精品解析：浙江省绍兴市 新昌县西郊中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025学年第一学期期中测试卷九年级数学 一、选择题：本大题有10小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 若半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关系．关键要熟练掌握：若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】∵的半径为，点A到圆心O的距离为，即点到圆心的距离等于圆的半径， ∴点A在圆上． 故选：B． 2. 下列四组长度的线段中，是比例线段的是（ ） A. 4，5，6，7 B. 3，4，6，9 C. 8，4，4，2 D. 5，10，10，15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段（有先后顺序，不可颠倒）是解题关键．根据比例线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意． 故选C． 3. 如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ） A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°． 故选D． 考点：圆周角定理 4. 已知c是a和b的比例中项，，，则（ ） A. B. 6 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查了比例中项的概念：解题的关键是当两个比例内项相同时，就叫比例中项．根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出． 【详解】解：根据比例中项的概念，得，， 故选：A． 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x增大而增大 C. 对称轴是直线 D. y有最小值是3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．根据二次函数的顶点式，判断函数图象的开口方向，最大值，对称轴与增减性，由此判断选项即可． 【详解】解：二次函数为， ∵， ∴函数图象开口向下，故A错误； ∵二次函数为对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故B正确，C错误； ∵二次函数的顶点为，且开口向下， ∴y有最大值是3，故D错误； 故选：B． 6. 如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∵； 故选D． 7. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角求得，根据圆内接四边形的性质得出，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 已知点，，都在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过将各点的横坐标代入抛物线解析式，计算对应的纵坐标值，并比较大小，即可作答． 【详解】解：∵点，，都在抛物线上 ∴把点代入，得； ∴把点代入，得； ∴把点代入，得； ∴，，， ∵为常数， ∴， 故选：C 9. 如图，正六边形，点在上，记图中的面积为，已知正六边形边长是2，则的值是（ ） A. 6 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，根据正六边形的性质，易得为含30度角的等腰三角形，，求出的长，设，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：作， ∵正六边形， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， 同理, 设，则， ∴， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，三角形面积的有关计算，角所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握正多边形的性质． 10. 在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，都是格点，与相交于，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，由，推出，求得，再由，推出，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11. 若（），则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．根据比例的基本性质直接得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴的值为， 故答案为：． 12. 已知二次函数，函数值与自变量的部分对应值如表：当时，的值是______． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 5 2 1 2 ．．． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的对称性，由表中数据确定对称轴，再利用对称性求函数值，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：由表可知，当时，此时和， 因此二次函数的对称轴为直线， 则点关于直线的对称点为， 故当时，， 故答案为：5． 13. 如图，四点都在上，是的直径，且，若，弦的长______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，连接，根据圆周角定理，得到，，进而得到，得到，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图：一把折扇的骨架长是30厘米，扇面宽为20厘米，完全展开时圆心角为135°，扇面的面积为__________平方厘米． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式计算． 【详解】解：扇面的面积为（平方厘米）， 故答案为：． 【点睛】此题考查了扇形面积的计算公式，熟记公式是解题的关键． 15. 矩形中，，，将矩形折叠，使点落在点处，折痕为．如图，若点恰好在边上，线段的长为______； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形与折叠的性质． 先由矩形得到，再由折叠得到，，然后在中，由勾股定理求出，设，则，再在中，由勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴线段的长为， 故答案为：． 16. 如图，是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接M，N分别是的中点，连接．若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，根据中位线定理得到，推出当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，即可求解； 【详解】解：点，分别是，的中点， ， 当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大， 连接，如图所示： ，， ， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴直径为 ． 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）若，求的值； （2）大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，求的长度．（保留根号） 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，黄金分割，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）利用设参法，进行求解即可； （2）根据黄金分割的定义，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴设， ∴； （2）∵P为的黄金分割点（）， ∴； ∵， ∴． 18. 如图，有4张分别印有2023年杭州亚运会吉祥物和会徽图案的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲、D潮涌．现将这4张卡片（卡片的形状，大小，质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回，搅匀，再从中任意取出1张卡片． （1）求第一次取出的卡片图案为“D潮涌”的概率． （2）用列表或画树状图的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张卡片图案为“A宸宸”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键： （1）利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：第一次取出的卡片图案为“D潮涌”的概率为； 【小问2详解】 解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中至少有1张卡片图案为“A宸宸”的结果为7种， 故． 19. 如图所示，把置于平面直角坐标系中，请你按下列要求分别画图： （1）画出绕着原点O逆时针旋转得到的； （2）在（1）的基础上求点C经过的路径长． 【答案】（1） 如图：即为所求 （2） 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、、再连接各点即可得出答案； （2）先计算出的长，然后利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点C经过的路径长为． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形；也考查了弧长公式． 20. 如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，． （1）求的半径长； （2）连接，作于点F，求的长． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键． （1）连接，如图，设的半径长为r，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【小问1详解】 解：连接，如图， 设的半径长为r， ∵， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， 解得， 即的半径长为5； 【小问2详解】 解：在中， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 即的长为． 21. 如图，在四边形中，是对角线上一点，且满足． （1）若，求的度数． （2）判断与是否相似，并说明理由． 【答案】（1） （2）相似，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）证明，得到即可； （2）利用两边对应成比例，夹角相等，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，是对角线上一点， ∴； 【小问2详解】 相似，理由如下： 由（1）知：， ∵， ∴， ∴． 22. 新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元． （1）求出与的函数关系式； （2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？ （3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）书店每天盈利1200元，每套书销售定价应定为130元或120元 （3）每套书销售定价为125元时，书店每天可获最大利润。最大利润为1250元 【解析】 【分析】（1）由总利润=每套利润销售量可列出函数关系式； （2）由（1）可知与的函数关系式，令，即可求出，进而得到定价； （3）根据二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 由题意可知： ∴与的函数关系式为． 【小问2详解】 令 解得， ∴， 答：要书店每天盈利1200元，每套书销售定价应定为130元或120元． 【小问3详解】 ， ∵ ∴当时，有最大值1250，此时， 答：当每套书销售定价为125元时，书店每天可获最大利润。最大利润为1250元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式． 23. 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当时， ；② 当时， （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决 当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长. 【答案】（1）①,②. （2）无变化；理由： 如图2， ∵∠ECD=∠ACB， ∴∠ECA=∠DCB， 又∵， ∴△ECA∽△DCB， ∴． （3），. 【解析】 【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少． ②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可． （2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可． （3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可． 【详解】（1）①当α=0°时， ∵Rt△ABC中，∠B=90°， ∴AC=， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴,BD=8÷2=4， ∴． ②如图1， ， 当α=180°时， 可得AB∥DE， ∵， ∴ （2）略 （3）①如图3， ， ∵AC=4，CD=4，CD⊥AD， ∴AD= ∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=． ②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P， ， ∵AC=，CD=4，CD⊥AD， ∴AD=， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE==2， ∴AE=AD-DE=8-2=6， 由（2），可得 ， ∴BD=． 综上所述，BD的长为或． 24. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中测试卷九年级数学 一、选择题：本大题有10小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 若半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 不能确定 2. 下列四组长度的线段中，是比例线段的是（ ） A. 4，5，6，7 B. 3，4，6，9 C. 8，4，4，2 D. 5，10，10，15 3. 如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ） A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 4. 已知c是a和b的比例中项，，，则（ ） A. B. 6 C. 4 D. 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x增大而增大 C. 对称轴是直线 D. y有最小值是3 6. 如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，都在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正六边形，点在上，记图中的面积为，已知正六边形边长是2，则的值是（ ） A. 6 B. C. 7 D. 10. 在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，都是格点，与相交于，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11. 若（），则的值为______． 12. 已知二次函数，函数值与自变量的部分对应值如表：当时，的值是______． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 5 2 1 2 ．．． 13. 如图，四点都在上，是的直径，且，若，弦的长______． 14. 如图：一把折扇的骨架长是30厘米，扇面宽为20厘米，完全展开时圆心角为135°，扇面的面积为__________平方厘米． 15. 矩形中，，，将矩形折叠，使点落在点处，折痕为．如图，若点恰好在边上，线段的长为______； 16. 如图，是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接M，N分别是的中点，连接．若，则的最大值为______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）若，求的值； （2）大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，求的长度．（保留根号） 18. 如图，有4张分别印有2023年杭州亚运会吉祥物和会徽图案的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲、D潮涌．现将这4张卡片（卡片的形状，大小，质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回，搅匀，再从中任意取出1张卡片． （1）求第一次取出的卡片图案为“D潮涌”的概率． （2）用列表或画树状图的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张卡片图案为“A宸宸”的概率． 19. 如图所示，把置于平面直角坐标系中，请你按下列要求分别画图： （1）画出绕着原点O逆时针旋转得到的； （2）在（1）的基础上求点C经过的路径长． 20. 如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，． （1）求的半径长； （2）连接，作于点F，求的长． 21. 如图，在四边形中，是对角线上一点，且满足． （1）若，求的度数． （2）判断与是否相似，并说明理由． 22. 新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元． （1）求出与的函数关系式； （2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？ （3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？ 23. 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当时， ；② 当时， （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决 当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长. 24. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $