精品解析：湖北省武汉市部分学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025—2026学年度第一学期 武汉市部分学校高一年级期中调研考试 数学试卷 2025.11.19 武汉市教育科学研究院命制 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若全集，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且为偶函数，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 1或 7. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：对于任意的都有，，且成立，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是幂函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 的图象关于轴对称 C. D. 若，则 11. 定义符号函数，设，则下列说法中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 函数最小值为0 C. 方程有解 D. 是上单调递增函数 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，集合，则__________． 13. 已知函数．则不等式的解集为__________． 14. 已知，则的最大值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明． 16. 设是非空集合，．若，或． （1）求及集合； （2）若集合，求，并写出的所有子集． 17. 已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2），不等式恒成立，求实数取值范围； （3），不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 某公司发明一种带自动过滤功能的茶杯给商家销售．已知该产品的成本为每件40元，公司规定销售单价不低于成本且不高于100元．经统计知，销售单价（元）与日销售量（件）满足一次函数关系，对应关系如下表所示： 销售单价（元） 50 60 70 日销售量（件） 100 80 60 该公司为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的运输补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴．设商家销售该产品的日利润为（元）． （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）求与之间的函数关系式； （3）当销售单价为多少元时，日利润最大？并求日利润的最大值． 19. 设函数与定义域都为非空数集．若对任意的，总存在，使成立，则称是在定义域上的“级友谊函数”． （1）判断是否为在区间上的“2级友谊函数”，并说明理由； （2）若函数是在区间上的“3级友谊函数”，求的值； （3）若对任意，恒成立，则称是在定义域上的“超级友谊函数”．已知定义域为的函数是的“超1级友谊函数”，且是的“超4级友谊函数”．当时，的值域为，求当时，函数的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期 武汉市部分学校高一年级期中调研考试 数学试卷 2025.11.19 武汉市教育科学研究院命制 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若全集，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图阴影部分表示在中，且在集合的补集中,即可求解. 【详解】由图阴影部分表示在中，且在集合的补集中， 即， 故选：C 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 命题“”的否定为. 故选：A 3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数同一函数的概念，逐项检验定义域与对应关系即可判断是否为同一函数. 【详解】对于A，与的定义域均为，但，两个函数的对应关系不同，故A不是同一函数； 对于B，的定义域满足，得，故定义域为， 而定义域满足得或，故定义域为， 两函数定义域不相同，故B不为同一函数； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不相同，故C不为同一函数； 对于D，与的定义域均为，且，， 两函数对应关系也相同，故D为同一函数. 故选：D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性和特殊点函数值即可判断. 【详解】的定义域为， ，故函数为奇函数，排除CD， 又，排除B， 故选：A 5. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的值域为可得有解，从而有，即可得实数的取值范围. 【详解】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B 6. 已知函数，且为偶函数，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】根据为偶函数，得，已知求解析式，根据偶函数的定义域对称得实数的值，并检验奇偶性即可. 【详解】若为偶函数，则， 又，所以， 则的定义域满足，解得且， 因为偶函数定义域关于原点对称，所以，即， 当时，，则，符合为偶函数， 故. 故选：A. 7. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，然后对目标式变形为，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，显然，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为. 故选：C 8. 已知定义在上的函数满足：对于任意的都有，，且成立，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令结合建立方程求得判断A；结合奇函数性质判断B；令结合建立方程求得判断C；先求得，然后由及基本不等式求解即可判断D. 【详解】令，由得，即， 所以，故A错误； 令，由得，即， 所以，故C错误； 若定义在上的函数为奇函数，则，显然与矛盾，故B错误； 令，由得，即， 因为，则， 因为，所以， 则，所以， 当且仅当即时等号成立，故D正确. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式的性质依次判断选项即可. 【详解】对于A，取,则，故A不正确； 对于B，因为，则，所以，即，故B正确； 对于C，因为，则，所以，故C正确； 对于D，取，则，故D错误； 故选：BC 10. 已知函数是幂函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 的图象关于轴对称 C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用幂函数定义可得或，再逐项分类讨论并判断即可得. 【详解】对A：由是幂函数，则， 即，则或，故A错误； 对B：当时，，有， 且定义域为，故为偶函数， 即的图象关于轴对称； 当时，，有， 且定义域为，故为偶函数，即的图象关于轴对称； 综上可得，的图象关于轴对称，故B正确； 对C：当时，，； 当时，，；故C正确； 对D：当时，，，不符合题意； 当时，，符合题意，故，故D正确. 故选：BCD. 11. 定义符号函数，设，则下列说法中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 函数的最小值为0 C. 方程有解 D. 是上单调递增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】画出和的图象，结合图象可判断ACD， 对于B，当时，得，即可判断最小值. 【详解】对于A：由函数图象可知，是奇函数，正确， 对于B，当时，， 当时，，故B错误； 对于C，由，可知当时，函数具有周期性，周期为1， 画出函数图象如下： 当与有交点，即方程有解，C正确， 对于D，，由的图象向上平移一个单位， 由图象可知在不具有单调性，所以在不具有单调性，故D错误； 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求得，，再根据并集定义求解即可. 【详解】，， 所以. 故答案为： 13. 已知函数．则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式得函数大致图象，由图象可确定单调性从而解不等式得解集. 【详解】根据函数解析式可得函数大致图象如下： 由图可知函数在上单调递减， 则不等式的解集满足，解得或， 故不等式解集为. 故答案为：. 14. 已知，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】消去后借助换元法可用表示，再对分类讨论后利用基本不等式计算即可得解. 【详解】由，则，即， 则， 由，，故，即， 令，则， 有， 当时，； 当时，， 当且仅当，即，时，等号成立； 综上可得，的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明． 【答案】（1） （2）函数在上单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质以及题干中的已知点，建立方程组，可得答案； （2）根据函数单调性的定义，利用作差法，可得答案. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，则，即， 由，则，解得， 所以. 【小问2详解】 取，设，， 由，则，，即，所以， 即，所以函数在上单调递增. 16. 设是非空集合，．若，或． （1）求及集合； （2）若集合，求，并写出的所有子集． 【答案】（1）或，， 或或 （2）和 【解析】 【分析】（1）根据所给的定义，结合并运算和交运算的定义即可求解； （2）根据子集的定义即可求解. 【小问1详解】 由题可得：或，， 或或； 【小问2详解】 由（1）可得：， 故C的所有子集有：和． 17. 已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围； （3），不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论，进而求出结果； （2）根据二次不等式恒成立的条件，进行参变分离，进而求出参数的取值范围； （3）根据任意恒成立的条件，对函数进行变形，对新参数进行讨论，求出函数最小值，列出不等式，进而求出结果. 【小问1详解】 由题意可知，当时，，解得； 当时，令，即，解得或. 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，即，则，解得， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； 【小问2详解】 由题意得，即， 当时，可知，可得， 因为，所以， 即，不等式恒成立，等价于，恒成立； 可知时，，所以，即实数的取值范围为； 【小问3详解】 由题意得，即，化简得， 可知，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立； 当时，不等式不成立，不符合题意； 当时，，不等式恒成立， 令，则在上单调递减， 即得恒成立，解得， 当时，，不等式恒成立， 在上单调递增，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 18. 某公司发明一种带自动过滤功能茶杯给商家销售．已知该产品的成本为每件40元，公司规定销售单价不低于成本且不高于100元．经统计知，销售单价（元）与日销售量（件）满足一次函数关系，对应关系如下表所示： 销售单价（元） 50 60 70 日销售量（件） 100 80 60 该公司为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的运输补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴．设商家销售该产品的日利润为（元）． （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）求与之间的函数关系式； （3）当销售单价为多少元时，日利润最大？并求日利润的最大值． 【答案】（1），； （2） （3）销售单价为元时，日利润的最大值元 【解析】 【分析】（1）设出一次函数关系，利用选定系数法求出解析式，并求出自变量的范围. （2）利用给定关系，结合（1）的结论分段求解. （3）结合二次函数性质分段求出最大值，再比较大小即得. 【小问1详解】 依题意，设，由及， 得，解得，则， 显然也满足， 因此，由，得，解得， 所以所求函数关系式为，. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得，， 由，得，， 所以所求函数关系式为. 【小问3详解】 当时，，当且仅当时取等号； 当时，在上单调递减，则当时，， 而，因此当，即时，， 所以当销售单价为元时，日利润的最大值元. 19. 设函数与定义域都为非空数集．若对任意的，总存在，使成立，则称是在定义域上的“级友谊函数”． （1）判断是否为在区间上的“2级友谊函数”，并说明理由； （2）若函数是在区间上的“3级友谊函数”，求的值； （3）若对任意的，恒成立，则称是在定义域上的“超级友谊函数”．已知定义域为的函数是的“超1级友谊函数”，且是的“超4级友谊函数”．当时，的值域为，求当时，函数的值域． 【答案】（1）不是； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出两函数的值域，根据两值域关系和新定义即可判断； （2）转化为成立，再分，以及讨论即可； （3）由题意得，通过不断转化得到规律当时，，从而得到值域. 【小问1详解】 （1）当，又当时，， 取，则，对于任意的，， 此时不存在，满足， 所以和不是区间上的“2级友谊函数“． 【小问2详解】 由题知是在区间上的“3级友谊函数“， 则任意，总存在，使， 因为，则只需使成立即可， ①当时，单调递增，其值域为， 所以，则 因为任意，总存在，使成立， 所以，则，即，即，此时． ②当时，单调递减，其值域为 所以，则 因为任意，总存在，使成立， 所以，则，即，即，此时． ③当时，当时，有，不存在，使得， 此时不存在这样的，，不符合题意． 综上， 小问3详解】 因为定义域为的函数是的“超1级友谊函数“，是的“超4级友谊函数“， 所以对任意的使得，且恒成立， 由，用替换可得， 因为当时，的值域为， 当时，， 所以， 当时，，即． 由，用替换可得， 又，则， 用替换可得． 当时，， 所以， 当时，， 所以， 依次类推可知，当时，， 当时，， 所以当时，， 当时，，所以， 所以， 综上可知，当时，函数的值域为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $