专题07 函数性质及其应用、三角函数解答题重难点汇总11考点（期末真题汇编，天津专用）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题07 函数性质及其应用、三角函数解答题重难点汇总 11大高频考点概览 考点01 含参二次函数问题 考点02 不等式恒成立问题 考点03 零点问题 考点04 最值问题 考点05 新定义问题 考点06 函数的奇偶性 考点07 函数的实际应用 考点08 三角函数的值域最值问题 考点09 三角函数的零点 考点10 平移与伸缩变换 考点11 三角函数恒成立问题 地 城 考点01 含参二次函数问题 1．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)已知二次函数，． (1)若时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围： (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) (3)当时，解集为：；当时，解集为：；当时，解集为：． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可； （2）求出函数的对称轴，根据函数在区间上单调，对称轴需要位于此区间之外，进行分类讨论即可求解； （3）求出的根，然后根据根的大小关系进行分类讨论，求解不等式的解集． 【详解】（1）当，函数， 将代入得， ， 不等式的解集为：； （2）因为的对称轴为：， 为了使函数在区间上单调，对称轴需要位于此区间之外， 或， 解得：或， 因此，实数a的取值范围为：； （3）将原不等式代入得， 整理后得：，即， ①当时，不等式的解集为：， ②当时，不等式的解集为：， ③当时，不等式的解集为：， 综上所述：当时，解集为：；当时，解集为：；当时，解集为：． 2．(24-25高一上·天津西青区·期末)已知函数. (1)求不等式的解集； (2)记函数在时的最小值为.求最小值的函数表达式. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）不等式化为，讨论三种情况，分别利用一元二次不等式的解法求解即可； （2）令，转化为求在区间上的最小值，分三种情况讨论对称轴的位置，分别利用二次函数的单调性即可求的函数表达式. 【详解】（1）即：， 不等式化为： 的根为 当时，，解得：或.不等式的解集为 当时，代入得，解得：.不等式的解集为 当时，，解得：：或.不等式的解集为 综上： 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 （2） 令，即求在区间上的最小值. 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ①当时，即当时， 函数在区间上单调递增， 当有最小值 ②当时，即当时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 有最小值 ③时，即当， 函数在区间上单调递减， 当有最小值 综上： 3．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知是函数的零点，. （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)；(Ⅲ)． 【分析】Ⅰ利用是函数的零点，代入解析式即可求实数的值；Ⅱ由不等式在上恒成立，利用参数分类法，转化为二次函数求最值问题，即可求实数的取值范围；Ⅲ原方程等价于，利用换元法，转化为一元二次方程根的个数进行求解即可． 【详解】Ⅰ是函数的零点， ，得； Ⅱ，， 则不等式在上恒成立， 等价为， ， 同时除以，得， 令，则， ，， 故的最小值为0， 则，即实数k的取值范围； Ⅲ原方程等价为， ， 两边同乘以得， 此方程有三个不同的实数解， 令，则， 则， 得或， 当时，，得， 当，要使方程有三个不同的实数解， 则必须有有两个解， 则，得． 【点睛】本题主要考查函数与方程根的问题，利用换元法结合一元二次方程根的个数，以及不等式恒成立问题，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 地 城 考点02 不等式恒成立问题 1．(23-24高一上·天津宁河区·期末)已知函数是指数函数，且其图象经过点，. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并证明： (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)为奇函数，证明见解析 (3)6 【分析】（1）设，代入点可求的解析式； （2）利用定义法判断并证明的奇偶性； （3）由的解析式，得不等式恒成立， 令，转化为在时恒成立，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）设指数函数，且， 函数图象经过点，有，解得， 所以. （2）为奇函数，证明如下： ，函数定义域为R， ， 所以为奇函数. （3）不等式， 即，得， 令， 由，当且仅当，即时等号成立，得， 则有在时恒成立，得在时恒成立， ，当且仅当，即时等号成立，则有， 所以实数的最大值为6. 【点睛】关键点点睛： 不等式恒成立，即不等式恒成立，配方和换元是解题关键，利用配方得，利用换元得在时恒成立，结合基本不等式求解即可. 2．(24-25高一上·天津部分区·期末)已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)根据函数单调性定义证明在上单调递增； (3)设函数，若存在，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数为奇函数，满足，求出的值，并验证即可； （2）根据单调性的定义证明函数的单调性即可； （3）将存在，对任意的，使得成立，转化为，求解即可. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，所以， 所以， 当时，， ，符合题意， 故. （2）, 设且， 则， 因为，所以且， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）因为存在，对任意的，使得成立， 所以只需在上的最大值大于等于在上的最大值， 由（2）知在上单调递增，所以， 而， 由于， 因为，所以， 所以当时，即时，， 所以， 即，解得. 3．(24-25高一上·天津河西区·期末)已知实数满足不等式. (1)求实数的取值范围； (2)求不等式的解集A； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由指数函数单调性性质即可求解； （2）由对数函数的单调性即可求解； （3）令，将题设不等式恒成立问题转化成一元二次不等式恒成立问题即可求解. 【详解】（1）因为函数在上单调递减， 又，所以， 所以实数的取值范围为. （2）由（1）可知函数为增函数，又， 所以. 所以不等式的解集. （3）当时，不等式恒成立， 令，则， 所以在上恒成立， 所以当时，当且仅当即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 4．(23-24高一上·天津部分区·期末)已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)根据函数单调性定义证明在上单调递减； (3)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数为奇函数的定义即可得到m值； （2）根据单调性的定义分析证明； （3）利用的奇偶性和单调性将不等式转为恒成立，转为求函数最值问题，最后解不等式即可得t的取值范围. 【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数， 所以，即， 即，即. （2）由（1）可得：， 任取，则 ， 因为，则，可得， 可得，即， 所以函数在R上是减函数． （3）因为，且是奇函数， 可得， 又因为在R上单调递减，则， 即， 可知对任意都成立， 由于， 注意到，则，即最大值为， 可得，即，解得或， 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 地 城 考点03 零点问题 1．(23-24高一上·天津四校（杨柳青一中、咸水沽一中、四十七中、一百中学）·期末)已知函数是奇函数，且一个零点为1. (1)求，的值及解析式； (2)已知函数在单调递减，是定义在且满足的函数，当时，，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点. 【答案】(1)，， (2) (3)0，4. 【分析】（1）根据零点和奇函数的定义，联立方程组，解得的值，得到解析式，验证的奇偶性，即可得解； （2）依题意利用偶函数和单调性可得满足的条件，进而可求解的取值范围； （3）求出的解析式，依题意求出，进而可得的其他零点. 【详解】（1）因为函数的一个零点是1，所以 ， 是奇函数，所以， 所以，，解得， ，定义域为. ，都有， 所以，是奇函数，满足题意，故，， （2）函数满足，所以是偶函数且在单调递减 因为不等式恒成立 所以， 所以 （3）， 因为函数的一个零点为2，所以，解得. 所以， 令，得或，解得. 所以函数的其余零点为0，4. 2．(23-24高一上·天津河东区·期末)函数，其中． (1)若，求的零点； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，即可求解零点， （2）令得，进而结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）当时，，令，则，故， 所以的零点为. （2）令，则，，故， 由于，所以，因此，由于，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，故， 所以的取值范围为 3．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)已知函数. (1)求函数的定义域，判断函数在定义域上的单调性并用定义证明； (2)求不等式； (3)函数（，），若存在，，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)在内为减函数，证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据对数函数的定义域求得的定义域，再根据单调性的定义分析证明； （2）根据的定义域与奇偶性，化简原不等式可得，再解不等式即可得到所求范围； （3）可知和的值域的交集非空，求的值域；以及讨论，时，的值域，即可得到所求范围. 【详解】（1）在内为减函数，证明如下： 令，可得，可知的定义域为， 且， 可知在内单调递减， 设，则， 且在定义域内单调递增，则， 可得，所以在内为减函数. （2）可知的定义域为， 且， 即，所以为奇函数. 因为，则， 且在定义域内为减函数 则，可得，则， 且，解得：， 所以原不等式的解集为. （3）函数， 若存在，使得成立，可知和的值域的交集非空， 当，则，可得的值域为， 若时，在递减，可得的值域为， 则，即； 若，则在递增，可得的值域为， 此时，不合题意； 综上所述：实数a的范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第3问关键在于转化问题为函数和的值域的交集非空，进而结合指数函数的单调性分类求解即可. 地 城 考点04 最值问题 1．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)若在区间上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若时，函数的最小值为5，求a的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由二次函数的单调性得最值； （2）根据对称轴与已知区间关系得结论； （3）根据对称轴与区间的关系分类讨论求得最小值得参数值． 【详解】（1）时，， 它在上递减，在上递增，，，， 所以； （2），对称轴是， 它在上单调递增，则，所以； （3）当即时，，无实解； 当即时，在上递增，，； 当即时，在上递减，,，舍去， 综上，． 2．(23-24高一上·天津耀华中学·期末)已知函数. (1)若在区间为单调增函数，求的取值范围； (2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (3)设函数，若对任意，都存在使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解； （2）根据二次函数的性质，分，和，三种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解； （3）根据题意，转化为，结合指数函数与对数函数的单调性和二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象开口向上，且对称轴为， 若函数在区间为单调增函数，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. （2）解：当时，即时，在区间上单调递增， 此时； 当时，即时，在区间上单调递减，在上单调递增，此时； 当时，即时，在区间上单调递减， 此时， 综上可得. （3）解：由函数， 对任意，都存在使不等式成立，即， 因为函数在为单调递减函数， 所以， 当时，即时，， 令，解得，此时，解集为空集； 当时，即时，， 令，解得，此时，解集为， 综上可得，实数的取值范围为. 3．(24-25高一上·天津四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)已知函数，其中为实数. (1)当时，若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (2)当时，若函数为偶函数， （i）求实数的值; （ii）若函数的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）利用换元法结合二次方程的零点可求参数的取值范围； （2）①由偶函数的必要条件即可求得，然后验证即可；②函数经过化简以及换元后得到一个二次函数，转化为二次函数动轴定区间上的最值问题. 【详解】（1）时，， 因为函数有且仅有一个零点，所以方程有且只有一个解， 令，则，故方程在有且只有一个解. 若 ，则，符合； 若，因，故方程在有且只有一个解，符合； 若，则，即，此时，符合； 所以. （2）（i）时，，定义域为， 因为函数为偶函数，所以，即， 故，解得， 经检验，时是偶函数，所以. （ii）, 令，则， 所以函数的最小值为， 当，即时，在上单调递增， 所以，解得； 当，即时，，解得（舍）. 综上，. 4．(23-24高一上·天津和平区天津一中·期末)已知函数（且）． (1)若，且，求的定义域； (2)若，函数的定义域为，存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当且时，可得出，利用对数的真数大于零以及指数函数的单调性可求得函数的定义域； （2）分析可知，关于的方程有两个不同的解，令，可得出方程有两个不同的正根，分、两种情况讨论，结合二次函数零点分布可求得的取值范围. 【详解】（1）解：当且时，， 由题知，即，解得， 故当且时，函数的定义域为． （2）解：因为，因为内层函数在定义域内为增函数， 外层函数在定义域内为增函数，所以，函数在定义域内单调递增， 因为函数的定义域为，存在，使得在上的值域为， 故，所以，关于的方程有两个不同的解，故，即有两个不同的解． 令，若，则，， 即方程可转化为有两个不同的正数根， 令，则， 设函数的两个零点分别为、，则，不合乎题意； 若，则，， 即方程可转化为在上有两个不同的实数根， 得，解得， 故实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解. 地 城 考点05 新定义问题 1．(24-25高一上·天津和平区·期末)双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数：，双曲余弦函数：，它们也有类似正余弦函数的性质，比如，． (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断在的单调性并用定义法进行证明； (3)关于的方程在有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用奇偶性定义证明即可； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）令，问题化为在上有解，求出左侧的值域范围，即可求参数范围. 【详解】（1）奇函数，证明如下： 由题设，的定义域均为R，且，， 所以分别为奇函数、偶函数， 所以且定义域为R， 所以为奇函数，得证. （2）在的单调递增，证明如下： 令，则， 显然，故，即， 所以在的单调递增. （3）由题设， 又，令， 结合(2)知单调递增，故， 又， 所以在上有解， 又在上单调递增，故， 所以 ，可得 . 2．(24-25高一上·天津五区县重点校·期末)对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. （1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由； （2）设是定义域上的“类函数”，求实数的取值范围； （3）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围. 【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意，得到，根据三角函数的恒等变换化简，得，得到存在满足，即可作出判定； （2）根据可化为，令，得到方程在有解可保证是“M类函数”，分离参数，即可求解. （3）由为其定义域上的“类函数”，得到存在实数使得，根据分段函数的解析式，结合函数的单调性，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数在定义域内存在实数，满足， 可得，即， 整理得， 所以存在满足 所以函数是“M类函数”. （2）当时，可化为， 令，则， 从而在有解可保证是“M类函数”， 即在有解可保证是“M类函数”， 设在为单调递增函数，可得函数的最小值为， 所以，即. （3）由在上恒成立，可得， 因为为其定义域上的“类函数”， 所以存在实数使得， ①当时，则， 所以，所以，即， 因为函数为单调增函数，所以； ②当时，，此时，不成立； ③当，则，所以，所以 因为函数为单调减函数，所以； 综上所述，求实数取值范围. 【点睛】本题主要考查了函数的分段函数的解析式及其应用，以及函数新定义“M类函数”的应用，其中解答中准确理解函数的新定义“M类函数”的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 地 城 考点06 函数的奇偶性 1．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）用定义证明在上为减函数； （3）解不等式. 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）根据和计算得到答案. （2），设，计算得到答案. （3）根据函数的奇偶性和单调性得到，解得答案. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则，即， 得，， 则，，则， 即，即，得. （2）∵，，∴， 设，则， ∵，∴，则，即在上为减函数. （3）由，得， ∵是奇函数，且在上是减函数，∴不等式等价为， 即.得. 即实数的取值范围是. 【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数，单调性的证明，利用单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 2．(23-24高一上·天津和平区·期末)已知函数，且， (1)求函数的定义域，并在判断函数的奇偶性后加以证明： (2)当时， （i）判断函数的单调性，并根据函数单调性的定义加以证明； （ii）解关于的不等式：. 【答案】(1)定义域为，奇函数，证明见解析； (2)（i）减函数，证明见解析；（ii）. 【分析】（1）借助对数函数定义求出定义域，再利用奇偶函数定义判断证明即得. （2）（i）判断单调性，再利用函数单调性定义推理即得；（ii）利用单调性脱去法则，再解指数不等式即得. 【详解】（1）函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为； 显然， 所以函数是奇函数. （2）（i）当时，在上单调递减， ，， 因为，则，， 因此，，即， 所以函数是上的减函数. （ii）由（1）知，， 而函数是上的减函数，则，即， 解，即，得，解，即，得， 解，即，得，因此， 所以原不等式的解集为. 【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若为偶函数，则. 3．(24-25高一上·天津河东区·期末)已知函数且是偶函数，函数且. (1)求实数的值. (2)当时， ①求的值域. ②若，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用函数的奇偶性得到，代入化简即可解得的值； （2）①利用基本不等式可得，再根据对数函数的单调性即可求得的值域； ②将问题转化为恒成立，从而得到在上恒成立，利用换元法将问题转化为在上恒成立，从而得解. 【详解】（1）∵函数且是偶函数， ，即， ， . ∵不恒为0，，即. 经检验，当时，的定义域为，关于原点对称， 且，∴函数是偶函数，满足题意. 故. （2）①由（1）可知：当时，， ∵，∴由基本不等式可知， 当且仅当即时等号成立. 又对数函数在上单调递增，， 即函数的值域为. ②由题意得. ，使得恒成立， ，使得恒成立， 则恒成立. 由①得当时，，， 恒成立. 在上恒成立. 令，，， 则在上恒成立，即在上恒成立. ∵函数在上单调递减，， ，即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）求函数值域的常用方法有：利用函数的单调性；基本不等式；分离常数法；配方法；判别式法；图象法(观察法)等； （2）不等式恒成立问题即为求函数的最值问题，常常采用参变分离法求参数的取值范围：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决. 地 城 考点07 函数的实际应用 1．(23-24高一上·天津重点校联考·期末)某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为0.4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系数为（注：若与成反比，且比例系数为，则其关系表示为）．该地区的电力成本价为0.3元． (1)下调后的实际电价为（单位：元），写出新增用电量关于的函数解析式； (2)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单位：元）关于实际电价（单位：元）的函数解析式；（注：收益=实际电量（实际电价－成本价）） (3)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长? 【答案】(1)， (2) (3)0.6元 【分析】（1）由已知，列出函数关系即可得出结果； （2）由（1）得到本年度实际用电量，再乘以即可； （3）根据上年度电力部门实际收益以及本年度电力部门预收益，然后由求解即可. 【详解】（1）因为下调电价后新增用电量和实际电价元，与用户的期望电价0.4元的差成反比，且比例系数为， 所以，依题意知用电量关于的函数表达式为， （2）依题意知用电量增至， 所以，电力部门的收益为； （3）依题意有， 整理得， 解此不等式组得． 答：当电价最低定为0.6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长． 2．(24-25高一上·天津河东区·期末)某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量.已知其车流量（单位：千辆）是时间（，单位：）的函数，记为，下表是某日桥上的车流量的数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （千辆） 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1 经长期观察，函数的图象可以近似地看做函数（其中，，，）的图象. (1)根据以上数据，求函数的近似解析式； (2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？ 【答案】（1）    （2） 8个小时 【分析】（1）根据函数的最大最小值可求出和，根据周期求出，根据一个最高点的横坐标可求得； （2）解不等式可得． 【详解】(1)根据表格中的数据可得: 由， ,解得： 由当时，有最大值，则 即，得. 所以函数的近似解析式 （2）若车流量超过4千辆时，即 所以，则 所以，且. 所以和满足条件. 所以估计一天内将有8小时不允许这种货车通行． 【点睛】本题考查了根据一些特殊的函数值观察周期特点，求解三角函数解析式以及简单应用，属中档题． 地 城 考点08 三角函数的值域最值问题 1．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)已知函数． (1)求的最小正周期： (2)求函数取最大值时的取值集合； (3)设函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得结果； （2）解方程可得结果； （3）根据求出的取值范围，结合正弦型函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以，函数的最小正周期为. （2）当时，即当时，函数取最大值， 故函数取最大值时的取值集合为. （3）当时，， 由于函数在区间上单调递减，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 2．(23-24高一上·天津南开区·)已知函数，其图象与直线的交点的横坐标为，且的最小值为． (1)求的最小正周期和对称中心坐标； (2)求函数在区间上的取值范围； (3)求函数的单调递增区间． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数表达式，由题意得函数周期进而得表达式，整体代入求解对称中心即可. （2）由题意得，由此即可得解. （3）由复合函数单调性令，即可得解. 【详解】（1） 因为图象与直线的交点的横坐标为，且的最小值为， 所以函数的最小正周期为，得到． 则， 由，得， 所以图象的对称中心坐标为． （2）因为，所以， 所以， 所以 即的取值范围为. （3）由，得 所以的单调递增区间为. 3．(23-24高一上·天津和平区·期末)已知函数， (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)求函数的单调递减区间； (3)若函数在上最大值与最小值的和为，求实数的值. 【答案】(1)，对称轴方程为，. (2)，； (3). 【分析】 （1）利用二倍角公式和两角和的余弦公式进行化简为正弦型函数，进而求得最小正周期和对称轴方程； （2）根据题意得到不等式组，解出即可. （3）当时，，再求出的最大值与最小值，然后列出方程求得的值． 【详解】（1）函数 ， 函数的最小正周期为：， 令，，解得，， 则对称轴方程为，. （2）令，， 解得：，， 函数的单调递减区间为：，； （3）当时， ， 令或，解得：或， 此时函数取得最小值为：， 令，解得：， 此时函数取得最大值为：， 又的最大值与最小值的和为，所以有： ，解之得：. 地 城 考点09 三角函数的零点 1．(23-24高一上·天津耀华中学·期末)已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求在上的值域； (3)试讨论函数在上零点的个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦型函数的周期公式即可得到答案； （2）利用整体法求出，再通过正弦型函数的值域求解方法即可； （3）等价转化为方程在上的解的个数，再结合正弦型函数的性质与值域即可. 【详解】（1）函数， 故函数的最小正周期为. （2）在上，， 可得. （3）函数在上零点的个数， 即方程在上的解的个数. ， 当或时，方程有一个解， 当时，方程有2个解， 当或时，方程无解. 综上可得，当或时，一个零点； 当时，2个零点； 当或时，没有零点. 2．(23-24高一上·天津和平区天津一中·期末)已知函数 的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出表达式，根据图象的变换写出变换后的解析式，根据偶函数的条件求参数； （2）参变分离进行处理，将问题转化为，只需求出不等式右边的最小值，结合对勾函数的单调性进行辅助求解； （3）先求出零点的一般形式，结合零点的个数求出区间长度的最小范围. 【详解】（1）由，得，则 则为偶函数， 于是轴是其一条对称轴，根据正弦函数的性质，在对称轴对应的横坐标处一定取到最值，所以， 又，所以，故. （2）因为，所以， 故，， 而恒成立， 即， 整理可得. 令，， 设，，设，且， 则， 由于，，则，所以， 即区间上单调递增，故， 故，即实数m的取值范围是. （3）由题意知， 由得， 故或，， 解得或，， 故的零点为或，， 所以相邻两个零点之间的距离为或 若最小，则和都是零点，此时在区间，，…，， 分别恰有个零点， 所以在区间上恰有个零点， 从而在区间上至少有一个零点，所以， 另一方面，在区间上恰有个零点， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问零点个数的处理可以考虑研究区间长度为的情况，发现规律后扩充到区间长度为整数倍的上进行求解. 3．(23-24高一上·天津滨海新区·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的单调递减区间； (3)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用诱导公式、倍角正弦公式及辅助角公式化简函数式，进而求最小正周期； （2）令，结合正弦函数性质求递减区间； （3）问题化为在上有解，令，，再结合二次函数性质求参数范围. 【详解】（1） ， 由，则的最小正周期为. （2）由（1）知，设，，所以， 又在的单调递减区间是， 由，得，所以在上的单调递减区间是. （3）由（2）知，所以. 函数在上存在零点， 即在上有解. 由（2）知在，上单调递增，在上单调递减. 在上，. 令，，则， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 地 城 考点10 平移与伸缩变换 1．(24-25高一上·天津南开中学·)已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：， ，试确定n的值，并求的值. 【答案】(1)，单调递减区间为 (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换公式，化简函数f(x)的解析式，利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数值，从而得到函数解析式以及单调区间； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数g(x)的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程结合正弦函数图象得到方程根的个数，结合三角函数图象的对称性分组求和. 【详解】（1）由题意，函数 ， 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数. 令，解得， 所以单调递减区间为. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数的值域. （3）由方程，即，即， 因为，可得，设，其中，即， 结合正弦函数的图象，如图所示： 可得方程在区间有5个解，即， 其中， 即，， 解得， 所以. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于结合图像以及对称性可得，进而分析求解. 2．(23-24高一上·天津和平区天津一中·期末)已知点，是函数（，，）图象上的任意两点，，且当时，的最小值为． (1)求的值； (2)将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来，再把所有得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图像.求函数在区间上的值域； (3)若时，不等式恒成立，求实数c的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据可求得，根据当时，的最小值为，可得，即可求得，进而可得出答案； （2）先求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质即可得解； （3）由不等式恒成立，可得，求出函数在上的最值即可得解. 【详解】（1）由得， 又∵当时，的最小值为， ∴即， ∴， ∴； （2）函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来， 得， 再把所有得到的图象向左平移个单位长度，得， ∴， ∵，∴， ∴在区间上的值域为； （3）∵，∴， 此时，， ∵不等式恒成立， ∴，即，解得， 故c的取值范围是. 【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式； 第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围； 第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 3．(23-24高一上·天津耀华中学·期末)已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间. 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为， (2) 【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得，再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可； （2）根据三角函数图形变换的性质可得，再根据余弦函数的单调区间求解即可. 【详解】（1）， ， 所以函数的最小正周期为， 令，，得函数的对称轴方程为， （2）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为， 所以， 令， 所以.又， 所以在上的单调递减区间为. 地 城 考点11 三角函数恒成立问题 1．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知． (1)当时，求的值； (2)若的最小值为，求实数的值； (3)对任意的，不等式恒成立．求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用辅助角公式，化简函数，再代入求； （2）首先设，利用三角恒等变换，将函数表示成关于的二次函数，讨论对称轴，结合定义域求函数的最小值，列式求解； （3）根据（2）的结果，不等式参变分离为，在恒成立，转化为判断函数的单调性，求函数的最值，即可求解的取值范围. 【详解】（1）， 当时， ； （2）设，则，， ，其对称轴为， 当，即时，的最小值为，则； 当，即时，的最小值为；则； 综上，或； （3）由，对所有都成立． 设，则， ，恒成立， ，，在恒成立， 当时，递减，则在递增， 时取得最大值 得， 所以存在符合条件的实数，且的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题的关键利用公式，从而利用换元法转化为关于的函数问题. 2．(22-23高一上·天津四校（杨柳青一中、咸水沽一中、四十七中、一百中学）·期末)已知． (1)函数，若方程在上有四个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若函数的定义域为，求函数的最值； (3)，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据方程有四个根转化为两个函数与有四个不同的交点，由图像可得结果； （2）由对数函数的性质可得的值域，通过换元法及二次函数的性质可得结果； （3）由对数函数的单调性转化为对恒成立，利用基本不等式求出的最大值， 转化为对恒成立，求出的最大值，根据一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）函数图像如图所示：因为在上有四个不相等的实数根，即函数与有四个不同的交点， 由图像可知：，即， 故实数的取值范围为. （2）由题意，，由解得， 当时，； 所以， 当时，， 所以，令则， 设，该函数在时单调递减， 所以，； （3）因为，且 所以， 依题意恒成立， 根据函数在上为增函数，所以对恒成立， 设，因为， 又，当且仅当， 即，所以时取等号，     所以，即对恒成立， 所以对恒成立，又当时，在时有最大值6， 所以，即或， 故实数的取值范围. 【点睛】本题关键第三问：由对数函数的单调性转化为对恒成立，利用基本不等式求出的最大值，转化为对恒成立，求出的最大值，根据一元二次不等式求解即可. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07函数性质及其应用、三角函数解答题重难点汇总 11大高频考点概览 考点01 含参二次函数问题 考点02 不等式恒成立问题 考点03 零点问题 考点04 最值问题 考点05 新定义问题 考点06 函数的奇偶性 考点07 函数的实际应用 考点08 三角函数的值域最值问题 考点09 三角函数的零点 考点10 平移与伸缩变换 考点11 三角函数恒成立问题 地 城 考点01 含参二次函数问题 1．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)已知二次函数，． (1)若时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围： (3)解关于x的不等式． 2．(24-25高一上·天津西青区·期末)已知函数. (1)求不等式的解集； (2)记函数在时的最小值为.求最小值的函数表达式. 3．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知是函数的零点，. （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 地 城 考点02 不等式恒成立问题 1．(23-24高一上·天津宁河区·期末)已知函数是指数函数，且其图象经过点，. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并证明： (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 2．(24-25高一上·天津部分区·期末)已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)根据函数单调性定义证明在上单调递增； (3)设函数，若存在，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 3．(24-25高一上·天津河西区·期末)已知实数满足不等式. (1)求实数的取值范围； (2)求不等式的解集A； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 4．(23-24高一上·天津部分区·期末)已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)根据函数单调性定义证明在上单调递减； (3)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 地 城 考点03 零点问题 1．(23-24高一上·天津四校（杨柳青一中、咸水沽一中、四十七中、一百中学）·期末)已知函数是奇函数，且一个零点为1. (1)求，的值及解析式； (2)已知函数在单调递减，是定义在且满足的函数，当时，，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点. 2．(23-24高一上·天津河东区·期末)函数，其中． (1)若，求的零点； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 3．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)已知函数. (1)求函数的定义域，判断函数在定义域上的单调性并用定义证明； (2)求不等式； (3)函数（，），若存在，，使得成立，求实数a的取值范围. 地 城 考点04 最值问题 1．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)若在区间上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若时，函数的最小值为5，求a的值． 2．(23-24高一上·天津耀华中学·期末)已知函数. (1)若在区间为单调增函数，求的取值范围； (2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (3)设函数，若对任意，都存在使不等式成立，求实数的取值范围. 3．(24-25高一上·天津四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)已知函数，其中为实数. (1)当时，若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (2)当时，若函数为偶函数， （i）求实数的值; （ii）若函数的最小值为，求实数的值. 4．(23-24高一上·天津和平区天津一中·期末)已知函数（且）． (1)若，且，求的定义域； (2)若，函数的定义域为，存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围． 地 城 考点05 新定义问题 1．(24-25高一上·天津和平区·期末)双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数：，双曲余弦函数：，它们也有类似正余弦函数的性质，比如，． (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断在的单调性并用定义法进行证明； (3)关于的方程在有解，求实数的取值范围． 2．(24-25高一上·天津五区县重点校·期末)对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. （1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由； （2）设是定义域上的“类函数”，求实数的取值范围； （3）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围. 地 城 考点06 函数的奇偶性 1．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）用定义证明在上为减函数； （3）解不等式. 2．(23-24高一上·天津和平区·期末)已知函数，且， (1)求函数的定义域，并在判断函数的奇偶性后加以证明： (2)当时， （i）判断函数的单调性，并根据函数单调性的定义加以证明； （ii）解关于的不等式：. 3．(24-25高一上·天津河东区·期末)已知函数且是偶函数，函数且. (1)求实数的值. (2)当时， ①求的值域. ②若，使得恒成立，求实数的取值范围. 地 城 考点07 函数的实际应用 1．(23-24高一上·天津重点校联考·期末)某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为0.4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系数为（注：若与成反比，且比例系数为，则其关系表示为）．该地区的电力成本价为0.3元． (1)下调后的实际电价为（单位：元），写出新增用电量关于的函数解析式； (2)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单位：元）关于实际电价（单位：元）的函数解析式；（注：收益=实际电量（实际电价－成本价）） (3)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长? 2．(24-25高一上·天津河东区·期末)某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量.已知其车流量（单位：千辆）是时间（，单位：）的函数，记为，下表是某日桥上的车流量的数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （千辆） 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1 经长期观察，函数的图象可以近似地看做函数（其中，，，）的图象. (1)根据以上数据，求函数的近似解析式； (2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？ 地 城 考点08 三角函数的值域最值问题 1．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)已知函数． (1)求的最小正周期： (2)求函数取最大值时的取值集合； (3)设函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 2．(23-24高一上·天津南开区·)已知函数，其图象与直线的交点的横坐标为，且的最小值为． (1)求的最小正周期和对称中心坐标； (2)求函数在区间上的取值范围； (3)求函数的单调递增区间． 3．(23-24高一上·天津和平区·期末)已知函数， (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)求函数的单调递减区间； (3)若函数在上最大值与最小值的和为，求实数的值. 地 城 考点09 三角函数的零点 1．(23-24高一上·天津耀华中学·期末)已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求在上的值域； (3)试讨论函数在上零点的个数. 2．(23-24高一上·天津和平区天津一中·期末)已知函数 的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 3．(23-24高一上·天津滨海新区·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的单调递减区间； (3)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围. 地 城 考点10 平移与伸缩变换 1．(24-25高一上·天津南开中学·)已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：， ，试确定n的值，并求的值. 2．(23-24高一上·天津和平区天津一中·期末)已知点，是函数（，，）图象上的任意两点，，且当时，的最小值为． (1)求的值； (2)将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来，再把所有得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图像.求函数在区间上的值域； (3)若时，不等式恒成立，求实数c的取值范围. 3．(23-24高一上·天津耀华中学·期末)已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间. 地 城 考点11 三角函数恒成立问题 1．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知． (1)当时，求的值； (2)若的最小值为，求实数的值； (3)对任意的，不等式恒成立．求的取值范围． 2．(22-23高一上·天津四校（杨柳青一中、咸水沽一中、四十七中、一百中学）·期末)已知． (1)函数，若方程在上有四个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若函数的定义域为，求函数的最值； (3)，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $