精品解析：辽宁省阜新市彰武县七校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题

九年级数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 3. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据： 抽奖次数 抽到“中奖”卡片的次数 中奖的频率 根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三个边长相同的正方形叠放在一起，M，N是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 6. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，在轴上．且点的横坐标为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知方程的一个根是，则m的值为___________． 12. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有_____个． 13. 如图所示，矩形是一个花园，长为、宽为，现要在花园中修建等宽的小道．剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度是______． 14. 如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为_____． 15. 如图，在矩形中，，，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两相交于点E，F，连接，相交于点G． 与相交于点H，连接，． 则的长为___________． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 列方程解应用题：某工厂一月份的产品产量为 100 万件，由于工厂管理理念更新，管理水平提高，产量逐月提高，三月份的产量提高到144万件，求一至三月该工厂产量的月平均增长率． 18. 某景区检票口有A、B、C、D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票． （1）甲选择A检票通道的概率是 ； （2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）能是方程的一个根吗？若能，求出它的另一个根；若不能，请说明理由． 20. 年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 21. 如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，求的长． 22. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 23. 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住：化简后的方程：含有“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断即可． 【详解】解：A、是关于的一元二次方程，故符合题意； B、是二元一次方程，不是关于的一元二次方程，故不符合题意； C、是一元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意； D、中是分式，不是整式，因此不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：A． 2. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等． 3. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解代入方程中求解即可．理解方程的解满足方程是解答的关键． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴，解得， 故选：D． 4. 某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据： 抽奖次数 抽到“中奖”卡片的次数 中奖的频率 根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率； 利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是， 故选：C． 5. 如图，三个边长相同的正方形叠放在一起，M，N是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，二次根式的化简， 连接、，可得，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接、，如图： ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴M、N两个正方形阴影部分的面积是，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是， ∴阴影部分的面积和， ∴， ∴． 故选：B． 6. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、如图所示，∵， ∴， ∴平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； B、如图所示，∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； C、如图所示，∵， ∴，结合四边形是平行四边形不能证明四边形是菱形，故此选项符合题意； D、如图所示，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故此选项不符合题意． 7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 8. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质， 先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，即可求出，再根据勾股定理求出，然后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】∵四边形是菱形， ∴． 在中，是斜边上的中线， ∴， ∴． 在中，． ∴， 即， 解得． 故选：D． 9. 《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为 ． 故选：D 10. 如图，矩形中，，在轴上．且点的横坐标为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，由题意可知：，再根据点坐标进而可以解决问题； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 由题意可知： ∵点的横坐标为 ∴点的横坐标为 ∵点在轴上 ∴点的坐标为 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平面直角坐标系内点的坐标特征；熟练掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知方程的一个根是，则m的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先把代入，得，解得m的值，即可作答． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴把代入， 得， 解得， 故答案为：4． 12. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有_____个． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了运用频率估算概率的计算方法，解分式方程，掌握频率的计算方法是解题的关键． 根据题意设有白球个，根据频率的计算方法列分式方程求解即可． 【详解】解：设白球有个， ∴， 解得，， 检验，当，原分式方程有意义， ∴口袋中白球可能有个， 故答案为： ． 13. 如图所示，矩形是一个花园，长为、宽为，现要在花园中修建等宽的小道．剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度是______． 【答案】##米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设小道进出口的宽度为x米，根据题意建立一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设小道进出口的宽度为x米， 依题意得， 整理，得． 解得，． ∵(不合题意，舍去)， ∴． 答：小道进出口的宽度应为2米， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质以及勾股定理、三角形面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．首先连接，在矩形中，，，可求得以及的面积，继而可得，则可求得答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵ ∴． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两相交于点E，F，连接，相交于点G． 与相交于点H，连接，． 则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，连接，，，，根据作图可得四边形为菱形，从而得到，过点作交于点，根据勾股定理求出，同理可得，得到，再根据勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，，，，如图： 由题意得：， ∴四边形为菱形， ∴垂直平分，即垂直平分， ∴， 过点作交于点，如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 同理可得：， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中， ， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选用适当的方法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）移项后，提取公因式分解因式解方程即可． 【小问1详解】 解： 移项，得， 配方，得， 即， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， ∴或， 解得，． 17. 列方程解应用题：某工厂一月份的产品产量为 100 万件，由于工厂管理理念更新，管理水平提高，产量逐月提高，三月份的产量提高到144万件，求一至三月该工厂产量的月平均增长率． 【答案】20% 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该厂一至三月份的月平均增长率． 【详解】解：设一至三月产量的月平均增长率为x，根据题意列方程，得 ． 解得． 不合题意，舍去． ∴ x = 0.2 = 20%． 答：该工厂一至三月产量的月平均增长率为20%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意．列出相应的方程． 18. 某景区检票口有A、B、C、D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票． （1）甲选择A检票通道的概率是 ； （2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）通过列表展示所有9种等可能结果，再找出通道不同的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：一名游客经过此检票口时，选择A通道通过的概率=， 故答案为:； （2）解：列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种可能结果，并且它们的出现是等可能的，“甲、乙两人选择相同检票通道”记为事件E，它的发生有4种可能：（A，A）、（B，B）、（C，C）、（D，D） ∴P（E）＝＝． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）能是方程的一个根吗？若能，求出它的另一个根；若不能，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）能，另一根为 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，计算判断即可； （2）把代入方程，求出的值，代入得方程为，用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，有， 解得：， 当时，方程为， ， ∴，， ∴能是方程的一个根，另一根为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解题的关键． 20. 年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1）平均每天可以售出个模型，此时每天获利元． （2）要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元.. 【解析】 【分析】（1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润； （2）设每个模型降价x元，则每件利润 元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程和不等式，解方程即可. 【小问1详解】 解：依题意得： 降价4元后每件利润：（元）， 降价4元后销量：（个）， 降价4元后每天获利：（元）， 答：每个模型降价4元，平均每天可以售出个模型，此时每天获利元． 【小问2详解】 解：设每个模型降价x元， 则每件利润 元，平均每天可以售出个模型， 依题意得： 即：， 解得，， 因为每个模型盈利不少于元， 所以 即， 故， 答：要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键. 21. 如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，则， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出是的中位线，则，则，根据四边形是菱形，得出，则，即可证明四边形是平行四边形． （2）取的中点H，连接，根据，得出，根据四边形是菱形，得出，证明是等边三角形，得出，在中，勾股定理求出．根据四边形是平行四边形，得出，，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取的中点H，连接， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， 在中，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中， 根据勾股定理得，． 【点睛】本题考查了菱形性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定解题． 22. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 【答案】问题解决：（1）证明：如图1，∵四边形是矩形， ． ． ． ． 又． ∴矩形是正方形． （2）是等腰三角形．理由如下： ， ． 又，即是等腰三角形． 类比迁移：8 【解析】 【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和可知，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即可求解； （2）由（1）中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得是等腰三角形； 类比迁移：由前面问题的结论想到延长到点，使得，结合菱形的性质，可以得到，再结合已知可得等边，最后利用线段BF长度即可求解． 【详解】解：问题解决： （1）略 （2）略 类比迁移： 如图2，延长到点，使得，连接． ∵四边形是菱形， ． ． ． 又． 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 23. 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2），； （3）证明：如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4），理由如下： 如图，记、的中点分别为E、F， 连接 ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）略 （4）略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $