重难点 直角三角形的性质在猜想证明、归纳探究与动点问题中的3种综合运用（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

重难点 直角三角形的性质在猜想证明、归纳探究与动点问题中的3种综合运用 目录 题型一、猜想证明 1 题型二、归纳探究 7 题型三、动点问题 12 题型一、猜想证明 例1如图，在四边形中，，、分别是、的中点． (1)请你猜想与的位置关系，并给予证明． (2)若，，求的长． 【变式1-1】已知：如图，锐角中，、分别是边、上的高，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 【变式1-2】已知，如图，是等边三角形，是边上的高，延长到，使，过作于． (1)求证：； (2)请猜想与间的数量关系，并证明． 【变式1-3】如图，在中，，，是过点的一条直线，且于，于． (1)当直线处于如图的位置时，证明：． (2)猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式1-4】在中，，是边的中点，于点H，平分． (1)求证：平分； (2)过点作的垂线交的延长线于点，求证：＝； (3)是什么三角形？证明你的猜想． 【变式1-5】在中，点P在平面内，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接 【发现问题】（1）如图1，如果点P是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是______； 【探究猜想】（2）如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）； 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点连接，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【变式1-6】（1）问题发现 如图①，在中，，，分别在，上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接，，则与的数量关系是______． （2）类比探究 如图②，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．试求的度数及与的数量关系．并说明理由． （3）拓展延伸 如图③，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接．试猜想的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由． （4）解决问题 在（3）的条件下，若，，直接写出四边形的面积． 【变式1-7】某校八年级数学学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形． 【基础回顾】 （1）如图①，在中，，直线经过点，过点B、C分别作直线直线，垂足分别为D、E．求证：． 【变式探究】 （2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意钝角．猜想之间的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）数学老师赞赏了他们的探索精神与总结归纳的好习惯，鼓励他们运用以上思路来解决问题： 在航天科技展中，小华设计了一款卫星太阳能板的展开示意图（如图③）．已知卫星主体部分为，两侧的太阳能板展开后形成两个三角形，分别为和，其中．为确保太阳能板能稳定展开，小华在卫星主体的边上设置了高，并延长交太阳能板连接线于点．若，请直接写出的面积． 【变式1-8】某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做如下研究： (1)如图①，在中，分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连结、．试猜想与的大小关系，并说明理由； (2)如图②，在中，分别以、为边向外作等腰直角三角形和等腰直角，，连结、．若，，，则线段的长为　　　； (3)如图③，在中，，以为边向外作等边，连结．若，，则求的面积． 【变式1-9】【基础回顾】 （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．求证：； 【变式探究】 （2）如图②，在中，，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，如果，猜想DE、BD、CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H，若点D到直线的距离为2，则点E到直线的距离为______． 【变式1-10】已知，和都是等腰直角三角形，，，，点是直线上的一动点（点不与，重合），连接． (1)如图1，当点在线段上，如果，则________度； (2)如图2，当点在边的延长线上时，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3中，当点在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出线段，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【变式1-11】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】（1）如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，求的长． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，求的面积． 题型二、归纳探究 例2如图，在某探究课上，老师带领同学们做了一个实验：拿两块的三角板，将的直角顶点放在的斜边的中点处,设则此时重叠的部分四边形的面积为 ． 【变式2-1】若一条直线将三角形分割成两个等腰三角形，则称这条直线是这个三角形的“黄金线”．若两条直线将一个三角形分割成三个等腰三角形，则称这两条直线是这个三角形的“钻石线”． (1)直角三角形________（填“存在”或“不存在”）“黄金线”；等边三角形________（填“存在”或“不存在”）“钻石线”； (2)已知锐角有“黄金线”，，直线是的“黄金线”，探究与之间的关系． 【变式2-2】如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【变式2-3】如图，中，，，，点D为边上的一动点（D不与A、B重合）．过点D作交于点E．把沿直线折叠，点A的对应点为F，连接． (1)当点F与点C重合时，是__________三角形； (2)当为直角三角形时，求的值． 【变式2-4】如图，已知锐角中，，分别是，边上的高，，分别是线段，的中点． (1)求证：； (2)若，探究与的数量关系并加以证明． 【变式2-5】综合实践 【活动交流】数学活动课上，周老师让学生用一段绳子(无弹性)沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动． 如图1，第一次拉成折线，且，第二次拉成折线，探究绳子两个端点之间距离的变化情况． 周老师和同学们在探究时，有如下交流： 小明：两种不同位置，绳子的两个端点的距离不一样，即． 小聪：我发现问题可抽象为：如图，在中，，在和延长线上分别取点，，若，则． 小颖：小聪，在探究你的问题的过程中，我发现点是中点． 周老师：小聪发现的结论是正确的，当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小． 结合上述师生的交流完成下面任务： 【探究论证】 （1）如图2，请你证明小颖发现的结论； （2）如图2，请你证明小聪发现的结论； 【创新应用】 （3）如图3，中，，，，点，，分别在边，，上，若，求的最小值． 【变式2-6】综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八（1）班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究． 已知和都是等腰直角三角形，且 (1)小鸣将绕点在平面内自由旋转，连接、后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段、的数量关系，并说明理由； (2)若，旋转过程中，当点、点和的中点三点共线时，如图2，探究线段、和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，，，求的长．（提示：在直角三角形中，角所对直角边是斜边的一半） 【变式2-7】在中，，，D是直线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交直线于点 (1)基础探究：如图1，当点D为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点D在线段上（不与C，B重合）时，探究线段之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由） (3)拓展探究：如图3，当点D在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段之间的数量关系． 【变式2-8】【初步感知】 （1）如图1，在中，，，则斜边上的高为______； 【深入探究】 （2）如图2，在中，，，点E是内一点，连接，，的面积为32．当时，求的长度； 【学以致用】 （3）如图3，是一块等腰直角的规划用地，点O在斜边上，过O修一条笔直的小路，且O为的中点，点E是三角形内一点，且，连接，，，，规划者想在四边形内种植花草．已知种植花草每平米500元，米，米，则种植花草的最低费用是多少元． 【变式2-9】数学活动课上，兴趣小组以“矩形折叠”为主题开展探究活动，矩形纸片，，． 操作一：对折矩形纸片，使与重合，折痕为； 操作二：再次对折，使矩形纸片的边与重合，展开纸片，得到两条折痕和； 操作三：在上取一点P，把沿折叠，使点A落在矩形内部点R处，把纸片展平，连接． (1)特例探究 如图①，当时，与的数量关系为________． 延长交于点Q，如图②，与的数量关系为________． (2)深入探究 如图③若改变点P在上的位置，把沿折叠，点A的对应点为点R，延长交于点Q，请判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 当时，把沿折叠，点A的对应点为点R，延长交于点Q，直接写出的长． 【变式2-10】在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作理解 小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________；（填序号） (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． 求证：平分； (3)拓展应用 如图2，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为___________度． 题型三、动点问题 例3如图，在中，，为中点，分别是两边上的动点，且，下列结论：①；②的周长不变；③；④分别表示和的面积，则，其中正确的结论有（    ） A．①② B．①②④ C．①④ D．①③④ 【变式3-1】如图，中，，，． D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点E ，F，则线段长的最大值为（      ） A． B． C． D．4 【变式3-2】如图，在等边中，D为边的中点，，P是线段上一动点，则的最小值为 ． 【变式3-3】如图，在中，，是边上的动点（不与点，重合）．为的中点，过点作，垂足为，连接．若，则在点运动过程中，的度数（    ） A．等于 B．等于 C．等于 D．无法确定 【变式3-4】如图，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是钝角三角形时，满足的条件是 ． 【变式3-5】如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是直角三角形时， s． 【变式3-6】如图，在中，，，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，得到，其中，点A落在点E处，交于点F，当为直角三角形时，的长度是 ． 【变式3-7】如图，在中，，，，动点从点出发以的速度向点运动；动点同时从点出发以的速度向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，设运动时间为秒（）．当为等边三角形时，为 秒． 【变式3-8】小明遇到这样一个问题：是边长为的等边三角形，点M，N分别是边上的动点．点M从点A出发沿线段向点B运动． 【初步探究】 （1）如图1，另一动点N从点B出发，沿线段向点C运动．如果M，N都以的速度同时出发，设运动时间为t．请问______（用含t的式子表示），当______时，是直角三角形． 【类比探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，连接交于点E，点M，N运动过程中，通过测量小明发现的度数不变．为了验证这个结论，小明通过证明，从而得到，再利用外角的性质得出，即的度数不变． 如图3，若点M，N分别在的延长线上运动，作直线交于点E，其余条件不变，的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由．若不变，请求出它的度数． 【拓展应用】 （3） 如图4，若另一动点N从点C出发，沿射线方向运动，连接交于点D．如果动点M，N以相同的速度同时出发同时停止，在运动过程中，请探究和的面积之间的数量关系，并说明理由． 【变式3-9】在等边的两边所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且．探究：当M、N分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． (1)如图1，当点M、N边上，且时，之间的数量关系是___________；此时___________； (2)如图2，点M、N在边上，且当时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当M、N分别在边的延长线上时，探索之间的数量关系如何？并给出证明． 2 / 66 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 直角三角形的性质在猜想证明、归纳探究与动点问题中的3种综合运用 目录 题型一、猜想证明 1 题型二、归纳探究 25 题型三、动点问题 52 题型一、猜想证明 例1如图，在四边形中，，、分别是、的中点． (1)请你猜想与的位置关系，并给予证明． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，，进而可得，然后利用三线合一即可得出结论； （2）利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，由是的中点可得，由（1）可知，因而可得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接，， ，为中点， ，， ， 又是的中点， ； （2）解：，、分别是、的中点，且，， ，， 由（1）可知：， ， 由勾股定理可得： ， 的长是． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三线合一，线段中点的有关计算，垂线的性质，勾股定理等知识点，添加适当辅助线构造等腰三角形是解题的关键． 【变式1-1】已知：如图，锐角中，、分别是边、上的高，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据、分别是、边上的高，可得和都是直角三角形，又因为点是边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的三线合一可证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：和都是等腰三角形，根据三角形内角和定理可得：，根据平角的定义可得，等量代换可证结果． 【详解】（1）证明：如下图所示， 连接、， 、分别是、边上的高， ， 在和中，点是斜边的中点， ，， ， 是等腰三角形， 点为底边的中点， ． （2）解：． 理由如下： 在中，， 由（1）可知， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质和等腰三角形的性质．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线三线合一． 【变式1-2】已知，如图，是等边三角形，是边上的高，延长到，使，过作于． (1)求证：； (2)请猜想与间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)；见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，外角的性质，所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过等边三角形的性质先推出，然后通过等腰三角形“等边对等角”的性质和外角的性质推出，最后再由等腰三角形的判定方法即可证明； （2）通过，得到，再由，，得到，从而找到和的关系，即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）； 证明：，， ， ，， ， ， ． 【变式1-3】如图，在中，，，是过点的一条直线，且于，于． (1)当直线处于如图的位置时，证明：． (2)猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或或，理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键． （1）先证明，进而可依据 “”判定和全等； （2）由得出，，分三种情况可得出，，的数量关系． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， （2）解：或或，理由如下： 如图①，由（1）知：， ∴，， ∴， ∴； 如图②，同（1）可证（）， ∴，， ∴． 如图③，同（1）可证（）， ∴，， ∴． 综上所述：、、的数量关系是：或或． 【变式1-4】在中，，是边的中点，于点H，平分． (1)求证：平分； (2)过点作的垂线交的延长线于点，求证：＝； (3)是什么三角形？证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等腰三角形到性质得到，由余角的性质得到，等量代换得到，根据角平分线得到结论； （2）根据得到，由平行线的性质得到，再进行角度的转换即可得到结论； （3）根据，于是得到，推出是等腰三角形，结合垂直，得结论． 【详解】（1）证明：在中，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 即， 平分； （2）证明：， ， ， ， ， ； （3）是等腰直角三角形，理由如下： ， ， 是等腰三角形， ， 是等腰直角三角形， 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，理解出题意思，利用（1）中的条件解接下来的题，是解题的关键． 【变式1-5】在中，点P在平面内，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接 【发现问题】（1）如图1，如果点P是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是______； 【探究猜想】（2）如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）； 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点连接，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1）；（2）仍然成立；理由见解析；（3）． 【分析】本题考查三角形旋转变换的性质，全等三角形判定与性质，角直角三角形性质，掌握旋转变换的性质，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论； （3）在上取一点E，使，连接，过点E作于F，证明，得到，进而得到最小时，最小，利用垂线段最短和含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）； 由旋转知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）前面发现的结论仍然成立；理由如下： 由旋转知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，在上取一点E，使，连接，过点E作于F， 由旋转知，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 要使最小，则有最小，而点E是定点，点P是上的动点， ∴当（点P和点F重合）时，最小， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 故线段长度最小值是 【变式1-6】（1）问题发现 如图①，在中，，，分别在，上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接，，则与的数量关系是______． （2）类比探究 如图②，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．试求的度数及与的数量关系．并说明理由． （3）拓展延伸 如图③，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接．试猜想的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由． （4）解决问题 在（3）的条件下，若，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）；理由见解析；（4）35 【分析】（1）利用等式的性质即可求解； （2）利用等边三角形的性质证明即可； （3）利用等腰直角三角形的性质证明即可； （4）由（3）中结论可求得，再由即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）； 理由如下： ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）； 理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵为边上的高，且， ∴， ∴； （4）∵，，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 【变式1-7】某校八年级数学学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形． 【基础回顾】 （1）如图①，在中，，直线经过点，过点B、C分别作直线直线，垂足分别为D、E．求证：． 【变式探究】 （2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意钝角．猜想之间的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）数学老师赞赏了他们的探索精神与总结归纳的好习惯，鼓励他们运用以上思路来解决问题： 在航天科技展中，小华设计了一款卫星太阳能板的展开示意图（如图③）．已知卫星主体部分为，两侧的太阳能板展开后形成两个三角形，分别为和，其中．为确保太阳能板能稳定展开，小华在卫星主体的边上设置了高，并延长交太阳能板连接线于点．若，请直接写出的面积． 【答案】（1）见详解 （2），见详解 （3）18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，运用全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据已知条件先证，然后根据证明即可； （2）先根据证，再根据证明即可； （3）过点分别作于点，交延长线于点，连接，先证，，通过四边形是平行四边形，证明，得到，根据得到，从而得以求解． 【详解】（1）证明：， ， 于点， ， ， 于点， 在和中， ， ； （2），理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）过点分别作于点，交延长线于点，连接， 于点，是的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证：， ， ， ， 平行于， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 即． 【变式1-8】某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做如下研究： (1)如图①，在中，分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连结、．试猜想与的大小关系，并说明理由； (2)如图②，在中，分别以、为边向外作等腰直角三角形和等腰直角，，连结、．若，，，则线段的长为　　　； (3)如图③，在中，，以为边向外作等边，连结．若，，则求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是： （1）利用证明，即可得出结论； （2）类似（1）证明，得出，然后利用勾股定理求解即可； （3）以为边，在的左上方作等边，类似（1）证明，得出，然后利用勾股定理求出，过A作于H，利用含的直角三角形的性质求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，以为边，在的左上方作等边， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， 过A作于H， 则， ∴， 故答案为：． 【变式1-9】【基础回顾】 （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．求证：； 【变式探究】 （2）如图②，在中，，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，如果，猜想DE、BD、CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H，若点D到直线的距离为2，则点E到直线的距离为______． 【答案】（1）见详解； （2），证明见详解； （3），证明见详解． 【分析】（1）根据题意得出，，用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质即可求解； （3）过点E作于点M，作，交的延长线于点N，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可求出结果． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ， ， ， 在和中， ； （2），， ， 在和中， ， ，， ； （3）如图，过点E作于点M，作，交的延长线于点N， ， ， ， 在和中， ， 同理可得，在和中， ， ，， ， 点D到直线的距离为2， ， 点E到直线的距离为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． 【变式1-10】已知，和都是等腰直角三角形，，，，点是直线上的一动点（点不与，重合），连接． (1)如图1，当点在线段上，如果，则________度； (2)如图2，当点在边的延长线上时，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3中，当点在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出线段，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】(1)90 (2)，理由见解析 (3)， 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，垂线的判定，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由得到，根据“”证明，得到，由得到，即可解答； （2）同（1）思路证明，得到，即可解答； （3）先补全图形，同（1）思路证明，得到，，从而得出，又，，得到，因此． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：90． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 即． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：，．理由如下： 补全图形如下： ∵， ∴， 即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 【变式1-11】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】（1）如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，求的长． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）6；（3）63 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质：构造全等三角形是解题的关键． （1）证出，由此可得，故可得； （2）证出，可得，再结合几何关系即可求出； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，同（1）证出，可得，，，， 进而可得出，，再证出即可．由全等三角形的性质得出，进一步得出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在中，， ∵于点于点， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 即； （2）如图2所示： 在中，， ， 于点于点E， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ∴， 故答案为：6； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，如图3所示： 同（1）证明：， ，，，， ，， ∵，， ∴，， ∵于点P，于点， 在和中，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为． 题型二、归纳探究 例2如图，在某探究课上，老师带领同学们做了一个实验：拿两块的三角板，将的直角顶点放在的斜边的中点处,设则此时重叠的部分四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，由题意易得，，，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积为和的面积和， ∴； 故答案为． 【变式2-1】若一条直线将三角形分割成两个等腰三角形，则称这条直线是这个三角形的“黄金线”．若两条直线将一个三角形分割成三个等腰三角形，则称这两条直线是这个三角形的“钻石线”． (1)直角三角形________（填“存在”或“不存在”）“黄金线”；等边三角形________（填“存在”或“不存在”）“钻石线”； (2)已知锐角有“黄金线”，，直线是的“黄金线”，探究与之间的关系． 【答案】(1)存在，不存在 (2)当时，；当时， 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质； （1）根据直角三角形斜边中线的性质可得直角三角形存在“黄金线”；根据等边三角形的判定与性质可得等边三角形不存在“钻石线”； （2）根据直线是的“黄金线”，得到 和都是等腰三角形，根据是最长边得到中，再根据是等腰三角形，结合三角形内角和分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图，中为中点，则，即 和都是等腰三角形， ∴是的“黄金线” ∴直角三角形存在“黄金线”； 如图，是等边三角形，只要涉及到一个内角的等腰三角形都是等边三角形，假设为图中的，则剩下的中，，，，即不可能是等腰三角形， ∴等边三角形不存在“钻石线”； 故答案为：存在，不存在； （2）解：设， ∵直线是的“黄金线”， ∴ 和都是等腰三角形， ∵， ∴， ∴中， ∴， ∴， 中当时，则，此时，不满足锐角； 中当时，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当时，； 中当时，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． 【变式2-2】如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积为 【分析】（1）连接，先证是等腰直角三角形，由是的中点，根据等腰三角形中的“三线合一”可推得，，最后由“边角边”证明后，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，结合中线平分三角形面积推得即可得解． 【详解】（1）证明：连接（如图）， 由条件可知是等腰直角三角形， ，即， 是的中点，且是等腰直角三角形， ，，平分， ， 即， 在和中， ， ， ，即． （2）解：在动点运动过程中，四边形面积不变， 由（1）可知：， ． ， 是的中点，且是等腰直角三角形， ， ， ， ． 答：四边形的面积为． 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的判定与性质、三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、三角形中线平分三角形面积，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【变式2-3】如图，中，，，，点D为边上的一动点（D不与A、B重合）．过点D作交于点E．把沿直线折叠，点A的对应点为F，连接． (1)当点F与点C重合时，是__________三角形； (2)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)等边 (2)的值为2或4 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及勾股定理． （1）先求出的相关角度和边长，根据折叠性质和已知条件求出的角度，再根据三角形内角和及角度关系判断的形状即可； （2）分析为直角三角形的情况：①当时，求出和的度数，在中求出的长度，最后求出和的长度；②当时，求出和的度数，在中求出的长度，最后求出和的长度． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，， ∵，将沿直线折叠，点A的对应点为F， ∴点F在直线上，且，， ∴， 当点F与点C重合时，如图所示： ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． （2）解：在中，， ∴当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，此时点F在边上，如图所示： 在中，， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； ②当时，此时点F在的延长线上，如图所示： 在中，， ∴， 在中，， 同①得， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 综上所述，的值为2或4． 【变式2-4】如图，已知锐角中，，分别是，边上的高，，分别是线段，的中点． (1)求证：； (2)若，探究与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)见解析； (2) ，证明见解析． 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是作辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质求解． （1）连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知为等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一定理可证结论成立； （2）根据三角形内角和定理可知，当时，，根据等腰直角三角形的性质可知． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接，， ，分别是，边上的高， ，， 是的中点， ，， ， 为等腰三角形， 点为中点， ； （2）解：， 证明：， ， 由（1）可知，，， ，， 在中，， 同理可证：， ， 为直角三角形， 点为的 中点， . 【变式2-5】综合实践 【活动交流】数学活动课上，周老师让学生用一段绳子(无弹性)沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动． 如图1，第一次拉成折线，且，第二次拉成折线，探究绳子两个端点之间距离的变化情况． 周老师和同学们在探究时，有如下交流： 小明：两种不同位置，绳子的两个端点的距离不一样，即． 小聪：我发现问题可抽象为：如图，在中，，在和延长线上分别取点，，若，则． 小颖：小聪，在探究你的问题的过程中，我发现点是中点． 周老师：小聪发现的结论是正确的，当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小． 结合上述师生的交流完成下面任务： 【探究论证】 （1）如图2，请你证明小颖发现的结论； （2）如图2，请你证明小聪发现的结论； 【创新应用】 （3）如图3，中，，，，点，，分别在边，，上，若，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）作，交于，可证得，从而， （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，得出，在中，，进而得出，当重合时，取得最小值，即可得出结论； （3）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，，过点作，交的延长线于点，作关于的对称点，连接，可得，当取得最小值时，取得最小值，由（2）可得时，取得最小值，是等边三角形，进而求得，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1， 作，交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即是的中点； （2）证明：如图2，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴，即 当重合时，取得最小值， 即当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小． （3）解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵中，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 作关于的对称点，连接， ∴， ∴ ∴当取得最小值时，取得最小值， 由（2）可得时，取得最小值， 又∵ ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ 设 ∴ 解得： ∴ 的最小值为：． 【变式2-6】综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八（1）班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究． 已知和都是等腰直角三角形，且 (1)小鸣将绕点在平面内自由旋转，连接、后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段、的数量关系，并说明理由； (2)若，旋转过程中，当点、点和的中点三点共线时，如图2，探究线段、和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，，，求的长．（提示：在直角三角形中，角所对直角边是斜边的一半） 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质，得到和，进而得到，根据全等三角形的判定方法证得，进而得到； （2）过作，证得，根据全等三角形的性质得到和，由已知和，结合勾股定理得，进而得到； （3）过作于点，过作于点，在中，可求得、的长，设，在中，由勾股定理建立方程，求得的值，再由勾股定理求得，从而可求得． 【详解】（1）解：，理由如下： 和都是等腰直角三角形，且 ，， ； （2）解：，理由如下： 过作，如图 为的中点 在和中， 、、 由（1）知 ， 由勾股定理得， ； （3）解：过作于点，过作于点，如图： 在中，， 由勾股定理得， ， 设 由（1）知， 在中，由勾股定理得， 即 解得或（舍去） 由勾股定理得： ． 答：的长为． 【变式2-7】在中，，，D是直线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交直线于点 (1)基础探究：如图1，当点D为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点D在线段上（不与C，B重合）时，探究线段之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由） (3)拓展探究：如图3，当点D在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或， 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据点D为的中点得，证明，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出段与的数量关系； （2）同（1）证明和全等得，再根据即可得出线段之间的数量关系； （3）分类进行讨论即，当点D在线段延长线上时和当点D在的延长线上时，依据“”判定和全等得，再根据线段的和差，即可得出结论． 【详解】（1）解：线段与的数量关系是：，理由如下： 在中，，，点D为的中点， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：线段之间的数量关系是：，理由如下： 同（1）证明：， ， ， ， ； （3）解：当点D在线段或者的延长线上运动时，线段之间的数量关系是：或，理由如下： ①当点D在线段延长线上时，如图所示： ， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； ②当点D在的延长线上时，设和交于点H，如图所示： ， ， ， ， ，， 是和的外角， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式2-8】【初步感知】 （1）如图1，在中，，，则斜边上的高为______； 【深入探究】 （2）如图2，在中，，，点E是内一点，连接，，的面积为32．当时，求的长度； 【学以致用】 （3）如图3，是一块等腰直角的规划用地，点O在斜边上，过O修一条笔直的小路，且O为的中点，点E是三角形内一点，且，连接，，，，规划者想在四边形内种植花草．已知种植花草每平米500元，米，米，则种植花草的最低费用是多少元． 【答案】（1）（2）；（3）400000元 【分析】（1）利用勾股定理求得斜边长，再利用斜边中线的性质求解即可； （2）延长交于点，作于点，作于点，利用三角形面积公式求得，求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可； （3）作于点，作于点，作于点，由，求得的最小值为10，根据全等三角形的判定和性质求得，据此进一步计算即可求解． 【详解】解：（1）作于点， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）延长交于点，作于点，作于点， ∵，， ∴， ∵的面积为32， ∴，即， 解得， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理，， ∴； （3）作于点，作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， 求得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形面积的最小值为(平方米)， ∵种植花草每平米500元， ∴植花草的最低费用是（元）． 【点睛】本题考查了30度角直角三角形的性质，勾股定理，直角斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【变式2-9】数学活动课上，兴趣小组以“矩形折叠”为主题开展探究活动，矩形纸片，，． 操作一：对折矩形纸片，使与重合，折痕为； 操作二：再次对折，使矩形纸片的边与重合，展开纸片，得到两条折痕和； 操作三：在上取一点P，把沿折叠，使点A落在矩形内部点R处，把纸片展平，连接． (1)特例探究 如图①，当时，与的数量关系为________． 延长交于点Q，如图②，与的数量关系为________． (2)深入探究 如图③若改变点P在上的位置，把沿折叠，点A的对应点为点R，延长交于点Q，请判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 当时，把沿折叠，点A的对应点为点R，延长交于点Q，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)，见解析 (3)2或 【分析】（1）由折叠的性质可得，利用直角三角形的性质即可得到答案；再连接，由折叠的性质得到，结合，易证，即可得出结论； （2）同理（1）得，即可得出结论； （3）分点P在点上方和下方两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵矩形纸片，，， ∴，， ∵， 由折叠的性质可得， 在中， ∴； 连接， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 连接， 同理（1）得， ∴； （3）解：由折叠的性质得，， 当点P在点上方时，如图： ∵， ∴，， ∴， 设，则， 由（2）知， 在中，， ∴， 解得：，即； 当点P在点下方时，如图： 同理得：， 设，则， 由（2）得， 在中，， ∴， 解得：，即； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键． 【变式2-10】在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作理解 小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________；（填序号） (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． 求证：平分； (3)拓展应用 如图2，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为___________度． 【答案】(1)② (2)证明见解析 (3)，或 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用相关性质进行推理证明，利用分类讨论的思想求角的大小． （1）根据邻等对补四边形的定义，从对角是否互补，是否有一组邻边相等逐个验证，可得结果； （2）过点A作于E，作，交延长线于F，先后证明，，可得，所以平分； （3）先根据邻等对补四边形的对角互补，推出，，再根据邻等对补四边形有一组邻边相等，分类讨论，求出每一种情况下的度数，综合可得结果． 【详解】（1）解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形； ③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ④该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形； 综上可知，是邻等对补四边形的有②． （2）证明：过点A作于E，作，交延长线于F，如图1.1所示： 则， 四边形是邻等对补四边形， ， 又， ， 又由题知， ， ， 又， ， ， 平分． （3）解：在中，， ∴， 四边形是邻等对补四边形， ，， ，． 根据邻等对补四边形至少有一组邻边相等，可得 当时，如图2.1： 结合，可得， ． 当时，如图2.2： ， ， ． 当时，如图2.3： ， ． 当时，如图2.4： 结合，可得， ． 综上可知，大小为或或． 题型三、动点问题 例3如图，在中，，为中点，分别是两边上的动点，且，下列结论：①；②的周长不变；③；④分别表示和的面积，则，其中正确的结论有（    ） A．①② B．①②④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】证明，即可判断①； 因为的周长，而，但长度不固定，所以的周长不确定，可判断②； 由，，可得，由三角形内角和可得，，则，又，可判断③； 当时，，此时最小，当或与重合时，此时最大，即可判断④． 【详解】解：∵，为中点， ． ，， ． ∴． ， 又， ，故①正确； ，故， 又，分别是两边上的动点， 长度不固定， 故值不确定， 即的周长无法确定，故②错误； ， ∴， 由三角形内角和可得，， ∴， 又， ∴，故③正确； 当时，又， ∴， ∴，此时最小， ∴， 故， 当或与重合时，此时最大， ∴， 故，故④正确． ∴①③④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形面积的求法，掌握以上知识是解题关键． 【变式3-1】如图，中，，，． D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点E ，F，则线段长的最大值为（      ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及不等式的应用．利用特殊直角三角形的性质，确定的长度，再利用线段垂直平分线的性质，设，并根据直角三角形的性质求解的最大值． 【详解】解：过点F作于H，连接， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中，， 当点、重合时，， ∴，解得， ∴的最小值为，的最大值为． 故选：C． 【变式3-2】如图，在等边中，D为边的中点，，P是线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，，根据垂线段最短，解决问题即可． 【详解】如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ，垂直平分， ∴， ， ， ，， 根据面积法可得， ， ， ， ∴，即， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式3-3】如图，在中，，是边上的动点（不与点，重合）．为的中点，过点作，垂足为，连接．若，则在点运动过程中，的度数（    ） A．等于 B．等于 C．等于 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，E是中点，得出，利用角度推导，即可求得． 【详解】解：∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式3-4】如图，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是钝角三角形时，满足的条件是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，过点A作于D，交射线于E，则，进而可得，可推出当点P在点D左侧和点P在点E右侧时是钝角三角形，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于D，交射线于E， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在点D左侧时，，则此时是钝角三角形， ∴当时，是钝角三角形； 当点P在点D和点E之间时，，则此时不是钝角三角形，不符合题意； 当点P在点E右侧时，，则此时是钝角三角形， ∴当时，是钝角三角形； 综上所述，当或时，是钝角三角形； 故答案为：或． 【变式3-5】如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是直角三角形时， s． 【答案】或 【分析】此题考查含的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：①当时，过点A作，    ∵，， ∴， ∴， ②当时，过点A作时， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：或． 【变式3-6】如图，在中，，，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，得到，其中，点A落在点E处，交于点F，当为直角三角形时，的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，含的直角三角形性质．分两种情况：当时，可证得是等边三角形，得出，再由，即可求得；当时，利用直角三角形性质可得，再由，即可求得长． 【详解】解：，，，， ， 由折叠知，，， 当时，， ， 是等边三角形， ， ； 当时，， 在中， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 【变式3-7】如图，在中，，，，动点从点出发以的速度向点运动；动点同时从点出发以的速度向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，设运动时间为秒（）．当为等边三角形时，为 秒． 【答案】2 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质．根据等边三角形的性质列出方程求出的值． 【详解】解：根据题意可得，，， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：2． 【变式3-8】小明遇到这样一个问题：是边长为的等边三角形，点M，N分别是边上的动点．点M从点A出发沿线段向点B运动． 【初步探究】 （1）如图1，另一动点N从点B出发，沿线段向点C运动．如果M，N都以的速度同时出发，设运动时间为t．请问______（用含t的式子表示），当______时，是直角三角形． 【类比探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，连接交于点E，点M，N运动过程中，通过测量小明发现的度数不变．为了验证这个结论，小明通过证明，从而得到，再利用外角的性质得出，即的度数不变． 如图3，若点M，N分别在的延长线上运动，作直线交于点E，其余条件不变，的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由．若不变，请求出它的度数． 【拓展应用】 （3）如图4，若另一动点N从点C出发，沿射线方向运动，连接交于点D．如果动点M，N以相同的速度同时出发同时停止，在运动过程中，请探究和的面积之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），或；（2）不变，；（3）面积相等，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式，分和两种情况进行讨论进行求解即可； （2）证明，得到，对顶角得到，结合三角形的内角和定理进行求解即可； （3）过点作，过点作，证明，得到，进而根据同底等高的两个三角形的面积相等，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵是边长为的等边三角形， ∴，， 由题意，得：， ∴， 当是直角三角形时，分两种情况： ①当时，则：， ∴，即，解得； ②当时，则：， ∴，即，解得； 综上：当或时，是直角三角形； （2）不变，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； （3）和的面积相等，理由如下： 过点作，过点作，则：， ∵， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式3-9】在等边的两边所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且．探究：当M、N分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． (1)如图1，当点M、N边上，且时，之间的数量关系是___________；此时___________； (2)如图2，点M、N在边上，且当时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当M、N分别在边的延长线上时，探索之间的数量关系如何？并给出证明． 【答案】(1) (2)结论仍然成立，详见解析 (3)，详见解析 【分析】对于（1），由，可证得是等边三角形，又由是等边三角形，，易证得，然后由直角三角形的性质，即可求得之间的数量关系，此时； 对于（2），在的延长线上截取，连接，可证，即可得，易证得，则可证得，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立； 对于（3），首先在上截取，连接，可证，即可得，然后证得，易证得，则可得． 【详解】（1）解：如图1，之间的数量关系． 此时． 理由：∵， ∴是等边三角形. ∵是等边三角形， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形. ∵， ∴， ∴； 故答案为：，． （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：， ∴； （3）， 证明：在上截取，连接． ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2 / 66 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $