重难点 勾股定理的5类压轴重难题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

重难点 勾股定理的5类压轴重难题型 目录 题型一、以直角三角形三边为边长的图形面积 1 题型二、勾股定理与网格问题 7 题型三、勾股定理与折叠问题 14 题型四、用勾股定理构造图形解决问题 26 题型五、用勾股定理构解决最值问题 32 题型一、以直角三角形三边为边长的图形面积 例1意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图3中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知，，然后利用图形的面积列出等式进行整理即可． 【详解】解：由图可得，，， 故选：B． 【变式1-1】已知直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠局部的面积分别为和，均重叠局部的面积为，则，，满足的大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题重点考查勾股定理、正方形的面积公式、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，确定三边为a，b，c的直角三角形的斜边为c是解题的关键．根据题意知该直角三角形的斜边为c，则有，表示出并化简，另表示出，将两结果对比则可判断出结果． 【详解】解：∵直角三角形的三边a，b，c满足， ∴该直角三角形的斜边为c， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1-2】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与正方形面积公式的综合应用，解题的关键是利用勾股定理建立三个正方形面积的关系，结合已知条件求出相关正方形面积，再根据阴影部分与该正方形的面积关系得出答案． 先由勾股定理得出直角三角形三边平方的关系，即对应正方形面积的关系；将该关系代入已知等式求出目标正方形的面积；最后根据阴影部分面积是目标正方形面积的一半，计算出阴影面积． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 由勾股定理得． ∵ 正方形面积等于边长的平方，且，，， ∴ ． 又∵ ， ∴ 将代入得：． 化简得，解得． ∵ 阴影部分面积等于面积的一半， ∴ 阴影部分面积． 故选：C． 【变式1-3】有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A． B．2025 C． D．2026 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， ∴“生长”了 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2 ， 同理可得，“生长”了 2 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 3 ， ∴“生长”了 3 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 4 ， ， ∴“生长”了 2025 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2026 ． 故选：D． 【变式1-4】如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了“勾股树”---勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理与面积之间的转化． 由勾股定理得，，，，则，，，然后进行面积代换相加求解即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 【变式1-5】勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，点M，G，E，D，Q，P均在长方形的边上．若，，则长方形内空白部分的面积之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．根据勾股定理求出，延长交于点O，求出，，求出，，利用即可求出答案． 【详解】解：在中，，根据勾股定理得， ∴． 如图，延长交于点O， ∵四边形均为正方形，四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴ ． ∴空白部分的面积为． 故答案为：． 【变式1-6】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、半圆面积公式，解题思路是先由半圆面积公式表示出各半圆面积与对应边长的关系，再利用勾股定理得出边长平方的等量关系，结合求解；解题关键是建立边长平方与半圆面积的联系并运用勾股定理，易错点是半圆面积公式的应用及勾股定理的变形，运用了方程思想与几何公式结合的方法技巧． 【详解】解：设， 则，解得； ，解得； ； ． ∵， ∴， 即， 由，得，化简得； 将，，代入； 即，解得，则； ∴； 故答案为． 题型二、勾股定理与网格问题 例2如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理． 取格点E，使，连接，可得，再由，可得，然后根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，使，连接， ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即． 故选：D 【变式2-1】如图，数轴上的点表示的数为1，点、、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴M点所表示的数为：． 故选 C． 【变式2-2】如图，的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接方格的交点A，B，线段的长度为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，无理数的估算，勾股定理求出的长，夹逼法估算出范围即可． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴； 故选C． 【变式2-3】如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理与网格，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据勾股定理与网格，勾股逆定理，得出是直角三角形，且，再结合网格特征，证明，则，故，则，即可作答． 【详解】解：连接， 依题意，，， ∵， ∵是直角三角形，且， ∵， ∴， 则， 结合网格特征，得， 则， ∴， 故答案为：． 【变式2-4】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长为，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案； （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案． 【详解】（1）解：如图1所示：正方形即为所求； （2）如图2所示：三角形即为所求． 【变式2-5】如图是三个规格相同的正方形网格，请用铅笔按下列要求画格点正方形（4个顶点均在格点上的正方形）． (1)在图甲中画出与图1中阴影部分面积相等的正方形，该正方形的边长为 ； (2)在图乙中画出面积大于9且小于16的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图，三角形的面积，勾股定理、算术平方根等知识，解题的关键是学会利用数形结合思考问题． （1）计算出图1中阴影部分面积为2，进而判断出正方形的边长为，利用格点及勾股定理画出正方形即可； （2）判断出正方形的边长为范围，再利用格点及勾股定理画出正方形即可． 【详解】（1）解：由题意，阴影部分面积为， ∴所画正方形的边长为，又， 所画正方形如图所示： （2）解：∵所画正方形的面积大于9且小于16， ∴所画正方形的边长大于3且小于4，如，又， 故所画正方形如图所示： 【变式2-6】如图①，有十个边长为1的小正方形组成的图形．我们可以把这个图形剪开拼成一个正方形，如图②中的虚线． (1)图②中拼成的正方形的边长是_____； (2)在的方格图③中，连接4个格点能组成面积为10的正方形吗？若能，请用直尺画出来． (3)如图④，数轴上点表示的数是_____． 【答案】(1) (2)能，画图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理与网格问题，利用网格特点灵活画出正方形是解答关键． （1）根据10个小正方形组成的面积不变来求解； （2）根据题意画出边长为的正方形图形即可； （3）根据数轴求出的距离，再结合数轴即可求解． 【详解】（1）解：10个小正方形拼成一个大正方形后，面积不变，为10， 所以拼成的正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：能，如图所示： （3）解：由数轴可知， 点表示的数为， 故答案为：． 题型三、勾股定理与折叠问题 例3如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，图形的翻折，解决本题的关键是根据翻折的性质可得边长与角度翻折前后不变，根据直角三角形建立等式求解． 根据勾股定理可求解，再由图形翻折可得，，设，由勾股定理建立等式求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可得， ∵将沿折叠得到， ∴，，，， 设， ∴，， 在中，，，， ∴，即， 解得， 即， 在中，，， ∴． 故选：D ． 【变式3-1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 本题考查了折叠的性质、利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则在中，， ． 故选：A． 【变式3-2】如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查知识点是翻折变换的性质和勾股定理，解决这类题目的关键会利用勾股定理列出方程．设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形 ∴ 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 故选：C 【变式3-3】如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由得，由折叠得，，，，代换得，即可得，设，则，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：． 【变式3-4】如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接，若，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由正方形可得，再由折叠可得，，，，利用勾股定理可求的长，进而得到，在中，利用勾股定理构造方程，即可求得的长． 【详解】解：由题意得，， 由折叠的性质可得，，， ，， ； ∵， ∴， ； 设，则， 在中，由勾股定理得 ， 解得 故答案为：． 【变式3-5】如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 【变式3-6】如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了长方形与折叠问题、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，则可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）过点作于点，先利用勾股定理可得，再设，则，在中，利用勾股定理可得的值，则可得的长，然后根据折叠的性质可得，根据求解即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图，过点作于点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴在中，， 由（1）已证：， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴． 【变式3-7】在中，，点为线段上一动点，连接． (1)如图1，为外一点，连接，，且，过点作交于点，若，，求线段的长； (2)如图2，过点作于点，平分交于点，连接，，若，求证：； (3)如图3，若，为边上一点且，为边上一动点，连接，，将沿翻折至所在的平面内，得到，连接，过作的垂线，为垂线上一动点，连接，将绕着点逆时针旋转到，连接，在，运动过程中，当线段和均取得最小值时，求出的面积． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证明，则，再由勾股定理求解即可； （2）先证明，则，延长至点，使得，连接，证明，则，，则，由于，则； （3）过点作于点，先由勾股定理求出，由翻折得，，当点共线，且在上时，取得最小值为，再以为边在左侧作等边，连接，，，得到点轨迹为直线，故当时，取得最小值，然后利用角直角三角形的性质结合三角形面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，， ∴， ∵，设， 则， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由翻折得， ∵， ∴， ∴当点共线，且在上时，取得最小值为，如图： 再以为边在左侧作等边，连接，， ∴，， 由旋转得， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点轨迹为直线， ∴当时，取得最小值，如图： ∵等边， ∴,， ∴， ∴ ∴ ∴当线段和均取得最小值时，的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，综合性强，难度大，解题的关键是正确找出动点的轨迹． 题型四、用勾股定理构造图形解决问题 例4如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】本题考查圆柱侧面展开图与勾股定理，运用化曲为直的转化思想．解题关键是将圆柱侧面展开为矩形，明确彩带路径在展开图中是直角三角形的斜边，需准确计算水平和竖直方向的直角边长度；易错点是忽略“缠绕2圈”对水平长度的影响，导致水平边长计算错误． 首先把圆柱侧面沿高展开成矩形，确定彩带缠绕2圈后，水平方向长度为底面周长的2倍（米），竖直方向长度为圆柱的高（4米）．其次此时彩带的最短路径为展开图中直角三角形的斜边，根据勾股定理计算斜边长度：米．最后对比选项，得出答案为C． 【详解】解：圆柱高米，彩带缠绕2圈，因此展开后竖直方向的总高度为4米； 底面周长为米，缠绕2圈后，水平方向的总长度为米． 将圆柱侧面展开后，彩带的路径可看作直角三角形的斜边，其中： 水平直角边：3米， 竖直直角边：4米， 根据勾股定理，斜边（彩带长度）为： 米． 故选：C． 【变式4-1】如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 故选：B． 【变式4-2】如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键． 根据已知条件得到，在中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ， 即门铃恰好自动响起，则的长为米； 故选：． 【变式4-3】公元三世纪，我国数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图）中的两个正方形和八个直角三角形按图方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个结论：；；若，则；若点是线段的中点，则，其中正确的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，直角三角形性质等知识点，设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴，即， ∴， ∴，故正确； ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故错误； 综上可得：正确， 故选：． 【变式4-4】我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺），则这根藤条长 ． 【答案】29 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够把实际问题抽象成数学问题是解题的关键； 由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按如图所示的方法，转化为平面图形利用勾股定理来解决． 【详解】解：如图在中，由勾股定理得 ∵ ∴ ∴这根藤条有29尺． 故答案为：29． 【变式4-5】看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？ 【答案】机器人行走的路程是． 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，得到，从而将已知量和未知量集中到中，就可利用勾股定理建立方程来求解．由题意可知，若设，则， ，这样在中，利用勾股定理就可建立一个关于“”的方程，解方程即可求得结果． 【详解】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即， 设，则， ， ∵， ∴由勾股定理可知， 又∵， ， ∴， 解方程得出． 答：机器人行走的路程是． 【变式4-6】拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离保持拉杆把手（大小忽略不计）的位置不变，当滚轮圆心位于点处时，拉杆全部缩进箱体（即），此时，过点作于点，延长交于点，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，，图中所有的点在同一平面内，求拉杆把手离地面的距离．（图中，） 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设，则cm，由题可得，，cm，；利用勾股定理可得、，即可得到，再求解可得，即；从而得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：设，则cm， 由题可得，，cm，， ∴在中，，在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴拉杆把手离地面的距离为． 题型五、用勾股定理构解决最值问题 例5如图，已知圆柱的高为，底面圆的半径为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，那么蚂蚁沿着圆柱的侧面爬行的最短路程为 ．(参考数据：) 【答案】 【分析】本题考查蚂蚁在圆柱上爬行的最短路径问题，涉及勾股定理，根据题意，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握蚂蚁在圆柱上爬行的最短路径问题的解法是解决问题的关键． 【详解】解：沿着圆柱上经过点和点的母线剪开，展开后，如图所示： 由题意可知，，， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是线段的长度， 在中， ． 故答案为：． 【变式5-1】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段 线段 ； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【模型应用】 （2）应用数形结合思想，已知，求的最小值为 ； 【拓展应用】 （3）应用数形结合思想，已知正数m满足，则m的值为 ． 【答案】（1）①，；②；（2）5；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． （1）①根据题意，设，则．则根据及图形可进行求解； ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； （2）我们可以构造宽为2，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则，同理（1）可进行求解； （3）作边长分别为5，12，13的直角三角形，过点F作于点Q，由可知：，则，然后根据等面积法可进行求解． 【详解】解：（1）①由题意得，； 故答案为，； ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即为最小， 由图可知：， ∴在中，由勾股定理可得：； （2）如图，构造宽为2，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则， 作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即为的最小值， 同理（1）可得：， 即的最小值为5； 故答案为5； （3）如图，作边长分别为5，12，13的直角三角形，过点F作于点Q， 由可知：，则， ∵， ∴； 故答案为． 【变式5-2】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，使抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与两端点重合，连接，，设，， ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此求的最小值； 【类比应用】 （2）根据上述的方法，求代数式的最小值． 【答案】（1）①，；②；（2）20 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短解决此类问题．也考查了勾股定理和类比的方法． （1）利用勾股定理得到，；则，利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，从而得到的最小值； （2）如图，设，，，，则，利用勾股定理得到，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，即可得到的最小值． 【详解】解：（1）①利用勾股定理得到，； 故答案为：；． ②， 而（当且仅当，，三点共线时取等号）． 如图，作交的延长线于点， 易得，， 在中，， 的最小值为， 即的最小值为． （2）如图，设，，，， 则， 在中，， 在中，； ， 而（当且仅当，，三点共线时取等号）， 如图，作交的延长线于点， 易得，， 在中，， 的最小值为20， 即的最小值为20． 【变式5-3】材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：． 材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）． 请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题： (1)如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____； (2)在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值； (3)若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）根据勾股定理即可求出斜边的长； （2）过点作，交延长线于点，先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可； （3）根据题意构造图形，，，可将问题转化为求线段的最小值，过点作，交延长线于点，由勾股定理求得的值，从而得到代数式的最小值． 【详解】（1）解：由题可得：， ∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8， ∴斜边长， 故答案为：； （2）解：如图，过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为5； （3）解：由题意，构造图形如图：（其中，点在线段上）， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 的最小值为线段的长度， 过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为13； 【变式5-4】成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段上一动点，分别过B、D作，．连接、．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值． 【探究发现】 （1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于______． （2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值． 【拓展迁移】 （3）请你用构图的方法试求的最大值． 【答案】（1）5；（2）13；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题和用转化的思想解决问题． （1）根据题意，过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形，则，，利用勾股定理即可求得答案； （2）同（1）解决问题即可； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过B、D作，，且，，连接，并延长交的延长线于点C，则线段的长为的最大值． 【详解】解：（1）如图1，过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形， ∵，，． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为5， ∵， ∴的最小值为5， 故答案为：5； （2）如图2，取线段，分别过B、D作，，且，，连接， 设，则，， ∵， 即当A、C、E在同一直线上时，的值最小， ∴线段的长即为的最小值， 过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为13； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过B、D作，，且，，连接，点C为的延长线的一点，连接，， 设，则，， ∵， 即当A、C、E在同一直线上时，的值最大， ∴线段的长即为的最大值， 过点A作交于F，则四边形是矩形， ∵，，， ∴，，， 根据勾股定理得，， ∴最大值为． 2 / 42 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 勾股定理的5类压轴重难题型 目录 题型一、以直角三角形三边为边长的图形面积 1 题型二、勾股定理与网格问题 3 题型三、勾股定理与折叠问题 5 题型四、用勾股定理构造图形解决问题 8 题型五、用勾股定理构解决最值问题 10 题型一、以直角三角形三边为边长的图形面积 例1意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图3中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠局部的面积分别为和，均重叠局部的面积为，则，，满足的大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 【变式1-2】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C． D．10 【变式1-3】有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A． B．2025 C． D．2026 【变式1-4】如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是 ． 【变式1-5】勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，点M，G，E，D，Q，P均在长方形的边上．若，，则长方形内空白部分的面积之和是 ． 【变式1-6】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是 ． 题型二、勾股定理与网格问题 例2如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【变式2-1】如图，数轴上的点表示的数为1，点、、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接方格的交点A，B，线段的长度为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则 °． 【变式2-4】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长为，，． 【变式2-5】如图是三个规格相同的正方形网格，请用铅笔按下列要求画格点正方形（4个顶点均在格点上的正方形）． (1)在图甲中画出与图1中阴影部分面积相等的正方形，该正方形的边长为 ； (2)在图乙中画出面积大于9且小于16的正方形． 【变式2-6】如图①，有十个边长为1的小正方形组成的图形．我们可以把这个图形剪开拼成一个正方形，如图②中的虚线． (1)图②中拼成的正方形的边长是_____； (2)在的方格图③中，连接4个格点能组成面积为10的正方形吗？若能，请用直尺画出来． (3)如图④，数轴上点表示的数是_____． 题型三、勾股定理与折叠问题 例3如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 【变式3-1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【变式3-3】如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接，若，则的长度为 ． 【变式3-5】如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【变式3-6】如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求和的长． 【变式3-7】在中，，点为线段上一动点，连接． (1)如图1，为外一点，连接，，且，过点作交于点，若，，求线段的长； (2)如图2，过点作于点，平分交于点，连接，，若，求证：； (3)如图3，若，为边上一点且，为边上一动点，连接，，将沿翻折至所在的平面内，得到，连接，过作的垂线，为垂线上一动点，连接，将绕着点逆时针旋转到，连接，在，运动过程中，当线段和均取得最小值时，求出的面积． 题型四、用勾股定理构造图形解决问题 例4如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 【变式4-1】如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式4-3】公元三世纪，我国数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图）中的两个正方形和八个直角三角形按图方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个结论：；；若，则；若点是线段的中点，则，其中正确的序号是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺），则这根藤条长 ． 【变式4-5】看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？ 【变式4-6】拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离保持拉杆把手（大小忽略不计）的位置不变，当滚轮圆心位于点处时，拉杆全部缩进箱体（即），此时，过点作于点，延长交于点，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，，图中所有的点在同一平面内，求拉杆把手离地面的距离．（图中，） 题型五、用勾股定理构解决最值问题 例5如图，已知圆柱的高为，底面圆的半径为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，那么蚂蚁沿着圆柱的侧面爬行的最短路程为 ．(参考数据：) 【变式5-1】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段 线段 ； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【模型应用】 （2）应用数形结合思想，已知，求的最小值为 ； 【拓展应用】 （3）应用数形结合思想，已知正数m满足，则m的值为 ． 【变式5-2】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，使抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与两端点重合，连接，，设，， ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此求的最小值； 【类比应用】 （2）根据上述的方法，求代数式的最小值． 【变式5-3】材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：． 材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）． 请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题： (1)如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____； (2)在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值； (3)若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值． 【变式5-4】成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段上一动点，分别过B、D作，．连接、．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值． 【探究发现】 （1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于______． （2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值． 【拓展迁移】 （3）请你用构图的方法试求的最大值． 2 / 42 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $