精品解析：广西壮族自治区河池市2026届高三三模数学试题

2026届11月高三跨市联合调研卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则（ ） A. B. C. 3 D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 8 B. 2 C. D. 3. 函数的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若数列的前项和，则（ ） A. 21 B. 23 C. 16 D. 2 5. 设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过作斜率不为零的直线交于，两点.若的周长为8，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. “，”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知某正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为2的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是上的增函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 阅读不仅能帮助孩子积累知识，还能提升他们的语言表达能力和思维能力，从小培养阅读习惯显得尤为重要.为了了解小学生的阅读情况，随机调查了某市1000名小学生每日阅读的情况，并将这1000名小学生每日的阅读时间数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟 C. 估计样本中小学生每日的阅读时间的中位数为40分钟 D. 估计样本中小学生每日的平均阅读时间为33.6分钟（每组数据以该组区间的中间值作代表） 10. 已知抛物线：（）的准线与圆：相切，为与圆的一个交点，过圆心作直线与交于，两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. 的最小值为8 D. 以线段为直径的圆与轴相切 11. 已知正数，均为常数，且，则函数的极小值点可能是（ ） A. B. C. D. 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________. 13. 设函数.若为偶函数，则___________． 14. 在8条直线：，：，：，：，：，：，：，：所组成的图形中，同位角的对数为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为且. （1）求角的大小； （2）若，，，求的长. 16. 如图，在几何体中，平面底面，四边形为正方形，为等边三角形，为的中点，为上靠近点的三等分点，为上靠近点的三等分点. （1）证明：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）设的导函数为，证明：存在唯一零点. （3）求的最大值. 18. 现有编号为1，2，3，⋯，（，）的名同学进行闯关游戏，闯关游戏有两种方式可以选择，游戏规则如下. 方式一：①该游戏共设置第一关与第二关，首先由编号为1的同学闯第一关； ②若编号为的同学第一关闯关成功，则该同学继续闯第二关，若编号为的同学第一关闯关未成功，则由编号为的同学接替闯第一关； ③若编号为的同学第二关闯关成功，则闯关游戏结束，若编号为的同学第二关闯关未成功，则由编号为的同学接替闯第二关； ④若闯关轮到编号为的同学，无论编号为的同学闯关成功与否，闯关游戏均结束. 方式二：①该游戏共设置第一关与第二关，首先由编号为1的同学闯第一关； ②若编号为的同学第一关闯关成功，则该同学继续闯第二关，若编号为的同学第一关闯关未成功，则由编号为的同学接替闯第一关； ③若编号为的同学第二关闯关成功，则闯关游戏结束，若编号为的同学第二关闯关未成功，则由编号为的同学接替闯关且从第一关重新开始闯关； ④若闯关轮到编号为的同学，无论编号为的同学闯关成功与否，闯关游戏均结束. 假设每位同学闯第一关成功的概率均为，闯第二关成功的概率均为，且每位同学闯关成功与否相互独立. （1）若均选择方式一闯关，当闯关游戏结束时，求闯关人数不超过2的概率. （2）设事件表示“所有同学均按方式一闯关，恰好由编号为3的同学闯关后闯关游戏结束”，设事件表示“所有同学均按方式二闯关，恰好由编号为3的同学闯关后闯关游戏结束”，分别求出事件和事件的概率，比较所求概率的大小，并判断应选择哪种方式闯关更合理. （3）若均选择方式二闯关，记闯关游戏结束时闯关的总人数为，求的数学期望. 19. 已知双曲线：（）的实轴长为2，经过点的直线与交于，两点，且，两点均不与的左顶点重合. （1）求的方程. （2）证明：直线与的斜率之和为定值. （3）若在射线上的点满足，求直线的斜率的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届11月高三跨市联合调研卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，再根据复数模的计算公式计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：A 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 8 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列出方程，解出即可. 【详解】因为，，且， 则，解得 ， 故选： 3. 函数的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的性质直接计算零点即可. 【详解】令，符合题意； 令或，，不符合题意，，符合题意. 所以函数的零点个数为2. 故选：B 4. 若数列的前项和，则（ ） A. 21 B. 23 C. 16 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用进行计算. 【详解】因为， 所以， 故选： 5. 设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过作斜率不为零的直线交于，两点.若的周长为8，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和性质进行计算. 【详解】因为 又的周长为8， 则， 所以，则， 则， 则， 故选： 6. “，”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在性问题的求解方法求得的范围，进一步判断即可. 【详解】不等式可化为:, 时，， 所以， 故是的一个充分不必要条件，其他选项不合题意. 故选： 7. 已知某正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为2的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得正四棱台的高，确定球心位置，根据条件建立方程，解出后进一步计算即可. 【详解】根据题意可得正四棱锥的高， 如下图, 设正四棱台的外接球球心为,则点在上， 设，外接球半径为， 则, 即， 解得，则， 则外接球的表面积为， 故选: 8. 已知函数是上的增函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数大于等于零建立不等关系，分类讨论参数的范围进行确定. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以恒成立， 不等式化为， 若时，， 则时，，不符合题意； 当时，令， 得，或， 若，即时， 不等式的解为或者， 不符合题意； 当，即时， 不等式恒成立，符合题意； 若，即时， 不等式的解为或者， 不符合题意. 综上知，. 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 阅读不仅能帮助孩子积累知识，还能提升他们的语言表达能力和思维能力，从小培养阅读习惯显得尤为重要.为了了解小学生的阅读情况，随机调查了某市1000名小学生每日阅读的情况，并将这1000名小学生每日的阅读时间数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟 C. 估计样本中小学生每日的阅读时间的中位数为40分钟 D. 估计样本中小学生每日的平均阅读时间为33.6分钟（每组数据以该组区间的中间值作代表） 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率和为1求的值判断A的真假；求阅读时间不超过40分钟的频率判断B的真假；根据频率分布直方图估计中位数判断C的真假；估计平均数判断D的真假. 【详解】对A：由，故A正确； 对B：阅读时间不超过40分钟的频率为，即估计样本中有75%的小学生每日的阅读时间不超过40分钟，故B正确； 对C：由B的计算结果，40是该组数据的第百分位数，所以中位数应该小于40，故C错误； 对D：估计样本的平均数为：，故D正确. 故选：ABD 10. 已知抛物线：（）的准线与圆：相切，为与圆的一个交点，过圆心作直线与交于，两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. 的最小值为8 D. 以线段为直径的圆与轴相切 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆的切线求得，结合抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆：的圆心为，半径， 抛物线：（）的准线方程为， 由于是圆的切线，所以，A选项错误. 所以抛物线方程为， 由消去并化简得， 解得或（舍去），则，不妨设， 由于，所以，B选项正确. 依题意可知，是抛物线的焦点， 设直线的方程为，设, 由消去并化简得， ，所以，则， 所以，当时等号成立，所以C选项正确. 过作准线，垂足为；过作准线，垂足为； 设的中点为，过作准线，垂足为， 根据抛物线的定义可知， 所以以为直径的圆与准线相切，D选项错误. 故选：BC 11. 已知正数，均为常数，且，则函数的极小值点可能是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】AD 【解析】 【分析】通过求导推出导函数的零点满足，利用和差化积转化成，由条件求出，由此确定导函数的零点的范围为，结合选项即可逐一判断. 【详解】由求导得， 由可得， 因，则，因，可得，， 则，故，即导函数的零点的范围为. 因，，，，故该函数的极小值点可能是或1. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】直接代入即可求解. 【详解】因为， 则， 故答案为： 13. 设函数.若为偶函数，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，解得，结合即可求解． 【详解】由题知，且为偶函数， 所以， 解得， 又，所以． 故答案为：3． 14. 在8条直线：，：，：，：，：，：，：，：所组成的图形中，同位角的对数为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两条平行线与另外一条直线相交共有4对同位角，利用排列组合的方法进行计算即可. 【详解】由题，， 且第一组共条平行线与第二组共条平行线不平行， 则同位角的对数为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为且. （1）求角的大小； （2）若，，，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再根据余弦定理进行计算即可； （2）先得，再两边平方求值即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：，即， 由余弦定理知， 又，所以. 【小问2详解】 因为，， 则, 所以 , 所以 16. 如图，在几何体中，平面底面，四边形为正方形，为等边三角形，为的中点，为上靠近点的三等分点，为上靠近点的三等分点. （1）证明：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）连接，由题可知, 所以, 又平面，平面. 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，利用线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据线面垂直求得平面的法向量，根据空间向量线面角公式进行计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以,为轴，平面内过点且与垂直的直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 因为， 则直线与平面所成的角即是直线与平面所成的角. 设， 则，， ，， 因为平面底面， 平面底面， 四边形为正方形，, 则底面，底面， 则， 又为等边三角形，为的中点， 所以, ,平面, 则平面, 则是平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）设的导函数为，证明：存在唯一零点. （3）求的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求得切点坐标，利用导数求得斜率即可； （2）利用导数考察的单调性，结合零点存在性定理即可证明； （3）考察的单调性，设出最大值点为，利用，化简条件，进一步计算即可. 【小问1详解】 已知， 则， ， 则， 所以切线方程为， 即 【小问2详解】 由（1），其定义域为， 设， 则， 所以在上单调递减， 由， ， 根据零点存在性定理可知在上存在唯一零点， 即存在唯一零点. 【小问3详解】 由（2）知在上单调递减， 且存在唯一零点，使得， 当时，， 在上单调递增； 当时，， 在上单调递减； 所以的最大值为. 因为， 所以， 即， 化简为。 则， 而 ， 故的最大值为 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. 18. 现有编号为1，2，3，⋯，（，）的名同学进行闯关游戏，闯关游戏有两种方式可以选择，游戏规则如下. 方式一：①该游戏共设置第一关与第二关，首先由编号为1的同学闯第一关； ②若编号为的同学第一关闯关成功，则该同学继续闯第二关，若编号为的同学第一关闯关未成功，则由编号为的同学接替闯第一关； ③若编号为的同学第二关闯关成功，则闯关游戏结束，若编号为的同学第二关闯关未成功，则由编号为的同学接替闯第二关； ④若闯关轮到编号为的同学，无论编号为的同学闯关成功与否，闯关游戏均结束. 方式二：①该游戏共设置第一关与第二关，首先由编号为1的同学闯第一关； ②若编号为的同学第一关闯关成功，则该同学继续闯第二关，若编号为的同学第一关闯关未成功，则由编号为的同学接替闯第一关； ③若编号为的同学第二关闯关成功，则闯关游戏结束，若编号为的同学第二关闯关未成功，则由编号为的同学接替闯关且从第一关重新开始闯关； ④若闯关轮到编号为的同学，无论编号为的同学闯关成功与否，闯关游戏均结束. 假设每位同学闯第一关成功的概率均为，闯第二关成功的概率均为，且每位同学闯关成功与否相互独立. （1）若均选择方式一闯关，当闯关游戏结束时，求闯关人数不超过2的概率. （2）设事件表示“所有同学均按方式一闯关，恰好由编号为3的同学闯关后闯关游戏结束”，设事件表示“所有同学均按方式二闯关，恰好由编号为3的同学闯关后闯关游戏结束”，分别求出事件和事件的概率，比较所求概率的大小，并判断应选择哪种方式闯关更合理. （3）若均选择方式二闯关，记闯关游戏结束时闯关的总人数为，求的数学期望. 【答案】（1） （2）,,,选择方式一闯关更合理 （3） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率计算公式即互斥事件概率计算公式进行计算即可； （2）根据相互独立事件同时发生的概率计算公式进行计算； （3）根据期望公式列出，利用错位相减求和即可. 【小问1详解】 若选择方式一， 则, , 所以闯关人数不超过2的概率为. 【小问2详解】 根据题意 , 若选择方式二，则每位同学闯关成功的概率为， 闯关不成功的概率为， 则, ,所以选择方式一闯关更合理. 【小问3详解】 由（2）可知， ， , 则， 设， 则， 两式作差得： ， 所以， 则. 19. 已知双曲线：（）的实轴长为2，经过点的直线与交于，两点，且，两点均不与的左顶点重合. （1）求的方程. （2）证明：直线与的斜率之和为定值. （3）若在射线上的点满足，求直线的斜率的最大值. 【答案】（1） （2）-4 （3） 【解析】 【分析】（1）由实轴长可求出，即可得出双曲线的方程； （2）设直线的方程为，与双曲线联立利用韦达定理即可证明. （3）设直线的斜率为，把转化为斜率之间的关系，结合（2）的结论可得到，而可以通过韦达定理用表达，进而得到关于的函数，最后求函数最大值即可. 【小问1详解】 因为实轴长为2，所以，即，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，直线的斜率显然存在，设直线的方程为，， 联立消去得：， 则，，设直线的斜率为，直线的斜率为， 则. 【小问3详解】 设直线的斜率为，由题设无论如何分布， 由总有 ， 因为，整理得①， 由（2）可知，解得， 并且， 代入①式得，因为，所以当时，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $