专题07 数列（必备知识+23大考点+专练，复习讲义）（上海专用）2026年春季高考数学

该高中数学高考复习讲义聚焦数列专题，覆盖数列概念、等差等比数列、求和方法、数学归纳法及综合应用等核心考点，按“知识体系构建-考点精析突破-实战精练提升”逻辑组织，通过23类题型分类讲解、解题方法步骤分解、近5年高考真题训练，帮助学生系统构建知识网络，突破通项求法、错位相减等难点。 讲义特色在于以新课标核心素养为导向，如在数列求和教学中通过裂项相消步骤分解培养数学思维，结合“邻项变号法”求最值渗透数学眼光。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合考情分析与命题趋势预测，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生数列综合应用与应考能力。

专题07 数列 目录 一、考情分析与命题趋势 二、知识体系构建 知识点1 数列的概念、性质及递推公式表示 4 1．数列的概念 4 2．数列的分类 4 3．数列的两种常用的表示方法 4 4．常用结论 5 知识点2 等差数列及其前n项和 5 1、等差数列的有关概念 5 2．等差数列的有关公式 5 3．常用结论 5 知识点3 等比数列及其前n项和 6 1．等比数列的有关概念 6 2．等比数列的有关公式 7 3．无穷递缩等比数列的各项和公式 7 4．常用结论 7 知识点4 数列求和 8 1. 公式法 8 2. 几种数列求和的常用方法 8 3．常用结论 8 知识点5 数学归纳法及其应用 9 1．证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行 9 2．数学归纳法的框图表示 9 3．数学归纳法证题的关键点 9 知识点6 数列的综合应用 10 1. 等差数列和等比数列比较 10 2. 数列求和 11 三、考点精析与突破 题型一、数列的概念 11 题型二、递增数列与递减数列 15 题型三、有穷数列和无穷数列 19 题型四、数列的通项公式 23 题型五、递推公式 32 题型六、等差数列及其通项公式 38 题型七、等差数列的性质 43 题型八、等差数列的奇偶特性 45 45 题型九、等差数列的前n项和 49 题型十、等差数列an与Sn的关系 53 题型十一、等差数列前n项和的函数特性 55 题型十二、等差数列的简单应用 58 题型十三、等比数列 62 题型十四、等比数列的通项公式4 64 题型十五、等比数列的性质 70 题型十六、等比数列的前n项和 72 题型十七、等比数列前n项和的性质 80 题型十八、等比数列an与Sn的关系 82 题型十九、数列求和 84 题型二十、数列的综合应用 93 题型二十一、数列的极限与无穷等比数列 97 题型二十二、数列新定义 101 题型二十三、数列不等式 108 四、实战精练与提升 一、考试要求 知识点 新课程标准 重点 数列的概念、性质及递推公式表示 1. 理解数列的概念与分类； 2. 掌握数列的表示方法（通项、递推公式）； 3. 熟悉数列的基本性质与常用结论 1. 数列概念的准确区分（与集合、函数的差异）； 2. 递推公式与通项公式的互化； 3. 数列性质的应用 等差数列及其前n项和 1. 理解等差数列的定义与核心概念； 2. 掌握等差数列的通项、前n项和公式； 3. 熟记等差数列的常用结论 1. 等差数列的判定与证明； 2. 通项、前n项和公式的灵活运算（含最值问题）； 3. 等差数列性质的综合应用 等比数列及其前n项和 1. 理解等比数列的定义与核心概念； 2. 掌握等比数列的通项、前n项和公式； 3. 了解无穷递缩等比数列的和； 4. 熟记等比数列的常用结论 1. 等比数列的判定与证明； 2. 通项、前n项和公式的运算（含分类讨论）； 3. 等比数列性质的综合应用 数列求和 1. 掌握公式法求和； 2. 熟悉错位相减、裂项相消等常用求和方法； 3. 熟记求和的常用结论 1. 不同类型数列的求和方法选择（错位相减、裂项相消的适用场景）； 2. 复杂数列的拆分与求和技巧 数学归纳法及其应用 1. 掌握数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤； 2. 理解数学归纳法的框图逻辑； 3. 明确数学归纳法的证题关键点 1. 数学归纳法两步（奠基、递推）的严谨性； 2. 递推步骤中“假设n=k成立”到“n=k+1成立”的推导技巧 数列的综合应用 1. 对比等差数列与等比数列的概念、公式； 2. 掌握数列求和的综合运用 1. 等差、等比数列的综合判定与运算； 2. 数列与函数、不等式结合的综合问题 二、命题分析 数列模块考查信息表 模块 考频 考查内容 命题趋势 数列 2025年第7题、2023年第15题；2024年第7题；2022年第16题、2021年第1题、2021年第21题、2022年第21题 等差数列与等比数列的综合、等差数列的前n项和、数列的应用（含与函数、不等式等综合） 高频考点，小题考查数列基本运算与性质，难度中等，注重对通项、求和公式的熟练掌握；综合题多在解答题中考查，结合函数、不等式等知识，分值高、难度大，强调知识整合与数学思想（分类讨论、递推分析）的渗透 -考查内容及命题趋势表（2021~2025年春考数据） 知识点1 数列的概念、性质及递推公式表示 1．数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项； （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集 ， 为定义域的函数 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值； ：数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要考虑函数的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性。 2．数列的分类 （1）按照项数有限和无限分： （2）按单调性来分： 3．数列的两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 ：①并不是所有的数列都有通项公式： ②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一。 (2)递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号的值,直接代入求出 都可确定一个数列,也都可求出数列的任意一项 递推公式 可根据第1项(或前几项)的值,通过一次(或多次)赋值,依次求出数列的项,直至求出所需的 4．常用结论 （1）若数列 的前 项和为 ，通项公式为 ，则 （2）在数列 中，若 最大，则 若 最小，则 知识点2 等差数列及其前n项和 1、等差数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为 ， 为常数）． ：① 为严格增数列； ② 为严格减数列； ③ 为常数列。 （2）等差中项：数列 a, A, b 成等差数列的充要条件是 ，其中 叫做 a , b 的等差中项。 ：数列 为等差数列 2．等差数列的有关公式 （1）通项公式： 当 时， 是关于 的一次函数； （2）前 项和公式： 当 时， 是关于 $n$ 的二次函数，且没有常数项． 3．常用结论 已知 为等差数列， 为公差， 为该数列的前 项和． （1）通项公式的推广： ； （2）在等差数列 中，当 时， ，且均 。特别地，若 ，则 ，且均 ）； （3） 仍是等差数列，公差为 ，且均 ； （4） 也成等差数列，公差为 ； （5）若 是等差数列，则也是等差数列； （6）若 是等差数列、则 也成等差数列，其首项与 皆项相同。公差是 公差的 （7）项数为偶数 2 n 时的性质 前 2 n 项和：（利用等差数列＂若 ，则 。 奇偶项和的差：（ 为 的公差）。 奇偶项和的比： 。 （8）项数为奇数 时的性质 前 项和：（ 为中间项）。 奇偶项和的差： 。 奇偶项和的比： 。 （9）前 项和的最值判定 －若 （数列递减），则满足 的项数 ，使得 取得最大值。 若 （数列递增），则满足 的项数 ，使得 取得最小值。 :利用通项公式研究和的问题,是一种“降维思维”,立体几何中常用此方法。此处。可简称为”邻项变号法”求等差数列前n项和的最值 知识点3 等比数列及其前n项和 1．等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 表示，定义的表达式为 ； （2）等比中项：如果 a, G, b 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项，即 是 与 的等比中项 成等比数列 ． ：只有当两个项同号且不为 0 时，才有等比中项，且等比中项有两个． 2．等比数列的有关公式 （1）通项公式： ； （2）前 项和公式： = = ：当 时， ，若令 ，则 3．无穷递缩等比数列的各项和公式 4．常用结论 （1）若 、、、、 且均 ，则 ； （2）若 （项数相同）是等比数列，则 仍是等比数列； （3）在等比数列 中，等距离取出若干项依次构成一个等比数列，即 ， 为等比数列，公比为 ； （4） 为等比数列，若 ，则 成等比数列； （5）当 时， 是 成等比数列的充要条件，此时 ； （6）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，等于中间项的平方． 知识点4 数列求和 1. 公式法 （1）等差数列 的前 项和 ．推导方法：倒序相加法．（2）等比数列 的前 项和 推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前 项和： （1） ； （2） ； （3） ． 2. 几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减; (2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前n项和; (3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解; :错位相减时，注意最后一项的符号 (4)倒序相加法:如果一个数列的与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 3．常用结论 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3）; （4） ； （5） ． 知识点5 数学归纳法及其应用 1．证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行 （1）（归纳奠基）证明当 取第一个值 （ 为正整数）时命题成立； （2）（归纳递推）假设 （ 为正整数）时命题成立，证明当 时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立。 2．数学归纳法的框图表示 数学归纳法的框图表示，它是证明与正整数 有关命题的核心方法，流程分为两个关键步骤： 归纳奠基：验证 （如 或其他初始值）时命题成立，这是证明的＂起点＂。 归纳递推：假设 时命题成立，证明 时命题也成立，这是证明的＂传递性＂。 通过这两步，可推导出命题对从 开始的所有正整数 都成立。 3．数学归纳法证题的关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 ，这个 ，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是＂ 1 ＂，因此＂找准起点，奠基要稳＂是第一个关键点； （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从＂＂到＂＂的过程中，要正确分析式子项数的变化。关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由 到 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项； （3）利用假设是核心：在第二步证明 成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设＂ 时命题成立＂作为条件来导出＂＂，在书写 时，一定要把包含 的式子写出来，尤其是 中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。 （4）综合（1），（2）才是完整的数学归纳法． 知识点6 数列的综合应用 1. 等差数列和等比数列比较 等差数列 等比数列 定义 通项公式 判定方法 （1）定义法； （2）中项公式法： 且 为等差数列； （3）通项公式法： 为常数， 且 为等差数列； （4）前 项和公式法： 为常数， 且 为等差数列； （5） 为等比数列，且 ，那么数列 , 且 为等差数列 （1）定义法； （2）中项公式法： 且 为等比数列； （3）通项公式法： 均是不为 0 的常数， 且 为等比数列； （4） 为等差数列 总有意义）为等比数列 性质 （1）若 且均 ，且 ，则 ； （2） ； （3） 仍成等差数列 （1）若 且均 ，且 ，则 ； （2） ； （3）等比数列依次每 项和 ，即 仍成等比数列 前n项和 2. 数列求和 （1）等差数列的前 和的求和公式： ； （2）等比数列前 项和公式： 一般地，设等比数列 的前 项和是 , 当 1 时， ；当 时，（错位相减法）； （3）数列前 项和： ① ② ③ ④ （4）等差数列中， ； （5）等比数列中， 。 题型一、数列的概念（2） 例1数列中，，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】数列的概念及辨析 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】时， 故答案为：0. 例2已知数列满足，，，则数列的前项积的最大值为 ． 【答案】1 【知识点】数列周期性的应用 【分析】根据，判断出是一个周期数列，从而求前项积即可. 【详解】, ，两式相除得：， 所以数列是以3 为周期的周期数列,由，，得： 记数列的前n 项积为 ,结合数列的周期性，，当时, ， ， ， 所以数列的前项积的最大值为1. 故答案为：1 变式1（2024·上海青浦·一模）对于数列，设数列的前 项和为，给出下列两个命题:① 存在函数，使得 ; ② 存在函数，使得 . 则①是②的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、函数关系的判断、反函数的性质应用、数列的概念及辨析 【分析】取特例可知①推不出②，根据反函数可知满足②能推出①，结合充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】取，存在，使得成立， 此时由函数定义知，不存在函数，使得， 当存在函数，使得 成立时， 由于与为一一对应关系，所以就可以写成的反函数， 即可以用表示，即存在函数， 所以存在， 综上可知，①是②的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】关键点点睛：对于新概念问题需要去理解，本题理解了之后，可以根据函数的概念去判断 ①②之间的推出关系得解. 变式2（2024·上海·三模）已知有穷数列的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ． 【答案】144 【知识点】数列的概念及辨析、实际问题中的组合计数问题 【分析】首末项相差11，从首项到末项的运算方法进行分类，结合组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，首项和末项相差11，而任意相邻两项之间满足，， 当时，即后一项与前一项的差均为1，数列的个数为1； 当时，即后一项与前一项的差出现一个2，九个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现两个2，七个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现三个2，五个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现四个2，三个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现五个2，一个1，数列的个数为， 所以符合上述要求的不同数列的个数为. 故答案为：144 【点睛】关键点点睛：按后一项与前一项的差2出现的次数分类是解决本问题的关键. 变式3设是由正整数组成且项数为的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】根据规律填写数列中的某项、根据数列递推公式写出数列的项、数列新定义、求等差数列前n项和 【分析】本题为数列的新定义题，由已知可推出，当时，或，根据，可推出数列前6项，结合题意，应有，，，…，，中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，同理推出数列后6项，即可得出最小值. 【详解】因为数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，，所以， 又是由正整数组成且项数为的增数列，所以或， 当时，，此时， 这与在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得矛盾， 所以，类似地，必有，，，， 由得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合， 要最小，则每项尽可能小，且值要尽量小， 则，， 同理，，，…，，当中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，且满足已知条件. 由对称性得最后6项为，， 则的最小值. 【点睛】对于数列的新定义题，关键在于读懂题意.根据题意，可得出当时，或，根据已知，可推出数列的前6项以及后6项， 进而推得中间项和取的最小值应满足的条件. 题型二、递增数列与递减数列 例1（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 【答案】A 【知识点】确定数列中的最大（小）项、求二次函数的值域或最值 【分析】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，结合二次函数的性质判断即可． 【详解】令，因为，所以当时， 而， 所以当时，即时，取最大值； 因为，且，，因为，所以距离最近， 所以当，即时，取最小值； 所以该数列既有最大项又有最小项， 故选：A． 例2（2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（    ） A．0 B．22 C．26 D．31 【答案】B 【知识点】确定数列中的最大（小）项、数列新定义 【分析】不妨设，要使得取最小值，且各项尽可能小，根据题意，分别列出，，，，，，，满足的不等式组，，得到的最小值，进而求得时，有最小值，即可求解. 【详解】因为，所以互为相反数，不妨设， 要使得取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小， 由题意知，满足，取的最小值为， 则满足，因为，故取的最小值， 满足，因为，，故取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 满足，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 所以， 因为数列的各项均为非零的整数，，所以当时，有最小值22． 故选：B． 变式1（2024·上海宝山·一模）设的三边长分别为、、，面积为（为正整数）．若，其中，，，，则（    ） A．为严格减数列 B．为严格增数列 C．为严格增数列，为严格减数列 D．为严格减数列，为严格增数列 【答案】B 【知识点】双曲线定义的理解、判断数列的增减性 【分析】由可知的边为定值，由，，可知为定值，结合双曲线定义可知动点在以，为焦点的双曲线上，再根据面积公式可得单调性. 【详解】    由已知，即的边为定值，不妨设，为定点，如图所示， 又，， 则， 即为定值， 又， 所以为定值， 即， 所以动点到定点，的距离之差的绝对值为定值， 满足双曲线定义， 所以动点的轨迹为以，为焦点的双曲线， 如图所示， 所以， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则数列为递增数列， 所以当增大时，变大，即变大， 此时向远离处运动，即变大， 所以变大， 即数列为严格增数列，且，均为严格增数列， 故选：B. 变式2（2024·上海普陀·一模）设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（   ） A．当时，的取值范围是 B．不存在和的值，使得 C．当时，的取值范围是 D．存在和的值，使得 【答案】C 【知识点】根据数列的单调性求参数、判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据不同的取值范围分析分段函数的性质，结合函数单调性，反证法，进而判断关于集合元素个数等命题的正确性，逐个判断真假即可. 【详解】对于A选项,当时，对于，根据分段函数的性质，会得到， 由于在这个区间内，这样的递推会一直进行下去，所以集合有无数个元素. 当时，要满足，通过对分段函数的计算和分析，正好解得， 此时.并且当，两个分段函数都是增函数，中最多只存在两个元素.所以选项正确.   对于B选项，当时，有且. 要想有个元素，根据函数的递推关系，如果，那么根据函数性质会继续产生更多的元素， 所以必有，不然会有无数个元素.但是当时，中元素个数就不是个了， 这就产生了矛盾，所以原命题正确，即选项正确.   对于C选项，当时，，令，通过对分段函数的计算解得. 由于，此时，这与选项中说的情况不符，所以选项错误.   对于D选项，从前面的分析经验来看，要想，根据分段函数的性质，只能令，. 由此得到方程，整理得，解得或， 因为（根据前面的取值范围等条件），所以，选项正确.   故选：C. 题型三、有穷数列和无穷数列 例1已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、利用定义求等差数列通项公式、有穷数列和无穷数列、判断数列的增减性 【分析】由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论． 【详解】解：令，， 由，可得，所以，即， 所以数列为等差数列，首项为，公差为1， 所以， 设，则数列是单调递增的等差数列， 若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列； 若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列. （1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有， 取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列； （2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有， 此时数列为，，，，，， 由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负， 由，则，，，，全为正，而， 这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调， 所以当数列单调时，数列一定有无穷多项． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，将论证数列单调时，数列一定有无穷多项等价转化为论证数列为有穷数列时，数列不可能单调. 变式1若各项均为正数的有穷数列满足，（）,则满足不等式的正整数的最大值为 ． 【答案】109 【知识点】有穷数列和无穷数列、基本不等式求和的最小值、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据，可得，则有，要使不等式成立，只要即可，而，再结合基本不等式即可得出答案． 【详解】解：因为， 所以， ， ， 所以， 故= ， 因为， 所以， 则， 要使不等式成立， 只要即可， 而， 所以， 因为， 当且仅当，即时，取等号， 又因， 当时，， 当时，， 所以， 所以， 所以正整数， 即正整数的最大值为109． 故答案为：109． 变式2无穷数列、、满足：，，，，记（表示3个实数、、中的最大数）. （1）若，，，求数列的前项和； （2）若，，，当时，求满足条件的的取值范围； （3）证明：对于任意正整数、、，必存在正整数，使得，，. 【答案】（1），；（2）；（3）详见解析. 【知识点】有穷数列和无穷数列、数列求和的其他方法 【分析】（1）计算数列的前几项,可得所求； （2）计算第2、3项可得所求范围； （3）先证明若、、中至少有一个为0,则另两个数相等,再证明若、、中都不为0,则 【详解】（1）由题可得,; ,,,; ,,,； ,,,； 可得,,, 当时, 当时, （2）由题,,,,； ,,, 则若满足条件,则 （3）证明： ①若、、中至少有一个为0,则另两数相等,设,假设,可得, 则,与矛盾,即,则,,此时必存在正整数,使得,,； ②若、、中都不为0,则,设,则,,, ,此时一定严格递减下去,直至存在正整数,使得 此时, 、、中有一个为0，由①可得命题成立. 则对于任意正整数、、，必存在正整数，使得，，. 【点睛】本题考查数列的前项求和,考查分段函数,考查数列单调性的应用,考查归纳思想,题目难度较大 题型四、数列的通项公式 例1（累加法）设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2025项之和为（   ） A．4052 B．4051 C．4050 D．4049 【答案】B 【分析】根据题意，由递推关系结合等差数列通项公式与累加法可得数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，然后结合的定义，即可得到结果． 【详解】由，得， 所以数列为公差为2的等差数列，首项为， ， 则 ， ， 又，当时，，故， 所以数列的前2025项之和为. 故选：B. 例2（累乘法）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 【答案】D 【分析】根据，结合已知条件，得到数列的递推关系.利用累乘法求得，代入2027求得；或先求出，再求得. 【详解】因为，所以 即. 所以. 因为，所以. 所以……. 由累乘法得：. 所以，，， 所以. 方法二： 因为，所以. 两式相减，得，即. 由，得. 所以. 所以. 故选：D. 例3（观察法）已知虚数数列，则其前4n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、观察法求数列通项、求等比数列前n项和 【分析】根据数列通项得到、、，观察法有，最后应用等比数列的前n项和即可得. 【详解】由题设，，，，则， ，，，，则， ，，，，则， ，，，，则， ， 依次类推，， 所以其前4n项和为. 故选：B. 例4（构造法）已知各项均为正数的数列{}满足（正整数 (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列{}的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和、构造法求数列通项、求等比数列前n项和 【分析】（1）由题意转化条件得，结合即可得证； （2）由题意可得，进而可得，由分组求和法即可得解. 【详解】（1）证明：已知递推公式，两边同时加上3， 得：， 因为， 所以， 又， 所以数列是以为首项、以2为公比的等比数列. （2）由（1），则， 所以 . 例5（定义法）已知是等比数列，其前项之积， (1)求的通项公式，并求的解集； (2)求． 【答案】(1)，， (2)． 【知识点】定义法求数列通项、错位相减法求和、求等比数列前n项和 【分析】（1）分和两种情况，结合题意分析求的通项公式，代入运算求解即可； （2）求的通项公式，利用错位相减法运算求解. 【详解】（1）当时，； 当时，． 当时，也符合上式，综上，，． 令，即，整理得，解得或4， 所以的解集为． （2）由（1）可得：当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以. 令， 则， ， 两式相减得 ， 所以． 例6（利用an与sn关系求通项或项）（2025·上海浦东新·三模）已知. (1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式； (2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，根据的关系求通项公式即可； （2）求出，换元后，分离参数，转化为求函数的最小值，利用二次函数配方后得解. 【详解】（1）由题意，， 当时，， 当时，， 则. （2）， 设，当时，， 恒成立， 则， 因为，所以. 变式1若数列满足，（，），则的最小值是 . 【答案】6 【知识点】确定数列中的最大（小）项、累加法求数列通项、求等差数列前n项和 【分析】利用累加法求得，计算，由对勾函数的性质求最小值，注意是正整数. 【详解】由已知，，…，，， 所以，， 又也满足上式，所以， 设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增， 因此在时递减，在时递增， 又，， 所以的最小值是6， 故答案为：6. 变式2如图所示，第个图形是由正边形拓展而来，则第个图形共有 个顶点. 【答案】 【知识点】观察法求数列通项 【分析】根据给定图形，依次分析每个图形的顶点个数并总结规律，利用归纳法求解即得. 【详解】第一个图由正三角形每边中点向外扩展2边，共有个顶点； 第二个图由正方形每边中点向外扩展3边，共有个顶点； 第三个图由正五方形每边中点向外扩展4边，共有个顶点； 第四个图由正六方形每边中点向外扩展5边，共有个顶点； …… 第个图由正方形每边中点向外扩展边，共有个顶点. 所以第个图形共有个顶点. 故答案为： 变式3记为正项数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由与关系结合题意可得答案； （2）由（1）结合累乘法可得，从而可得通项公式，然后由裂项求和法可得答案. 【详解】（1）当时，可得， 当时，，. 作差可得， 因为是正项数列，所以，即数列为等差数列， 所以. （2）由题可得， 所以，又， 所以， 又也满足上式， 所以，变式4设为数列的前项和，且是和8的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】裂项相消法求和、数学归纳法、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）解法1：由题意可求得，当时，求得，当时，，可得，可求通项公式；解法2：由题意可得，先求得前几项，猜想通项公式，再利用数学归纳法证明即可； （2）由题意可得，可求得，可证结论. 【详解】（1）解法1：因为是和8的等差中项， 所以，即.① 当时，，得. 当时，，② ①－②得，得，即. 所以数列是以首项为8，公比为2的等比数列. 所以. 解法2：因为是和8的等差中项， 所以，即. 当时，，得. 当时，，得. 当时，，得. 猜想：. （下面用数学归纳法证明） 1当时，可知猜想成立， 2假设时，猜想成立，即， 依题意，得，得， 又，得， 则， 得. 即当时，猜想也成立. 由1，2可知猜想成立，即. （2）因为， 得， 所以. 由于，得， 得， 所以. 变式5数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，的前项和为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、定义法求数列通项、数列的极限、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由可知当时，有，两式作差可求出数列为等比数列，计算即可求出通项公式.（2）裂项相消法求出前项和，根据数列的单调性以及极限的思想即可求出最值. 【详解】（1）因为，所以，即   当时，，则， 整理得（）， 则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故， 也满足  所以. （2）由（1）得 所以 ； 显然 又因为，单调递增（），所以， 所以的最小值是. 常见数列的通项公式 （1）数列的一个通项公式为； （2）数列的一个通项公式为； （3）数列的一个通项公式为； （4）数列的一个通项公式为； （5）数列的一个通项公式为； （6）数列的一个通项公式为． 题型五、递推公式 由递推关系求通项公式的常用方法 1.归纳法.根据数列的某项和递推公式求出数列的前几项,归纳出通项公式,在解答题中还需给出严格的证明. 2.迭代法、累加法或累乘法.其对应的递推关系有以下几种常见类型: （1）常数，或是可以求和的），使用累加法或迭代法； （2）（为非零常数），或（是可以求积的），使用累乘法或迭代法． 例1著名的斐波那契数列：，，，，，，，满足，，那么是斐波那契数列中的（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】利用斐波那契数列的性质求解即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：C 例2已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和、由定义判定等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据已知递推式得，再由等比数列的定义写出通项公式； （2）由（1）及已知得，再应用裂项相消法求和. 【详解】（1）由，则，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，则， 所以； （2）由（1）， 所以， 所以. 例3已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由递推关系式求通项公式、累加法求数列通项、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】应用累加法，结合分组求和、等差等比前n项和公式求通项公式. 【详解】由题设，即 ，且， 所以， 由满足上式，故. 故选：B 例4一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则被除的余数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用、求递推关系式 【分析】分析可得，将数列中每项除的余数一一列举，找出余数的周期性，进而可求得结果. 【详解】当且时，蜜蜂到达第号蜂房，可以从第号蜂房到达第号蜂房， 也可从第号蜂房到达第号蜂房，所以，，且，， 所以，，，，，，，，， ，，，，，，， ，， 所以，中每项除的余数依次为：、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、， 发现余数的周期是，而，因此，被除的余数为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是列举出每项除的余数，结合周期性求解. 变式1已知数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1) (2). 【知识点】导数的运算法则、由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和、求某点处的导数值 【分析】（1）根据给定递推公式，变形并构造常数列求出通项公式. （2）由（1）求出及导数，再利用裂项相消法求出目标值. 【详解】（1）在数列中，由，得， 即， 则数列是常数列，而，因此，解得， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得，，函数， 求导得 则， 而， 所以 . 变式2张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用全概率公式求概率、求递推关系式 【分析】先根据全概率公式得到数列的递推公式，再根据递推公式求通项公式，可求. 【详解】设表示第个月去公司，则，， 根据题意，得，， 由全概率公式，得 ， 即，整理得， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则. 故选：A 变式3（2024·上海虹口·一模）已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有 个． 【答案】 【知识点】递推数列的实际应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先将任意排列，依次将到插入该数列，考虑满足条件，求出其方法总数，即可得出答案. 【详解】由于，可以先将任意排列， 再将插入该数列，但不能在的左边且与相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在和的左边且与，相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在，和3的左边且与相邻，共有种， 以此类推，将插入该数列，共有种. 故答案为：. 变式4在直角坐标平面内，将函数及在第一象限内的图象分别记作，，点在上．过作平行于x轴的直线，与交于点，再过点作平行于y轴的直线，与交于点． (1)若，请直接写出，的值； (2)若，求证：是等比数列； (3)若，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】由递推关系证明等比数列、由递推数列研究数列的有关性质、递推数列的实际应用、求等比数列前n项和 【分析】（1）将代入函数解析式一一计算得相应坐标即可； （2）根据纵坐标相等，及其所在函数的解析式可得出，根据问题构造，再由等比数列的定义即可证明； （3）由（2）的结论得，根据指数幂的正负，可得出的奇数项与偶数项的范围，再由递推关系计算得，从而判定，作差化简放缩得， 后累加及等比数列求和公式证明即可. 【详解】（1）易知当时，代入函数解析式可知： ，所以，． （2）依题意，由可得 因为在上，所以， 又， 所以，整理可得， 所以①，且②， 由得， 又由，得，即是以为公比的等比数列； （3）若，由（2）得， 因为，所以， 因为，所以， 又因为， 所以 所以，从而， 所以 从而| 所以 【点睛】思路点睛：第二问根据问题式借助点的横纵坐标关系及函数关系构造相关数列即可证明；第三问根据上问结论先得出通项公式，再判定的奇偶数项的大小与范围，借助递推关系得出，之后作差仍要借助递推关系式推出，依次放缩累加即可证明结论. 题型六、等差数列及其通项公式 例1（2024·上海·三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则 ． 【答案】 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式列出关于首项与公差的方程组，求解出与的值，再利用通项公式求出. 【详解】根据等差数列的前项和公式 已知，，代入可得： 由等差数列的通项公式 将代入： 则. 故答案为：10. 例2（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）由时函数取得最大值4，可知值及关于的方程，由其范围可求得值，得解； （2）由（1）求得，进而求得，得，由等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）已知当时函数取得最大值4， 因为，所以.此时， 又，解得， 所以函数的表达式为. （2）由（1）知，则，. 因为是等差数列，设公差为，则，解得，， 所以. 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， 可得. 例3记为数列的前项和，已知，，且. (1)求的值； (2)证明：为等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）由递推公式，代入求解即可. （2）由代入化简得，再同除以即可证明. 【详解】（1）当时，， 即， 整理得， 解得或（舍去）. 故的值为. （2）证明：由可得， 故， 故，即， 故是首项和公差均为1的等差数列. 变式1（2025·上海奉贤·二模）等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于 ． 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设首项为1，公差是3的等差数列为， 则， 故. 故答案为： 变式2（2025·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前项和，若，则的值为 . 【答案】/ 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列数列的性质结合通项公式、求和公式，可直接求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， . 所以，， 所以：. 故答案为： 变式3已知，数列满足.若对任意正实数λ，总存在和相邻两项，使得成立，则实数的最小值为 . 【答案】 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据已知条件证得数列是等差数列，根据求得的最小值. 【详解】依题意， 即， 整理得，所以， 即，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， ， ，由得， 由于，所以，， 所以， 所以， 所以的最小值为. 故答案为： 变式4（2025·上海·模拟预测）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且 (1)证明:; (2)若集合，求集合中所有元素的和. 【答案】(1)证明见解析 (2)2047 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）设数列的公差为，根据等差数列、等比数列的通项公式得到方程，解得即可； （2）由（1）可得，进而可得，利用等比数列前项和公式可求解. 【详解】（1）设数列的公差为，则， 即， 所以原命题得证. （2）由（1）得， 所以， 因为，所以， 对应的， 所以集合中所有元素的和为. 题型七、等差数列的性质 例1（2025·上海长宁·二模）已知数列是等差数列，且，则其前7项和 ． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】利用公式法可求. 【详解】设等差数列的公差为，则， 故， 故， 故答案为： 例2（2024·上海·三模）设关于x的方程的从小到大的第i个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则ω的取值集合为 ． 【答案】 【知识点】等差数列的应用 【分析】由正弦函数的性质确定t的可能取值，按照t的取值分类讨论，即可求解. 【详解】由函数的性质可得，若原方程的非负解从小到大可以组成一个无穷等差数列， 可得或， 当时，由于区间与区间的区间长度相同，均为1， 所以若在区间中的项恰好比在区间中的项少2项， 则与均为函数的最大值点， 所以，所以，该方程无解； 同理当时，也不合题意； 当时，由于区间与区间的区间长度相同，均为1， 所以若在区间中的项恰好比在区间中的项少2项， 则与均为函数的最零点， 所以，所以； 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题： （1）原方程的非负解从小到大可以组成一个无穷等差数列，确定t的可能取值； （2）按照t的取值分类讨论，根据正弦函数的图象与性质，结合区间长度的关系得出满足的条件； （3）解方程组即可求解. 变式1（2025·上海浦东新·二模）设数列为等差数列，其前项和为，已知，则 ． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 变式2（2025·上海黄浦·二模）设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ． 【答案】15 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】由题意可得或，分类讨论可求得的值. 【详解】由，可得或， 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为负，从第项开始为正， 又，， 所以，所以； 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为正，从第项开始为负， 又，， 所以，所以； 综上所述：. 故答案为：. 题型八、等差数列的奇偶特性 例1已知等差数列的前项和为，且关于正整数的不等式与不等式的解集均为． 命题：集合中元素的个数一定是偶数个； 命题：若数列的公差，且，则． 下列说法中正确的是（   ） A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题 C．命题是假命题，命题是假命题 D．命题是真命题，命题是真命题 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、解不含参数的一元二次不等式、等差数列的单调性、求等差数列前n项和 【分析】举反例即可判断命题为假；由可知单调递增，结合且可知，即可判断命题为真. 【详解】对于命题：当时，的解集为， 的解集为，此时集合中元素的个数是1， 故命题为假命题； 对于命题：又公差，则单调递增， 由，得且， 解得且，所以 所以，故命题为真命题. 故选：B 变式1若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列结论中正确的是 ． ①存在等差数列，使得是的“M数列” ②存在等比数列，使得是的“M数列” ③存在等差数列，使得是的“M数列” ④存在等比数列，使得是的“M数列” 【答案】①②④ 【知识点】数列新定义、等差数列的单调性、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】对于①取分析判断，对于②④取分析判断，对于③，根据题意结合等差数列的性质分析判断. 【详解】对于①：例如，则为等差数列，可得，则， 所以，， 故、均为严格增数列， 取，则，即恒成立， 所以是的“数列”，故①正确； 对于②，例如，则为等比数列，可得，则， 所以，， 故、均为严格增数列， 取，则，即恒成立 ， 所以是的“数列”，故②正确； 对于③，假设存在等差数列，使得是的“数列”， 设等差数列的公差为， 因为为严格增数列，则， 又因为为严格增数列，所以，即当时，恒成立， 取，满足，可知必存在，使得成立， 又因为为严格增数列， 所以对任意正整数，则有，即， 对任意正整数，则有，即， 故当时，不存在正整数，使得，故③不成立； 对于④，例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，可得， 所以，， 故、均为严格增数列， 取，则，即恒成立， 所以是的“数列”，故④正确. 故答案为：①②④. 变式2设是给定的正整数．对于数列，，…，，令集合． (1)对于数列，，，直接写出集合；（用列举法表示） (2)设常数．若，，…，是以为首项，为公差的等差数列，求证：集合的元素个数为； (3)若，，…，是等比数列，且，公比．求集合的元素个数，并求集合中所有元素之和． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，． 【知识点】等差数列的单调性、求等比数列前n项和、集合新定义 【分析】（1）由新定义和集合的列举法，可得所求集合； （2）运用等差数列为递增数列，以及性质，即可得到所求个数； （3）由等比数列的通项公式和性质，结合新定义计算可得所求结论． 【详解】（1）因为数列，，，则. （2）因为构成以为首项，()为公差的等差数列， 所以有()，以及()． 此时，集合中的元素有以下大小关系： ． 因此，集合中含有个元素． （3）依题意可得，设， 设集合，． ①先证中的元素个数为，即从集合中任取两个元素，它们的和互不相同． 不妨设，于是． 显然，即． 假设，可得， 即． 因为，，所以，又， 于是，等式不成立． 因此，． 同理可证． ②再证． 不妨设，于是． 显然，． 假设，可得， 即， 因为，所以，又，于是， 等式不成立． 因此，． 由①②，得，且． 此时，集合中的元素个数为． 集合中所有元素的和为． 题型九、等差数列的前n项和 例1（2025·上海·三模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征、求等差数列前n项和的最值、求等差数列前n项和 【分析】由已知可得数列为等差数列，首项为8，公差为，由等差数列的前n项和公式可得，由二次函数的性质可得或5时，取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k的取值范围． 【详解】因为点在直线上，所以，所以， 所以数列为等差数列，首项为8，公差为，所以， 当或5时，取得最大值为20，因为有且只有两个正整数满足， 所以满足条件的和，因为， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 例2在等差数列中，，，则数列的前10项的和等于 . 【答案】80 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列的性质可求解公差和首项，进而根据等差求和公式求解. 【详解】因为在等差数列中，， 所以，，所以公差，， 所以等差数列的前10项的和. 故答案为：80 变式1已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，若有最小值，则最小值为 ． 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值. 【详解】取得最小值，则公差，或， （1）当 ， ， 所以的最小值为. （2）当，不合题意. 综上所述：的最小值为. 故答案为： 变式2已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是（    ） A．为等差数列，为等比数列 B．为等比数列，为等差数列 C．为等差数列，为等比数列 D．为等比数列，为等差数列 【答案】C 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、等比数列前n项和的其他性质、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】令(是等差数列的前n项和),由题意可得当时，单调递减，结合二次函数的性质和选项逐一判断即可. 【详解】解：令,由题意当时，单调递减， 对于首项为，公差为的等差数列， 则前n项和(不含常数项)， 此时， 由二次函数的性质知：当足够大时，不可能为单调递减函数， 所以，A中奇数项及B中偶数项为等差数列均不合题意； 对于C，当前2022项为等差数列，从第2022项开始为等比数列且公比时，满足，故符合题意； 对于D，当前2022项为等比数列，从第2022项为等差数列时，同A、B分析：当足够大时，不满足，即不可能为单调递减函数，故不合题意 故选：C. 【点睛】方法点睛：等差数列的前n项和是关于n的二次二项式(不含常数项)，在研究有关等差数列前n项和的有关性质性，从二次函数的性质出发，能使问题得到简化. 变式3（24-25高三上·上海金山·期末）已知是等差数列的前项和，若，则的值为 . 【答案】52 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】由可得，后由等差数列性质结合前n项和公式可得答案. 【详解】设公差为d ，由， 则. 则. 故答案为：52 变式4（24-25高三上·上海青浦·期中）设等差数列的前项和为，若，则等于 【答案】45 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】在等差数列中，利用等差数列的性质，由，解得，再利用等差数列的前n项和公式求解. 【详解】解：在等差数列中， 因为， 所以，解得， 所以， 故答案为：45 变式5已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为 ． 【答案】或 【知识点】求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】对分，讨论求出，代入运算可得解. 【详解】令，则， 当时， ， ， 由，得，化简整理得，，解得或； 当时， ， 由，得，化简整理得，解得， 这与矛盾，不合题意； 综上，符合题意的正整数或. 故答案为：2或3. 求数列前项和的方法 1. 一般地，数列与数列是两个不相同的数列，只有数列中的每一项都是非负数时，它们表示的才是同一数列。因此，求数列的前项和时，应先弄清取什么值时或，去掉绝对值符号后再求和。 2. 若数列为等差数列，为其前项和，，则有： (1) 若，则存在，使得，，从而 (2) 若，则存在，使得，，从而 题型十、等差数列an与Sn的关系 例1已知数列的前n项和为，满足，则= 【答案】 【知识点】由Sn求通项公式、求等比数列前n项和 【分析】已知与的关系，由求解可知数列是以为首项，为公比的等比数列，然后求解即可. 【详解】当时，得，得， 当时，由，， 两式相减得，， 即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故答案为： 例2已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．27 B．28 C．54 D．55 【答案】A 【知识点】由Sn求通项公式、利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式及性质求出和，再将转化为，即可求解. 【详解】设数列的公差为， 数列是等差数列，， 解得，即，① ，，解得， 代入①中得，， ，，即， ，即，解得. 故选：A. 变式1（2024·上海普陀·模拟预测）已知数列的通项公式为为数列的前项和，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由Sn求通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先证明是等差数列，再根据求和公式计算，解不等式即可. 【详解】当，， 当， 则（常数）。 则是首项为，公差为1的等差数列. 由题意知，，故， 故. 故答案为：. 变式2已知数列的前项和为. (1)证明：是常数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由Sn求通项公式、裂项相消法求和、求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用的关系作差变形，并验证首项证明即可； （2）利用第一问的结论，先计算，由等差数列的求和公式计算，再根据裂项求和法计算即可. 【详解】（1）已知数列的前项和为. 当时，. 当时，，∴. 当时，， ∴， 即， ∴， 当时也符合上式，∴数列是常数列. （2）由（1）知，∴，∴， ， ∴. 根据等差数列的前项和构造新的等差数列的两种方法 已知等差数列的前项和，可以构造出新的等差数列，从而利用等差数列的相关知识解题．常见的构造方法有：（1）是等差数列，公差为数列的公差的倍；（2）数列是等差数列，公差为数列的公差的．事实上，为常数为等差数列，且有成等差数列，其实质是，成等差数列的变形． 题型十一、等差数列前n项和的函数特性 例1（2024·上海·模拟预测）已知数列不是常数列，前项和为，且．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列是“可控数列”；②存在等比数列是“可控数列”．则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征、判断命题的真假、数列新定义、求等比数列前n项和 【分析】由题意，结合，的变化情况，利用极限思想即可判断①；根据题意，结合“可控数列”的定义，举出实例说明②，即可得出答案. 【详解】①数列不是常数列，则，则看作是一次函数的变化， 由得，看作是二次函数的变化， 当足够大时，极限的思想说明不成立； ②取，则， 当时，取，满足， 当时，取，满足； 故选：. 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 例2（2024·上海黄浦·二模）已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为 . 【答案】21 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】不妨设数列的公差大于零，不妨取，则，设，再分和两种情况讨论，可得出的值，再讨论，即可求出，即可得解. 【详解】不妨设数列的公差大于零， 由于，得， 且时，，时，， 不妨取，则， 设， 若，则，此时式子取不了最大值； 若，则， 又时，， 因为，此时式子取不了最大值； 因此这就说明必成立. 若，则， 这也就说明不成立，因此， 所以. 故答案为：. 变式1已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征 【分析】利用等差数列前项和公式与二次函数的关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意数列的通项公式为，,满足 ，且对任意的恒成立， 当时，显然不合题意，根据二次函数性质可得，解得 ，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 变式2已知数列是首项为9，公比为的等比数列． (1)求的值； (2)设数列的前项和为，求的最大值，并指出取最大值时的取值． 【答案】(1) (2)当2或3时，取得最大值3 【知识点】求等差数列前n项和的最值、对数的运算性质的应用、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）求出等比数列的通项公式，由等比数列的前项和求解即可； （2）记，由（1）知，由等差数列的前项和求出，由二次函数的性质即可求出答案. 【详解】（1）由题，则， （2）记，由（1）知， 所以， ， 当2或3时，取得最大值3． 题型十二、等差数列的简单应用 例1（2024·上海杨浦·二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 .    【答案】134 【知识点】等差数列的简单应用、求等差数列前n项和 【分析】由题设信息，第一层有根，共有层，利用等差数列前n项和公式列出关系式，再借助整除的思想分析计算得解. 【详解】设第一层有根，共有层，则， ，显然和中一个奇数一个偶数， 则或或，即或或， 显然每增加一层高度增加厘米， 当时，厘米厘米，此时最下层有根； 当时，厘米厘米，此时最下层有根； 当时，厘米，超过米， 所以堆放占用场地面积最小时，最下层圆钢根数为根. 故答案为：134 变式1某地区1997年底沙漠面积为（注：是面积单位，表示公顷）.地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表： 观测年份 该地区沙漠面积比原有（1997年底）面积增加数 1998 2000 1999 4000 2000 6001 2001 7999 2002 10001 请根据上表所给的信息进行估计. (1)如果不采取任何措施，到2020年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少？ (2)如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于 【答案】(1) (2)到2021年底这个地区沙漠治理的总面积首次小于 【知识点】等差数列的简单应用、解不含参数的一元一次不等式 【分析】(1) 从增加数看, 数字稳定在 2000 附近, 所以可认为沙漠面积的增加值构成一个等差数列. 求2010年底的沙漠面积可利用数列的通项公式, 首项可以选2002年的增加数. 列出经过n年后的沙漠面积, 再根据已知列出不等式. （2）设在2002年的基础上, 再经过n年, 该地区的沙漠面积将小于 , 列出不等式能求出结果. 【详解】（1）从表中数据看，每年沙漠面积增长量可以假设是一个等差数列，公差约， 假设表示年底新增沙漠面积，那么到2020年底新增沙漠面积约 ， 到2020年底，这个地区的沙漠面积将大约变成. （2）以2003年年底为第一年，设年年底后这个地区的沙漠面积小于, , 化简得, 所以到2021年底这个地区沙漠治理的总面积首次小于. 变式2已知数列满足. (1)若数列的前4项分别为4，2，，1，求的取值范围； (2)已知数列中各项互不相同.令，求证：数列是等差数列的充要条件是数列是常数列； (3)已知数列是m（且）个连续正整数1，2，…，m的一个排列.若，求m的所有取值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)4或5 【知识点】数列综合、等差数列的简单应用、数列新定义、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】（1）根据题意，找到关于的不等关系，即可求解. （2）分别从充分性、必要性两个角度证明即可. （3）对取不同的值进行判断，再对分情况讨论即可. 【详解】（1）由题意，，令，得，即，则或，此时解得或；令，得，即，两边同时平方解得.则求交集可得，，即 （2）必要性：若数列是等差数列，设公差为d， 则，所以数列是常数列. 充分性：若数列是常数列， 则，即. 所以或. 因为数列的各项互不相同，所以. 所以数列是等差数列. （3）当时，因为，所以，不符合题意； 当时，数列为3，2，4，1，此时，符合题意； 当时，数列为2，3，4，5，1，此时，符合题意； 下证当时，不存在m满足题意. 令， 则，且， 所以有以下三种可能： ①； ②； ③. 当时，因为， 由（2）知：，，…，是公差为1（或－1）的等差数列. 当公差为1时，由得或， 所以或，与已知矛盾. 当公差为－1时，同理得出与已知矛盾. 所以当时，不存在m满足题意. 其它情况同理可得. 综上可知，m的所有取值为4或5. 题型十三、等比数列 例1已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等比数列的定义、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】对于ABC，举反例排除即可；对于D，利用三角函数的基本关系式即可判断. 【详解】角的终边不在坐标轴上，有，，，， 对于A，令，则， ，即，A不是； 对于B，令，则，即，B不是； 对于C，令，则， 于是，即，C不是； 对于D，，则，则一定成等比数列，D是. 故选：D 例2在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】等比中项的应用、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】设等比数列的公比为，由条件可得，，由此可判断，再判断的符号，结合等比数列性质得到结论即可. 【详解】设等比数列的公比为，， 因为，是方程的两个实数根， 所以，且，所以，， 又数列为等比数列，所以，由等比数列性质可得， 所以. 故选：D. 例3已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】设公比，利用等比数列的性质及等比中项得到方程，求出. 【详解】设等比数列的公比为，则，且，解得. 故选：C 变式1（2025·上海浦东新·三模）已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则 【答案】 【知识点】等比中项的应用 【分析】根据等比数列的基本性质，求出公比，求出数列的项 【详解】设等比数列公比为，则，所以，所以. 故答案为：. 变式2（2024·上海静安·二模）已知等比数列的前项和为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】等比中项的应用、前n项和与通项关系 【分析】根据题意，分别求得，，，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由等比数列的前项和为， 可得，，， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为：. 题型十四、等比数列的通项公式 等比数列的设项方法与技巧 解决已知三个数或四个数成等比数列的问题，灵活地设项至关重要．一般地，当三个数成等比数列时，可设为，此时公比为；当四个数成等比数列时，可设为，此时公比为．在解题中要特别注意，若四个数成公比为负数的等比数列，则不可如此设项，可设为． 例1（2025·上海黄浦·三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（   ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件． 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由定义判定等比数列 【分析】设，令得，充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到结论. 【详解】设，中，令得， 即，所以是等比数列，充分性成立； 但必要性不成立，理由如下： 不妨设的首项为1，公比为2，取得， 但，不满足，从而必要性不成立， 综上，P是Q的充分非必要条件. 故选：B 例2（2024·上海·三模）设，．若存在公比的无穷等比数列，使得对任意正整数都成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、写出等比数列的通项公式 【分析】根据题意得有非零解，利用数列的收敛性得即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则，代入得： 整理得： 由于是无穷等比数列，所以 因时左边无界，时右边有界，均矛盾， 所以，此时，则： ， 设，则，即， 因为对成立且，为使方程有非零解， 则即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 例3（2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】二分法求函数零点的过程、等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式、复合函数的单调性 【分析】先结合题意由等差和等比数列的基本量法求出两数列的通项进而求出，再构成函数，分析单调性和根即可. 【详解】由题意可得等差数列的公差为，所以，所以， 等比数列的公比为，则， 因为，即，即， 设， 由复合函数的单调性可得在上单调递增， 再由二分法确定当时，， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 例4已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、裂项相消法求和 【分析】（1）根据已知递推式得，再由等比数列的定义写出通项公式； （2）由（1）及已知得，再应用裂项相消法求和. 【详解】（1）由，则，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，则， 所以； （2）由（1）， 所以， 所以. 变式1数列{}中，“”是“{}是公比为2的等比数列”的（    ）. A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由定义判定等比数列 【分析】结合等比数列的定义，判断“”和“{}是公比为2的等比数列”之间逻辑推理关系，即得答案. 【详解】对数列{}，，若，则可得， 此时{}不是公比为2的等比数列； 若{}是公比为2的等比数列，则，即， 故”是“{}是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件， 故选：B 变式2已知数列满足，则 . 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据题意，得到数列是公比为的等比数列，再由等比数列的性质，求得，结合，即可求得的值，得到答案. 【详解】由数列满足，可得，所以数列是公比为的等比数列， 根据等比数列的性质，可得， 因为，可得，所以. 故答案为：. 变式3已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上. (1)证明：数列是等比数列； (2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【知识点】等差中项的应用、由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列、反证法证明 【分析】（1）由题意，得到，求得，结合等比数列的定义，即可求解； （2）由（1）得到，求得，假设存在使得成等差数列，化简得到，即可求解. 【详解】（1）证明：对任意的正整数，点均在函数图象上， 可得，即， 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2）解：不存在. 理由：由（1）得， 当时，可得， 又因为，所以， 反证法：因为，且从第二项起数列严格单调递增， 假设存在使得成等差数列， 可得，即， 两边同除以，可得 因为是偶数，是奇数，所以， 所以假设不成立，即不存在不同的三项能构成等差数列. 变式4已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为.求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和、数学归纳法 【分析】（1）根据题设易得，即可得证； （2）由（1）可得，进而根据等比数列的求和公式分组求和即可； （3）由题设可得，即可证明，分析可得，即证，再结合数学归纳法证得，即可得到，当且仅当时取等，进而求证即可. 【详解】（1）由，则， 又，所以数列是以4为首项4为公比的等比数列. （2）由（1）知，，则， 所以 . （3）由， 则， 由于，则， 所以. 由，则， 要证，即证， 由，则， 则， 下面证明， 当时，，即； 假设，，时，， 则时， . 综上所述，，则， 所以， 则，当且仅当时取等， 则，即. 综上所述，. 题型十五、等比数列的性质 例1已知等比数列，则（    ） A．14 B．32 C．16 D．54 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列的下标和性质即可得出答案. 【详解】由题意可知. 故选：B 例2在等比数列中，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【答案】D 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质，，结合可得，再利用即可求解，注意等比数列奇数项、偶数项的符合分别相同. 【详解】， 则， 又，解得， 因为， 所以. 故选：D. 变式1设，已知，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的其他性质、数列新定义、数列不等式恒成立问题 【分析】根据题意得到，推出，得到答案. 【详解】由题意得，故， 故， 故 ， 由于，故. 故选：C 【点睛】关键点点睛： 变式2已知等比数列的公比，且，则 ． 【答案】 【知识点】由正切（型）函数的值域（最值）求参数、等比数列子数列性质及应用 【分析】根据等比数列的性质，得到，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】由等比数列的公比，且， 则 ， 所以. 故答案为：. 变式3已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则 ． 【答案】 【知识点】导数的加减法、等比数列下标和性质及应用、等比数列的其他性质 【分析】根据题意利用导数及韦达定理可得，的关系，后利用等比数列的性质可得答案. 【详解】由题意可得：， 则、是函数的零点，则， 且为等比数列，设公比为， 可得，解得， 注意到，可得. 故答案为：. 题型十六、等比数列的前n项和 例1（24-25高三下·上海静安·期中）设函数的定义域为，若，且对任意，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D．以上答案均不对 【答案】A 【知识点】求函数值、求等比数列前n项和 【分析】由题意可得，从而可得出，再利用累加法即可得解. 【详解】由，可得， 因为， 所以， 又因为， 所以， 则， 所以． 故选：A. 例2已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（    ） A．9143 B．9145 C．10009 D．10154 【答案】D 【知识点】求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】由题意得，结合题意可得，当时，，利用等差数列的前项和公式求出这10 项和，当时，，这些项的和为，利用分组求和法及等差数列、等比数列的前项和公式求解，再加上时的10项和即可求解. 【详解】由题意得， ，，， 所以， 当时，， 共10项，这10项的和为, 其余项有项， 当时，， 这些项的和为 ， 所以. 故选：. 例3已知数列和满足，，，. (1)证明：是等差数列，是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由题意计算后结合等差数列定义与等比数列定义即可得证； （2）计算出后，利用等差数列求和公式与等比数列求和公式分组求和即可得. 【详解】（1）由，， 则， 故，又，故， 有， 故数列是等差数列； ， 则，又， 故数列是以为公比，为首项的等比数列； （2）由数列是以为公比，为首项的等比数列，则， 又，则， 则. 例4已知数列的前项和为，且． (1)若为等差数列，且，，求数列的通项公式； (2)若对任意，都有． ①求证：是等差数列； ②设，，，求的公差的值． 【答案】(1)或 (2)① 证明见解析；② 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和 【分析】（1）设等差数列公差为，取特殊值，建立方程，即可求得数列通项公式. （2）①令，由整理得到，用替换后作差得，同理再用替换后作差，整理得到，再验证，即可得证为等差数列． ②由得的值.由可知，然后化简，由题意得到的值，即可求出的公差的值． 【详解】（1）因为是等差数列，设公差为，因为， 则令得，即，因为，所以． 令得，则， 即， 化简得，则或0． 当时，满足； 当时，． 所以，或． （2）①令时，， 即， ∴，． 化简得：， 即， ∴． 化简得：，即． 又，∴. ∴为等差数列． ②因为，所以． ，所以． ， ． 因为，所以， 又，所以． 变式1（2025·上海青浦·三模）已知数列的前项和为，若，则不可能是（    ） A．公差大于0的等差数列 B．公差小于0的等差数列 C．公比大于0的等比数列 D．公比小于0的等比数列 【答案】C 【知识点】判断等差数列、等差数列前n项和的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】首先由题意可得，再利用等差数列及等比数列的前项和公式进行验证即可. 【详解】，，， 若数列是等差数列，设其公差为， ，，即， ，可正可负，可正可负； 若数列是等比数列，设其公比为， 若，则是公比为的等比数列，满足， 当时，若，则，，不成立， 若且，则，，不成立. 不可能是公比大于的等比数列. 故选：C. 变式2（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为 . 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据数列的单调性，结合数列通项的正负得出数列和的最小值即可. 【详解】为单调递增的数列， 当时，当时， 所以. 故答案为：. 变式3已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为 ． 【答案】 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】根据等比数列的通项公式及前项和公式得到方程组，求出和，即可得到，从而得到，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】由于，则， 解得或，因为等比数列为递增数列，， 所以 所以，故. 因为， 所以. 故答案为： 变式4已知等比数列的前3项和为168，前6项和为189，则数列的公比 . 【答案】/ 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用 【分析】利用，结合已知列方程求解即可. 【详解】由题可得， 所以， 即，解得. 故答案为： 变式5（2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 【答案】(1)，几何意义是函数在点处切线的斜率是； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】导数定义中极限的简单计算、函数单调性、极值与最值的综合应用、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据极限的计算方法求值，并理解导数的几何意义； （2）分离参数得，设，利用利用导数分析函数的单调性，求其值域即可； （3）结合（2）中的结论，先得到，进一步类推，即可证明结论. 【详解】（1）因为， 所以 ， 几何意义是函数在点处切线的斜率是. （2）变形得到， 令，， 又，所以函数在内恒小于零， 所以函数在单调递减 ，又， 所以值域为，所以的取值范围为. （3）由（2）知函数在单调递减，且存在唯一的零点使得，即， ， 根据函数单调性知， 即，依次类推，得到， 同理， 即， ， 因为，所以， ，所以得到 ， ， ， ， 所以. 题型十七、等比数列前n项和的性质 例1设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 【答案】A 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列前n项和的其他性质 【分析】利用等比数列的性质建立方程求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为是等比数列，所以成等比数列， 所以，解得或（舍，若成立则不满足上面三项成等比数列），故A正确. 故选：A. 例2等比数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列前n项和的其他性质 【分析】根据等比数列前项和公式特征求解即可. 【详解】若等比数列的公比为， 因为， 则，矛盾，故 设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为，所以. 故选：B 变式1（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则 . 【答案】5 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据题意，由等比数列前项和的片段和性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得，， 因为，，，，成等比数列， 故，即，解得， 则，所以，，故. 故答案为： 变式2（2024·安徽淮北·一模）正项等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】等比中项的应用、等比数列前n项和的其他性质、基本不等式求和的最小值 【分析】利用等差数列前项和的性质及等比中项，结合基本不等式计算即可. 【详解】设的公差为，则， 而， 当且仅当时取得等号. 故答案为： 题型十八、等比数列an与Sn的关系 例1已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出等比数列的通项公式、前n项和与通项关系、利用an与sn关系求通项或项 【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 变式1（2024·上海静安·二模）已知等比数列的前项和为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】等比中项的应用、前n项和与通项关系 【分析】根据题意，分别求得，，，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由等比数列的前项和为， 可得，，， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为：. 变式2已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2)，. 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、前n项和与通项关系 【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式； （2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论． 【详解】（1）由，则当时 两式相减得，所以. 将代入得，， 所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （2）. ， 因为当时，当时， 所以当时，， 当时，. 故. 题型十九、数列求和 倒序相加法 当数列的第项与第项的和为定值（或有固定规律）时，可通过“正序求和+倒序求和”的方式，将和式转化为“定值×项数”的形式计算。 步骤： 1. 设正序和：设； 2. 写倒序和：将和式倒序，得； 3. 两式相加：将正序和与倒序和对应项相加，利用“”化简； 4. 求：根据相加后的结果，计算出。 例1（倒序相加法求和）若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 【答案】B 【知识点】求等差数列前n项和、倒序相加法求和 【分析】由表达式及得到，利用等差数列求和公式及倒序相加求和可求得结果. 【详解】， ， 则. 因为 令，得 ； ； ； ………… 又. 故 故选：B 错位相减法解题步骤 数列是“等差数列×等比数列”的形式（即，其中是等差数列，是公比的等比数列）。 步骤： 1. 写出前项和： 2. 两边乘等比数列的公比： 3. 两式相减（错位相减）： 用“”，抵消中间项，整理得： （其中是等差数列的公差） 4. 化简求： 利用等比数列求和公式计算，再整理得到。 例2（错位相减法求和）在等差数列中，；记为数列的前项和，且. (1)分别求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1), (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，利用的关系可得为等比数列求解， （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）解：设数列的首项为，公差为d， ，则， 所以数列的通项公式为． 因为，所以当时，，则． 当时，，则， 所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以． （2）因为，设数列的前项和为， ① ② ①-②得 ∴ ， 则． 利用裂项相消法求和的注意点 裂项相消法求和的关键是能将数列的通项裂为两个结构相同的式子之差的形式.求和时或是相邻项相消求和,或是隔项相消求和,需要在前后多呈现几项,找出相消的规律,确保正确求和:常见的裂项类型与方法如下： (1); (2); (3); (4); (5). 例3（裂项相消法求和）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由与的关系列式计算可得，利用等比数列通项公式求解即可； （2）由（1）可得，化简，利用裂项相消法计算求解. 【详解】（1）已知，当时，有， 用减去，根据， 可得：，即， 当时，， 又，所以，此时，满足， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，即， （2）由（1）可得， 又，所以，化简可得， 则， 所以． 所以数列的前项和为： ． 分组求和法求数列的前项和 ①若，且为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和． ②通项公式为的数列，其中数列是等比或等差数列，可采用分组求和法． 基本的解题步骤为： ①准确拆分，根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和； ②分组求和，分别求出各个数列的和； ③得出结论，对拆分后每个数列的和进行求和，解决原数列的求和问题． 例4（分组（并项）法求和）已知数列中，，． (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、等比数列的定义、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）通过等比数列的定义利用题干给的关系即可证明； （2）利用分组求和的方法，结合等差和等比数列的求和公式即可求出. 【详解】（1）因为，且， 所以， 所以数列是以5为首项，以5为公比的等比数列， 所以，即． （2）因为， 所以 ． 变式1若，已知数列中，首项，则 ． 【答案】158 【知识点】判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用、由递推关系式求通项公式、倒序相加法求和 【分析】根据函数解析式得，应用作差法及已知得，则，最后利用对称性及倒序相加求和即可. 【详解】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为：158 变式2已知正项数列满足：. (1)证明是等比数列，并求通项； (2)若，求数列的前项和的表达式. 【答案】(1)证明见解析；； (2). 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和 【分析】（1）根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式； （2）根据错位相减法直接求数列的前项和. 【详解】（1）由，得， 因为是正项数列，所以，即，又， 所以是公比为的等比数列，又，得， 所以，即. （2）由（1）知，所以. 所以， 即， ， 所以 ， 所以. 变式3设正项数列的前n项和，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据和之间的关系，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）由得，可知， 两式相减得， 即， ， ∵当时，， 则是首项为1，公差的等差数列， 的通项公式为； （2）， ， . 变式4已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项的和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据与的关系化简可得，利用等比数列通项公式求法计算即可求解； （2）求得，利用分组求和即可求解. 【详解】（1）当时，由题意可知， 因为，即， 当时，，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）可得， 所以， 当时，， 当， ， 因为， 所以， 综上，. 变式5记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、数列求和的其他方法、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）首先求出，再利用数列通项公式与前项和的关系得到递推关系，因为，可求得数列为等差数列，由此可写出数列的通项公式； （2）先写出数列的通项公式，再求出数列的前项和为，解法一是分部求和，解法二是分组求和，解法三直接从问题入手，构造新数列，求其最小值，则不大于其最小值，此即为恒成立，由此可得实数的取值范围. 【详解】（1）时，，解得或，因为，所以， 时，，得， 因为，所以，又， 故数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为； （2）解法一：由，所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以， 因为对任意的，成立， 所以，当为奇数时，即，所以， 不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为， 因为为奇数，所以时，，则 当为偶数时，，所以， 同理可得，因为为偶数，所以时，，则， 综上，. 解法二：由， 当为偶数时， . 当为奇数时， ， 所以（下同解法一） 解法三：因为对任意的，成立， 则，即求的最小值，令， 当为奇数时， 则，所以最小值一定在为奇数时取到， 当为奇数时， ， 当时，，当时，， 所以当为奇数时，， 则的最小值为， 所以. 题型二十、数列的综合应用 例1某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数列-复利、数列-分期付款 【分析】由题意可得，结合放缩即可得解. 【详解】， 由，故， ， 由， 故，即有. 故选：D. 例2某工厂加工一种电子零件，去年月份生产万个，产品合格率为.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年月份的产量在去年月的基础上提高，产品合格率比去年月增加，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品数达到最大是今年的（    ） A．月份 B．月份 C．月份 D．月份 【答案】C 【知识点】数列-产值增长 【分析】该工厂每月的产量、不合格率分别用、表示，月份用表示，求出的表达式，分析数列，即可得出结论. 【详解】设从今年月份起，每月的产量和产品的合格率都按题中的标准增长， 该工厂每月的产量、不合格率分别用、表示，月份用表示， 则，，其中，， 则从今年月份起，各月不合格产品数量为，单位：万台， 因为 ， 当时，，即，此时，数列单调递增， 即； 当且时，，即，此时，数列单调递减， 即， 因此，当时，最大，故该工厂的月不合格品数达到最大是今年的月份. 故选：C. 变式1如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【知识点】裂项相消法求和、数列-其他模型 【分析】由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，可得解. 【详解】由， 可得，，，， 所以， 所以， 所以前项和， 所以， 故选：C. 变式2近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达，每年年底扣除运营成本万元，再将剩余资金继续投入直播平合. (1)若，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？ (2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到万元） 【答案】(1)936万元 (2)3000万元 【知识点】数列-产值增长 【分析】（1）用表示第年年底扣除运营成本后直播平台的资金，然后根据已知计算可得； （2）由已知写出，然后由求得的范围． 【详解】（1）记为第年年底扣除运营成本后直播平台的资金， 则， 故第3年年底扣除运营成本后直播平台的资金为936万元. （2）， 由，得， 故运营成本最多控制在万元， 才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元. 变式3北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】数列-其他模型、观察法求数列通项 【分析】转化题给条件为，再由皆为正整数分类讨论即可求解. 【详解】由题意知，，于是得最底层小球的数量为，即，. 从而有， 整理得， ， ， ，， 由于皆为正整数，所以 （i）当时，， 当时，， （iii）当时，， （iv）当时， 只有符合题意，即的值为2. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新文化背景下的数列问题，确定是解决本题的关键. 题型二十一、数列的极限与无穷等比数列 例1（2024·上海虹口·二模）已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则 . 【答案】3 【知识点】数列的极限、求等比数列前n项和 【分析】利用等差数列的定义和等比数列的求和公式即可. 【详解】因为成等差数列， 故，即， 解得：或. 因为等比数列是严格减数列，且，故. 所以. 故答案为：3 例2首项为 2，公比为 的无穷等比数列的各项和为 . 【答案】6 【知识点】无穷等比数列各项的和 【分析】先由等比数列的求和公式，得到前项和，对前项和求极限，即可得出结果. 【详解】因为无穷等比数列的首项为，公比为， 因此其前项和为， 所以的各项的和为. 故答案为： 变式1（2024·上海·三模）已知数列满足，点在双曲线上，则 ． 【答案】4 【知识点】数列的极限 【分析】根据向量法，当时，与渐近线平行，且在轴的投影为2，渐近线倾斜角为，则，即可求出. 【详解】作出示意图如图所示： 当时，与渐近线平行，在轴的投影为2， 不妨取渐近线，令其倾斜角为，则， 所以，所以. 故答案为：4. 变式2（2024·上海·三模）无穷等比数列满足：，，则的各项和为 ． 【答案】 【知识点】无穷等比数列各项的和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】设无穷等比数列的公比为，的前项和为，根据所给条件求出、，即可求出，再取极限即可. 【详解】设无穷等比数列的公比为，的前项和为， 则，解得或， 当时，解得， 所以， 所以； 当时，解得， 所以， 所以； 综上可得的各项和为. 故答案为： 变式3（2024·上海·一模）等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】无穷等比数列各项的和 【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得. 【详解】依题意，，或， 则，或， 所以首项的取值范围为. 故答案为： 变式4数列满足，且，为的前项和，求 【答案】 【知识点】数列的极限 【分析】逐项代入可得，再根据等比数列求和与极限求解即可. 【详解】由题，，，，， ，， ， ， ， . . 故 . 又当时，，故 . 故答案为： 题型二十二、数列新定义 例1（2025·上海金山·三模）对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（   ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】A 【知识点】数列新定义 【分析】根据题目条件，利用不等式，对各条件中的代数式进行放缩. 【详解】数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 对于命题①. 存在常数，对任意的，有 故 即数列具有性质.命题①为真命题. 对于命题②. 存在常数，对任意的，有 故数列具有性质.命题②为真命题. 故选： 变式1（2025·上海杨浦·模拟预测）已知是一个公差不为的等差数列，其前项和为.若存在正整数(其中)使得，则称具有性质，称有序数对是的一组“数对”，记由的全体“数对”所组成的集合为.关于命题①“若具有性质且，则”与命题②存在具有性质的及互不相同的正整数(其中且，使得且，下列说法正确的是（   ）. A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【知识点】判断命题的真假、等差数列前n项和的基本量计算、数列新定义 【分析】根据等差数列的前项和公式，依据题目所给定义，判断命题真假. 【详解】解析：， ，带入，得，解得， ， 当，得， 化简得，又 若，则，，所以或（舍去）， 若，则，，所以（舍去）或（舍去）， 若，则，，所以（舍去）或（舍去）， 若，则， 因为，， 所以，故无整数解，所以①是真命题； 设，，所以②是真命题； 故选：A. 变式2（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】A 【知识点】判断命题的真假、求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、数列新定义 【分析】对于①，根据数列的前项和得到，对，和两种情况分类讨论求解可判断；对于②设等差数列的首项为，公差为，对分类讨论求解判断. 【详解】对于①，数列的前项和（为正整数）， 当时，， 当时，不满足上式，所以， 当，时，， 所以数列与原数列相同，所以， 所以当时，数列为完全平方数列， 当时，不是“完全平方数， 所以当时，数列不是完全平方数列， 综上所述：数列为“完全平方数列”，故①是真命题； 对于②，因为为完全平方数，故， 若，则，若对任意的，均为完全平方数， 则，否则假设为的素因数，且恰好整除，为正整数， 若为奇数，则不是完全平方数，矛盾， 若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾， 若，则， 若，取，则或， 当为偶数时，此时，均不是完全平方数， 当为奇数时，取，，为奇数， 故此时不是完全平方数， 故，即，故，设，故， 当时，， 又适合上式，即. 故存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列，故②是真命题. 故选：A. 变式3（2025·上海普陀·二模）设，，、，是数列的前项和，且满足，数列是由个大于的整数组成的有穷数列，若，，则称数列是数列的“数列”.对于数列有如下两个命题：①若，则数列不是数列的“数列”；②若，则数列的“数列”至少有5个.则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 【答案】A 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数列新定义 【分析】先根据与的关系求出数列的通项公式，再结合“数列”的概念判断①②的真假即可. 【详解】对数列：① ② ①－②得：， 所以是以3为公比的等比数列， 令， 对①：若，. 因为，且为整数，，其余. 以为例，. 若，则，这与矛盾. 所以不能恒成立.故①为真. 对②：以为例： 设， 令，则方程的解有，，，，5个满足. 即时，数列的“数列”有5个. 当时，， 令，则方程满足的解的个数更多. 即时，数列的“数列”多于5个. …… 依次类推：当数列至少5个，故②为真. 故选：A 变式4（2025·上海·一模）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围； (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为． (2)． (3)①证明见解析；②不存在，理由见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、等比中项的应用、数列新定义 【分析】（1）求导得，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为当时，恒成立，求导得，然后分，以及讨论，即可得到结果； （3）①根据题意，构造函数，求导可得在恒成立，即可证明；②根据题意，结合“源数列”以及“生成数列”的概念，然后假设存在，代入计算，即可得到方程无解，故不存在. 【详解】（1）当时，，， 令，则，解得或， 当时，，当时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）， 令，依题意，当时，恒成立， 由，得，， 又因为，所以， ① 当时，，所以在上单调递增， ，不合题意； ② 当时，令，解得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 若要使恒成立，则需使，解得， 故此时； ③ 当时，因为，，故在单调递减， 则，符合题意； 综上，实数a的取值范围为． （3）①，，故， 构造函数，，则 易得函数在上单调递增，而，则在上恒成立，故在上单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即． ②，则，()， 设，即，代入()可得， 设函数，显然该函数在上单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增，故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，则，，， 故，整理得到，该方程无正整数解． 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列． 题型二十三、数列不等式 例1已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. (1)求的通项公式； (2)对于任意，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】确定数列中的最大（小）项、等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据等差数列通项公式结合等比中项计算求解； （2）先把转化为，再根据的单调性得出最大项，最后得出参数范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由已知可得， 因为，解得， 又， 得， 所以. （2）由（1）可知，则， 由可得， 令， ， 当时，， 当时，， 则数列的最大项为， 故， 即实数的取值范围为. 例2已知数列的前项和为，且，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3). 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据已知配成完全平方即可得证； （2）利用错位相减法求解可得； （3）分离参数，转化为求数列的最大值问题，考察数列单调性即可得解. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，又，所以是以2为首项和公比的等比数列. （2）又（1）可得，， 所以①， 则②， 由①-②得：， 所以 （3）由（1）可得，， 所以，即， 记， 因为， 所以时，，即， 当时，，即， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 变式1数列满足，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列的前项和为，求使成立的最小正整数的值 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据已知得，再应用作差法及等差数列的定义证明； （2）根据（1）得，应用裂项相消法求，根据不等式能成立求参数值. 【详解】（1）设数列，则 ， 由，得， 所以， 即数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）得， 所以， 因此，解得，所以满足题意的最小正整数. 变式2已知数列，记集合． (1)对于有限数列3，7，2，9，写出集合T； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组i，j；若不存在，说明理由． (3)若，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求n的最大值． 【答案】(1) (2)存在，（或） (3)1003 【知识点】集合新定义、数列新定义、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据题意按照给出的集合新定义即可计算求解； （2）假设存在，使得，进行计算检验，从而得出结论； （3）根据题意给出的集合新定义，可得的因子为一奇一偶，先证明奇数和无法由表示，其次证明除奇数与形式以外的数，都可以表示成的形式，运算得解. 【详解】（1）由题，设，按照相邻两项，三项，四项分类列举如下： ，，， ，，， 所以； （2）假设存在，使得， 则， 因为为偶数，所以与奇偶性相同，则与奇偶性不同， 又因为，，所以必等于奇数因子（大于等于3）和偶数因子（大于等于3）的乘积， 又，， 即，解得， 或，解得， 或，解得， 所以存在，使得； （3）， 先证明正整数中所有的奇数与形式的整数都无法由表示， 因为为奇数， 所以的因子为一奇一偶， 而奇数没有偶数因子，没有奇数因子，无法由表示； 其次证明除奇数与形式以外的数，都可以表示成的形式， 若正偶数，其中，任何一个形式以外的偶数都能表示成该形式， 则，解得， 或，解得，满足条件， 故存在，使得成立， 由前面可知正整数以及奇数不是集合中的元素， 所以的最大值为. 1．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【知识点】利用导数研究方程的根、由坐标判断向量是否共线、数列不等式恒成立问题 【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得. 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数的个数有个. 故选：B. 2．（2025·上海·三模）过点向曲线：（为正整数）引斜率为的切线，切点为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．数列的前项和为 D． 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和、已知切线求参数 【分析】设直线，方程联立由判断A；可得，，从而结合累加法求和可判断B；由，结合等差数列的求和公式可判断C；令，结合导数可得在上单调递增，进而可判断D. 【详解】设直线，联立， 得， 则由，即， 解得（负值舍去），故A正确； 可得，， 所以，故B正确； 因为，则，故C错误； 因为，， 所以， 设，则， 可得在上单调递增， 则时，， 又，则，故D正确. 故选：C. 3．（2025·上海松江·二模）定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是. 则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 【答案】A 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、用导数判断或证明已知函数的单调性、累加法求数列通项、求已知函数的极值点 【分析】对①，根据题意，可得，利用累加法求求答案；对②，分别求出，，的解析式，利用导数判断极大值情况，得解. 【详解】对于①，当为正整数时，已知， 则，， 将这些式子累加可得， 由等差数列求和公式， 所以，故①正确， 对于②，当时，，令， ， 即， 同理，可得， ， 由，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极大值点， 当时，则， 同上易得是极大值点， 当时，则， 可得为极大值点， 当时，则， 易得为极大值点， 因为函数在区间内有3个极大值点，所以，故②错误. 故选：A. 4．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】直接根据等差数列求和公式求解. 【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 5．（2025·上海金山·二模）已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 【答案】2 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】转化为是的两个根，由韦达定理和等差数列性质得到. 【详解】由题意得是的两个根， 由韦达定理得， 因为是等差数列，所以. 故答案为：2 6．（2025·上海嘉定·二模）已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列的知识化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】依题意，，即， 所以. 故答案为： 7．（2025·上海浦东新·二模）已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有 个． 【答案】 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、分组（并项）法求和 【分析】根据的奇偶性结合，分析可知，进而可得，，即可求数列个数，同时排除不满足条件①的情况. 【详解】因为，，可知的奇偶性与的奇偶性一致， 对于①：存在小于的正整数，使得， 对于②：对任意的正整数和，都有， 可知为奇数，即， 令，则，可得或； 令，则，可得或； 综上所述：对任意的正整数，. 且，可得，， 即确定，不相等，有2种可能， 此时，条件②满足， 对于数列可知：均有2种可能， 则满足条件的数列共有个， 又因为存在小于的正整数，使得， 可知对任意，不成立，即这种情况不符合题意， 综上所述：符合题意的数列共有个. 故答案为：. 8．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差中项的应用、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集； （2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1），则， ，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得，． 令，由，则， 在有解． 又在上是严格增函数， ，即， 又，则. 试卷第120页，共121页 1 / 123 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列 目录 一、考情分析与命题趋势 二、知识体系构建 知识点1 数列的概念、性质及递推公式表示 4 1．数列的概念 4 2．数列的分类 4 3．数列的两种常用的表示方法 4 4．常用结论 5 知识点2 等差数列及其前n项和 5 1、等差数列的有关概念 5 2．等差数列的有关公式 5 3．常用结论 5 知识点3 等比数列及其前n项和 6 1．等比数列的有关概念 6 2．等比数列的有关公式 7 3．无穷递缩等比数列的各项和公式 7 4．常用结论 7 知识点4 数列求和 8 1. 公式法 8 2. 几种数列求和的常用方法 8 3．常用结论 8 知识点5 数学归纳法及其应用 9 1．证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行 9 2．数学归纳法的框图表示 9 3．数学归纳法证题的关键点 9 知识点6 数列的综合应用 10 1. 等差数列和等比数列比较 10 2. 数列求和 11 三、考点精析与突破 题型一、数列的概念 11 题型二、递增数列与递减数列 15 题型三、有穷数列和无穷数列 19 题型四、数列的通项公式 23 题型五、递推公式 32 题型六、等差数列及其通项公式 38 题型七、等差数列的性质 43 题型八、等差数列的奇偶特性 45 45 题型九、等差数列的前n项和 49 题型十、等差数列an与Sn的关系 53 题型十一、等差数列前n项和的函数特性 55 题型十二、等差数列的简单应用 58 题型十三、等比数列 62 题型十四、等比数列的通项公式4 64 题型十五、等比数列的性质 70 题型十六、等比数列的前n项和 72 题型十七、等比数列前n项和的性质 80 题型十八、等比数列an与Sn的关系 82 题型十九、数列求和 84 题型二十、数列的综合应用 93 题型二十一、数列的极限与无穷等比数列 97 题型二十二、数列新定义 101 题型二十三、数列不等式 108 四、实战精练与提升 一、考试要求 知识点 新课程标准 重点 数列的概念、性质及递推公式表示 1. 理解数列的概念与分类； 2. 掌握数列的表示方法（通项、递推公式）； 3. 熟悉数列的基本性质与常用结论 1. 数列概念的准确区分（与集合、函数的差异）； 2. 递推公式与通项公式的互化； 3. 数列性质的应用 等差数列及其前n项和 1. 理解等差数列的定义与核心概念； 2. 掌握等差数列的通项、前n项和公式； 3. 熟记等差数列的常用结论 1. 等差数列的判定与证明； 2. 通项、前n项和公式的灵活运算（含最值问题）； 3. 等差数列性质的综合应用 等比数列及其前n项和 1. 理解等比数列的定义与核心概念； 2. 掌握等比数列的通项、前n项和公式； 3. 了解无穷递缩等比数列的和； 4. 熟记等比数列的常用结论 1. 等比数列的判定与证明； 2. 通项、前n项和公式的运算（含分类讨论）； 3. 等比数列性质的综合应用 数列求和 1. 掌握公式法求和； 2. 熟悉错位相减、裂项相消等常用求和方法； 3. 熟记求和的常用结论 1. 不同类型数列的求和方法选择（错位相减、裂项相消的适用场景）； 2. 复杂数列的拆分与求和技巧 数学归纳法及其应用 1. 掌握数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤； 2. 理解数学归纳法的框图逻辑； 3. 明确数学归纳法的证题关键点 1. 数学归纳法两步（奠基、递推）的严谨性； 2. 递推步骤中“假设n=k成立”到“n=k+1成立”的推导技巧 数列的综合应用 1. 对比等差数列与等比数列的概念、公式； 2. 掌握数列求和的综合运用 1. 等差、等比数列的综合判定与运算； 2. 数列与函数、不等式结合的综合问题 二、命题分析 数列模块考查信息表 模块 考频 考查内容 命题趋势 数列 2025年第7题、2023年第15题；2024年第7题；2022年第16题、2021年第1题、2021年第21题、2022年第21题 等差数列与等比数列的综合、等差数列的前n项和、数列的应用（含与函数、不等式等综合） 高频考点，小题考查数列基本运算与性质，难度中等，注重对通项、求和公式的熟练掌握；综合题多在解答题中考查，结合函数、不等式等知识，分值高、难度大，强调知识整合与数学思想（分类讨论、递推分析）的渗透 -考查内容及命题趋势表（2021~2025年春考数据） 知识点1 数列的概念、性质及递推公式表示 1．数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项； （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集 ， 为定义域的函数 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值； ：数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要考虑函数的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性。 2．数列的分类 （1）按照项数有限和无限分： （2）按单调性来分： 3．数列的两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 ：①并不是所有的数列都有通项公式： ②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一。 (2)递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号的值,直接代入求出 都可确定一个数列,也都可求出数列的任意一项 递推公式 可根据第1项(或前几项)的值,通过一次(或多次)赋值,依次求出数列的项,直至求出所需的 4．常用结论 （1）若数列 的前 项和为 ，通项公式为 ，则 （2）在数列 中，若 最大，则 若 最小，则 知识点2 等差数列及其前n项和 1、等差数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为 ， 为常数）． ：① 为严格增数列； ② 为严格减数列； ③ 为常数列。 （2）等差中项：数列 a, A, b 成等差数列的充要条件是 ，其中 叫做 a , b 的等差中项。 ：数列 为等差数列 2．等差数列的有关公式 （1）通项公式： 当 时， 是关于 的一次函数； （2）前 项和公式： 当 时， 是关于 $n$ 的二次函数，且没有常数项． 3．常用结论 已知 为等差数列， 为公差， 为该数列的前 项和． （1）通项公式的推广： ； （2）在等差数列 中，当 时， ，且均 。特别地，若 ，则 ，且均 ）； （3） 仍是等差数列，公差为 ，且均 ； （4） 也成等差数列，公差为 ； （5）若 是等差数列，则也是等差数列； （6）若 是等差数列、则 也成等差数列，其首项与 皆项相同。公差是 公差的 （7）项数为偶数 2 n 时的性质 前 2 n 项和：（利用等差数列＂若 ，则 。 奇偶项和的差：（ 为 的公差）。 奇偶项和的比： 。 （8）项数为奇数 时的性质 前 项和：（ 为中间项）。 奇偶项和的差： 。 奇偶项和的比： 。 （9）前 项和的最值判定 －若 （数列递减），则满足 的项数 ，使得 取得最大值。 若 （数列递增），则满足 的项数 ，使得 取得最小值。 :利用通项公式研究和的问题,是一种“降维思维”,立体几何中常用此方法。此处。可简称为”邻项变号法”求等差数列前n项和的最值 知识点3 等比数列及其前n项和 1．等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 表示，定义的表达式为 ； （2）等比中项：如果 a, G, b 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项，即 是 与 的等比中项 成等比数列 ． ：只有当两个项同号且不为 0 时，才有等比中项，且等比中项有两个． 2．等比数列的有关公式 （1）通项公式： ； （2）前 项和公式： = = ：当 时， ，若令 ，则 3．无穷递缩等比数列的各项和公式 4．常用结论 （1）若 、、、、 且均 ，则 ； （2）若 （项数相同）是等比数列，则 仍是等比数列； （3）在等比数列 中，等距离取出若干项依次构成一个等比数列，即 ， 为等比数列，公比为 ； （4） 为等比数列，若 ，则 成等比数列； （5）当 时， 是 成等比数列的充要条件，此时 ； （6）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，等于中间项的平方． 知识点4 数列求和 1. 公式法 （1）等差数列 的前 项和 ．推导方法：倒序相加法．（2）等比数列 的前 项和 推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前 项和： （1） ； （2） ； （3） ． 2. 几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减; (2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前n项和; (3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解; :错位相减时，注意最后一项的符号 (4)倒序相加法:如果一个数列的与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 3．常用结论 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3）; （4） ； （5） ． 知识点5 数学归纳法及其应用 1．证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行 （1）（归纳奠基）证明当 取第一个值 （ 为正整数）时命题成立； （2）（归纳递推）假设 （ 为正整数）时命题成立，证明当 时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立。 2．数学归纳法的框图表示 数学归纳法的框图表示，它是证明与正整数 有关命题的核心方法，流程分为两个关键步骤： 归纳奠基：验证 （如 或其他初始值）时命题成立，这是证明的＂起点＂。 归纳递推：假设 时命题成立，证明 时命题也成立，这是证明的＂传递性＂。 通过这两步，可推导出命题对从 开始的所有正整数 都成立。 3．数学归纳法证题的关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 ，这个 ，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是＂ 1 ＂，因此＂找准起点，奠基要稳＂是第一个关键点； （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从＂＂到＂＂的过程中，要正确分析式子项数的变化。关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由 到 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项； （3）利用假设是核心：在第二步证明 成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设＂ 时命题成立＂作为条件来导出＂＂，在书写 时，一定要把包含 的式子写出来，尤其是 中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。 （4）综合（1），（2）才是完整的数学归纳法． 知识点6 数列的综合应用 1. 等差数列和等比数列比较 等差数列 等比数列 定义 通项公式 判定方法 （1）定义法； （2）中项公式法： 且 为等差数列； （3）通项公式法： 为常数， 且 为等差数列； （4）前 项和公式法： 为常数， 且 为等差数列； （5） 为等比数列，且 ，那么数列 , 且 为等差数列 （1）定义法； （2）中项公式法： 且 为等比数列； （3）通项公式法： 均是不为 0 的常数， 且 为等比数列； （4） 为等差数列 总有意义）为等比数列 性质 （1）若 且均 ，且 ，则 ； （2） ； （3） 仍成等差数列 （1）若 且均 ，且 ，则 ； （2） ； （3）等比数列依次每 项和 ，即 仍成等比数列 前n项和 2. 数列求和 （1）等差数列的前 和的求和公式： ； （2）等比数列前 项和公式： 一般地，设等比数列 的前 项和是 , 当 1 时， ；当 时，（错位相减法）； （3）数列前 项和： ① ② ③ ④ （4）等差数列中， ； （5）等比数列中， 。 题型一、数列的概念 例1数列中，，则的值为 ． 例2已知数列满足，，，则数列的前项积的最大值为 ． 变式1（2024·上海青浦·一模）对于数列，设数列的前 项和为，给出下列两个命题:① 存在函数，使得 ; ② 存在函数，使得 . 则①是②的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2（2024·上海·三模）已知有穷数列的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ． 变式3设是由正整数组成且项数为的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为 . 题型二、递增数列与递减数列 例1（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 例2（2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（    ） A．0 B．22 C．26 D．31 变式1（2024·上海宝山·一模）设的三边长分别为、、，面积为（为正整数）．若，其中，，，，则（    ） A．为严格减数列 B．为严格增数列 C．为严格增数列，为严格减数列 D．为严格减数列，为严格增数列 变式2（2024·上海普陀·一模）设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（   ） A．当时，的取值范围是 B．不存在和的值，使得 C．当时，的取值范围是 D．存在和的值，使得 题型三、有穷数列和无穷数列 例1已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1若各项均为正数的有穷数列满足，（）,则满足不等式的正整数的最大值为 ． 变式2无穷数列、、满足：，，，，记（表示3个实数、、中的最大数）. （1）若，，，求数列的前项和； （2）若，，，当时，求满足条件的的取值范围； （3）证明：对于任意正整数、、，必存在正整数，使得，，. 题型四、数列的通项公式 例1（累加法）设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2025项之和为（   ） A．4052 B．4051 C．4050 D．4049 例2（累乘法）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 例3（观察法）已知虚数数列，则其前4n项和为（    ） A． B． C． D． 例4（构造法）已知各项均为正数的数列{}满足（正整数 (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列{}的前n项和. 例5（定义法）已知是等比数列，其前项之积， (1)求的通项公式，并求的解集； (2)求． 例6（利用an与sn关系求通项或项）（2025·上海浦东新·三模）已知. (1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式； (2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 变式1若数列满足，（，），则的最小值是 . 变式2如图所示，第个图形是由正边形拓展而来，则第个图形共有 个顶点. 变式3记为正项数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求证：. 变式4设为数列的前项和，且是和8的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：. 变式5数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，的前项和为，求的最小值. 常见数列的通项公式 （1）数列的一个通项公式为； （2）数列的一个通项公式为； （3）数列的一个通项公式为； （4）数列的一个通项公式为； （5）数列的一个通项公式为； （6）数列的一个通项公式为． 题型五、递推公式 由递推关系求通项公式的常用方法 1.归纳法.根据数列的某项和递推公式求出数列的前几项,归纳出通项公式,在解答题中还需给出严格的证明. 2.迭代法、累加法或累乘法.其对应的递推关系有以下几种常见类型: （1）常数，或是可以求和的），使用累加法或迭代法； （2）（为非零常数），或（是可以求积的），使用累乘法或迭代法． 例1著名的斐波那契数列：，，，，，，，满足，，那么是斐波那契数列中的（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 例2已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 例3已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 例4一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则被除的余数为（   ） A． B． C． D． 变式1已知数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)给定正整数m，设函数，求． 变式2张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（   ） A． B． C． D． 变式3（2024·上海虹口·一模）已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有 个． 变式4在直角坐标平面内，将函数及在第一象限内的图象分别记作，，点在上．过作平行于x轴的直线，与交于点，再过点作平行于y轴的直线，与交于点． (1)若，请直接写出，的值； (2)若，求证：是等比数列； (3)若，求证：． 题型六、等差数列及其通项公式 例1（2024·上海·三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则 ． 例2（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 例3记为数列的前项和，已知，，且. (1)求的值； (2)证明：为等差数列. 变式1（2025·上海奉贤·二模）等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于 ． 变式2（2025·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前项和，若，则的值为 . 变式3已知，数列满足.若对任意正实数λ，总存在和相邻两项，使得成立，则实数的最小值为 . 变式4（2025·上海·模拟预测）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且 (1)证明:; (2)若集合，求集合中所有元素的和. 题型七、等差数列的性质 例1（2025·上海长宁·二模）已知数列是等差数列，且，则其前7项和 ． 例2（2024·上海·三模）设关于x的方程的从小到大的第i个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则ω的取值集合为 ． 变式1（2025·上海浦东新·二模）设数列为等差数列，其前项和为，已知，则 ． 变式2（2025·上海黄浦·二模）设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ． 题型八、等差数列的奇偶特性 例1已知等差数列的前项和为，且关于正整数的不等式与不等式的解集均为． 命题：集合中元素的个数一定是偶数个； 命题：若数列的公差，且，则． 下列说法中正确的是（   ） A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题 C．命题是假命题，命题是假命题 D．命题是真命题，命题是真命题 变式1若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列结论中正确的是 ． ①存在等差数列，使得是的“M数列” ②存在等比数列，使得是的“M数列” ③存在等差数列，使得是的“M数列” ④存在等比数列，使得是的“M数列” 变式2设是给定的正整数．对于数列，，…，，令集合． (1)对于数列，，，直接写出集合；（用列举法表示） (2)设常数．若，，…，是以为首项，为公差的等差数列，求证：集合的元素个数为； (3)若，，…，是等比数列，且，公比．求集合的元素个数，并求集合中所有元素之和． 题型九、等差数列的前n项和 例1（2025·上海·三模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 例2在等差数列中，，，则数列的前10项的和等于 . 变式1已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，若有最小值，则最小值为 ． 变式2已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是（    ） A．为等差数列，为等比数列 B．为等比数列，为等差数列 C．为等差数列，为等比数列 D．为等比数列，为等差数列 变式3（24-25高三上·上海金山·期末）已知是等差数列的前项和，若，则的值为 . 变式4（24-25高三上·上海青浦·期中）设等差数列的前项和为，若，则等于 变式5已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为 ． 求数列前项和的方法 1. 一般地，数列与数列是两个不相同的数列，只有数列中的每一项都是非负数时，它们表示的才是同一数列。因此，求数列的前项和时，应先弄清取什么值时或，去掉绝对值符号后再求和。 2. 若数列为等差数列，为其前项和，，则有： (1) 若，则存在，使得，，从而 (2) 若，则存在，使得，，从而 题型十、等差数列an与Sn的关系 例1已知数列的前n项和为，满足，则= 例2已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．27 B．28 C．54 D．55 变式1（2024·上海普陀·模拟预测）已知数列的通项公式为为数列的前项和，若，则实数的取值范围为 . 变式2已知数列的前项和为. (1)证明：是常数列； (2)设，求数列的前项和. 根据等差数列的前项和构造新的等差数列的两种方法 已知等差数列的前项和，可以构造出新的等差数列，从而利用等差数列的相关知识解题．常见的构造方法有：（1）是等差数列，公差为数列的公差的倍；（2）数列是等差数列，公差为数列的公差的．事实上，为常数为等差数列，且有成等差数列，其实质是，成等差数列的变形． 题型十一、等差数列前n项和的函数特性 例1（2024·上海·模拟预测）已知数列不是常数列，前项和为，且．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列是“可控数列”；②存在等比数列是“可控数列”．则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 例2（2024·上海黄浦·二模）已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为 . 变式1已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是 . 变式2已知数列是首项为9，公比为的等比数列． (1)求的值； (2)设数列的前项和为，求的最大值，并指出取最大值时的取值． 题型十二、等差数列的简单应用 例1（2024·上海杨浦·二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 .    变式1某地区1997年底沙漠面积为（注：是面积单位，表示公顷）.地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表： 观测年份 该地区沙漠面积比原有（1997年底）面积增加数 1998 2000 1999 4000 2000 6001 2001 7999 2002 10001 请根据上表所给的信息进行估计. (1)如果不采取任何措施，到2020年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少？ (2)如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于 变式2已知数列满足. (1)若数列的前4项分别为4，2，，1，求的取值范围； (2)已知数列中各项互不相同.令，求证：数列是等差数列的充要条件是数列是常数列； (3)已知数列是m（且）个连续正整数1，2，…，m的一个排列.若，求m的所有取值. 题型十三、等比数列 例1已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（    ） A． B． C． D． 例2在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 例3已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 变式1（2025·上海浦东新·三模）已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则 变式2（2024·上海静安·二模）已知等比数列的前项和为，则的值为 ． 题型十四、等比数列的通项公式 等比数列的设项方法与技巧 解决已知三个数或四个数成等比数列的问题，灵活地设项至关重要．一般地，当三个数成等比数列时，可设为，此时公比为；当四个数成等比数列时，可设为，此时公比为．在解题中要特别注意，若四个数成公比为负数的等比数列，则不可如此设项，可设为． 例1（2025·上海黄浦·三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（   ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件． 例2（2024·上海·三模）设，．若存在公比的无穷等比数列，使得对任意正整数都成立，则的取值范围是 ． 例3（2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为 ． 例4已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 变式1数列{}中，“”是“{}是公比为2的等比数列”的（    ）. A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2已知数列满足，则 . 变式3已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上. (1)证明：数列是等比数列； (2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由. 变式4已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为.求证：. 题型十五、等比数列的性质 例1已知等比数列，则（    ） A．14 B．32 C．16 D．54 例2在等比数列中，，则（   ） A．36 B． C． D．6 变式1设，已知，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2已知等比数列的公比，且，则 ． 变式3已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则 ． 题型十六、等比数列的前n项和 例1（24-25高三下·上海静安·期中）设函数的定义域为，若，且对任意，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D．以上答案均不对 例2已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（    ） A．9143 B．9145 C．10009 D．10154 例3已知数列和满足，，，. (1)证明：是等差数列，是等比数列； (2)求数列的前项和. 例4已知数列的前项和为，且． (1)若为等差数列，且，，求数列的通项公式； (2)若对任意，都有． ①求证：是等差数列； ②设，，，求的公差的值． 变式1（2025·上海青浦·三模）已知数列的前项和为，若，则不可能是（    ） A．公差大于0的等差数列 B．公差小于0的等差数列 C．公比大于0的等比数列 D．公比小于0的等比数列 变式2（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为 . 变式3已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为 ． 变式4已知等比数列的前3项和为168，前6项和为189，则数列的公比 . 变式5（2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 题型十七、等比数列前n项和的性质 例1设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 例2等比数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 变式1（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则 . 变式2（2024·安徽淮北·一模）正项等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则的最小值为 . 题型十八、等比数列an与Sn的关系 例1已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 变式1（2024·上海静安·二模）已知等比数列的前项和为，则的值为 ． 变式2已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型十九、数列求和 倒序相加法 当数列的第项与第项的和为定值（或有固定规律）时，可通过“正序求和+倒序求和”的方式，将和式转化为“定值×项数”的形式计算。 步骤： 1. 设正序和：设； 2. 写倒序和：将和式倒序，得； 3. 两式相加：将正序和与倒序和对应项相加，利用“”化简； 4. 求：根据相加后的结果，计算出。 例1（倒序相加法求和）若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 错位相减法解题步骤 数列是“等差数列×等比数列”的形式（即，其中是等差数列，是公比的等比数列）。 步骤： 1. 写出前项和： 2. 两边乘等比数列的公比： 3. 两式相减（错位相减）： 用“”，抵消中间项，整理得： （其中是等差数列的公差） 4. 化简求： 利用等比数列求和公式计算，再整理得到。 例2（错位相减法求和）在等差数列中，；记为数列的前项和，且. (1)分别求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 利用裂项相消法求和的注意点 裂项相消法求和的关键是能将数列的通项裂为两个结构相同的式子之差的形式.求和时或是相邻项相消求和,或是隔项相消求和,需要在前后多呈现几项,找出相消的规律,确保正确求和:常见的裂项类型与方法如下： (1); (2); (3); (4); (5). 例3（裂项相消法求和）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 分组求和法求数列的前项和 ①若，且为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和． ②通项公式为的数列，其中数列是等比或等差数列，可采用分组求和法． 基本的解题步骤为： ①准确拆分，根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和； ②分组求和，分别求出各个数列的和； ③得出结论，对拆分后每个数列的和进行求和，解决原数列的求和问题． 例4（分组（并项）法求和）已知数列中，，． (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 变式1若，已知数列中，首项，则 ． 变式2已知正项数列满足：. (1)证明是等比数列，并求通项； (2)若，求数列的前项和的表达式. 变式3设正项数列的前n项和，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 变式4已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项的和. 变式5记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 题型二十、数列的综合应用 例1某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（    ） A． B． C． D． 例2某工厂加工一种电子零件，去年月份生产万个，产品合格率为.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年月份的产量在去年月的基础上提高，产品合格率比去年月增加，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品数达到最大是今年的（    ） A．月份 B．月份 C．月份 D．月份 变式1如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 变式2近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达，每年年底扣除运营成本万元，再将剩余资金继续投入直播平合. (1)若，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？ (2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到万元） 变式3北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二十一、数列的极限与无穷等比数列 例1（2024·上海虹口·二模）已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则 . 例2首项为 2，公比为 的无穷等比数列的各项和为 . 变式1（2024·上海·三模）已知数列满足，点在双曲线上，则 ． 变式2（2024·上海·三模）无穷等比数列满足：，，则的各项和为 ． 变式3（2024·上海·一模）等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为 ． 变式4数列满足，且，为的前项和，求 题型二十二、数列新定义 例1（2025·上海金山·三模）对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（   ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 变式1（2025·上海杨浦·模拟预测）已知是一个公差不为的等差数列，其前项和为.若存在正整数(其中)使得，则称具有性质，称有序数对是的一组“数对”，记由的全体“数对”所组成的集合为.关于命题①“若具有性质且，则”与命题②存在具有性质的及互不相同的正整数(其中且，使得且，下列说法正确的是（   ）. A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 变式2（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 变式3（2025·上海普陀·二模）设，，、，是数列的前项和，且满足，数列是由个大于的整数组成的有穷数列，若，，则称数列是数列的“数列”.对于数列有如下两个命题：①若，则数列不是数列的“数列”；②若，则数列的“数列”至少有5个.则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 变式4（2025·上海·一模）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围； (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 题型二十三、数列不等式 例1已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. (1)求的通项公式； (2)对于任意，求实数的取值范围. 例2已知数列的前项和为，且，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 变式1数列满足，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列的前项和为，求使成立的最小正整数的值 变式2已知数列，记集合． (1)对于有限数列3，7，2，9，写出集合T； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组i，j；若不存在，说明理由． (3)若，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求n的最大值． 1．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 2．（2025·上海·三模）过点向曲线：（为正整数）引斜率为的切线，切点为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．数列的前项和为 D． 3．（2025·上海松江·二模）定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是. 则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 4．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 5．（2025·上海金山·二模）已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 6．（2025·上海嘉定·二模）已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为 ． 7．（2025·上海浦东新·二模）已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有 个． 8．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 试卷第120页，共121页 1 / 123 学科网（北京）股份有限公司 $