精品解析：天津市红桥区2024-2025学年高一上学期期末数学试卷

高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共10题，每小题3分，共30分． 一、选择题：每小题四个选项中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算错误是（ ） A B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 9. 函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数．若方程有三个不等的实数解且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡上． 11. _________． 12. 若，则_________． 13. 已知实数满足，则_________． 14. 已知角的终边经过点，将角的终边绕原点顺时针旋转与角的终边重合，则________. 15. “扇形窗下清风徐”，如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为120cm，圆心角为，窗子左右两边的边框长度都为60cm，则该窗的面积为_________cm2． 16. 已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为_________． 17. 已知函数，若，，且，则ab的取值范围是________． 18. 对于实数，下列说法正确的是_________．（填写序号） ①若，且，则的最小值为； ②命题“”的否定是“”； ③若，则； ④的定义域为 三、解答题：本大题共5小题，共46分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案直接答在答题卡上． 19. 设集合． （1）当时，求集合、； （2）若，求实数的取值范围； 20. 已知，是第三象限角． （1）求的值； （2）求的值． 21. 给定函数. （1）在同一直角坐标系中画出函数的图像； （2） 表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值. 22. 已知函数图象恒过定点，且点又在函数的图象上． （1）求实数的值； （2）解不等式； （3）有两个不等实根时，求的取值范围． 23. 为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为脱贫乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题，为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流，已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数 1 2 3 会员人数（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． （1）根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； （2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立t年的会员人数将超过100.2万人，求的最小值．（结果取整数）参考数据：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共10题，每小题3分，共30分． 一、选择题：每小题四个选项中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算法则计算． 【详解】由题意，所以． 故选：B． 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式，结合充分、必要性定义判断条件间的关系即可. 【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数定义即可求解. 【详解】由题意及图示可知，点的纵坐标为， 则点的横坐标为， 所以. 故选：B. 4. 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对按奇偶分类讨论可得． 【详解】当时，， 此时的终边和的终边一样， 当时，， 此时的终边和的终边一样． 故选：C． 5. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数性质可对A项判断；利用幂函数性质可对B项判断；利用对数函数性质可对C项判断；利用二次函数性质可对D项判断. 【详解】对于选项A：根据指数函数的单调性可知该函数在上为减函数，故A项错误； 对于选项B：根据幂函数的性质可知该函数在上为减函数，故B项错误； 对于选项C：根据对数函数的单调性可知该函数在上为增函数，故C项正确； 对于选项D：根据二次函数的性质可知该函数在上不单调，故D项错误. 故选：C. 6. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用指对数的运算性质化简求值判断各项正误. 【详解】，A对； ，B对； ，C对； ，D错 故选：D 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为函数为奇函数，得从而求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且时，， 所以. 故选：A. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值“1”、“2”分析判断. 【详解】由题意可知：在内单调递减， 可得，即； 在内单调递增，可得，即； 在内单调递减，可得，即； 综上所述： 故选：B. 9. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可. 【详解】由题设，因为在上单调递增， 则是定义域在上为连续不断的递增函数, 又，， 由零点存在定理可知，零点所在区间为. 故选： 10. 已知函数．若方程有三个不等的实数解且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数解析式画出函数大致图象，数形结合判断参数k的范围，及所在区间，进而判断各项正误. 【详解】由解析式，可得函数大致图象如下： 令，可得或， 令，可得，令，可得， 由图知，要使方程有三个不等的实数解，且， 所以，且，，A、B对； ，C对； 由，而，故，D错. 故选：D 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡上． 11. _________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】应用诱导公式化简求值. 【详解】. 故答案为： 12. 若，则_________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用指对数关系及，即可求解. 【详解】由题设，则. 故答案为：8 13. 已知实数满足，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据指对数互化式和对数的运算性质求解即可. 【详解】，. 所以. 故答案为：1 14. 已知角的终边经过点，将角的终边绕原点顺时针旋转与角的终边重合，则________. 【答案】 【解析】 【分析】结合三角函数的定义，以及确定，根据诱导公式，即可求解. 【详解】依题意得，又， 所以. 故答案为. 15. “扇形窗下清风徐”，如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为120cm，圆心角为，窗子左右两边的边框长度都为60cm，则该窗的面积为_________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】应用扇形的面积公式求该窗的面积. 【详解】由题意，扇形的圆心角为，大扇形的半径为120cm，小扇形的半径为60cm， 所以该窗的面积为. 故答案为： 16. 已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式先求当时不等式的解，再由偶函数对称性求出时的解，综上即可得出不等式解集. 【详解】当时，，解得， 因为是上的偶函数，故图象关于轴对称， 所以当时，， 令，解得， 综上，的解集为. 故答案为： 17. 已知函数，若，，且，则ab的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，再将化为关于的二次函数，利用二次函数知识可求得结果. 【详解】依题意可得，即，所以， 所以，所以， 所以. 故答案为： 18. 对于实数，下列说法正确的是_________．（填写序号） ①若，且，则的最小值为； ②命题“”的否定是“”； ③若，则； ④的定义域为 【答案】②③ 【解析】 【分析】由对数函数性质可得，再应用基本不等式判断①；根据全称命题的否定是任意改存在并否定原结论判断②；根据不等式性质判断③；根据根式、对数的性质求函数定义域判断④. 【详解】①若，且，则，故， 所以，当且仅当时等号成立，不满足前提，错； ②由全称命题的否定为特称命题，则命题“”的否定是“”，对； ③若，即，故，对； ④由，知，可得，错. 故答案：②③ 三、解答题：本大题共5小题，共46分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案直接答在答题卡上． 19. 设集合． （1）当时，求集合、； （2）若，求实数的取值范围； 【答案】（1），或； （2） 【解析】 【分析】（1）直接代入解出分式不等式和一元二次不等式即可； （2）求出，或，再根据并集的含义即可得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 当时，或， 由，得，则有， 解得，所以； 【小问2详解】 由，得， 解得，所以， 由（1）得，则或， 由于， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 20. 已知，是第三象限角． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式得，再根据同角三角函数基本关系即可得到； （2）根据诱导公式化简得原式等于，再结合（1）的结果即可得到答案. 【小问1详解】 ， 则，因为是第三象限角，则. 【小问2详解】 由（1）知， . 21. 给定函数. （1）在同一直角坐标系中画出函数的图像； （2） 表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值. 【答案】（1）图象见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据函数解析直接画图象即可； （2）先求出两函数图象的交点坐标，再根据图象可求出的解析式和其最小值. 【小问1详解】 对于，过作一条直线即可得到的图象， 对于是对称轴为，开口向上的抛物线，过作平滑曲线可得的图象，图象如图所示， 【小问2详解】 由，得或，结合图象，可得的解析式为 ， 结合图象可知，当时，. 22. 已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上． （1）求实数的值； （2）解不等式； （3）有两个不等实根时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由指数函数性质得定点坐标，代入解析式求得； （2）利用单调性解不等式； （3）利用函数图象交点个数确定结论． 【小问1详解】 函数的图像恒过定点A，且，则A点的坐标为， 又因为A点在的图象上， 所以， 所以, 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以所要解不等式为， 而对数函数在定义域上单调递增， 所以，即， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 由知：， 令，， 由方程有两个不等实根， 可知函数的图象有两个不同交点，如下图示 由图象可知：， 故的取值范围为. 23. 为了巩固拓展脱贫攻坚成果，振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为脱贫乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题，为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流，已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数 1 2 3 会员人数（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． （1）根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； （2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立t年的会员人数将超过100.2万人，求的最小值．（结果取整数）参考数据：． 【答案】（1）模型③，理由见解析，， （2）12 【解析】 【分析】（1）根据表中数据的增长速度选出正确的模型，待定系数法求出解析式； （2）在（1）的基础上，解不等式，求出答案. 【小问1详解】 从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快． 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②， 模型③符合两个条件，所以选择模型③． 将数据代入可得，解得， 所以，函数为，． 【小问2详解】 由（1）知，， 则．得， ． 故t的最小值为12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$