2.2圆的对称性（基础篇）练习2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2.2圆的对称性 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、轴对称性 1. 定义：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2. 性质： · 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（垂径定理）。 · 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（垂径定理逆定理）。 · 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 二、中心对称性 1. 定义：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2. 性质： · 绕圆心旋转任意角度，圆都能与自身重合（旋转不变性）。 · 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等（圆心角定理）。 · 逆定理：在同圆或等圆中，若两弧相等、两弦相等或两弦的弦心距相等，则它们所对的圆心角相等。 三、旋转对称性（特殊角度） 1. 180°旋转：圆绕圆心旋转180°后与自身重合，即圆关于圆心成中心对称（与中心对称性一致）。 2. 其他角度：例如绕圆心旋转60°、90°等特定角度，若圆内接正多边形存在（如正六边形、正方形），则旋转后图形与自身重合，但圆本身对任意旋转角度均满足对称性。 四、对称性的应用 1. 证明线段/角相等：利用轴对称性（垂径定理）或中心对称性（圆心角定理）推导弦、弧、弦心距等几何量的关系。 2. 作图问题：例如过圆内一点作弦的垂直平分线确定圆心，或利用旋转对称性构造正多边形内接于圆。 3. 解决实际问题：如拱桥设计（利用垂径定理计算拱高与跨度关系）、圆形零件加工中的对称定位等。 型 习 练 题 利用垂径定理求值 1．如图，是的一条弦，过点作于点，若，则弦的长为（　　） A．10 B．12 C．8 D．5 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，熟记垂径定理是解决问题的关键． 由垂径定理可知，从而得到． 【详解】解：由垂径定理可知，， ， 故选：A． 2．如图，在中，，若，，则的半径是（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理；能熟练利用垂径定理，勾股定理进行求解是解题的关键．过圆心作交于点，交于点，连接、，由垂径定理得，由圆的基本性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：过圆心作交于点，交于点，连接、， ， ， ， ， ， ， ， 设半径为，则， ， ， ， 解得， 故的半径是， 故选：B． 3．如图，在中，是的直径，是弦，且于点，，则的半径是（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，由垂径定理可得，再用勾股定理解即可． 【详解】解：连接， ，， ， 在中，， 故选：A． 4．如图，水平放置的一个油管的截面半径为，其中有油部分油面宽为，则截面上有油部分油面（单位：）等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂径定理，易知、的长；连接，根据勾股定理即可求出的长，进而可求出的值． 此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用． 【详解】解：如图；连接； 根据垂径定理，得； 中，，； 根据勾股定理，得：； ； 故选：A． 5．半径等于2的圆中，垂直平分半径的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用垂径定理求值， 根据题意画出图形，则，求出即可求解； 【详解】解：根据题意画出图形，如图所示： 则， ∴； ∴， 故选：D 利用垂径定理求平行弦问题 6．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【答案】A 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则， ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：A． 7．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 【答案】C 【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意； D、若也是直径，则原说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键． 8．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】由OD⊥BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长． 【详解】解：∵OD⊥BC， ∴CD＝BD， ∵OA＝OB，AC＝4 ∴OD＝AC＝2． 故选C． 【点睛】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 9．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB， ∴AD=DB= AB= 在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2， 解得，OA=4 ∴OD=OC-CD=3， ∵AO=OE,AD=DB, ∴BE=2OD=6 故选B 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键 10．如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；③连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到弧相等，再利用等边三角形的性质得到，再利用垂径定理得到弧相等进而得到平行线，利用两点之间线段最短可知项错误． 【详解】解：由作法得：，， ∴， ∴， ∴选项的结论正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴选项的结论正确； 作半径，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴选项的结论正确； ∵圆周角所对的弧为，圆心角所对的弧为， ∴， ∵， ∴， ∴选项错误； 故选：． 【点睛】本题考查了尺规作图，圆周角性质，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握几何图形的基本作法是解题的关键． 利用垂径定理求同心圆问题 11．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 12．如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（    ） A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC 【答案】C 【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，可得∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，根据∠COD＝∠AOB，知∠AOE＝∠BOE＝∠COD，即CD＝AE＝BE，在△ABE中，由AE＋BE＞AB可得2CD＞AB． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB， 又∵∠COD＝∠AOB， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD， ∴CD＝AE＝BE， ∵在△ABE中，AE＋BE＞AB， ∴2CD＞AB， 故选：C． 【点睛】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据∠AOB＝2∠COD利用垂径定理将角平分，从而根据圆心角定理得出答案是解题的关键． 13．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（    ） A．AD=AB B．∠BOC=2∠D C．∠D+∠BOC=90° D．∠D=∠B 【答案】B 【分析】根据垂径定理得出弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，根据以上结论判断即可． 【详解】A、根据垂径定理不能推出AD=AB，故本选项错误； B、∵直径CD⊥弦AB，∴弧BC=弧AC，∵弧AC对的圆周角是∠ADC，弧BC对的圆心角是∠BOC，∴∠BOC=2∠ADC，故本选项正确； C、根据已知推出∠BOC=2∠ADC，不能推出3∠ADC=90°，故本选项错误； D、根据已知不能推出∠DAB=∠BOC，不能推出∠D=∠B，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力． 14．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容. 15．已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 【答案】C 【分析】连接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂径定理和特殊角的三角函数可求得∠BOD=60°，从而求得答案.注意弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况. 【详解】①当△ABC时锐角三角形时， 连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D， ∴  ， ∵OB=2 ∴ ∴∠BOD=60° ∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°， ∵=， ∴； ②当△ABC时钝角三角形时，如图， 由①可知∠E=60°， ∵四边形ABEC是圆内接四边形， ∴∠E+∠A=180°， ∴∠A=180°-60°=120°. 故∠A的度数为60°或120°. 故答案为：C 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．正确作出辅助线是解题的关键. 垂径定理的实际应用 16．一个圆柱形管件，其横截面如图，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，水的最大深度为，则此管件的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，设的半径为R，先由垂径定理求出，再根据勾股定理求出R的长，即可得到答案． 【详解】解：连接，设的半径为R，如图所示： 由题意知， 则， ∵于点C， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴此管件的直径为， 故选：D． 17．图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接交于点，设灯罩截面所在圆的圆心为，连接，设灯罩截面所在圆的半径为,则由勾股定理可得，，据此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点， ∵都垂直于．， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴于点M， ∴， ∴， 设灯罩截面所在圆的圆心为，连接， 设灯罩截面所在圆的半径为,则 由勾股定理可得，， 即 解得 即灯罩截面所在圆的半径为 故选：B 18．小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理建立方程求解铁球的半径． 根据垂径定理可得，设铁球的半径为，则，，在中，根据勾股定理可得，解关于的方程即可求解． 【详解】如图，设交于点， ，， ， 设铁球的半径为，则， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， 在中， 根据勾股定理，可得， 即， 解得， 因此，铁球的半径是， 故选：． 19．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，截面圆中弦的长为，瓶内液体最大深度，则球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识点，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 如图：连接，由垂径定理得，再设球的半径为R，则，然后由勾股定理列方程求得R即可． 【详解】解：如图：连接，由题意得， ∴，， 设球的半径为R，则， 在中，， ∴，解得：． ∴球的半径为． 故选：B． 20．如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（   ） A．分米 B．分米 C．2分米 D．3分米 【答案】C 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接， 由题意知，交于点C， ∵分米， ∴（分米）， 在中，根据勾股定理得： （分米）， ∴（分米）． 故选：C． 利用弧、弦、圆心角的关系求解 21．如图，内接于，是的直径．若，的度数为70°，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角定理，等腰三角形的判定及性质等；由弧的度数得，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解． 【详解】解：连接， 的度数为， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 22．如图，是的直径，是的弦，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 由，可求得，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 23．如图，半径为4的的弦，且于点，连接、，则的长为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．连接，根据，可得，所以，由，可得，所以，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 24．如图，在中，，则下列结论正确的有（   ）个． ①，②，③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质．根据圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质逐一判断即可． 【详解】解：在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 观察四个结论，只有③错误，其余3个正确； 故选：B． 25．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、圆心角的关系，先求出，然后根据弧、圆心角的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2圆的对称性 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、轴对称性 1. 定义：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2. 性质： · 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（垂径定理）。 · 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（垂径定理逆定理）。 · 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 二、中心对称性 1. 定义：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2. 性质： · 绕圆心旋转任意角度，圆都能与自身重合（旋转不变性）。 · 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等（圆心角定理）。 · 逆定理：在同圆或等圆中，若两弧相等、两弦相等或两弦的弦心距相等，则它们所对的圆心角相等。 三、旋转对称性（特殊角度） 1. 180°旋转：圆绕圆心旋转180°后与自身重合，即圆关于圆心成中心对称（与中心对称性一致）。 2. 其他角度：例如绕圆心旋转60°、90°等特定角度，若圆内接正多边形存在（如正六边形、正方形），则旋转后图形与自身重合，但圆本身对任意旋转角度均满足对称性。 四、对称性的应用 1. 证明线段/角相等：利用轴对称性（垂径定理）或中心对称性（圆心角定理）推导弦、弧、弦心距等几何量的关系。 2. 作图问题：例如过圆内一点作弦的垂直平分线确定圆心，或利用旋转对称性构造正多边形内接于圆。 3. 解决实际问题：如拱桥设计（利用垂径定理计算拱高与跨度关系）、圆形零件加工中的对称定位等。 型 习 练 题 利用垂径定理求值 1．如图，是的一条弦，过点作于点，若，则弦的长为（　　） A．10 B．12 C．8 D．5 2．如图，在中，，若，，则的半径是（    ） A．3 B． C． D．4 3．如图，在中，是的直径，是弦，且于点，，则的半径是（　　） A． B． C． D．3 4．如图，水平放置的一个油管的截面半径为，其中有油部分油面宽为，则截面上有油部分油面（单位：）等于（ ） A． B． C． D． 5．半径等于2的圆中，垂直平分半径的弦长为（   ） A． B． C． D． 利用垂径定理求平行弦问题 6．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 7．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 8．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 9．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；③连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A． B．若，则 C． D． 利用垂径定理求同心圆问题 11．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 12．如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（    ） A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC 13．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（    ） A．AD=AB B．∠BOC=2∠D C．∠D+∠BOC=90° D．∠D=∠B 14．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 15．已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 垂径定理的实际应用 16．一个圆柱形管件，其横截面如图，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，水的最大深度为，则此管件的直径为（    ） A． B． C． D． 17．图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 18．小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A． B． C． D． 19．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，截面圆中弦的长为，瓶内液体最大深度，则球的半径为（   ） A． B． C． D． 20．如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（   ） A．分米 B．分米 C．2分米 D．3分米 利用弧、弦、圆心角的关系求解 21．如图，内接于，是的直径．若，的度数为70°，则等于（    ） A． B． C． D． 22．如图，是的直径，是的弦，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 23．如图，半径为4的的弦，且于点，连接、，则的长为（    ） A． B．4 C． D．2 24．如图，在中，，则下列结论正确的有（   ）个． ①，②，③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 25．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $