精品解析： 江苏省无锡市宜兴市2025-2026学年八年级上学期数学期中试卷

2025年秋学期期中测试八年级数学试题 考试时间为100分钟，试卷满分120分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列各数属于无理数的是（ ） A. 3.14159 B. C. D. 2. 三角形一边上的中线把原三角形分成两个（   ） A. 形状相同的三角形 B. 面积相等的三角形 C. 直角三角形        D. 周长相等的三角形 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们首尾相连能摆成三角形的是（　　） A. 2，4，7 B. C. 5，5，10 D. 4，5，6 4. 根据下列已知条件，能够画出唯一的是（　　） A. B. C. D. 5. 若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　） A. 9 B. 8 C. 3 D. 1 6. 在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为（ ） A. 36° B. 45° C. 36°或45° D. 45°或72° 7. 在中，①若，则为等边三角形；②若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形为正方形，若的斜边，则图中线段的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 9. 如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，直角中，，将沿折叠得，点的对应点为点，则点到的距离为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填写在答题卡上相应的位置） 11. 16的算术平方根是___________． 12. 黄金分割比是，将这个分割比用四舍五入法精确到百分位的近似数是___________． 13. 如图，已知，若要判定，则只需添加一个适当的条件是___________． 14. 把两个相同的含有角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中是与的交点，若，则的面积___________．（用含的式子表示） 15. 如图，，在边上取点，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接；以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，的度数为___________． 16. 某直角三角形三条边的平方和为98，则这个直角三角形的斜边上的中线长为___________． 17. 在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角______． 18. 任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，现对72进行如下操作：2=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：①对100只需进行___________次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的数与最小数的和是___________． 三、解答题（本大题有8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 求下列各等式中的实数． （1）； （2）． 21. 已知点A、F、E、D在同一条直线上，．求证：． 22. 已知：等腰三角形的周长为24． （1）若已知一边长为6，求其他两边长； （2）若设腰长为，求腰长的取值范围． 23. 如图，△ABC中，∠A=60°． （1）试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到AC、BC两边的距离也相等（尺规作图）． （2）在（1）的条件下，若∠ABP=15°，求∠ABC的度数． 24. 已知中，，于． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． 25. 1.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一、它不但因为证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 场景1——拼图活动发现 学习了勾股定理的证明方法后，小明同学对拼图产生了浓厚兴趣，他用四个完全相同的长为宽为的长方形纸片拼成如图所示正方形．若大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，求每个小长方形纸片的对角线长． 场景2——生活问题探究 南海区有很多旅游资源，如很有代表性的南海影视城和贤鲁岛，它们位于笔直的沈海高速公路同侧，，A、B到直线的距离分别为和．旅游开发公司计划在高速公路旁修建一服务区，并从服务区向两景区修建笔直公路运送游客．如图，点在上，到点、的距离之和的值为． （1）求的长． （2）则的最小值为___________． 26. 如图，在中，，，．点从点出发沿射线方向移动．移动速度为，设移动时间为． （1）的长度为___________；当时，的长度为___________． （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值． （3）设点关于直线的对称点为．当点落在直线上时，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期期中测试八年级数学试题 考试时间为100分钟，试卷满分120分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列各数属于无理数的是（ ） A. 3.14159 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简B、D，再判断哪个属于无理数． 【详解】解：3.14259是有限小数，故A是有理数； =-3，=9，所以B、D是有理数；是无限不循环小数，是无理数．故选C． 【点睛】本题考查了无理数的判断．判断一个数是不是无理数，需先化简各数． 2. 三角形一边上的中线把原三角形分成两个（   ） A. 形状相同的三角形 B. 面积相等的三角形 C. 直角三角形        D. 周长相等的三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等． 【详解】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 【点睛】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线． 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们首尾相连能摆成三角形的是（　　） A. 2，4，7 B. C. 5，5，10 D. 4，5，6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握是解题的关键．若两条较短木棒的长度之和大于最长的木棒的长度，则三根木棒可摆成三角形；否则不能摆成三角形 ，据此分析各项即得． 【详解】A、∵， ∴2，4，7的三根小木棒首尾相连，不能摆成三角形； B、∵， ∴的三根小木棒首尾相连，不能摆成三角形； C、∵， ∴5，5，10的三根小木棒首尾相连，不能摆成三角形； D、∵， ∴4，5，6的三根小木棒首尾相连，能摆成三角形． 故选：D． 4. 根据下列已知条件，能够画出唯一的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，三角形的三边关系，掌握、、、等判定方法是解题关键，注意和不能保证唯一三角形．根据全等三角形的判定方法，（两角和夹边）可以确定唯一三角形，而其他选项不符合唯一三角形的条件． 【详解】解：选项A：∵已知，为两边和其中一边的对角（），不能保证唯一三角形； 选项B：∵，且， ∴不能构成三角形； 选项C：∵已知，为两角和夹边（）， ∴能画出唯一； 选项D：∵已知，为三个角（），只能确定形状，不能确定大小， ∴不能画出唯一三角形． 故选：C 5. 若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　） A. 9 B. 8 C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，进行求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 则平方根为：和， ∴ 这个正数为． 故选：A． 6. 在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为（ ） A. 36° B. 45° C. 36°或45° D. 45°或72° 【答案】D 【解析】 【分析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论列出方程求解即可． 【详解】解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°， 当∠A是顶角时，∠A+2∠B＝180°， 即：4x＝180， 解得：x＝45， 此时∠C＝∠B＝45°； 当∠A是底角时，2∠A+∠B＝180°， 即5x＝180， 解得：x＝36°， 此时∠C＝∠A＝72°， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，能够进行分类讨论是解答本题的关键，难度不大． 7. 在中，①若，则为等边三角形；②若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的定义和判定定理，逐一分析各结论的正确性． 【详解】解：①，由等边三角形定义可知为等边三角形，正确； ② ，只能推出为等腰三角形，但无法保证三边相等或三角均为，错误； ③ 有两个角都是，则第三个角为，三角均为，为等边三角形，正确； ④ 一个角为的等腰三角形，则其余两角也均为，为等边三角形，正确； 综上分析可知：正确的结论有①、③、④，共3个． 故选：C． 8. 清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形为正方形，若的斜边，则图中线段的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理，由勾股定理可求的长，由全等三角形的性质可求，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，标注顶点， 在中，， ， ，， ， ． 故选：D． 9. 如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 10. 如图，直角中，，将沿折叠得，点的对应点为点，则点到的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理和三角形面积公式，连接交于E，过D作于点H，利用勾股定理和等面积法得到、和，再次利用勾股定理求得和． 【详解】解：连接交于E，过D作于点H，如图， ∵将沿折叠得， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， 则，解得 ． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填写在答题卡上相应的位置） 11. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 12. 黄金分割比是，将这个分割比用四舍五入法精确到百分位的近似数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解一个数的近似数，四舍五入法精确到百分位，要看小数点后第三位数字，若小于5则直接舍去，若大于或等于5则百分位数字加1． 【详解】解：， 故近似数为：． 13. 如图，已知，若要判定，则只需添加一个适当的条件是___________． 【答案】（或）． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定方法可得答案． 【详解】解：∵，， ∴添加，根据“”可得； 添加，根据“”可得． 故答案为：（或）． 14. 把两个相同的含有角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中是与的交点，若，则的面积___________．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，关键是由角平分线的性质推出．过M作于H，由角平分线的性质推出，进一步求解，于是得到． 【详解】解：过M作于H， ， ， ， 平分， ， ， ∴，， ∵， ∴，， ． 故答案为：． 15. 如图，，在边上取点，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接；以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，的度数为___________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，由作图得出，是解题的关键．由作图可知，，，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知，，． ，， ，， ． ∴． 故答案为：． 16. 某直角三角形三条边的平方和为98，则这个直角三角形的斜边上的中线长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 利用勾股定理和三条边平方和的条件求出斜边长，再根据直角三角形斜边上中线的性质求解即可． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c． 由勾股定理，得． ∵三条边的平方和为98， ∴． ∴，解得：（已去负值）， ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边上的中线长为． 故答案为． 17. 在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的定义，等腰三角形的性质．分两种情况讨论，画出符合题意的图形，再结合三角形的内角和定理与等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，由题意得：，是的垂直平分线，， ， ， ； 如图，由题意得：，是的垂直平分线，， ， ， 综上：或． 故答案为：或． 18. 任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，现对72进行如下操作：2=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：①对100只需进行___________次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的数与最小数的和是___________． 【答案】 ①. 3 ②. 271 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 对于①，计算100的取整平方根操作次数；对于②，找到经过3次操作后变为1的所有正整数中，最大值为255，最小值为16，求和即可，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ∴对100只需进行3次操作后变为1， ∵，，， ∴对255只需进行3次操作后变为1， 从后向前推，找到需要次操作得到的最小整数， ∵，， ， ， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255， ∵，， ，，， ∴对16只需进行3次操作后变为1，对15只需进行2次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最小的是16， 则 故答案为：3，271． 三、解答题（本大题有8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）利用算术平方根及立方根的定义化简即可得到结果； （2）利用绝对值，二次根式性质化简即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 求下列各等式中的实数． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）先移项，再开平方即可； （2）直接开立方即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 开平方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 开立方得：， 解得：． 21. 已知点A、F、E、D在同一条直线上，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据线段的和差及平行线的性质得出，由“”可证，根据全等三角形的性质得到，最后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】略 22. 已知：等腰三角形的周长为24． （1）若已知一边长为6，求其他两边长； （2）若设腰长为，求腰长的取值范围． 【答案】（1）其他两边长均为9 （2）腰长x的取值范围为 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系以及一元一次不等式组的求解，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，正确列出不等式． （1）分为两种情况，当腰长为6或者底边长为6时，分别求解； （2）根据三角形三边关系，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，求解即可． 【小问1详解】 解：当腰长为6时，另一腰长也为6，此时底边长为， 因为， 所以不符合三角形三边关系，不符合题意； 当底边长为6时，腰长为， 因为， 所以符合三角形三边关系，符合题意； 综上分析可知，另外两边长均为9； 【小问2详解】 解：腰长为，则底边长为， 由三角形三边关系可得：， 解得：． 23. 如图，△ABC中，∠A=60°． （1）试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到AC、BC两边的距离也相等（尺规作图）． （2）在（1）的条件下，若∠ABP=15°，求∠ABC的度数． 【答案】（1） 如图，点P即为所求作． （2）∠ABC的度数为50°． 【解析】 【分析】（1）点P到B、C两点的距离相等，表明点P在线段BC的垂直平分线上，点P到AC、BC两边的距离相等，表明点P在∠C的平分线上，因此点P是上述两条线的交点，因而可完成作图； （2）设∠ACD=∠BCD=∠PBC=x，利用三角形内角和定理，建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵CD平分∠ACB ∴∠ACD=∠BCD ∵PB=PC ∴∠PBC=∠BCD ∴∠ACD=∠BCD=∠PBC 设∠ACD=∠BCD=∠PBC=x ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∴60°+(15°+x)+2x=180° ∴x=35° ∴∠ABC=15°+35°=50° 【点睛】本题是一个作图与计算结合的题目，考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形内角和等知识，利用方程思想，正确作图的关键是掌握线段垂直平分线的性质与角平分线的性质． 24. 已知中，，于． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠B的度数，在中，即可求出的度数，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，然后求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出的长度． 试题解析： 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：由题意知：， ∵， ∴在中，． ∴． ∴在，． 25. 1.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一、它不但因为证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 场景1——拼图活动发现 学习了勾股定理的证明方法后，小明同学对拼图产生了浓厚兴趣，他用四个完全相同的长为宽为的长方形纸片拼成如图所示正方形．若大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，求每个小长方形纸片的对角线长． 场景2——生活问题探究 南海区有很多旅游资源，如很有代表性的南海影视城和贤鲁岛，它们位于笔直的沈海高速公路同侧，，A、B到直线的距离分别为和．旅游开发公司计划在高速公路旁修建一服务区，并从服务区向两景区修建笔直公路运送游客．如图，点在上，到点、的距离之和的值为． （1）求的长． （2）则的最小值为___________． 【答案】场景1：；场景2：（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，完全平方公式的变形求值，线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线． 场景1：根据勾股定理，结合完全平方公式进行变形求值即可； 场景2：（1）过点B作于点F，根据勾股定理求出，即可得出答案； （2）延长，使，连接，交于点C，连接，过点B作于点F，根据线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短，得出此时最小，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】解：场景1：根据题意可知：，， ∵，， ∴， ∴每个小长方形纸片的对角线长为； 场景2：（1）过点B作于点F，如图所示： 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得： ， ∴； （2）延长，使，连接，交于点C，连接，过点B作于点F，如图所示： ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小， 根据解析（1）可知：，， ∵， ∴， 即的最小值为． 26. 如图，在中，，，．点从点出发沿射线方向移动．移动速度为，设移动时间为． （1）的长度为___________；当时，的长度为___________． （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值． （3）设点关于直线的对称点为．当点落在直线上时，连接，求的面积． 【答案】（1）13； （2）t的值为4或9或 （3）的面积为和 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论； （2）①当时，②当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （3）①当点P落在线段上时，如图，②当点P落在延长线上时，如图，根据折叠的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得：， ①当时， 当D在线段上时，， 即，解得：； 当D在延长线上时，， 即，解得：； ②当时，设，则， ， ， ， ， ， ， 即，解得：； 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，t的值为4或9或； 【小问3详解】 解：①当点P落在线段上时，如图所示， 点A和点P关于直线对称， ，， ， ∴， ， ， ； ②当点P落在延长线上时，如图所示： 点A和点P关于直线对称， ，， ， ∵， ， 设，则， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的面积为和 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了勾股定理，翻折变换（折叠问题），三角形的面积，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $