当时，， 所以，， 则. 【小问2详解】 由，得， 若，则，解得，此时符合题意； 若，则或，解得或； 综上所述，故的取值范围为或. 17. 已知点在函数上. （1）求解析式并判断奇偶性，加以证明； （2）用定义法证明在上的单调性； （3）求在上的值域. 【答案】（1） 由点在函数上，得，解得， 所以函数解析式为， 是定义在上的奇函数， 因为， 所以是奇函数. （2） 设任意， ， 由，得， 则，即， 所以在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）把给定的点坐标代入求得解析式，利用函数奇偶性定义判定并证明. （2）利用函数单调性定义推理证明. （3）由（1）（2）的结论，利用单调性求出指定区间上的值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知在上单调递增， 由（1）知是上的奇函数， 所以，函数在上单调递增， 则当时，， 所以在上的值域为. 18. 2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2025年的全年利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】（1）； （2）千辆时，取得最大值30万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定信息直接求出的解析式. （2）利用二次函数、基本不等式分段求出最大值，再比较大小即得. 【小问1详解】 由函数，得. 【小问2详解】 当时，，在处取最大值，（万元）； 当时， （万元），当且仅当（千辆）时取等号， 而，所以在千辆时取得最大值30万元. 19. 已知指数函数. （1）当时，解不等式； （2）若，当且时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）若，求函数在上的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，解二次不等式结合指数函数单调性可得答案； （2）由指数函数单调性可得，令，由二次函数知识可得答案； （3）由题可得，，令，分类讨论，，三种情况可得答案. 【小问1详解】 当时，，， 令，得到，，因此，得到，故解集为. 【小问2详解】 因为，所以是单调增函数，故由得， 因为，且，所以恒成立，所以，， 设，令，则，， 令，， 则函数在上单调递减，所以，，故； 【小问3详解】 因为，则，， 令，因，故，令，其中， 当时，在上递增，则； 当时，令，其中， 若，函数在上单调递增，则； 若，则，则函数在上单调递增，； 若，则，则. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $