精品解析：广西南宁市隆安县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025年秋季学期期中作业质量评价 九年级数学试题 （考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 分值 ：120 分） 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答案一律填写在答题卷上，在本试卷上作答无效；不能使用计算器． 第 Ⅰ 卷（选择题） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共36 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请考生用 2B 铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”及“一个图形绕某点旋转后能够与原图完全重合的图形”进行求解即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选B． 2. 下列关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、中未知数的次数是1，则A不符合题意， B、中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，则B符合题意， C、中含有两个未知数，则C不符合题意， D、中含有两个未知数，则D不符合题意， 故选：B． 3. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法进行求解即可． 【详解】解： 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，解题的关键是根据常数项为0求出可能的m值，再依据一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选出正确结果． 根据方程常数项是0，列出关于m的方程求出m的可能值；再根据一元二次方程的定义，二次项系数，排除不符合的m值，得到最终结果． 【详解】解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0． 一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即． 解这个方程：，即 ∴ 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得． 因此，． 故选：C． 5. 对二次函数的图象下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为 C. 当时随增大而增大 D. 最小值是4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数顶点式的性质分析各选项。顶点坐标为，对称轴为，开口方向由a的正负决定。当时，开口向上，有最小值k，且在对称轴右侧y随x增大而增大． 【详解】解：函数为， 故顶点坐标为，选项A的顶点坐标错误， 对称轴为，选项B中“”错误． ，开口向上，当时，y随x增大而增大，选项C正确． 开口向上时最小值为，选项D中“最小值是4”错误． 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则（ ） A. 12 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键．利用关于原点对称点的性质，即它们的坐标互为相反数，得到a，b的值，再利用有理数的乘方法则计算得到答案． 【详解】解：点关于原点的对称点为， ， ， 故选：B． 7. 如果关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的情况，考查的是对根的判别式的理解，掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．由方程是一元二次方程可得： ，由方程有实数根列不等式得的范围，综合得到答案． 【详解】解：因为一元二次方程 有实数根， ∴且， 解得：且． 故选：D． 8. 平移二次函数的图象，其顶点刚好经过点，则平移后的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移．根据二次函数的顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵平移二次函数的图象，其顶点刚好经过点， ∴平移后的函数解析式为， 故选：C． 9. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于x的一元二次方程，此题得解， 【详解】解∶ 设与墙垂直的一边长为则与墙平行的一边长为 根据题意得： 即． 故选A． 10. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、顶点所在象限进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，故C、D错误； ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线的顶点在第二象限，故A错误，B正确； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 11. 如图，正方形中，点为对角线上一点，．且，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，使，则的度数为（） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟记性质并求出的度数是解题的关键，根据旋转的性质可得,然后利用“边边边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得,然后分点在的下方和点在的上方，两种情况讨论即可得解． 【详解】解：如图， 线段绕点逆时针旋转得到线段, , 四边形是正方形， , , , 在和中， , , , 为正方形的对角线， , 当点在的下方时，, 当点在的上方时，, 综上所述，的度数为或， 故选：C. 12. 二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，下列结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数判断即可． 【详解】解：①由图象可知：，， ∴，故①正确； ②由图象可知：， ∴，故②正确； ③∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，故③错误， ④∵抛物线对称轴为直线，， 又当时，， ∴当时，，故④错误； ∴正确的一共有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 3 分，共12分） 13. 已知是方程的根，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 故答案为：． 14. 抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】(0，-2) 【解析】 【分析】抛物线的顶点坐标为：(0，k)， 从而可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是(0，-2)， 故答案为：(0，-2)． 【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标，掌握“抛物线的顶点式”是解本题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转至点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，过点作轴于点，过点作轴于点，构造一线三直角全等模型证明三角形全等即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 由旋转性质得，， ∴， ∵轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵点， ∴， ∵点Q在第三象限， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 三、解答题（本大题共 7 小题，共72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据因式分解法可求解方程； （2）根据因式分解法可求解方程． 【小问1详解】 解： 或， ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． （1）若和关于原点O 成中心对称，画出； （2）将绕着点A 顺时针旋转，画出旋转后得到的． （3）求的面积 【答案】（1） 如图，即为所求作； （2） 如图，即为所求作； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了网格作图——旋转变换，掌握旋转变换作图是解题的关键． （1）关于原点O 成中心对称，横纵坐标均互为相反数，找到A、B、C的对应点，顺次连接即可； （2）找到A、B、C的对应点，顺次连接即可； （3）根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． ()利用根的判别式，即可求出答案； ()用韦达定理，直接得，把根的和与积代入题目条件，得到关于的方程，解出或，根据的条件，即可解答． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 即， 解得：； 【小问2详解】 ∵，是该方程的两个根， ∴， ， ∴， 整理得：， 解得， ∵， ∴． 20. 已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式． 【答案】（1），顶点坐标为（2，1）． （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）利用交点式得出，从而得出a求出的值，再利用配方法求出顶点坐标即可． （2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=－x2，从而得出答案，答案不唯一． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0）， ∴可设抛物线解析式为． 把C（0，－3）代入得：3a=－3，解得：a=－1． ∴抛物线解析式为，即． ∵， ∴顶点坐标为（2，1）． （2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=﹣x2， 平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=－x上． 21. 如图， 已知是等边三角形， 在外有一点 D， 连接， 将绕点A按顺时针方向旋转得到，与交于点 F，． （1）求的大小； （2）连接， 若，，， 求的长． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． （1）由旋转的性质可得，由三角形的内角和定理可求解； （2）连接，可证是等边三角形，可得，由旋转的性质可得，可得，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 解：∵将绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵将绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 为庆祝国庆节，某地文旅部门设计了一款印有当地特色图案的文化衫，通过景区商店和线上平台同步销售，收益用于支持乡村文化振兴．已知文化衫的成本为30元/件，销售单价不低于成本价，且不高于50元/件．经市场调研发现，该文化衫每天的销售量（件）与销售单价x（元/件）之间的关系是一次函数（其图象如图所示）设每天的销售利润为w元． （1）请根据图象分别求出у与x，w与x的函数解析式； （2）为在国庆期间吸引游客，商家希望每天的销售利润达到800元，销售单价应定为多少元/件？ （3）国庆期间，能否通过调整单价使每天利润达到1260元？若能，求出此时的单价；若不能，请说明理由 【答案】（1）， （2）40元/件 （3）不能通过调整单价使每天利润达到1260元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数以及一元二次方程在销售问题中的应用． （1）依据题意，运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案； （3）依据题意，根据每件的利润乘以销售量等于利润1260元，列出方程，再根据，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 又∵图象过点、， ∴， 解得， ∴函数关系式为， ∵销售单价不低于成本价30元，且不高于50元/件销售， ∴， ∴每天的销售利润为． ∴，； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵单价不低于成本价，且不高于50元销售， ∴不符合题意，舍去． ∴销售单价定为40元/件时，每天的销售利润为800元； 【小问3详解】 解：不能，理由如下： 由题意得：， 整理得，， ∵，该方程无解， ∴不能通过调整单价使每天利润达到1260元． 23. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到l的距离为d（单位：）． 若，； （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围． 【答案】（1）；喷出水的最大射程为 （2） （3）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）根据图形及题意将数据转化成函数图像上点的坐标，设函数解析式为，将点代入求解，再令，再解方程即可得到答案； （2）根据（1）求出对称轴，根据轴对称性质求出点的对称点，结合函数的平移关系即可得到答案； （3）如图，先看上边缘抛物线，求解点的纵坐标为0.5．当抛物线恰好经过点时，可得．可得．求解的最大值为．再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，可得的最小值为2，从而可得答案． 【小问1详解】 解：如图，时，， 由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为0.5． 抛物线恰好经过点时， ． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使， 则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期中作业质量评价 九年级数学试题 （考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 分值 ：120 分） 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答案一律填写在答题卷上，在本试卷上作答无效；不能使用计算器． 第 Ⅰ 卷（选择题） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共36 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请考生用 2B 铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 或2 5. 对二次函数的图象下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为 C. 当时随增大而增大 D. 最小值是4 6. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则（ ） A. 12 B. C. 1 D. 7. 如果关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 平移二次函数的图象，其顶点刚好经过点，则平移后的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方形中，点为对角线上一点，．且，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，使，则的度数为（） A. B. C. 或 D. 或 12. 二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，下列结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 3 分，共12分） 13. 已知是方程的根，则____________ 14. 抛物线的顶点坐标是_______． 15. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转至点，则点的坐标为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 三、解答题（本大题共 7 小题，共72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1） （2） 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． （1）若和关于原点O 成中心对称，画出； （2）将绕着点A 顺时针旋转，画出旋转后得到的． （3）求的面积 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 20. 已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式． 21. 如图， 已知是等边三角形， 在外有一点 D， 连接， 将绕点A按顺时针方向旋转得到，与交于点 F，． （1）求的大小； （2）连接， 若，，， 求的长． 22. 为庆祝国庆节，某地文旅部门设计了一款印有当地特色图案的文化衫，通过景区商店和线上平台同步销售，收益用于支持乡村文化振兴．已知文化衫的成本为30元/件，销售单价不低于成本价，且不高于50元/件．经市场调研发现，该文化衫每天的销售量（件）与销售单价x（元/件）之间的关系是一次函数（其图象如图所示）设每天的销售利润为w元． （1）请根据图象分别求出у与x，w与x的函数解析式； （2）为在国庆期间吸引游客，商家希望每天的销售利润达到800元，销售单价应定为多少元/件？ （3）国庆期间，能否通过调整单价使每天利润达到1260元？若能，求出此时的单价；若不能，请说明理由 23. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到l的距离为d（单位：）． 若，； （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $