专题11 直角三角形压轴题（期末真题汇编，上海专用）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题11 直角三角形压轴题 1．(24-25八上·上海民办扬波中学·期末)如图，在中，，，，点D是的中点，将沿直线翻折后点A落在点E，那么的长为 【答案】 【分析】连接，过点E作于点G，由折叠的性质得，，，，，根据直角三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，根据直角三角形的性质求得，，利用勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点E作于点G， 由折叠的性质得，，，，， ∵，，点D是的中点， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴在中，， ， ∵， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形外角的性质、折叠的性质，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 2．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)如图，中，，，，，点D在边上，将沿直线翻折，使点C落在点处，连接，直线与边的延长线相交于点F，如果，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】设，则，，由折叠可得，进而可得，则，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，由等角对等边可得，由含度角的直角三角形可得，由勾股定理可得，即，解得或（不符合题意，故舍去），则，，由线段的和差关系可得，，由此即可求出的长． 【详解】解：如图， 设，则，， 由折叠可得：， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，含度角的直角三角形，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质，等角对等边，直接开平方法解一元二次方程，线段的和与差等知识点，由折叠及角的和差关系得出、由含度角的直角三角形的性质及勾股定理得出是解题的关键． 3．(23-24八上·上海闵行区·期末)在中，，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N，如果是直角三角形，那么的面积是 ． 【答案】4或 【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，可得到的面积；当时，过作于，设，则，可得，，又，可得，，再利用勾股定理可得，可得到的面积． 【详解】解：当时，如图： ∵，，， ∴， ∵将折叠，使点与点重合， ∴， ∴的面积是：；    当时， 如图，过作于，      设， ∵，， ∴， ∴， ∵将折叠，使点与点重合， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴的面积是：． 综上所述，如果是直角三角形，那么的面积是4或． 故答案为：4或． 【点睛】本题是等腰三角形的折叠问题，考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积等知识．解题的关键是分类画出图形，求出边上的高． 4．(24-25八上·上海青浦区·期末)我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线，与之间的距离是3，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意分情况画出相应图，然后根据旋转性质找到线段对应关系求解即可． 【详解】解：当如下图所示时， ，， 点到直线的距离为， ， 将绕点顺时针旋转得到， ； 当如下图所示时， ，， 点到直线的距离为， ，， 将绕点顺时针旋转得到，，， ， 在中，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，分情况讨论并画出相应图像是解题关键． 二、解答题 5．(24-25八上·上海徐汇区第四中学·期末)已知，如图：是等腰直角三角形，动点P在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题： (1)如图①，若点P在线段上，且，，则： ①线段__________，__________； ②猜想：，，三者之间的数量关系为__________； (2)如图②，若点P在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程； (3)若动点满足，求的值． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)的值为或 【分析】（1）①在中，利用勾股定理可求得，由可求得的长；②过作于点，则可求得，把和都用和表示出来，在中，由勾股定理得到和的关系，从而可得到三者之间的数量关系； （2）过作于点，把和都用和表示出来，在中，由勾股定理得到和的关系，从而可证得结论； （3）分点在线段上和线段的延长线上，分别利用得到和的关系，从而可得到和的关系，在和中，利用勾股定理可分别得到和的关系，从而可求得的值． 【详解】（1）解：①∵是等腰直角三角形，， ， ， ； ②， 证明：如图1，过作于点， ∵为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理可得， ， ∵为等腰直角三角形，且， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图 2，过作于点， ∵为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ， ∵为等腰直角三角形，且， ， ． （3）解：过点作于点， ， ∴点只能在线段上或在线段的延长线上， 如图3，当点在线段上时， ， ， 在 中，由勾股定理可得， 在 中，由勾股定理可得， ； 如图4，当点  P   在线段 的延长线上时， ， ， 在 中，由勾股定理可得， 在 中，由勾股定理可得， ， 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，直角三角形的性质，并涉及分类讨论的思想．在（2）中注意分别用和表示出和是解题的关键，在（3）中确定出点的位置，再结合条件找到与的关系是解题的关键．本题涉及内容不多，但综合性很强． 6．(24-25八上·上海黄浦区·期末)在中，点D是边的中点，点分别在边上，且，连结． (1)如图1，是等腰直角三角形，，求证：； (2)如图2，是等边三角形，，求证：； (3)如图3，，请直接写出的长度：_______（无需写出过程）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线可知，根据三线合一可知，易得，即可得到是等腰直角三角形，求出答案即可； （2）过点D作于G，作于H，连接AD，先根据三线合一得到，再根据角平分线的性质可得，易得，进而可得到答案； （3）如图，延长至G，使，连接，过点G作于H，先判定是的垂直平分线，再运用勾股定理解决即可； 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点D是边BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）证明：如图2，过点D作于G，作于H，连接AD，则， ∵是等边三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 即， ∴， 即； （3）解：如图3，延长至G，使，连接，过点G作于H， ∵ ∴是的垂直平分线， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则 由勾股定理得：， ∴， 解得：（舍），， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三线合一，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，解决此题关键是要合理作出辅助线． 7．(24-25八上·上海北初级中学·期末)【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图，在中，，为中点，于交于点，连接，若．求证：． 如图，小刚同学从条件的角度出发给出如下解题思路：延长至点，使，连接．将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系．请你根据小刚同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现小刚同学很好地运用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，提出下面的问题，请你解答． 如图，在中，，为中点，于交于点．连接，若，求证：． 【学以致用】（3）如图，在中，，点在边上，，过作交的延长线于点，直接写出 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，外角的定义，含角的直角三角形等知识点，掌握转化思想是解答本题的关键． （1）延长至点，使，连接，证明，得到，所以，进而得到，根据题意得到，所以，进而可证； （2）延长至，使，连接，则，证明， 得到，又，所以，再根据等腰三角形三线合一即可得出结论； （3）在上方作，并交于点，由题意得且，则在中，，进而根据已知条件求出，所以，再经过转化即可得到的值． 【详解】解：（1）延长至点，使，连接，则， 为中点， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）如图，延长至，使，连接，则， 为中点， ， ， ， ， 又， ， ， ， 即； （3）如图，在上方作，并交于点， 则， 且， ， 则在中，， 又，， ， 则， ， 故， 故答案为：． 8．(24-25八上·上海长宁区八年级上学期期末考试·期末)已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． (1)如图1，当时，时，求的大小； (2)当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可；②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理求出，可得，用等面积法可得，可得，根据，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得，，，，证明，即可得到． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵，， ； （2）解：①，， ， ∵，， ，，，， ， ， ， ∴， ， ， ∵， ， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ∵，， ，， ∵， ， ， ， ， ， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴， 由（1）得：， 而，， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握知识点是解本题的关键． 9．(24-25八上·上海民办扬波中学·期末)如图，在中，，，．将一块直角三角板中角的顶点D放在边上移动，使角的两边分别与的边相交于点E、F，且使始终与垂直． (1)如图1，当点F与点C重合时，求的长； (2)如图2，设，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)如图2，连接，若是直角三角形，求的长． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）证明是等边三角形，得到，在中，根据角的直角三角形的性质及勾股定理求出，即可解答； （2）证明等边三角形，求出，可得，根据，根据，得到，根据一定与线段、相交，得出最大到处，求出即可得出答案； （3）分为两种情况：①为直角顶点时．②为直角顶点时，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，即， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， 由（1）得 ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵角的两边分别与的边、交于点、， ∴过作于，最后只能到点， ∴， ∴在中，， ∴此时是， ∴函数的定义域（即的取值范围）是：． （3）解：∵，， ∴， ∵，即， ∴． ①当时，如图， ∵， ∴， ∵，即， ∴， 由（2）可知是等边三角形， ∴， ∵，即， 解得：， 即时，是直角三角形； ②当时，如图， ∵， ∴， ， ∴， ∵，即， 解得：， 即时，是直角三角形； 综上所述：当或时，是直角三角形． 【点睛】本题综合考查含30度角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定及性质，学会利用参数构建方程，掌握分类讨论思想是解题的关键． 10．(24-25八上·上海浦东新区建平西校·期末)如图，在中，，，，将一个角的顶点放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、交于点、，且． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)连接，若是等腰三角形，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，定义域为 (3)或或 【分析】（1）由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理可求得，再由已知条件可推出是等边三角形，于是即可求得的长； （2）过点作于，由（1）可得，进而可得，易得是等边三角形，从而可求得关于的函数解析式，同时求得其定义域； （3）分三种情况讨论：当点与点重合时，则；当点E在上，点F在上时，则；当点E与点C重合时，则；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 由勾股定理得：， 即：， ∵， ， ∴， ∴， 即：是等边三角形， ∴； （2）解：如图，过点作于， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即：是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 关于的函数解析式为，其定义域为； （3）解：分三种情况讨论： 当点与点重合时，如图1所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得： ； 当点E在上，点F在上，且当时，如图2， 由（2）可知：， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴， 解得：； 当点E与点C重合时，如图3， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：； 综上，的长为或或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，求函数解析式，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并运用分类讨论思想是解题的关键． 11．(24-25八上·上海浦东模范中学·期末)如图，已知ABC中，，，AB＝6，点P是射线CB上一点（不与点B重合），EF为PB的垂直平分线，交PB于点F，交射线AB于点E，联结PE、AP． (1)求∠B的度数； (2)当点P在线段CB上时，设BE＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当APB为等腰三角形时，请直接写出AE的值． 【答案】(1) (2)当点P在线段BC上时，； (3)4或或 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明出△ABC是直角三角形，且∠BAC=，取BC的中点M，联结AM，则=CM，证得△ACM是等边三角形，求得∠B=； （2）当点P在线段BC上时，过点A作AD⊥BC于D，根据直角三角形的性质得到，，由勾股定理得，求出，得到，由勾股定理求出CD，BF，得到DP，由，推出，根据y>0，得到函数关系式；当点P在CB延长线上时，过点P作PH⊥AB交延长线于H，求出，勾股定理求得PH，根据，求出函数解析式； （3）当AP=BP时，根据等腰三角形等边对等角的性质及线段垂直平分线的性质证得∠APE=，得到AE=2PE=2BE，由此求出AE=4；当BP=AB=6时，根据线段垂直平分线的性质求出PF=BF=3，利用直角三角形30度角的性质求出BE=2EF，利用勾股定理得，求出BE，即可得到AE的值．当点P在CB延长线上且BP=AB=6时，根据线段垂直平分线的性质求出PF=BF=3，利用直角三角形30度角的性质求出BE=2EF，利用勾股定理得，求出BE，即可得到AE的值． 【详解】（1）解：ABC中，，，AB＝6， ∵， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=， 取BC的中点M，联结AM，则=CM， ∵，， ∴， ∴AC=AM=CM， ∴△ACM是等边三角形， ∴， ∴∠B=； （2）解：当点P在线段BC上时， 过点A作AD⊥BC于D， 在△ADB中，∠ADB=，∠B=， ∴， 同理， ∴， 在Rt△BEF中，， ∴， ∴， 又∵BP=2BF， ∴， ∴DP =， ∵， ∴， ∴， ∵y>0， ∴； （3）解：当AP=BP时，则∠PAB=∠B=，如图， ∴∠APB =， ∵EF为PB的垂直平分线， ∴PE=BE， ∴∠BPE=∠B=， ∴∠APE=， ∴AE=2PE=2BE， ∵AE+BE=6， ∴AE=4； 当BP=AB=6时，如图， ∵EF为PB的垂直平分线， ∴PF=BF=3， ∵∠B=， ∴BE=2EF， ∵， ∴， ∴AE=AB-BE=； 当点P在CB延长线上且BP=AB=6时，如图， ∵EF为PB的垂直平分线， ∴PF=BF=3， ∵∠EBF=， ∴BE=2EF， ∵， ∴， ∴AE=AB+BE=； 综上，AE的值为4或或． 【点睛】此题考查了勾股定理及逆定理，直角三角形30度角的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，求函数解析式，熟记各知识点并综合应用是解题的关键． 12．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)如图，中，，，．点P是射线上一点（不与点B重合），为的垂直平分线，交于点F，交射线于点E，连接、． (1)的度数； (2)当点P在线段上时，设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)如果 ，请直接写的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为2或1或 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理判断出是直角三角形取BC的中点H，连接，由直角三角形的性质可得出，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出答案． （2）作，垂足为点D．由直角三角形30角所对边等于斜边一半知，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）当点P在线段上时，当点P在射线上时，作，根据三角形的面积公式计算可得 【详解】（1）解：在中， ∵，，， ∴，， ∴． ∴． 取的中点H，连接，如图所示： ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． （2）解：如图1，过点A作，垂足为点D． 在中， ∵，， ∴， ∴， 同理，， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ ， 即； （3）解：当点P在线段上时，由x， 解得或1， ∴的长为2或1； 当点P在射线上时，如图2，过点A作于点M， 在中，，， ∴， 同理，， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ 即， 解得（负值舍去）， ∴的长是； 则如果，BF的长为2或1或． 【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质及三角形的面积公式和分类讨论思想的运用． 13．(24-25八上·上海华育中学·期末)小明在研究平面几何知识时，意识到等腰三角形和直角三角形经常同时出现，比如：等腰三角形三线合一：再比如：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．等等．在此基础上，小明同学还做了一些研究，并邀请你参加． 已知中，，将绕着点A旋转，点B、C的对应点分别是点D、E，连接． (1)求证； (2)点F在边上（且F不与点C、D重合），连接，过A作，交射线于点G，连接，小明发现线段、、能够组成一个直角三角形，你认为小明的发现正确吗？如果正确，请证明，如果不正确，请说明理由； (3)在（2）的条件下，已知，，设，，直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)小明的发现是正确的，理由见解析 (3)； 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理推导出即可； （2）延长，交于点M，连接，证明，再由垂直平分线的性质得出，在直角三角形中，，即； （3）由（2），可得，在中，，整理得到，连接，当G点与C点重合时求出的长，即可求x的取值范围． 【详解】（1）证明：由旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：小明的发现是正确的，理由如下： 如图，延长，交于点M，连接，如图所示： 根据旋转可知，，，， ∴B、A、D在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，，即， ∴， 整理得，， 当G点与C点重合时，连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， 根据旋转可知：， 在中，， 即， 解得：， ∵点G在射线上， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，求函数解析式，求自变量的取值范围，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线． 14．(23-24八上·上海长宁区延安初级中学·期末)已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，则，再证，得，即可得出结论； （2）①取的中点E，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得，再证，得，则，即可解决问题； ②分两种情况，a、时，b、时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2，取的中点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，点P是线段的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即的度数为； ②∵，，， ∴， 分两种情况： a、如图3，时， 由（1）可知，， 过点P作于点M， 则， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； b、如图4，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上所述，的长等于或， 故答案为：或． 　　　　 【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 15．(23-24八上·上海外国语大学附属中学·期末)如图，中，，点D、E分别是边上的一个动点，且,过点D作交射线于点G，交线段于点F，设． (1)如图1，当点G与点C重合时，求的面积； (2)如图2，设当点G在的延长线上时，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)若为直角三角形，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)或4 【分析】（1）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，然后再证，最后由三角形面积关系即可得出答案； （2）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，然后由得，则，求出x的范围即可； （3）分两种情况：①当时，②当时，由含角的直角三角形的性质好勾股定理分别得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的面积的面积； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵点G在的延长线上， ∴点G不与点C重合， ， ∵点E是边上的一个动点，， ， ， 即y关于x的解析式为； （3）解：分两种情况： ①当时，如图3所示： 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）得：， ， 解得：； ②当时，如图4所示： ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，若为直角三角形，x的值为或4． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型． 16．(23-24八上·上海三林中学·期末)如图，在中，，，，是边上的中线，动点从点出发以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，动点从点出发以每秒个单位的速度在线段上运动，点与点同时出发，设动点运动时间为． (1)求的长； (2)若动点在线段上运动，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)若动点在射线上运动，当点运动到终点时，点也停止运动，直接写出当时，的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）设，则，利用勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可求出的长； （）利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式得到，代入即可求解，由即可确定的取值范围； （）分两种情况，当动点在线段上运动，可由（2）直接列方程即可，注意x的取值范围进行取舍；当在射线上但不在线段上运动时，得到，同方法求出，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，求函数解析式，三角形的面积，利用勾股定理得到是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵点为的中线， ∴； （2）解：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵动点在线段上运动， ∴， ∴的取值范围为， 故； （3）解：当动点在线段上运动时，由（2）可知，， 由整理得：, 解得：, ∵， ∴, 当动点在射线上但不在线段上运动时，， ∴， ∴， 由整理得，， 即， 解得． 综上所述，或． 17．(23-24八上·上海三林中学·期末)已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．    (1)证明：线段能组成直角三角形； (2)当是边上的中点时，判断：的位置关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（）根据勾股逆定理即可求证； （）延长，使得，连接，证明，得到，，得到，根据平行线的性质得到，由勾股定理得到，进而得到，由等腰三角形三线合一即可求证； 本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴线段能组成直角三角形； （2）解：． 理由：延长，使得，连接，    ∵是边上的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 18．(23-24八上·上海普陀区·期末)已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，结合已知条件可证； （2）设l交于点Q，连接，过作于， 于，根据（1）结论可得，推出，可得为等腰直角三角形，推出，证，可得，得到，即得． 【详解】（1）∵，， ∴，与为直角三角形， ∵点A在边垂直平分线上， ∴， 在也中， ， ∴， 即； （2）设l交于点Q，连接，过作于，作于， ∴ 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线，全等三角形，等腰直角三角形，角平分线等，熟练掌握线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，是解决问题的关键． 19．(23-24八上·上海江湾初级中学·期末)如图1，在中，，，，是的中点．是射线上一个动点，连接，过点作的垂线，交射线于． (1)如图2，如果点与点重合，求证：； (2)如图3，如果，求的长； (3)设，，求关于的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）在中，利用斜边中线的性质可得，可求得，再利用含30度角的直角三角形的性质可证； （2）过B作于H，在中由勾股定理，利用含30度角的直角三角形的性质可求，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，当时，，当时，，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：在中，，，，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D与P重合， ∴； （2）解：过B作于H， ∵，，， ∴， 在中由勾股定理， 又因为， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）得， 在中，， 当时，， 在中，由勾股定理得：， 即， 即， 当时，， 在中由勾股定理得：， 即， 即， 综上，． 【点睛】本题考查直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，函数关系，掌握直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质函数关系，解题关键是在中利用勾股定理构造等式求出函数关系． 20．(23-24八上·上海黄浦区·期末)如图，已知在中，，苦点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （请利用尺规作图，不要求写出作法、证明和结论，但要求保留作图痕迹并标出点） (1)若点在上，且满足时，在图（1）中求作符合要求的点，此时_______； (2)若点恰好在的角平分线上（点除外），在图（2）中求作符合要求的点，此时_______． 【答案】(1)作图见详解， (2)作图见详解， 【分析】（1）根据中垂线性质可知，作的垂直平分线，与交于点，则满足，在中，用勾股定理计算出，再用表示出，则，在中，利用勾股定理建立方程求； （2）过作于点，作出的角平分线，由角平分线性质可得，由题意，则，在中，利用勾股定理建立方程求. 【详解】（1）作的垂直平分线，与交于点，与交于点， 是的垂直平分线， ， ， ， 由题意，， ， ． （2）作的平分线，过作于点，如图所示， 平分，，， 在和中， ， ， 由题意，则， 在Rt△ABD中，， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理,垂直平分线的性质和角平分线的性质，熟练运用垂直平分线的性质和角平分线的性质，找出线段长度，利用勾股定理建立方程是解本题的关键． 试卷第50页，共50页 试卷第49页，共50页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 直角三角形压轴题 1．(24-25八上·上海民办扬波中学·期末)如图，在中，，，，点D是的中点，将沿直线翻折后点A落在点E，那么的长为 2．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)如图，中，，，，，点D在边上，将沿直线翻折，使点C落在点处，连接，直线与边的延长线相交于点F，如果，那么线段的长为 ． 3．(23-24八上·上海闵行区·期末)在中，，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N，如果是直角三角形，那么的面积是 ． 4．(24-25八上·上海青浦区·期末)我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线，与之间的距离是3，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，那么的长为 ． 二、解答题 5．(24-25八上·上海徐汇区第四中学·期末)已知，如图：是等腰直角三角形，动点P在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题： (1)如图①，若点P在线段上，且，，则： ①线段__________，__________； ②猜想：，，三者之间的数量关系为__________； (2)如图②，若点P在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程； (3)若动点满足，求的值． 6．(24-25八上·上海黄浦区·期末)在中，点D是边的中点，点分别在边上，且，连结． (1)如图1，是等腰直角三角形，，求证：； (2)如图2，是等边三角形，，求证：； (3)如图3，，请直接写出的长度：_______（无需写出过程）． 7．(24-25八上·上海北初级中学·期末)【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图，在中，，为中点，于交于点，连接，若．求证：． 如图，小刚同学从条件的角度出发给出如下解题思路：延长至点，使，连接．将与之间的数量关系转化为与之间的数量关系．请你根据小刚同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现小刚同学很好地运用了转化思想，根据题中条件转化角．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，提出下面的问题，请你解答． 如图，在中，，为中点，于交于点．连接，若，求证：． 【学以致用】（3）如图，在中，，点在边上，，过作交的延长线于点，直接写出 ． 8．(24-25八上·上海长宁区八年级上学期期末考试·期末)已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． (1)如图1，当时，时，求的大小； (2)当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 9．(24-25八上·上海民办扬波中学·期末)如图，在中，，，．将一块直角三角板中角的顶点D放在边上移动，使角的两边分别与的边相交于点E、F，且使始终与垂直． (1)如图1，当点F与点C重合时，求的长； (2)如图2，设，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)如图2，连接，若是直角三角形，求的长． 10．(24-25八上·上海浦东新区建平西校·期末)如图，在中，，，，将一个角的顶点放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、交于点、，且． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)连接，若是等腰三角形，直接写出的长． 11．(24-25八上·上海浦东模范中学·期末)如图，已知ABC中，，，AB＝6，点P是射线CB上一点（不与点B重合），EF为PB的垂直平分线，交PB于点F，交射线AB于点E，联结PE、AP． (1)求∠B的度数； (2)当点P在线段CB上时，设BE＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当APB为等腰三角形时，请直接写出AE的值． 12．(24-25八上·上海建平实验中学·期末)如图，中，，，．点P是射线上一点（不与点B重合），为的垂直平分线，交于点F，交射线于点E，连接、． (1)的度数； (2)当点P在线段上时，设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)如果 ，请直接写的长． 13．(24-25八上·上海华育中学·期末)小明在研究平面几何知识时，意识到等腰三角形和直角三角形经常同时出现，比如：等腰三角形三线合一：再比如：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．等等．在此基础上，小明同学还做了一些研究，并邀请你参加． 已知中，，将绕着点A旋转，点B、C的对应点分别是点D、E，连接． (1)求证； (2)点F在边上（且F不与点C、D重合），连接，过A作，交射线于点G，连接，小明发现线段、、能够组成一个直角三角形，你认为小明的发现正确吗？如果正确，请证明，如果不正确，请说明理由； (3)在（2）的条件下，已知，，设，，直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 14．(23-24八上·上海长宁区延安初级中学·期末)已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 15．(23-24八上·上海外国语大学附属中学·期末)如图，中，，点D、E分别是边上的一个动点，且,过点D作交射线于点G，交线段于点F，设． (1)如图1，当点G与点C重合时，求的面积； (2)如图2，设当点G在的延长线上时，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)若为直角三角形，求x的值． 16．(23-24八上·上海三林中学·期末)如图，在中，，，，是边上的中线，动点从点出发以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，动点从点出发以每秒个单位的速度在线段上运动，点与点同时出发，设动点运动时间为． (1)求的长； (2)若动点在线段上运动，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)若动点在射线上运动，当点运动到终点时，点也停止运动，直接写出当时，的值． 17．(23-24八上·上海三林中学·期末)已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．    (1)证明：线段能组成直角三角形； (2)当是边上的中点时，判断：的位置关系． 18．(23-24八上·上海普陀区·期末)已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 19．(23-24八上·上海江湾初级中学·期末)如图1，在中，，，，是的中点．是射线上一个动点，连接，过点作的垂线，交射线于． (1)如图2，如果点与点重合，求证：； (2)如图3，如果，求的长； (3)设，，求关于的函数关系式． 20．(23-24八上·上海黄浦区·期末)如图，已知在中，，苦点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （请利用尺规作图，不要求写出作法、证明和结论，但要求保留作图痕迹并标出点） (1)若点在上，且满足时，在图（1）中求作符合要求的点，此时_______； (2)若点恰好在的角平分线上（点除外），在图（2）中求作符合要求的点，此时_______． 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $