专题22.1 直角三角形的性质与判定 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027 学年沪教版（五四制）数学八年级上册

专题22.1 直角三角形的性质与判定 优等生讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学八年级上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握直角三角形两锐角互余的性质 · 掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 · 掌握含30°角的直角三角形的性质 · 掌握直角三角形全等的HL判定定理 · 能综合运用直角三角形性质解决角度计算和证明问题 📚 知识梳理 ☆ 1.直角三角形的性质 直角三角形两锐角互余：∠A+∠B=90° 直角三角形斜边上的高分原三角形为两个小直角三角形 同角的余角相等：∠A=∠BCD（CD为高） 30°角所对的直角边等于斜边的一半 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若∠BCD=25°，求∠A。 解析：∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，所以∠A=∠BCD=25° ☆ 2.直角三角形斜边中线 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 符号表示：CD=AB（CD为斜边AB中线） 推论：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形 应用：遇直角三角形想斜边中线，构造等腰三角形 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，若AB=10，求CD。 解析：CD=AB=5 ☆ 3.直角三角形全等的判定 HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 普通三角形全等判定（SAS/ASA/AAS/SSS）同样适用于直角三角形 HL仅适用于直角三角形，书写时要指明Rt△ 应用HL时必须先确认两个三角形都是直角三角形 概念辨析例题：如图，∠B=∠D=90°，要利用HL判定Rt△ABC≌Rt△ADC，需添加什么条件？ 解析：已有公共斜边AC=AC，还需一组直角边相等：AB=AD或BC=DC 📋 知识总结表 核心定理 内容 应用要点 两锐角互余 ∠A+∠B=90° 角度计算 斜边中线 CD=AB 见中点想倍分 30°角 30°对边=斜边 含30°的直角三角形 HL判定 斜边+一直角边 仅直角三角形可用 同角余角相等 ∠A=∠BCD 高+直角三角形 ⚠️ 核心考点 【考点1】直角三角形的性质（第1-13题） · 两锐角互余 · 同角的余角相等 · 30°角性质 · 折叠问题找等量关系 1．（2025秋•青浦区校级同步）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E．若∠BAD＝34°，则∠AEB的度数为（　　） A．56° B．60° C．62° D．65° 【考点】直角三角形的性质． 【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABD，再根据角平分线的定义求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝34°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣34°＝56°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABD56°＝28°， 在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABE＝28°， ∴∠AEB＝90°﹣28°＝62°， 故选：C． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键． 2．（2025春•虹口区校级期中）①三角形的角平分线就是三角形内角的平分线； ②三角形的三条高交于一点； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④直角三角形两锐角角平分线夹角为135度． 以上说法中正确的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】直角三角形的性质；平行公理及推论；平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高． 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可． 【解答】解：①三角形的角平分线包括内角平分线和外角平分线，本选项说法错误，不符合题意； ②锐角三角形的三条高交于一点，本选项说法正确，符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项说法错误，不符合题意； ④直角三角形两锐角的和是90°，两锐角角平分线的夹角为180°135°，本选项说法正确，符合题意． 所以说法正确的有2个， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 3．（2025秋•虹口区校级期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④；⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【考点】直角三角形的性质． 【分析】由三角形内角和定理求出有关的角，由直角三角形的定义即可判断． 【解答】解：①由∠A+∠B＝∠C，得到180°﹣∠C＝∠C，求出∠C＝90°，判定△ABC是直角三角形，故①符合题意； ②令∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，得到x+2x+3x＝180°，求出x＝30°，得到∠C＝90°，判定△ABC是直角三角形，故②符合题意； ③由∠A＝∠B＝2∠C，得到2∠C+2∠C+∠C＝180°，求出∠C＝36°，得到∠A＝∠B＝72°，△ABC是锐角三角形，故③不符合题意； ④由，得到∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，由三角形内角和定理求出∠A＝30°，得到∠C＝90°，判定△ABC是直角三角形，故④符合题意； ⑤由∠A＝2∠B＝3∠C，得到∠B∠A，∠C∠A，由三角形内角和定理求出∠A，△ABC是钝角三角形，故⑤不符合题意． ∴能确定△ABC为直角三角形的条件有3个． 故选：C． 【点评】本题考查直角三角形的性质，关键是由三角形内角和定理求出相关的角． 4．（2026春•宽城区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝21°，则∠BDC等于（　　） A．42° B．63° C．66° D．76° 【考点】直角三角形的性质． 【分析】根据折叠的性质求出∠ACD，再根据三角形的外角性质求出∠BDC． 【解答】解：由折叠的性质可知：∠BCD＝∠ACD∠ACB＝45°， ∵∠BDC是△ACD的外角， ∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝45°+21°＝66°． 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的性质、折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 5．（2025秋•永康市期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，按如图所示作图．若∠B＝α，则∠AED的度数为（　　） A． B．90° C． D．90°+α 【考点】直角三角形的性质． 【分析】根据尺规作图得出D是AB的中点，CD＝CE，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到CDAB＝DB，得到∠DCB＝∠B＝α，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：由作图可知：D是AB的中点，CD＝CE， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点， 则CDAB＝DB， ∴∠DCB＝∠B＝α， ∴∠ECD＝90°﹣∠DCB＝90°﹣α， ∵CD＝CE， ∴∠CED＝∠CDE（180°﹣90°+α）＝45°α， ∴∠AED＝180°﹣∠CED＝135°α， 故选：C． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、尺规作图，根据尺规作图得出D是AB的中点，CD＝CE是解题的关键． 6．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，∠ACD＝2∠CBE，则∠A的度数为　36°　 ． 【考点】直角三角形的性质；线段垂直平分线的性质． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EBA＝∠A，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到CDAB＝AD，得到∠ACD＝∠A，再根据直角三角形的性质列式计算即可． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB，D是AB的中点， ∴∠EBA＝∠A， 在Rt△ABC中，D是AB的中点， 则CDAB＝AD， ∴∠ACD＝∠A， ∵∠ACD＝2∠CBE， ∴∠EBA＝∠A＝2∠CBE， 在Rt△ABC中，∠ABC+∠A＝90°， ∴∠A+∠A+∠A＝90°， 解得：∠A＝36°， 故答案为：36°． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键． 7．（2025秋•上海校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是边AC的中点．如果∠BCD＝25°，那么∠CED＝　50°　 ． 【考点】直角三角形的性质． 【分析】先求出∠B、∠A的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，则∠A＝∠ADE，再根据外角的性质可得∠CED＝∠A+∠ADE． 【解答】解：∵CD⊥AB，∠BCD＝25°， ∴∠B＝90°﹣∠BCD＝90°﹣25°＝65°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣65°＝25°， ∵E是边AC的中点， ∴， ∴∠A＝∠ADE＝25°， ∴∠CED＝∠A+∠ADE＝25°+25°＝50°． 故答案为：50°． 【点评】本题考查直角三角形的性质，关键是直角三角形性质的熟练掌握． 8．（2026春•闵行区校级月考）如图，直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，D为边AC上一点，E为直线BC上一点，将图形沿DE翻折，得到点C的对应点C′（C′位于BC上方），如果△DC′E有一边平行于边AB，那么∠DEC＝ 　30或15或60　 °． 【考点】直角三角形的性质；平行线的性质． 【分析】（1）当C′E∥AB时，此时又有两种情况：①点E在线段BC上时，则∠CEC′＝∠B＝60°，由折叠可得∠DEC＝30°；②点E在线段CB延长线上时，则∠CEC′＝∠B＝60°，由折叠可得∠DEC＝30°； （2）当DC′∥AB时，此时又有两种情况：①点E在线段BC上时，过点C′作C′F∥BC交AB于点F，则∠AFC′＝∠B＝60°，由此DC′∥AB得∠FC′D＝∠AFC′＝60°，再由折叠可得∠DC′E＝∠C＝30°，∠DEC∠CEC′，由此得∠FC′E＝30°，再由C′F∥BC得∠FC′E＝∠CEC′＝30°，由可得∠DEC＝15°；②点E在线段CB延长线上时，过点C′作C′F∥BC交BA延长线于点F，则∠AFC′＝120°，再由DC′∥AB得∠FC′D＝60°，由折叠可得∠DCE＝∠DC′E＝30°，∠DEC＝∠DEC'∠CEC′，由此得∠FC′E＝30°然后根据C′F∥BC得∠FC′E＝∠CEC′＝30°，据此可得∠DEC＝15°； （3）当DE∥AB时，则∠DEC＝∠ABC＝60°，综上所述即可得出答案． 【解答】解：依题意有以下三种情况： （1）当C′E∥AB时，此时又有两种情况： ①点E在线段BC上时，如图1①所示： ∴∠CEC′＝∠B＝60° 由折叠可得：∠DEC＝∠DEC'∠CEC′＝30°； ②点E在线段CB延长线上时，如图1②所示： ∴∠CEC′＝∠B＝60°， 由折叠可得：∠DEC＝∠DEC'∠CEC′＝30°； （2）当DC′∥AB时，此时又有两种情况： ①点E在线段BC上时，过点C′作C′F∥BC交AB于点F，如图2①所示： ∴∠AFC′＝∠B＝60°， ∵DC′∥AB， ∴∠FC′D＝∠AFC′＝60°， 由折叠可得：∠DC′E＝∠C＝30°，∠DEC＝∠DEC'∠CEC′， ∴∠FC′E＝∠FC′D﹣∠DC′E＝60°﹣30°＝30° ∵C′F∥BC ∴∠FC′E＝∠CEC′＝30° ∴∠DEC＝∠DEC'∠CEC′＝15°； ②点E在线段CB延长线上时，过点C′作C′F∥BC交BA延长线于点F，如图2②所示： ∵C′F∥BC ∴∠AFC′＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵DC′∥AB， ∴∠FC′D＝180°﹣∠AFC′＝60°， ∴由折叠可得：∠DCE＝∠DC′E＝30°，∠DEC＝∠DEC'∠CEC′， ∴∠FC′E＝∠FC′D﹣∠DC′E＝60°﹣30°＝30° ∵C′F∥BC ∴∠FC′E＝∠CEC′＝30° ∴∠DEC＝∠DEC'∠CEC′＝15°； （3）当DE∥AB时，如图3所示： ∴∠DEC＝∠ABC＝60°， 综上所述△DC′E有一边平行于边AB，∠DEC＝30°或15°或60°． 故答案为：30°或15°或60°． 【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，平行线的性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 9．（2026春•杨浦区校级月考）如果△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则与∠A相等的角是　∠BCD ． 【考点】直角三角形的性质． 【分析】先由∠ACB＝90°，得出∠ACD+∠BCD＝90°，再根据直角三角形的两锐角互余得出∠ACD+∠A＝90°，然后由同角的余角相等即可得出∠BCD＝∠A． 【解答】解：如图， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD是AB边上的高， ∴∠ACD+∠A＝90°， ∴∠BCD＝∠A． 故答案为：∠BCD． 【点评】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，根据图形表示出互余的两个角是解题的关键． 10．（2025春•金山区期中）如图，已知AB∥CD，△EFG的顶点F、G分别落在直线AB、CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD，如果∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数． 解：因为∠E+∠EFG+∠FGE＝180°（ 　三角形内角和定理　 ）， 又因为∠EFG＝90°，∠E＝35°（已知）， 所以∠FGE＝　55　 °． 因为GE平分∠FGD（已知）， 所以∠FGE＝∠DGE （角平分线的意义）． 因为AB∥CD（已知）， 所以∠EHB ＝∠EGD（两直线平行，同位角相等）． 所以∠EHB＝∠FGE（等量代换）． 所以∠EHB＝55°． 因为∠EHB＝∠EFB+∠E （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又因为∠E＝35°（已知）， 所以∠EFB＝　20　 °． 【考点】直角三角形的性质；平行线的性质；三角形的外角性质． 【分析】由三角形内角和定理推出∠FGE＝55°，由角平分线定义，平行线的性质推出∠EHB＝∠FGE＝55°，由三角形的外角的性质即可求解． 【解答】解：因为∠E+∠EFG+∠FGE＝180°（三角形内角和定理）， 又因为∠EFG＝90°，∠E＝35°（已知）， 所以∠FGE＝55°． 因为GE平分∠FGD（已知）， 所以∠FGE＝∠DGE（角平分线的意义）． 因为AB∥CD（已知）， 所以∠EHB＝∠EGD（两直线平行，同位角相等）， 所以∠EHB＝∠FGE（等量代换）， 所以∠EHB＝55°． 因为∠EHB＝∠EFB+∠E（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又因为∠E＝35°（已知）， 所以∠EFB＝20°． 故答案为：三角形内角和定理，55，DGE，EHB，E，20． 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线定义，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 11．（2025秋•扶绥县校级月考）在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F． （1）若∠AFE＝55°，求∠CDF的度数； （2）若折叠后的△CDF为等腰三角形，连接AD，求∠ADC的度数； （3）在（2）的条件下，若△BDE也为等腰三角形，求纸片中∠B的度数． 【考点】直角三角形的性质；等腰三角形的性质． 【分析】（1）由折叠的性质可得∠AFE＝∠DFE＝55°，再根据三角形内角和定理得到∠CFD＝70°，据此即可求解； （2）连接AD，由等腰三角形的性质可得∠CFD＝∠CDF＝45°，由等腰三角形的性质可求∠FDA＝22.5°＝∠FAD，即可求解； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解． 【解答】解：（1）由折叠的性质得∠AFE＝∠DFE＝55°， ∴∠CFD＝180°﹣55°﹣55°＝70°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CDF＝90°﹣70°＝20°； （2）如图，连接AD， ∵△CDF为等腰三角形，∠FCD＝90°， ∴∠CFD＝∠CDF＝45°， 由折叠的性质得AF＝DF，AE＝DE， ∴∠FAD＝∠FDA， ∵∠CFD＝∠FAD+∠FDA， ∴∠FDA＝22.5°＝∠FAD， ∴∠ADC＝67.5°； （3）∵∠ADC＝∠B+∠DAB， ∴∠DAB＝67.5°﹣∠B， ∵AE＝DE， ∴∠DAB＝∠ADE＝67.5°﹣∠B， ∴∠DEB＝∠EAD+∠EDA＝135°﹣2∠B， ∵DE＝BD， ∠DEB＝∠B， ∴135°﹣2∠B＝∠B， ∴∠B＝45°， 若BE＝BD，则∠DEB＝∠EDB， ∴∠DEB＝∠EDB＝135°﹣2∠B， ∵∠DEB+∠B+∠EDB＝180°， ∴135°﹣2∠B+135°﹣2∠B+∠B＝180°， ∴∠B＝30°， 若DE＝BE，则∠EDB＝∠B， ∵∠DEB+∠B+∠EDB＝180°， ∴135°﹣2∠B+∠B+∠B＝135°≠180°（不合题意舍去）， 综上所述：∠B＝30°或45°． 【点评】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，有一定的综合性，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用． 12．（2025秋•龙潭区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； （2）证明△AEF是等腰三角形． 【考点】直角三角形的性质；等腰三角形的判定． 【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根据角平分线的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可； （2）根据角平分线的性质、直角三角形的性质证明结论． 【解答】（1）解：∵AD⊥BC， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴， ∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°； （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE． ∴△AEF是等腰三角形 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的判定，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 13．（2025秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD是△ABC的高，AE＝BE． （1）若∠B＝40°，求∠EAD的度数； （2）若∠B为∠EAD的4倍，求∠C的度数． 【考点】直角三角形的性质；三角形的角平分线、中线和高． 【分析】（1）根据AE＝BE得∠EAB＝∠B＝40°，利用三角形外角性质得∠AED＝∠EAB+∠B＝80°，在Rt△ADE中，根据直角三角形性质即可得出∠EAD的度数； （2）根据∠B为∠EAD的4倍设∠EAD＝α，则∠B＝4α，根据AE＝BE得∠EAB＝∠B＝4α，利用三角形外角性质得∠AED＝∠EAB+∠B＝8α，在Rt△ADE中，根据直角三角形性质可得α＝10°，则∠EAB＝∠B＝4α＝40°，再根据AE平分∠BAC得∠BAC＝2∠EAB＝80°，然后在△ABC中，由三角形内角和定理可得∠C的度数． 【解答】解：（1）在△EAB中，AE＝BE，∠B＝40°， ∴∠EAB＝∠B＝40°， ∵∠AED是△EAB的外角， ∴∠AED＝∠EAB+∠B＝80°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADE＝90°， 在Rt△ADE中，∠EAD＝90°﹣∠AED＝10°； （2）∵∠B为∠EAD的4倍， ∴设∠EAD＝α，则∠B＝4α， 在△EAB中，AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B＝4α， ∵∠AED是△EAB的外角， ∴∠AED＝∠EAB+∠B＝8α， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADE＝90°， 在Rt△ADE中，∠EAD+∠AED＝90， ∴α+8α＝90， 解得：α＝10°， ∴∠EAB＝∠B＝4α＝40°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠EAB＝80°， 在△ABC中，∠C＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝180°﹣（40°+80°）＝60°． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形角平分线和高，理解三角形角平分线和高的定义，直角三角形两个锐角互余，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 【考点2】直角三角形斜边中线（第14-27题） · 中线=斜边一半 · 双直角三角形共斜边时连接中点 · 遇直角三角形斜边中点连中线 14．（2026春•宝山区校级期末）下列说法中，正确的是（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．等腰三角形一边上的高也是这一边上的中线 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【考点】直角三角形斜边上的中线；对顶角、邻补角；平行公理及推论；平行线的性质；等腰三角形的性质． 【分析】根据对顶角、直角三角形的性质、等腰三角形性质、平行公理逐项分析判断即可． 【解答】解：根据对顶角、直角三角形的性质、等腰三角形性质、平行公理逐项分析判断如下： 相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，但不是对顶角，故A错误； 根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故B正确； 等腰三角形只有底边上的高同时是这边上的中线，腰上的高不满足该结论，故C错误； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查了对顶角、直角三角形的性质、等腰三角形性质、平行公理，熟练掌握以上知识点是关键． 15．（2025秋•金山区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，线段CD、CE分别为△ABC的高和中线，下列说法中错误的是（　　） A．∠A＝∠BCD B．∠BCE＝∠ACD C．AB＝2CE D．∠BCE＝∠DCE 【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的角平分线、中线和高． 【分析】由余角的性质推出∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，由直角三角形斜边中线的性质得到CE＝BE，因此∠B＝∠BCE，得到∠ACD＝∠BCE，如果∠BCE＝∠DCE，求出∠ACD＝30°，但∠ACD不一定等于30°． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A+∠B＝∠BCD+∠B＝90°， ∴∠A＝∠BCD， 同理：∠ACD＝∠B， 故A不符合题意； ∵∠ACB＝90°，CE是中线， ∴AB＝2CE， ∴CE＝BE， ∴∠B＝∠BCE， ∴∠ACD＝∠BCE， 故B、C不符合题意； 如果∠BCE＝∠DCE， ∵∠BCE+∠DCE+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝30°， 但∠ACD不一定等于30°， 故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形的角平分线、中线和高，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 16．（2025秋•奉贤区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，那么下列结论正确的有（　　） ①∠A+∠DCB＝90°；②∠ADC＝2∠B；③AB＝2CD；④BC＝CD． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】直角三角形斜边上的中线． 【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出AB＝2CD，由等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠B，由三角形的外角性质得到∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，由直角三角形的性质得到∠A+∠DCB＝90°，如果BC＝CD，判定△BCD是等边三角形，但△BCD不一定是等边三角形，因此BC和CD不一定相等． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴AB＝2CD， 故③符合题意； ∵D是AB的中点， ∴AB＝2BD， ∵AB＝2CD， ∴BD＝CD， ∴∠DCB＝∠B， ∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B， 故②符合题意； ∵∠A+∠B＝90°， ∴∠A+∠DCB＝90°， 故①符合题意， 如果BC＝CD， ∵BD＝CD， ∴△BCD是等边三角形， 但△BCD不一定是等边三角形， ∴BD和CD不一定相等， 故④不符合题意， ∴结论正确的有3个． 故选：C． 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 17．（2025秋•静安区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CH、CM分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（　　） A．∠BCH＝∠ACM B．∠ACH＝∠B C．∠ACH＝∠BCM D．∠ACH＝∠MCH 【考点】直角三角形斜边上的中线． 【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等解答即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CM是斜边上的中线， ∴MA＝MB＝MC，∠A+∠B＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°， ∴∠ACM＝∠A，∠BCM＝∠B， ∵CH⊥AB， ∴∠A+∠ACH＝90°，∠B+∠BCH＝90°， ∴∠BCH＝∠ACM，A正确，不合题意； ∠ACH＝∠B，B正确，不合题意； ∠ACH＝∠BCM，C正确，不合题意； ∠ACH与∠MCH不一定相等，D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 18．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（　　） A．56° B．62° C．63° D．68° 【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质． 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得EC＝ED，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点， ∴△ACB和△ADB均为直角三角形，且点E是公共斜边AB的中点， ∴EC，ED， ∴EC＝ED， ∴∠DCE＝∠CDE， ∵∠CDE＝56°， ∴∠DCE＝56°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质，熟记以上知识点是解题的关键． 19．（2026春•闵行区校级期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CF分别是斜边AB上的高和中线，CE是∠ACB的平分线，BD＝3，BC＝5，CD＝4，则点B到直线CD的距离为　3　 ． 【考点】直角三角形斜边上的中线；点到直线的距离． 【分析】根据点到直线的距离定义，即可解答． 【解答】解：∵CD是斜边AB上的高， ∴CD⊥AB， ∴BD⊥CD， ∵BD＝3， ∴点B到直线CD的距离为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，点到直线的距离，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 20．（2026春•宝山区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，若∠B＝25°，则∠DAB等于　25°　 ． 【考点】直角三角形斜边上的中线． 【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，连接CE，先利用SAS证明△CDE≌△BDA，结合全等的性质，再利用SAS证明△CAB≌△ACE，从而得到BC＝AE，进而可推出AD＝BD，最后根据等边对等角即可解答． 【解答】解：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接CE， ∵∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线， ∴， 在△CDE和△BDA中， ∴△CDE≌△BDA（SAS）， ∴∠ECD＝∠B，CE＝BA， ∴∠B+∠BCA＝180°﹣∠BAC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ECD+∠BCA＝∠ACE＝90°， 在△CAB和△ACE中， ∴△CAB≌△ACE（SAS）， ∴BC＝AE， ∵，， ∴AD＝BD， ∴∠DAB＝∠B， ∵∠B＝25°， ∴∠DAB＝25°． 故答案为：25°． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 21．（2025秋•徐汇区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC上一点，P是AD的中点．若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8cm，则BP为　4cm ． 【考点】直角三角形斜边上的中线；线段垂直平分线的性质． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DC＝8cm，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【解答】解：∵AC的垂直平分线经过点D，DC＝8cm， ∴DA＝DC＝8cm， ∵∠ABC＝90°，P是AD的中点， ∴BPDA＝4cm． 故答案为：4cm． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线到线段的两端点距离相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 22．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边上的一点，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8，则BP＝　4　 ． 【考点】直角三角形斜边上的中线；线段垂直平分线的性质． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DC＝8，然后利用直角三角形斜边上的中线可得BPAD＝4，即可解答． 【解答】解：∵点D在AC的垂直平分线上， ∴DA＝DC＝8， ∵∠ABC＝90°，点P是AD的中点， ∴BP＝AD＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 23．（2025秋•虹口区校级期末）定义：联结三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成两个等腰三角形，则称该线段为原三角形的“双等线”．例如：任意直角三角形斜边上的中线就是一条过直角顶点的“双等线”．问题解决：已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，如果Rt△ABC中存在过锐角顶点的“双等线”，则BC的长为　或　 ． 【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质． 【分析】考虑“双等线”从锐角顶点A或B出发的情况，分别讨论使分割后的两个三角形均为等腰三角形的条件，通过几何关系和解方程求得BC的可能长度． 【解答】解：根据题意，分两种情况讨论： ①若“双等线”从顶点A出发，如图，AM是“双等线”， 则△ACM，△ABM是等腰三角形， ∵AC＝2， ∴CM＝AC＝2， ∵∠ACB＝90°， ∴， ∵△ABM是等腰三角形， ∴（等腰三角形的性质）， ∴． ②若“双等线”从顶点B出发，如图，BN是“双等线”， 则△BCN，△ABN是等腰三角形， 设BC＝x， ∵△BCN是等腰三角形， ∴NC＝BC＝x， ∵∠ACB＝90°， ∴， ∵△ABN是等腰三角形， ∴， ∵AN+NC＝AC， ∴， ∴， ∴． 综上所述，BC的长为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 24．（2024秋•浦东新区校级期末）在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝42°，则∠EPF的度数为　96°　 ． 【考点】直角三角形斜边上的中线． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCE，根据直角三角形的性质得到PFAC＝PC，PEAC＝PC，根据等腰三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：∵CE⊥BA，∠B＝42°， ∴∠BCE＝48°， ∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点， ∴PFAC＝PC，PEAC＝PC， ∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE， ∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝96°， 故答案为：96°． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 25．（2025秋•浦东新区校级期末）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定． 【分析】（1）连接BE、DE，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出BE＝DE，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明△BED是等边三角形，再根据求解即可． 【解答】（1）证明：连接BE、DE， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴， ∵F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）解：由（1）可知，， ∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA， ∴2∠EAB＝∠CEB，2∠EAD＝∠CED， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BED＝60°， ∵BE＝DE， ∴△BED是等边三角形， ∴BD＝BE＝4． 【点评】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质和等边三角形的判定，解题关键是熟练掌握相关性质进行推理和计算． 26．（2025秋•静安区校级月考）如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）若BC＝10，DE＝6，求△MDE的周长． 【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质． 【分析】（1）由直角三角形，线段中点的条件和定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到辅助线作法，连接ME、MD，进而得到等腰三角形，再根据定理“三线合一”即可证明MN⊥DE． （2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【解答】（1）证明：如图，连接ME、MD， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∵M是BC的中点， ∴ 同理可得， ∴DM＝EM ∵N是DE的中点， ∴MN⊥DE； （2）解：∵BC＝10， ∴， ∵DE＝6， ∴△MDE的周长为DM+EM+DE＝5+5+6＝16． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟记以上知识点是解题的关键． 27．（2025秋•上海校级月考）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，AD与CE交于点M．DG⊥CE，垂足为G．已知：∠B＝2∠BCE． （1）求证：DC＝BE； （2）如果AC＝BC，∠B＝60°，求证：S△AMC＝2S△DMC． 【考点】直角三角形斜边上的中线；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】（1）根据CE是边AB上的中线，AD是边BC上的高，得到DE＝AE＝BE，然后根据等量变换和等角对等边即可求解； （2）根据等边三角形知识得到∠BAD＝∠BCE＝30°，然后证得△AME≌△DMC（AAS），再根据含30°角的直角三角形知识和等量变换，得到，然后根据三角形面积公式分别表示出，，然后即可求解． 【解答】证明：（1）∵AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线， ∴在Rt△ABD中，DE＝AE＝BE， ∴∠B＝∠BDE， ∵∠B＝2∠BCE＝∠BDE，∠BDE＝∠DEC+∠BCE， ∴2∠BCE＝∠DEC+∠BCE， ∴∠BCE＝∠DEC， ∴DE＝DC， ∴DE＝AE＝BE＝DC， ∴DC＝BE； （2）∵AC＝BC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线， ∴∠BAD＝∠BCE＝30°，∠ADC＝90°， 在△AME和△DMC中， ， ∴△AME≌△DMC（AAS）， ∴AM＝MC， ∵∠ADC＝90°，∠BCE＝30°， ∴， ∴AM＝2DM，即， 根据三角形面积公式（这里a为底，h为高）， ∴，， ∵， ∴S△AMC＝2S△DMC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键． 【考点3】直角三角形全等的判定（第28-38题） · HL定理 · 先证直角再用HL · 已有斜边相等再找直角边 28．（2025秋•浦东新区校级期末）下列条件中，不能确定一个直角三角形的是（　　） A．已知两条直角边 B．已知一条直角边和斜边 C．已知两个锐角 D．已知一个锐角和斜边 【考点】直角三角形全等的判定． 【分析】根据直角三角形的全等的判定对每个选项注意论证得到选项． 【解答】解：A、已知两条直角边的长度，可以确定一个直角三角形的大小；故本选项不符合题意； B、已知一条直角边和斜边，可以确定一个直角三角形的大小；故本选项不符合题意． C、已知两个锐角，若两个锐角的和不等于90°，则不能确定一个直角三角形；故本选项符合题意； D、已知已知一个锐角和斜边，可以得到一直角，则能确定一个直角三角形的大小；故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】此题考查的知识点是直角三角形全等的判定，关键是根据其性质论证． 29．（2025秋•上海校级期末）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，已知∠ACB＝∠DFE＝90°，且AC＝DF．如果只能运用“直角三角形全等的判定定理”判定Rt△ABC≌Rt△DEF，那么需要补充的条件是（　　） A．∠A＝∠D B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．BC＝EF 【考点】直角三角形全等的判定． 【分析】根据已知结合图形及判定方法HL判断各选项即可． 【解答】解：根据已知结合图形及判定方法HL判断如下： 由题意知∠ACB＝∠DFE＝90°，AC＝DF， 根据直角三角形全等的判定定理“HL”，应添加斜边对应相等，即AB＝DE， 故选：B． 【点评】本题考查直角三角形全等的判定定理的应用，熟练掌握该知识点是关键． 30．（2025秋•上海校级月考）在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图）的卡片，要求学生们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC，小海和小华先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（　　） A．小海作图判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的依据是直角三角形全等的判定定理 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 C．小华作图判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的依据是SAS D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 【考点】直角三角形全等的判定． 【分析】根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法逐选项进行判断，即可求解． 【解答】解：由图示知，小海第一步截取线段B′C′＝BC，第二步作线段C′A′＝CA，判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的依据是HL；小华第一步截取线段B′A′＝BA，第二步作线段B′C′＝BC，判定方法为SAS． 选项D表述为“小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长”，错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了用圆规作图和全等三角形判定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 31．（2025秋•玉溪期末）如图，已知∠B＝∠D＝90°，利用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ADC全等，则添加的条件应该是（　　） A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．AC＝AC D．∠ACB＝∠ACD 【考点】直角三角形全等的判定． 【分析】已知AC＝AC，∠B＝∠D＝90°，根据直角三角形全等的判定方法HL即可确定答案． 【解答】解：∵∠B＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）． 综上所述，判定Rt△ABC与Rt△ADC全等，则添加的条件应该是AB＝AD， 故选：A． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握HL是解题的关键． 32．（2025秋•陕西校级期末）如图，在Rt△ABC和Rt△DCF中，点B、D、C在同一条直线上，∠B＝∠DCF＝90°，AB＝DC．若添加一个条件后可用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCF，则添加的条件可以是AC＝DF ． 【考点】直角三角形全等的判定． 【分析】根据HL进行判断作答即可． 【解答】解：由题意知，添加的条件为AC＝DF， 在Rt△ABC和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCF（HL）， 故答案为：AC＝DF． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 33．（2025秋•潮州期末）如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：BC＝FE ． 【考点】直角三角形全等的判定． 【分析】由AC＝DE，BC＝FE，即可推出Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），于是得到答案． 【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DFE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）． 故答案为：BC＝FE． 【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法． 34．（2024秋•吐鲁番市期末）如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，若要根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DFE，则需添加的一个条件可以是 DE＝AC（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的判定． 【分析】根据直角三角形的判定方法解答即可． 【解答】解：添加DE＝AC，∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即EF＝CB， 在Rt△ABC与Rt△DFE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）． 故答案为：DE＝AC（答案不唯一）． 【点评】此题考查直角三角形的判定，关键是根据HL证明Rt△ABC≌Rt△DFE解答． 35．（2025秋•普陀区校级月考）如图，AB⊥AF，CD⊥DE，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE． 【考点】直角三角形全等的判定． 【分析】利用HL进行判定． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∵BF＝BE+EF，CE＝CF+EF， ∴BF＝CE， ∵AB⊥AF，CD⊥DE， ∴∠A＝∠D＝90°（垂直的定义）， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）． 【点评】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE＝CF推出BF＝CE． 36．（2024秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC于D，EC⊥BC于点C，且AB＝BE，CD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）求证：Rt△ABD≌Rt△BEC． 【考点】直角三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质． 【分析】（1）通过证明△ADB≌△ADC得到AB＝AC； （2）利用“HL”证明Rt△ABD≌Rt△BEC． 【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（ASA）， ∴AB＝AC； （2）∵△ADB≌△ADC， ∴BD＝CD， ∵CD＝CE， ∴BD＝CE， ∵EC⊥BC， ∴∠BCE＝90°， 在Rt△ABD和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△BEC（HL）． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．也考查了等腰三角形的判定与性质． 37．（2024秋•内黄县期末）如图，AB＝AC，D、E分别是AC、AB上的点，M、N分别是CE、BD上的点，若AM⊥CE、AN⊥BD，AM＝AN，求证：Rt△ABN≌Rt△ACM． 【考点】直角三角形全等的判定． 【分析】利用“HL”证明全等即可． 【解答】证明：∵如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，M、N分别是CE、BD上的点，AM⊥CE、AN⊥BD， ∴∠ANB＝∠AMC＝90°（垂直的定义）， 在Rt△ABN和Rt△ACM中， ， ∴Rt△ABN≌Rt△ACM（HL）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 38．（2026秋•扶绥县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，AE是边BC上的高，点F在AD上且AF＝3DF，FG⊥BC于点G． （1）若∠B＝∠BAD，∠C＝60°，求∠DFG的度数； （2）若AE＝8．求FG的长． 【考点】直角三角形斜边上的中线；含30度角的直角三角形． 【分析】（1）根据直角三角形性质推出∠BAD＝∠B＝30°，∠CAE＝30°，进而推出∠DAE，再结合垂线定义，以及直角三角形性质推出∠ADE，进而即可求出∠DFG的度数； （2）连接BF，设CD＝x，利用三角形中线性质得到S△ADB＝S△ADC＝4x，再根据三角形等高，面积比等于底边之比，推出，S△BDF＝x，最后结合三角形面积公式求解，即可解题． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠C＝60°， ∴∠B＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°， ∵∠B＝∠BAD， ∴∠BAD＝30°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝∠AED＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠CAE＝30°， ∴∠ADE＝60°， ∵FG⊥BC， ∴∠FGD＝90°， ∴∠DFG＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°． （2）连接BF， 设CD＝x， ∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD＝x， ∵AE＝8， ∴， ∵AF＝3DF， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得FG＝2． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【考点4】创新及压轴题（第39-43题） · 综合运用性质 · 角平分线+高+中线组合 · 折叠与旋转综合 39．（2026春•朝阳区校级期中）【感知】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．若∠B＝40°，则∠CFE＝ 　65　 °，∠CEF＝ 　65　 °． 【探究】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF． 【拓展】如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝α，则∠CEF的大小为 　　 （用含α的代数式表示）． 【考点】直角三角形的性质；列代数式；三角形的外角性质． 【分析】（1）先求得∠CAB＝50°，∠ACD＝40°，，再结合三角形的外角的性质可得结论； （2）先证明∠B＝∠ACD，∠CAF＝∠DAF，再结合三角形的外角的性质可得结论； （3）先求解∠GAB＝90°+α，结合角平分线可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝40°， ∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°，∠ACD＝90°﹣50°＝40°， ∵AE是角平分线， ∴， ∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD＝65°，∠CEF＝∠DAF+∠B＝65°， 故答案为：65，65； （2）证明：∵∠ACB＝90°，CD是高， ∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∵AE是角平分线， ∴∠CAF＝∠DAF， ∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD，∠CEF＝∠DAF+∠B， ∴∠CEF＝∠CFE； （3）解：∵∠ACB＝90°， ∴∠GAB＝∠B+∠ACB＝90°+α， ∵AF为∠BAG的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，列代数式，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质解题是关键． 40．（2026春•市中区期末）定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”． （1）如图1，Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，请在图中画出“和谐分割线”，与Rt△ABC一边交于点D，则　△ABD 是等腰三角形，底角为　30　 度． （2）如图2，在△ABC中，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，若△ACD是等腰三角形，∠A＝42°，求∠B的度数． 【考点】直角三角形的性质；等腰三角形的性质． 【分析】（1）作∠CAB的平分线AD交BC于点D，根据三角形内角和得到∠CAD＝∠DAB＝30°，可知△ACD的三个内角与△ABC的三个内角相等，根据∠DAB＝∠B可知△ABD是等腰三角形，则AD是“和谐分割线”； （2）分三种情况根据“和谐分割线”的定义计算即可． 【解答】解：（1）作∠CAB的平分线AD交BC于点D， ∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠CAB＝60°， ∴∠CAD＝∠DAB＝30°， ∵∠ADC＝60°， ∴△ACD的三个内角与△ABC的三个内角相等， ∵∠DAB＝∠B＝30°， ∴AD＝BD， ∴△ABD是等腰三角形， ∴AD是“和谐分割线”， 故答案为：△ABD，30； （2）如图，分三种情况： ①当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°， ∵CD是△ABC的“和谐分割线”， ∴∠ACB＝∠BDC＝84°， ∴∠B＝180°﹣42°﹣84°＝54°； ②当DA＝AC时， ∵∠A＝42°， ∴∠ACD＝∠ADC＝69°， ∵CD是△ABC的“和谐分割线”， ∴∠BCD＝∠A＝42°， 则∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝111°， ∴∠B＝27°； ③当AC＝DC时，∠ADC＝∠A＝42°，则∠BDC＝180°﹣42°＝138°＝∠ACB， 那么∠B＝180°﹣42°﹣138°＝0°（舍去）， 故∠B的度数为54°或27°． 【点评】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 41．（2026春•平顺县期末）在数学社团的手工课上，老师给每位同学发了一张直角三角形纸片ABC，其中∠C＝90°．小明想通过折叠，在纸片上折出一个对称的图形．他先在边AB上取一点D，在边AC上取一点E，然后将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，如图所示． （1）如图1，若小明测得∠CEF＝26°，则∠AED＝ 　103　 °； （2）如图2，DF交AC于点O，∠BDF的平分线交线段BC于点G，若BC∥DF，求证：∠ADG＝∠DEF． （3）已知∠B＝α且α＞45°，∠BDF的平分线交射线BC于点G，当△FDE的一条边与BC平行时，直接写出∠BDG的度数（用含α的代数式表示）． 【考点】直角三角形的性质；列代数式；平行线的性质． 【分析】（1）由折叠可得∠DEF＝∠DEA，设∠DEC＝x，再由邻补角互补建立方程求解即可； （2）先证明∠2+∠3＝90°，然后利用折叠的性质以及三角形的外角证明即可； （3）分三种情况作出图形，然后根据折叠的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【解答】（1）解：由折叠可得，∠DEF＝∠DEA， 设∠DEC＝x，则∠DEF＝∠DEA＝∠CEF+∠DEC＝26°+x ∵∠DEA+∠DEC＝180°， ∴26°+x+x＝180°， 解得x＝77°， ∴∠AED＝77°+26°＝103°； 故答案为：103°； （2）证明：如图， 由折叠可得，∠1＝∠2，∠DEF＝∠DEA， ∵DG平分∠BDF， ∴∠3＝∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2+∠3＝∠EDG＝90°， ∴∠ADG＝∠1+∠2+∠3＝90°+∠1， ∵∠C＝90°，BC∥DF， ∴∠AOD＝∠C＝90°， ∵∠DEA＝∠2+∠AOD＝90°+∠2， ∴∠DEF＝90°+∠2， ∴∠ADG＝∠DEF； （3）解：同（2）可得，∠EDG＝90°， 当EF∥BC时，∠FEC＝∠ACB＝90°， ∴∠AEF＝90°， 由折叠可得，∠DEF＝∠DEA， ∵∠DEF+∠DEA+∠AEF＝360°， ∴∠DEA＝∠DEF＝135°， ∵∠ACB＝90°，∠B＝α， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠DEA＝180°﹣（90°﹣α）﹣135°＝α﹣45°， ∴∠BDG＝180°﹣∠ADE﹣∠EDG＝180°﹣（α﹣45°）﹣90°＝135°﹣α； 当DF∥BC时，则∠ADF＝∠B＝α， ∴由折叠可得，， ∵∠EDG＝90°， ∴； 当DE∥BC时，则∠ADE＝∠B＝α， ∴∠BDG＝180°﹣∠ADE﹣∠EDG＝90°﹣α， 综上：∠BDG的度数为135°﹣α或或90°﹣α． 【点评】本题考查平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 42．（2026秋•同步）将两个全等的直角△ABC和△DBE（顶点A、B的对应点分别为D、B）按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在边AB上，DE所在的直线交AC所在的直线于点F． （1）求证：AF+EF＝DE； （2）若将图中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，其中0°＜α＜60°，其他条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？直接写出结论． （3）若将图中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由． 【考点】几何变换综合题． 【分析】（1）连接BF，根据HL证明Rt△BCF≌Rt△BEF，进而得出答案； （2）延长DE交AC于点F，连接BF，根据HL证明Rt△BCF≌Rt△BEF，进而得出答案； （3）连接BF，根据HL证明Rt△BCF≌Rt△BEF，进而得出答案． 【解答】（1）证明：∵△DBE≌△ABC， ∴BE＝BC，DE＝AC． 在Rt△BCF和Rt△BEF中， ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴CF＝EF， ∴AF+EF＝AC＝DE． （2）解：结论依然成立：AF+EF＝DE． 如图所示，延长DE交AC于点F，连接BF， ∵△DBE≌△ABC， ∴BE＝BC，DE＝AC． 在Rt△BCF和Rt△BEF中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴EF＝CF， ∴AF+EF＝AC＝DE； （3）解：结论：DE+EF＝AF． 理由：如图， ∵△DBE≌△ABC， ∴BE＝BC，DE＝AC． 在Rt△BCF和Rt△BEF中， ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴CF＝EF． ∴AF＝AC+CF＝DE+EF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 43．（2026春•双阳区期末）阅读下列材料并解答问题： 定义：如果两个角的差是30度，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如α＝72°，β＝42°，α﹣β＝30°，则α，β互为“黄金角”，即α是β的“黄金角”，β也是α的“黄金角”． （1）已知∠1与∠2互为“黄金角”，且∠1＞∠2，若∠1与∠2互余，则∠1为　60　 °． （2）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，过点C作AB的平行线CF，作∠CAB的平分线AD，AD分别交CB、CF于D、E两点． ①若∠B＞∠AEC，且∠B与∠AEC互为“黄金角”，则∠B的度数为　50　 ． ②如图，若CG为△ABC的AB边上的高，垂足为G，∠AEC＝20°，判断∠DCG与∠CDA是否互为“黄金角”，请说明理由． 【考点】直角三角形的性质；余角和补角；平行线的性质． 【分析】（1）由黄金角的概念得到∠1﹣∠2＝30°，又∠1+∠2＝90°，求出∠1＝60°， （2）①由平行线的性质推出∠BAD＝∠AEC，由角平分线的定义得到∠BAD∠BAC，由黄金角的概念得到∠B∠BAC＝30°，由直角三角形的性质得到∠B+∠BAC＝90°，求出∠B＝50°； ②由平行线的性质推出∠DAB＝∠AEC＝20°，由角平分线的定义得到∠CAB＝2∠DAB＝40°，求出∠B＝50°，由三角形的外角性质得到∠CDA＝∠B+∠DAB＝70°，求出∠DCG＝40°，得到∠CDA﹣∠DCG＝30°，于是得到∠DCG与∠CDA互为黄金角． 【解答】解：（1）∵∠1与∠2互为黄金角，∠1＞∠2， ∴∠1﹣∠2＝30°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝60°， 故答案为：60． （2）①∵AB∥CF， ∴∠BAD＝∠AEC， ∵AE平分∠CAB， ∴∠BAD∠BAC， ∵∠B＞∠AEC，且∠B与∠AEC互为“黄金角”， ∴∠B﹣∠AEC＝30°， ∴∠B∠BAC＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∴∠B＝50°， 故答案为：50°． ②∠DCG与∠CDA互为“黄金角”，理由如下： ∵CF∥AB， ∴∠DAB＝∠AEC＝20°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAB＝2∠DAB＝40°， ∵∠BCA＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°， ∴∠CDA＝∠B+∠DAB＝50°+20°＝70°， ∵CG为高， ∴∠CGA＝90°， ∴∠GCA＝90°﹣40°＝50°， ∴∠DCG＝90°﹣50°＝40°， ∴∠CDA﹣∠DCG＝30°， ∴∠DCG与∠CDA互为“黄金角”． 【点评】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质，余角和补角，黄金角，关键是掌握“黄金角”的定义，直角三角形的性质． 💯 课后巩固 复习建议 · 直角三角形两锐角互余，同角的余角相等是角度计算的基础 · 看到直角三角形斜边中点，立刻连接中线，利用中线=斜边一半 · HL判定仅适用于直角三角形，书写时要写明Rt△ · 折叠问题抓住折叠前后对应边相等、对应角相等 · 双直角三角形共斜边时，连接斜边中点是常用辅助线 【作业1】（2025秋•普陀区期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边上的中线，那么下列结论中错误的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ECB＝∠A﹣∠ECD C．∠ACD＝∠ECB D．∠ECB＝∠DCE 【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质；直角三角形的性质． 【分析】由余角的性质推出∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A，得到∠ECB＝∠A﹣∠ECD，由直角三角形斜边中线的性质推出CE＝BE，得到∠B＝∠BCE，即可得到∠ACD＝∠ECB，如果∠ECB＝∠DCE，求出∠ACD＝30°，但∠ACD不一定等于30度． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， 故A不符合题意； ∵∠BCD+∠ACD＝∠A+∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠A， ∵∠ECB＝∠BCD﹣∠DCE， ∴∠ECB＝∠A﹣∠ECD， 故B不符合题意； ∵CE是Rt△ABC斜边的中线， ∴CEAB， ∴CE＝BE， ∴∠B＝∠BCE， ∵∠ACD＝∠B， ∴∠ACD＝∠ECB， 故C不符合题意； 如果∠ECB＝∠DCE， ∵∠ACD＝∠BCE， ∴∠ECB＝∠DCE＝∠ACD， ∵∠ECB+∠DCE+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝30°，但∠ACD不一定等于30度， 故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 【作业2】（2024秋•浦东新区校级期末）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，AD与BC相交于点F，∠CDE＝56°，则∠DCE的度数是（　　） A．56° B．62° C．63° D．72° 【考点】直角三角形斜边上的中线；对顶角、邻补角；等腰三角形的判定与性质． 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得EC＝ED，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴△ACB和△ADB均为直角三角形， ∵E为AB的中点， ∴， ∵∠CDE＝56°， ∴∠DCE＝∠CDE＝56°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的判定与性质，对顶角、邻补角，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 【作业3】（2025秋•闵行区月考）在直角三角形中，斜边及其中线之和等于12cm，那么斜边长是（　　）cm． A．3 B．4 C．6 D．8 【考点】直角三角形斜边上的中线． 【分析】设斜边的长为xcm，根据直角三角形斜边上的中线的性质可知，斜边上的中线长度为 cm，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【解答】解：设斜边的长为xcm，根据直角三角形斜边上的中线的性质可知，斜边上的中线长度为 cm， ∵斜边及其中线之和等于12cm， ∴， 解得：x＝8， 即斜边长是8cm， 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线为斜边的一半是解此题的关键． 【作业4】（2024秋•闵行区期中）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF 【考点】直角三角形全等的判定． 【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（SAS），故本选项不符合题意； B．∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠DEF，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS），故本选项不符合题意； C．∵BA∥EF， ∴∠A＝∠ACF， 由AB＝DE，∠B＝∠DEF不能推出Rt△ABC≌Rt△DEF，故本选项不符合题意； D．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AC＝DF，AB＝DE，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定定理，能熟记直角三角形的判定定理（三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL）是解此题的关键． 【作业5】（2024秋•嘉定区校级期中）如图，在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，联结PM、PN、MN、以下是甲、乙两位同学得到的研究结果： （甲）当M为AC中点时，△ABC为等边三角形； （乙）△PMN为等边三角形． 对于甲、乙两位同学的结论，下列判断正确的是（　　） A．甲正确乙错误 B．甲错误乙正确 C．甲、乙皆正确 D．甲、乙皆错误 【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质． 【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AB＝BC，再根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断甲； 先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM＝∠ACN＝30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM＝60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM＝120°，从而得到∠MPN＝60°，又由①得PM＝PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断乙． 【解答】解：当M为AC中点时， ∵BM⊥AC于点M， ∴BM垂直平分AC， ∴AB＝BC， ∵∠A＝60°， ∴△ABC为等边三角形， 故甲正确，符合题意； ∵∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N， ∴∠ABM＝∠ACN＝90°﹣60°＝30°， 在△ABC中，∠BCN+∠CBM＝180°﹣60°﹣30°×2＝60°， ∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB， ∴PM＝PNBC＝PB＝PC， ∴∠BPN＝2∠BCN，∠CPM＝2∠CBM， ∴∠BPN+∠CPM＝2（∠BCN+∠CBM）＝2×60°＝120°， ∴∠MPN＝60°， ∴△PMN是等边三角形， 故乙正确，符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定等知识，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键． 【作业6】（2026春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠CAE＝∠BAD＝56°，BC＝DE，则∠ABD的度数为　62　 °． 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理． 【分析】根据题意可得∠CAB＝∠EAD，进而证明△ABC≌△ADE，则AB＝AD，可得∠ABD＝∠ADB，再利用三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵∠CAE＝∠BAD＝56°，且∠BAE＝∠BAE， ∴∠CAB＝∠EAD， 又∵∠ACB＝∠AED＝90°，BC＝DE， ∴△ABC≌△ADE（AAS）， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB． ∵∠BAD＝56°， ∴， 故答案为：62． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理和等边对等角，证明三角形全等是解决本题的关键． 【作业7】（2026春•浦东新区校级月考）如图，△ABC的面积为2cm2．AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P．则△PBC的面积是　1cm2 ． 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的角平分线、中线和高． 【分析】如图所示，延长AP交BC于点E，可证△ABP≌△EBP（ASA），得到BP，CP分别为△ABE，△ACE的中线，由三角形中线平分三角形面积的计算即可求解． 【解答】解：如图所示，延长AP交BC于点E， ∵AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P， ∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠EPB＝90°，且BP＝BP， 在△ABP和△EBP中， ， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝EP，即点P是AE的中点， ∴BP，CP分别为△ABE，△ACE的中线， ∴， ∵S△PBC＝S△BPE+S△CPE，， ∴． 故答案为：1cm2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的角平分线、中线和高，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 【作业8】（2026春•上海校级月考）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，那么∠1+∠2＝　270　 °． 【考点】直角三角形的性质． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA 的度数，再根据邻补角的定义即可求解． 【解答】解：由条件可知∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠C＝90°， 由图可知，∠1 与∠CAB 互为邻补角，∠2 与∠CBA 互为邻补角， ∴∠1＝180°﹣∠CAB，∠2＝180°﹣∠CBA， ∴∠1+∠2＝（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠CBA） ＝360°﹣（∠CAB+∠CBA） ＝360°﹣90° ＝270°． 故答案为：270． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【作业9】（2025秋•长宁区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD是边BC上的中线．点E在线段CD上，AB＝EB，如果∠B＝40°，那么∠DAE的度数为　30°　 ． 【考点】直角三角形斜边上的中线． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到ADBC＝DB，根据等腰三角形的性质求出∠DAB，再根据三角形内角和定理求出∠BAE，计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD是边BC上的中线， 则ADBC＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝40°， ∵AB＝EB，∠B＝40°， ∴∠BAE＝∠BEA（180°﹣40°）＝70°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠DAB＝70°﹣40°＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 【作业10】（2025秋•松江区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，如果∠B＝2∠BCD，那么∠A＝　30°/30度　 ． 【考点】直角三角形的性质；三角形内角和定理． 【分析】根据高线的定义得到∠CDB＝90°，即∠B+∠BCD＝90°，根据∠B＝2∠BCD求出∠BCD＝30°，即∠B＝2∠BCD＝60°，根据三角形内角和定理即可求出∠A＝30°． 【解答】解：∵CD是斜边上的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∵∠B＝2∠BCD， ∴2∠BCD+∠BCD＝90°， ∴∠BCD＝30°， ∴∠B＝2∠BCD＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴如果∠B＝2∠BCD，那么∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°． 故答案为：30°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业11】（2024秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，CD＝AE． （1）求证：点D在线段CE的垂直平分线上． （2）①当点D是BC的中点时，求∠B； ②当CD＝5，BD＝6，求CE． 【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的角平分线、中线和高；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质． 【分析】（1）连接DE，过点E作ED⊥BD于点H，依题意得ED是Rt△ABD斜边AB上的中线，则ED＝AE＝BEAB，根据CD＝AE得ED＝CD，然后根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）①根据BD＝CD，DE＝BE＝CD得△BDE是等边三角形，由此可得出∠B的度数； ②由（1）可知ED＝BE＝CD＝5，根据EH⊥BD得BH＝DHBD＝3，在Rt△EHD中，由勾股定理求出EH＝4，进而在Rt△EHC中，由勾股定理求出CE即可． 【解答】（1）证明：连接DE，过点E作EH⊥BD于点H，如图所示： 在△ABC中，AD是BC边上的高， ∴△ABD是直角三角形， ∵CE是AB边上的中线， ∴ED是Rt△ABD斜边AB上的中线， ∴ED＝AE＝BEAB， ∵CD＝AE， ∴ED＝CD， ∴点D在线段CE的垂直平分线上； （2）①解：∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 又∵DE＝BE＝CD， ∴BD＝DE＝BE， ∴△BDE是等边三角形， ∴∠B＝60°； ②解：∵CD＝5，BD＝6， 由（1）可知：ED＝BE＝CD＝5， ∴△EBD是等腰三角形， 又∵EH⊥BD， ∴BH＝DHBD＝3， 在Rt△EHD中，由勾股定理得：EH4， 在Rt△EHC中，CH＝DH+CD＝3+5＝8， 由勾股定理得：CE． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性是解决问题的关键． 【作业12】（2025秋•闵行区校级月考）已知，如图：△ABC中AD为△BAC的中线，AE是△ADC的中线． （1）如果DA＝DB＝DC，求证∠BAC＝90°； （2）如果BD＝DC＝AC，求证：AB＝2AE． 【考点】直角三角形斜边上的中线． 【分析】（1）利用DA＝DB、DA＝DC得等腰三角形，结合三角形内角和证∠BAC＝90°； （2）延长AE构造全等三角形，利用BD＝DC＝AC证全等得对应边相等． 【解答】（1）证明：∵DA＝DB， ∴∠B＝∠BAD； ∵DA＝DC， ∴∠C＝∠CAD； ∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD＝180°， ∴2（∠BAD+∠CAD）＝180°， 即2∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝90°． （2）证明：延长AE至F，使EF＝AE，连接CF． 由条件可知DE＝CE； 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（SAS）， ∴AD＝FC，∠ADE＝∠FCE； 由DC＝AC得：∠ADE＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠FCE， 由条件可知∠ADB＝∠FCA； 在△ABD和△CFA中， ， ∴△ABD≌△FAC（SAS）， ∴AB＝AF＝2AE． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用等腰三角形的等边对等角及全等三角形的对应边相等进行推导． 【作业13】（2025秋•黄浦区校级月考）如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，连接DE，CE，CD． （1）求证：DE＝CE． （2）若∠CAB＝25°，∠DBA＝35°，则∠DEC＝　60　 °． 【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质． 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论； （2）根据直角三角形的性质得到DE＝AE＝BE＝CE，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠ACE，∠DBA＝∠BD，由已知可得出∠ACE＝25°，∠BDE＝35°，根据三角形的外角性质得到∠BEC＝50°，∠AED＝70°，由平角性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点， ∴， ∴DE＝CE； （2）解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点， ∴DE＝AE＝BE＝CE， ∴∠CAB＝∠ACE＝25°，∠DBA＝∠BDE＝35°， ∵∠CAB＝25°，∠DBA＝35°， ∴∠ACE＝25°，∠BDE＝35°， ∴∠BEC＝∠CAB+∠ACE，∠AED＝∠DBA+∠BDE， ∴∠BEC＝50°，∠AED＝70°， ∴∠DEC＝180°﹣∠AED﹣∠BEC＝60°． 故答案为：60． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【作业14】（2024•虹口区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得DB＝CB，过点A、D分别作AE∥BC，DE∥BA，AE与DE相交于点E，联结BE． （1）求证：BE⊥CD； （2）联结AD交BE于点F，联结CE交AD于点G．如果∠FBA＝∠ADB，求证：AGAB． 【考点】直角三角形斜边上的中线；平行线的性质． 【分析】（1）先证明四边形ABDE是平行四边形，再证明四边形ACBE是矩形即可解决问题． （2）令BE长为2a，根据∠FBA＝∠ADB，得出它们的正切值也相等，进而可用a表示出AE，最后再利用相似三角形及勾股定理，用a分别表示出AG和AB即可解决问题． 【解答】证明：（1）∵AE∥BC，DE∥BA， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE＝BD， 又∵BD＝BC， ∴AE＝BC， ∴四边形ACBE是平行四边形． 又∵∠C＝90°， ∴四边形ACBE是矩形， ∴∠EBC＝90°， 即BE⊥CD． （2）如图所示， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴EF＝BF，AF＝DF． 令BF＝EF＝a， ∵∠FBA＝∠ADB， ∴tan∠FBA＝tan∠ADB， ∴． ∵AE＝BD， ∴AE2＝2a2， ∴AE， 则BD＝BC＝AE． ∵AE∥CD， ∴△AEG∽△DCG， ∴． 在Rt△DBF中， DF， ∴AD， ∴AG． 在Rt△ABC中， AB， ∴， 即AG． 【点评】本题考查平行线的性质及矩形的判定和性质，熟知矩形的判定和性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【作业15】（2025秋•嘉荫县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．且DF＝DB． （1）求证：△CFD≌△EBD； （2）若∠BAC＝40°，求∠AFD的度数； 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 【分析】（1）根据角平分线性质得CD＝ED，然后依据“HL”即可判定△CFD和△EBD全等； （2）先求出∠B＝90°﹣∠BAC＝50°，再根据△CFD≌△EBD得∠CFD＝∠B＝50°，邻补角定义可得∠AFD的度数． 【解答】（1）证明：∵AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝ED， 在△CFD和△EBD中， ， ∴△CFD≌△EBD（HL）； （2）解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣40°＝50°， ∵△CFD≌△EBD， ∴∠CFD＝∠B＝50°， ∴∠AFD＝180°﹣∠CFD＝180°﹣50°＝130°． 【点评】此题主要考查了角平分线性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【作业16】（2026春•新余期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM 交AB于点E，PN交CD于点F． （1）当△PMN在如图1所示的位置时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系． （2）当△PMN在如图2所示的位置时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°， （3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝20°，∠PEB＝30°，求∠N的度数． 【考点】直角三角形的性质；平行线的性质． 【分析】（1）作PH∥AB，又AB∥CD，根据平行线的性质、对顶角相等解答； （2）根据平行线的性质、三角形的外角的性质计算； （3）利用（2）的结论、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：（1）∠PFD与∠AEM的数量关系为∠PFD+∠AEM＝90°． 如图①，过点P作PH∥AB， ∵AB∥CD， ∴PH∥CD， ∴∠PFD＝∠NPH，∠AEM＝∠HPM， ∵∠MPN＝90°， ∴∠NPH+∠HPM＝90° ∴∠PFD+∠AEM＝90°． （2）证明：设PN与AB相交于点G，如图②， ∵AB∥CD， ∴∠PFD＝∠PGB， ∵∠PGB﹣∠PEB＝90°，∠PEM＝∠AEM， ∴∠PFD﹣∠AEM＝90°． （3）如图②，∵∠PEB＝30°，∠P＝90°， ∴∠PFD＝∠PGB＝∠P+∠PEB＝120°， ∴∠OFN＝∠PFD＝120°， ∵∠DON＝20°，∠OFN+∠DON+∠N＝180°， ∴∠N＝180°﹣∠OFN﹣∠DON＝180°﹣120°﹣20°＝40°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用、三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形内角和定理、正确作出辅助线是解题的关键． 【作业17】（2026春•海淀区校级期末）已知，在△AOB中，∠AOB＝90°，AC，BC分别平分∠BAO与∠ABO． （1）如图1，当∠BAO＝40°时，则∠ABC＝　25°　 ； （2）如图2，延长AC与OB交于点D，过C作CE∥OB交AB于点E，用等式表示∠ADO与∠BCE的数量关系，并证明； （3）如图3，△AOB的外角平分线ON与AC的延长线交于点N，过点A作AM⊥AN交ON的反向延长线于点M，∠M＞∠N．在△AMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠BAO的度数． 【考点】直角三角形的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质． 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理确定∠ABO＝50°，再根据角平分线的定义求解即可； （2）首先根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，，，再由三角形内角和定理可得∠BAO＝90°﹣∠ABO，然后根据三角形外角的定义和性质，即可确定答案； （3）首先确定∠BON＝45°，∠N＜∠M＜∠MAN，然后分∠MAN＝3∠N、∠M＝3∠N和∠MAN＝3∠M三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BAO＝40°， ∴∠ABO＝180°﹣∠AOB﹣∠BAO＝180°﹣90°﹣40°＝50°， ∵BC平分∠ABO， ∴； 故答案为：25°； （2）∠ADO＝45°+∠BCE，证明如下： ∵BC平分∠ABO， ∴， ∵CE∥OB， ∴， ∵AC平分∠BAO， ∴， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BAO＝180°﹣∠AOB﹣∠ABO＝90°﹣∠ABO， ∴∠ADO＝∠ABO+∠BAD ＝45°+∠BCE； （3） ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOK＝180°﹣∠AOB＝90°， ∵ON平分∠BOK， ∴， ∵AM⊥AN， ∴∠MAN＝90°， ∵∠M＞∠N，且∠M+∠N＝180°﹣∠MAN＝90°， ∴∠N＜∠M＜∠MAN， 当∠MAN＝3∠N时，则， ∴∠ADO＝∠N+∠BON＝30°+45°＝75°， ∴∠DAO＝180°﹣∠ADO﹣∠AOB＝15° ∴∠BAO＝2∠DAO＝30°； 当∠M＝3∠N时，则∠M+∠N＝3∠N+∠N＝90°， ∴∠N＝22.5° ∴∠ADO＝∠N+∠BON＝22.5°+45°＝67.5°， ∴∠DAO＝180°﹣∠ADO﹣∠AOB＝22.5° ∴∠BAO＝2∠DAO＝45°； 当∠MAN＝3∠M时，则， ∴∠N＝90°﹣∠M＝60°， ∴∠N＞∠M，不合题意，舍去． 综上所述，∠BAO的度数为30°或45°． 【点评】本题考查直角三角形的性质，正确进行计算解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题22.1直角三角形的性质与判定 优等生讲义2026-2027沪教版（五四制）数学八年级上册 思维导图 两锐角互余 斜边中线定理 课程目标 30°角性质 HL判定 综合应用 女1.直角三角形的性质 知识梳理 女2直角三角形斜边中线 女3.直角三角形全等的判定 专题22.1直角 三角形的性质与判定 【考点1】直角三角形的性质 【考点2】直角三角形斜边中线 核心考点 【考点3】直角三角形全等的判定 【考点4】创新及压轴题 两锐角互余 连斜边中线 复习建议 HL先证直角 折叠找等量 共斜边连中点 课程目标 掌握直角三角形两锐角互余的性质 ·掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ·掌握含30°角的直角三角形的性质 ·掌握直角三角形全等的HL判定定理 。 能综合运用直角三角形性质解决角度计算和证明问题 知识梳理 第1页（共19页） ☆1.直角三角形的性质 y 直角三角形两锐角互余：∠A+∠B=90° 2. 直角三角形斜边上的高分原三角形为两个小直角三角形 3. 同角的余角相等：∠A=∠BCD(CD为高) 4. 30°角所对的直角边等于斜边的一半 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,若∠BCD=25°，求∠A。 解析：∠ACB=90°，CD⊥AB,∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，所以∠A=∠BCD=25° ☆2.直角三角形斜边中线 5. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1 符号表示：CD=2AB(CD为斜边A8中线) 1 推论：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形 8. 应用：遇直角三角形想斜边中线，构造等腰三角形 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，若AB=10,求CD。 解析：CD=2AB5 ☆3.直角三角形全等的判定 9. HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 10. 普通三角形全等判定(SAS/ASA/AAS/SSS)同样适用于直角三角形 11. HL仅适用于直角三角形，书写时要指明Rt△ 12. 应用HL时必须先确认两个三角形都是直角三角形 概念辨析例题：如图，∠B=∠D=90°，要利用HL判定Rt△ABC≌Rt△ADC,需添加什么条件？ 解析：已有公共斜边AC=AC,还需一组直角边相等：AB=AD或BC=DC 自知识总结表 核心定理 内容 应用要点 两锐角互余 ∠A+∠B=90° 角度计算 斜边中线 CD-1AB 见中点想倍分 21 30°角 0对边号斜边 含30°的直角三角形 HL判定 斜边+一直角边 仅直角三角形可用 同角余角相等 ∠A=∠BCD 高+直角三角形 △核心考点 第2页（共19页） 【考点1】直角三角形的性质（第1-13题） ·两锐角互余 ·同角的余角相等 ·30°角性质 ·折叠问题找等量关系 1.(2025秋·青浦区校级同步)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,交 AC于点E.若∠BAD=34°，则∠AEB的度数为() D A.56° B.60° C.62 D.65 2.（2025春·虹口区校级期中)①三角形的角平分线就是三角形内角的平分线： ②三角形的三条高交于一点： ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行： ④直角三角形两锐角角平分线夹角为135度. 以上说法中正确的有()个. A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2025秋虹口区校级期中)在下列条件：①∠A+∠B=∠C:②∠A:∠B:∠C=1:2:3;③∠A E∠B=2∠C:@上A)∠B三32C,⑤∠AE2ZB3∠C中，能确定△ABC为直角己角形的家 件有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 4.(2026春·宽城区期末)如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在AC边 上的点E处，若∠A=21°，则∠BDC等于() A A.42° B.63° C.66 D.76 5.(2025秋·永康市期末)在△ABC中，∠ACB=90°，按如图所示作图.若∠B=Q,则∠AED的度数为 () 第3页（共19页） E D B A.45+3 B.90+20 1 C.135°-1o D.90+a 6.（2025秋·浦东新区校级期末)如图，在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点 D、E,∠ACD=2∠CBE,则∠A的度数为 B E 7.(2025秋·上海校级期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,E是边AC的中点. 如果∠BCD=25°，那么∠CED= B D C 8.(2026春·闵行区校级月考)如图，直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B=60°，∠C=30°，D为边 AC上一点，E为直线BC上一点，将图形沿DE翻折，得到点C的对应点C'(C'位于BC上方)， 如果△DC'E有一边平行于边AB,那么∠DEC= 0. A D C 9.(2026春·杨浦区校级月考)如果△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，则与∠A相等的角是 10.(2025春·金山区期中)如图，己知AB∥CD,△EFG的顶点F、G分别落在直线AB、CD上，GE 交AB于点H,GE平分∠FGD,如果∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数. 解：因为∠E+∠EFG+∠FGE=180°( )， 第4页（共19页） 又因为∠EFG=90°，∠E=35°（已知）， 所以∠FGE= 因为GE平分∠FGD(已知)， 所以∠FGE=∠ (角平分线的意义)· 因为AB∥CD(己知)， 所以∠ =∠EGD(两直线平行，同位角相等)， 所以∠EHB=∠FGE(等量代换)· 所以∠EHB=55°. 因为∠EHB=∠EFB+∠ (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)， 又因为∠E=35°（已知）， 所以∠EFB= B D 11.(2025秋·扶绥县校级月考)在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC,如图，将纸片沿某 条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D,设折痕与AB、AC边分别交于点E、F. C D B 备用图 (1)若∠AFE=55°，求∠CDF的度数； (2)若折叠后的△CDF为等腰三角形，连接AD,求∠ADC的度数： (3)在(2)的条件下，若△BDE也为等腰三角形，求纸片中∠B的度数. 12.(2025秋·龙潭区校级期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC, AD、BE相交于点F (1)若∠CAD=36°，求∠AEF的度数： (2)证明△AEF是等腰三角形， 第5页（共19页） 4 ⊙ 0 C 13.(2025秋·曲靖期末)如图，在△ABC中，AE平分∠BAC,AD是△ABC的高，AE=BE. (1)若∠B=40°，求∠EAD的度数： (2)若∠B为∠EAD的4倍，求∠C的度数. E D 【考点2】直角三角形斜边中线（第14-27题） ·中线=斜边一半 ·双直角三角形共斜边时连接中点 ·遇直角三角形斜边中点连中线 14.(2026春·宝山区校级期末)下列说法中，正确的是() A.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C.等腰三角形一边上的高也是这一边上的中线 D.经过一点有且只有一条直线与己知直线平行 15.(2025秋·金山区校级期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，线段CD、CE分别为△ABC的高 和中线，下列说法中错误的是() D E A.∠A=∠BCDB.∠BCE=∠ACDC.AB=2CE D.∠BCE=∠DCE 16.(2025秋·奉贤区期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，那么下列结论正确 的有() ①∠A+∠DCB=90°；②∠ADC=2∠B;③AB=2CD:④BC=CD, 第6页（共19页） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 17.(2025秋•静安区校级期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果CH、CM分别是斜边上的高 和中线，那么下列结论中错误的是() c B A.∠BCH=∠ACMB.∠ACH=∠B C.∠ACH=∠BCMD.∠ACH=∠MCH 18.(2025秋·浦东新区校级期中)如图，∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，∠CDE=56°，则 ∠DCE的度数是() O A.56° B.62° C.63° D.68 19. (2026春·闵行区校级期中)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CF分别是斜边AB上 的高和中线，CE是∠ACB的平分线，BD=3,BC=5,CD=4,则点B到直线CD的距离为一· B D E ● F C 20.(2026春·宝山区校级期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的中线，若∠B =25°，则∠DAB等于 C D 21.(2025秋·徐汇区校级月考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边BC上一点，P是AD的中 点，若AC的垂直平分线经过点D,DC=&cm,则BP为 第7页（共19页） p B O C 22.(2025秋·浦东新区校级期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边上的一点，点P是 AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D,DC=8,则BP= 23.(2025秋·虹口区校级期末)定义：联结三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角 形分割成两个等腰三角形，则称该线段为原三角形的“双等线”，例如：任意直角三角形斜边上的中 线就是一条过直角顶点的“双等线”.问题解决：已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,如果 Rt△ABC中存在过锐角顶点的“双等线”，则BC的长为 24.(2024秋·浦东新区校级期末)在△ABC中，∠BAC为钝角，AF,CE都是这个三角形的高，P为AC 的中点，若∠B=42°，则∠EPF的度数为 25.(2025秋·浦东新区校级期末)已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点. (1)求证：EF⊥BD: (2)若∠BAD=30°，AC=8,求BD的长. A ●D 26.(2025秋·静安区校级月考)如图，己知在△ABC中，BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,M,N分别 第8页（共19页） 是BC,DE的中点. (1)求证：MN⊥DE: (2)若BC=10,DE=6,求△MDE的周长. D M 27.(2025秋·上海校级月考)如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，AD与CE 交于点M.DG⊥CE,垂足为G.已知：∠B=2∠BCE. (1)求证：DC=BE: (2)如果AC=BC,∠B=60°，求证：S△AMC=2S△DMC. B 【考点3】直角三角形全等的判定（第28-38题） ·HL定理 ·先证直角再用HL 已有斜边相等再找直角边 28.(2025秋•浦东新区校级期末)下列条件中，不能确定一个直角三角形的是() A.己知两条直角边 B.己知一条直角边和斜边 C.已知两个锐角 D.已知一个锐角和斜边 29.(2025秋·上海校级期末)如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，已知∠ACB=∠DFE=90°，且AC= DF.如果只能运用“直角三角形全等的判定定理”判定Rt△ABC≌Rt△DEF,那么需要补充的条件是 () 第9页（共19页） A.∠A=∠D B.AB=DE C.∠B=∠E D.BC=EF 30.(2025秋·上海校级月考)在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC(如图)的卡片，要求学生 们画一个Rt△A'B'C',使得Rt△A'B'C≌Rt△ABC,小海和小华先画出了∠MB'N=90°之后， 后续画图的主要过程分别如图所示.对这两种画法的描述中，错误的是() A A -M M B B B B M B 第 步 第二步 第一步 第二步 小海 小华 A.小海作图判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的依据是直角三角形全等的判定定理 B.小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 C.小华作图判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的依据是SAS D.小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 31.(2025秋·玉溪期末)如图，已知∠B=∠D=90°，利用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ADC全等，则 添加的条件应该是() B O A.AB=AD B.∠BAC=∠DACC.AC=AC D.∠ACB=∠ACD 32.(2025秋·陕西校级期末)如图，在Rt△ABC和Rt△DCF中，点B、D、C在同一条直线上，∠B= ∠DCF=90°，AB=DC.若添加一个条件后可用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCF,则添加的条件可以 是 第10页（共19页） B D 33.(2025秋·潮州期末)如图，在△ABC和△DFE中，∠A=∠D=90°，AC=DE,若要用“斜边、直 角边(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充条件： D B E 34.(2024秋吐鲁番市期末)如图，点E,C在BF上，BE=CF,∠A=∠D=90°，若要根据“HL”判 定Rt△ABC≌Rt△DFE,则需添加的一个条件可以是 (写出一个即可)， D A B E C F 35.(2025秋·普陀区校级月考)如图，AB⊥AF,CD⊥DE,E、F在线段BC上，DE与AF交于点O, 且AB=CD,BE=CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE. B E 36.(2024秋·浦东新区校级期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BC于D,EC⊥BC于点 C,且AB=BE,CD=CE. (1)求证：AB=AC; (2)求证：Rt△ABD≌Rt△BEC. 第11页（共19页） D 37.(2024秋·内黄县期末)如图，AB=AC,D、E分别是AC、AB上的点，MN分别是CE、BD上的 点，若AMLCE、ANLBD,AM=AN,求证：Rt△ABN≌Rt△ACM. E M C 38.(2026秋·扶绥县校级月考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，AE是边BC上的高， 点F在AD上且AF=3DF,FG⊥BC于点G. (1)若∠B=∠BAD,∠C=60°，求∠DFG的度数； (2)若AE=8.求FG的长 A /h B 【考点4】创新及压轴题（第39-43题） 综合运用性质 ·角平分线+高+中线组合 ·折叠与旋转综合 39.(2026春·朝阳区校级期中)【感知】如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是 高，AE、CD相交于点F.若∠B=40°，则∠CFE= °，∠CEF=一. 【探究】如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F.求证： ∠CFE=∠CEF. 第12页（共19页） 【拓展】如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线 交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E,若∠B=,则∠CEF的大小为 (用含a的代数式表示). A B ① ② 40.(2026春·市中区期末)定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中 一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么把这条线段定义为 原三角形的“和谐分割线”· (1)如图1，Rt△ABC,∠C=90°，∠B=30°，请在图中画出“和谐分割线”，与Rt△ABC一边交于 点D,则 是等腰三角形，底角为 度 (2)如图2，在△ABC中，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，若△ACD是等腰三角形，∠A= 42°，求∠B的度数. C B D B 图1 图2 41.(2026春·平顺县期末)在数学社团的手工课上，老师给每位同学发了一张直角三角形纸片ABC,其 中∠C=90°.小明想通过折叠，在纸片上折出一个对称的图形.他先在边AB上取一点D,在边AC上 取一点E,然后将△ADE沿DE翻折，得到△FDE,如图所示. D 图1 图2 备用图1 备用图2 (1)如图1，若小明测得∠CEF=26°，则∠AED= (2)如图2，DF交AC于点O,∠BDF的平分线交线段BC于点G,若BC∥DF,求证：∠ADG= ∠DEF. (3)己知∠B=且>45°，∠BDF的平分线交射线BC于点G,当△FDE的一条边与BC平行时， 第13页（共19页） 直接写出∠BDG的度数（用含a的代数式表示）· 42.(2026秋·同步)将两个全等的直角△ABC和△DBE(顶点A、B的对应点分别为D、B)按如图所示 的方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在边AB上，DE所在的直线交AC 所在的直线于点F (1)求证：AF+EF=DE: (2)若将图中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角a,其中0°<a<60°，其他条件不变，那么(1) 中的结论是否仍然成立？直接写出结论， (3)若将图中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角B,且60°<阝<180°，其他条件不变，你认为 (1)中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系， 并说明理由， B 43.(2026春·双阳区期末)阅读下列材料并解答问题： 定义：如果两个角的差是30度，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金 角”.例如a=72°，阝=42°，a-B=30°，则，B互为“黄金角”，即α是B的“黄金角”，B也是 a的“黄金角”， (1)已知∠1与∠2互为“黄金角”，且∠1>∠2，若∠1与∠2互余，则∠1为 (2)如图，在△ABC中，∠BCA=90°，过点C作AB的平行线CF,作∠CAB的平分线AD,AD分别 交CB、CF于D、E两点， ①若∠B>∠AEC,且∠B与∠AEC互为“黄金角”，则∠B的度数为 ②如图，若CG为△ABC的AB边上的高，垂足为G,∠AEC=20°，判断∠DCG与∠CDA是否互为 “黄金角”，请说明理由。 第14页（共19页） B B F E E D A 备用图 型 课后巩固 复习建议 ·直角三角形两锐角互余，同角的余角相等是角度计算的基础 ·看到直角三角形斜边中点，立刻连接中线，利用中线=斜边一半 HL判定仅适用于直角三角形，书写时要写明Rt△ ·折叠问题抓住折叠前后对应边相等、对应角相等 ·双直角三角形共斜边时，连接斜边中点是常用辅助线 【作业1】(2025秋·普陀区期末)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边上的中线， 那么下列结论中错误的是() B D A.∠ACD=∠B B.∠ECB=∠A-∠ECD C.∠ACD=∠ECB D.∠ECB=∠DCE 【作业2】(2024秋·浦东新区校级期末)如图，∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，AD与BC相交 于点F,∠CDE=56°，则∠DCE的度数是() E A.56° B.62° C.63 D.72° 【作业3】(2025秋·闵行区月考)在直角三角形中，斜边及其中线之和等于12c,那么斜边长是 ()c, A.3 B.4 C.6 D.8 第15页（共19页） 【作业4】(2024秋·闵行区期中)如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上， 点C和点E重合.∠B=∠DEF=90°，AB=DE,若添加一个条件后可用“HL”定理证明 Rt△ABC≌Rt△DEF,添加的条件是() B D C(E) A.BC=EF B.∠BCA=∠F C.BA∥EF D.AC=DF 【作业5】(2024秋·嘉定区校级期中)如图，在△ABC中∠A=60°，BMLAC于点M,CN⊥AB于点 N,P为BC边的中点，联结PM、PN、MN、以下是甲、乙两位同学得到的研究结果： (甲)当M为AC中点时，△ABC为等边三角形： (乙)△PMN为等边三角形. 对于甲、乙两位同学的结论，下列判断正确的是() B A.甲正确乙错误 B.甲错误乙正确 C.甲、乙皆正确 D.甲、乙皆错误 【作业6】(2026春·浦东新区校级月考)如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠CAE= ∠BAD=56°，BC=DE,则∠ABD的度数为°. D B 【作业7】(2026春·浦东新区校级月考)如图，△ABC的面积为2c2.AP垂直于∠ABC的平分线BP于 点P.则△PBC的面积是 第16页（共19页） A B C 【作业8】(2026春·上海校级月考)如图，已知△ABC中，∠C=90°，那么∠1+∠2= A B 【作业9】(2025秋·长宁区校级期末)如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是边BC上的中线.点 E在线段CD上，AB=EB,如果∠B=40°，那么∠DAE的度数为 D 【作业10】(2025秋·松江区期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，如果∠B= 2∠BCD,那么∠A= B D 【作业11】(2024秋·浦东新区校级期末)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中 线，CD=AE. (1)求证：点D在线段CE的垂直平分线上. (2)①当点D是BC的中点时，求∠B: ②当CD=5,BD=6,求CE. 第17页（共19页） G B D 【作业12】(2025秋·闵行区校级月考)已知，如图：△ABC中AD为△BAC的中线，AE是△ADC的中 线. (I)如果DA=DB=DC,求证∠BAC=90°； (2)如果BD=DC=AC,求证：AB=2AE. B D E 【作业13】(2025秋·黄浦区校级月考)如图，∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，连接DE,CE, CD. (1)求证：DE=CE. (2)若∠CAB=25°，∠DBA=35°，则∠DEC= D E B 【作业14】(2024虹口区二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，延长CB至点D,使得DB=CB,过 点A、D分别作AE∥BC,DE∥BA,AE与DE相交于点E,联结BE. (1)求证：BE⊥CD: 2 (2)联结AD交BE于点F,联结CE交AD于点G.如果∠FBA=∠ADB,求证：AG= D 【作业15】(2025秋·嘉荫县期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB 第18页（共19页） 于E,点F在边AC上，连接DF.且DF=DB. (1)求证：△CFD≌△EBD: (2)若∠BAC=40°，求∠AFD的度数： A C D 【作业16】(2026春·新余期末)如图，已知AB∥CD,现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P= 90°，PM交AB于点E,PN交CD于点F. (1)当△PMN在如图1所示的位置时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系， (2)当△PMN在如图2所示的位置时，求证：∠PFD-∠AEM=90°， (3)在(2)的条件下，若MN与CD交于点O,且∠DON=20°，∠PEB=30°，求∠N的度数. M A N 图1 图2 【作业17】(2026春·海淀区校级期末)已知，在△AOB中，∠AOB=90°，AC,BC分别平分∠BAO与 ∠ABO. (1)如图1，当∠BAO=40时，则∠ABC= (2)如图2，延长AC与OB交于点D,过C作CE∥OB交AB于点E,用等式表示∠ADO与∠BCE的 数量关系，并证明； (3)如图3，△AOB的外角平分线ON与AC的延长线交于点N,过点A作AMLAN交ON的反向延长 线于点M,∠M>∠N.在△AMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠BAO的 度数。 第19页（共19页）