精品解析：浙江省绍兴市新昌县五校联盟2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025学年第一学期五校联盟联考期中试卷 八年级数学 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列长度的四根木棒中，能与5cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 14cm 3. 若，则下列结论中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，已知的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中，与全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 6. 如图，均为的角平分线．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 8. 如果的三个顶点，，所对的边分别为，，．那么下列条件中能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ， C. ，， D. ，， 9. 如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（ ） A. 72 B. 36 C. 66 D. 42 10. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6个小题．每小题3分，共18分．） 11. “y减去1不大于2”用不等式表示为：_____． 12. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是________，该逆命题是______（填真、假）命题． 13. 如图，和都是边长为的等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，则的度数为___． 14. 如图，若是的高线，，，，则______ 15. 等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为________ 16. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 三、解答题（第 17- 22 题每题 6 分，第 23，24 题 每题8分，共 52 分） 17. 解下列不等式（组）． （1） （2） 18. 如图所示，在中，平分是的高，，求的度数． 19. 如图，点E，F在上，，，，与交于点O． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 20. 求证：等腰三角形两腰上的高相等． 根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整. 已知：在中，______，，，垂足分别为点，． 求证：______． 证明： 21. 刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 22. 如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． （1）作关于直线对称的图形； （2）若网格中最小正方形的边长为，求的面积； （3）在直线上找一点，则的最小值为______． 23. 已知：如图，在中，于点，是上一点，连接交于点，，． （1）求证： （2）若，求的长． 24. 某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： （1）【初步探究】如图1，试探究与的位置关系，并说明理由； （2）【深入探究】如图2，当、、三点共线时，请探究此位置时线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，当、、三点不共线时，连接，延长交于点，连接，请猜想此位置时线段、、之间的数量关系：______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期五校联盟联考期中试卷 八年级数学 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 2. 在下列长度的四根木棒中，能与5cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 14cm 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据“三角形第三边大于两边之差小于两边之和”判断即可． 【详解】解：设三角形的第三边长为acm, 5+9=14，9-5=4， 则4<a<14, 故选C 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟记“三角形第三边大于两边之差小于两边之和”． 3. 若，则下列结论中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，判断各选项的变形是否正确． 【详解】解：∵， A项：两边同除以2（正数），不等号方向不变，所以，故A成立； B项：两边同加1，不等号方向不变，所以，故B成立； C项：两边同乘2得，再同减1得，不等号方向不变，故C成立； D项：两边同乘得，再同加1得，与选项中的矛盾，故D不成立． 故选：D． 4. 对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与定理的知识．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，符合题意， ∴当，时，不符合若，不符合题意， 故选：C． 5. 如图，已知的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中，与全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，通过对比各三角形的边和角与已知的边和角，依据全等三角形的判定条件来判断． 【详解】解：甲三角形仅有一个角为，一边为b，与的边和角的对应关系不满足全等三角形的判定定理，所以甲三角形与不全等； 乙三角形中，a与中的a是对应边，角与中的角是对应角，且中角所对的边c与乙三角形中的c对应，满足全等三角形判定定理中的“”定理，所以乙三角形与全等； 丙三角形中，b与中的b是对应边，角与中的角是对应角，角与中的角是对应角，满足全等三角形判定定理中的“”定理，所以丙三角形与全等， 综上所述，与全等的是乙和丙． 故选：B． 6. 如图，均为的角平分线．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出． 【详解】∵是的角平分线，，， ∴，． ∵是的角平分线， ∴． 故选：B． 7. 在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解． 【详解】解：如图： 分三种情况： ①当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ②当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ③当时，作的垂直平分线，则点，，，即为所求， 综上所述，使得为等腰三角形的格点C的个数是6个． 故选：C． 8. 如果的三个顶点，，所对的边分别为，，．那么下列条件中能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理和勾股定理逆定理的应用，熟练掌握直角三角形的判定条件是解题关键．分别通过三角形内角和定理判断角度是否为，或利用勾股定理逆定理判断边长是否满足，依次判断即可． 【详解】解：A．∵，且， ∴，故不是直角三角形； B．∵， ∴，故不是直角三角形； C．∵， ∴，， ∴，故是直角三角形； D．∵， ∴，， ∴，故不是直角三角形； 故选：C． 9. 如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（ ） A. 72 B. 36 C. 66 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴ ． 故选：B． 10. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可． 【详解】解：由作法得EF垂直平分AB， ∴MB＝MA， ∴BM+MD＝MA+MD， 连接MA、DA，如图， ∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）， ∴MA+MD的最小值为AD， ∵AB＝AC，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵ ∴ ∴BM+MD长度的最小值为5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题．每小题3分，共18分．） 11. “y减去1不大于2”用不等式表示为：_____． 【答案】y﹣1≤2． 【解析】 【分析】首先表示y减去1为y-1，再表示“不大于2”即为y-1≤2． 【详解】解：由题意可得：y﹣1≤2． 故答案为：y﹣1≤2． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 12. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是________，该逆命题是______（填真、假）命题． 【答案】 ①. 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 ②. 假 【解析】 【分析】先写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：命题“两个全等三角形面积相等”的逆命题是如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，是假命题． 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 13. 如图，和都是边长为的等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，则的度数为___． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形外角的性质等，先由等边三角形的性质得到，，再根据三角形外角的性质和等边对等角证明即可． 【详解】解：和都是边长为的等边三角形， ，， ∴， ∵， ． 故答案为：． 14. 如图，若是的高线，，，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及同角的补角性质．利用“”证明，得出，再由同角的补角性质得出，从而得到． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及中线的定义，设腰长为，底边长为，根据中线分周长的两种情况进行讨论，并检验三角形三边关系． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，则腰上的中线将周长分为和两部分， 当且时，解得，，此时三边长为、、，满足三角形三边关系； 当且时，解得，，此时三边长为、、，但，不满足三角形三边关系，故舍去， 因此，底边长为． 故答案为：． 16. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 【答案】76 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：76． 三、解答题（第 17- 22 题每题 6 分，第 23，24 题 每题8分，共 52 分） 17. 解下列不等式（组）． （1） （2） 【答案】（1） （2）原不等式组无解 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式． （1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：， ． 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组无解． 18. 如图所示，在中，平分是的高，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和求出，利用高线的定义得到，再用三角形内角和求出结果． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高，熟记定理并准确识图，观察出是解题的关键． 19. 如图，点E，F在上，，，，与交于点O． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌； （2）是等腰三角形，理由： ∵≌， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，正确证明两个三角形全等是关键． （1）利用等式的性质可以证得，则依据即可证得三角形全等； （2）依据全等三角形的性质，即可证得，然后依据等角对等边从而证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 求证：等腰三角形两腰上的高相等． 根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整. 已知：在中，______，，，垂足分别为点，． 求证：______． 证明： 【答案】 ，  ， 已知：在中，，垂足分别为点， 求证：， 证明： ， ， ，， ， 在和中， ， （AAS）， 故答案为： ， 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得：，再利用垂直定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21. 刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 【答案】（1）A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元 （2）最多能购买100件A种湘绣作品 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题； （2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，总费用单价数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量． 【小问1详解】 设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元． 根据题意，得 ， 解得 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元． 【小问2详解】 设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件． 根据题意，得， 解得． 答：最多能购买100件A种湘绣作品． 22. 如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． （1）作关于直线对称的图形； （2）若网格中最小正方形的边长为，求的面积； （3）在直线上找一点，则的最小值为______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，三角形的面积，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质即可作出； （2）根据网格即可求的面积； （3）连接交直线于点P，此时的值最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为． 【小问3详解】 解：连接，交直线于点，连接， 此时，为最小值． 由勾股定理得，， 的最小值为． 故答案为：． 23. 已知：如图，在中，于点，是上一点，连接交于点，，． （1）求证： （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴ （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用，得，从而证得，再利用三角形全等得，从而求得，利用勾股定理求得，再利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ； ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴． 24. 某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： （1）【初步探究】如图1，试探究与的位置关系，并说明理由； （2）【深入探究】如图2，当、、三点共线时，请探究此位置时线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，当、、三点不共线时，连接，延长交于点，连接，请猜想此位置时线段、、之间的数量关系：______． 【答案】（1）平行， 理由如下： 如图1， 和是等腰直角三角形， ， ； （2）， 理由如下： 如图2， 和是等腰直角三角形， ，，，， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质易推出，由全等三角形的性质等量代换，即可得出结论； （3）由及等腰直角三角形的性质推出，由全等三角形的性质等量代换，即可得出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图4，过点作交于点， 由（2）知，， ， ，， ， ，， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $