专题03 函数的概念与性质13考点（期末真题汇编，天津专用）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题03函数的概念与性质 13大高频考点概览 考点01 相等函数 考点02 函数的定义域 考点03 分段函数的解析式与求值 考点04 分段函数的单调性 考点05 分段函数的最值 考点06 分段函数的零点 考点07 函数的奇偶性与单调性 考点08 奇偶性、单调性求参 考点09 函数的奇偶性求值 考点10 函数的奇偶性求解析式 考点11 函数的奇偶性解不等式 考点12 函数的值域与最值零点问题 考点13 抽象函数 地 城 考点01 相等函数 1．(23-24高一上·天津部分区·期末)下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．(22-23高一上·天津中学·期中)在下列函数中，函数表示同一函数的（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)下列各组函数中，与表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 地 城 考点02 函数的定义域 1．(24-25高一上·天津部分区·期末)已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·天津部分区·期末)函数的定义域为 . 3．(23-24高一上·天津河东区·期末)函数的定义域为 . 4．(22-23高一上·天津四校（杨柳青一中、咸水沽一中、四十七中、一百中学）·期末)若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 地 城 考点03 分段函数的解析式与求值 1．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)已知函数则 ． 2．(22-23高一上·天津四校（杨柳青一中、咸水沽一中、四十七中、一百中学）·期末)已知函数．若．则实数（    ） A． B．1 C． D．2 地 城 考点04 分段函数的单调性 1．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)若函数严格递增，则实数的取值范围是（   ） A．, B．, C． D． 3．(24-25高一上·天津五区县重点校·期末)已知函数在区间上单调递增，求参数a的取值范围 . 地 城 考点05 分段函数的最值 1．(24-25高一上·天津红桥区·期末)给定函数.   (1)在同一直角坐标系中画出函数的图像； (2) 表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值. 2．(23-24高一上·天津河北区·期末)给定函数，，． (1)求不等式的解集； (2)，用表示，中的最大者，记为，用解析法表示函数； (3)设函数在上的最小值为，求函数的表达式． 地 城 考点06 分段函数的零点 1．(24-25高一上·天津红桥区·期末)已知函数．若方程有三个不等的实数解且，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)设，函数，若函数在区间内恰有7个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·天津和平区·期末)已知，若存在实数，使得关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是 . 4．(23-24高一上·天津和平区·期末)已知函数，若关于的方程有4个不同的解，，其中，则 ，的取值范围为 . 5．(23-24高一上·天津滨海新区·期末)设函数 （ⅰ） ； （ⅱ）若存在实数，，，满足，且，则的取值范围是 . 地 城 考点07 函数的奇偶性与单调性 1．(24-25高一上·天津河西区·期末)下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·天津和平区·期末)下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·天津西青区·期末)已知函数，不等式的解集为或. (1)求函数的解析式； (2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 5．(23-24高一上·天津宁河区·期末)已知函数，且. (1)求实数m的值； (2)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增. (3)若，求值域. 地 城 考点08 奇偶性、单调性求参 1．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)若函数是定义在上的的偶函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(23-24高一上·天津和平区·期末)设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)若幂函数是偶函数，则 . 4．(24-25高一上·天津部分区·期末)若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 5．(23-24高一上·天津部分区·期末)若对数函数和函数在区间上均单调递增，则实数的取值范围是 . 地 城 考点09 函数的奇偶性求值 1．(24-25高一上·天津红桥区·期末)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．2 C． D． 2．(24-25高一上·天津西青区·期末)已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．(23-24高一上·天津耀华中学·期末)已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有.当时，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)设是定义在上的函数，满足，，当时，，则 . 地 城 考点10 函数的奇偶性求解析式 1．(23-24高一上·天津宁河区·期末)若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ，若，则实数的取值范围是 . 2．(23-24高一上·天津四校（杨柳青一中、咸水沽一中、四十七中、一百中学）·期末)已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义证明在区间上是增函数； (3)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围. 地 城 考点11 函数的奇偶性解不等式 1．(24-25高一上·天津河北区·期末)已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·天津南开区·)已知是定义在上的奇函数，且，若对于，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·天津重点校联考·期末)已知是定义在上的奇函数，当时， 则不等式的解集为 ． 地 城 考点12 函数的值域与最值零点问题 1．(24-25高一上·天津河西区·期末)设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数是 ． 2．(24-25高一上·天津西青区·期末)给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为 . 3．(24-25高一上·天津四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·天津五区县重点校·期末)已知函数，下面结论中正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．若，则 C．的值域为 D．若函数有两个零点，则的取值范围是 5．(24-25高一上·天津五区县重点校·期末)已知函数. (1)求函数的值域； (2)试判断在区间的单调性，并证明； (3)对，总，使成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03函数的概念与性质 13大高频考点概览 考点01 相等函数 考点02 函数的定义域 考点03 分段函数的解析式与求值 考点04 分段函数的单调性 考点05 分段函数的最值 考点06 分段函数的零点 考点07 函数的奇偶性与单调性 考点08 奇偶性、单调性求参 考点09 函数的奇偶性求值 考点10 函数的奇偶性求解析式 考点11 函数的奇偶性解不等式 考点12 函数的值域与最值零点问题 考点13 抽象函数 地 城 考点01 相等函数 1．(23-24高一上·天津部分区·期末)下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式及值域是否相同即可. 【详解】选项A：函数的定义域为，而的定义域为，故A错误； 选项B：函数的定义域为，而的定义域为，，故B错误； 选项C：函数的定义域为，而的定义域为，解析式相同,故C正确； 选项D：函数的定义域为，而的定义域为， 但是，故解析式不一样，所以D错误； 故选：C. 2．(22-23高一上·天津中学·期中)在下列函数中，函数表示同一函数的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，判断函数是否相等，需对比定义域和对应关系，先求定义域，再整理解析式，可得答案. 【详解】由题意，函数，其定义域为，其解析式为， 对于A，函数，其定义域为，故A错误； 对于B，函数，其定义域为，对应法则不同，故B错误； 对于C，与题目中的函数一致，故C正确； 对于D，函数，其定义域为，故D错误， 故选：C. 3．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)下列各组函数中，与表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】先求出各项的定义域，若定义域相同，则化简解析式，即可得出答案. 【详解】对于A项，的定义域为R，的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一函数； 对于B项，的定义域为R，的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一函数； 对于C项，的定义域为R，的定义域为R，且， 所以是同一函数； 对于D项，的定义域为，的定义域为R， 定义域不相同，所以不是同一函数. 故选：C. 地 城 考点02 函数的定义域 1．(24-25高一上·天津部分区·期末)已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式和对数函数的定义域要求求解即可. 【详解】要使函数有意义，需要满足，解得且， 所以的定义域为， 故选：D. 2．(23-24高一上·天津部分区·期末)函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据解析式有意义列不等式求解可得. 【详解】由题可知，所以，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 3．(23-24高一上·天津河东区·期末)函数的定义域为 . 【答案】 【分析】利用给定函数有意义列出不等式组，求解不等式组即得. 【详解】函数有意义，得，解得且， 所以所求定义域为. 故答案为： 4．(22-23高一上·天津四校（杨柳青一中、咸水沽一中、四十七中、一百中学）·期末)若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合二次函数列式求解. 【详解】由题意可知：在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 地 城 考点03 分段函数的解析式与求值 1．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)已知函数则 ． 【答案】1 【分析】根据分段函数的解析式分别代入计算即可得出结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：1. 2．(22-23高一上·天津四校（杨柳青一中、咸水沽一中、四十七中、一百中学）·期末)已知函数．若．则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】代入分段函数依次计算即可. 【详解】结合题意可得： ， ， 解得：. 故选：B. 地 城 考点04 分段函数的单调性 1．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由在上单调递增，所以此分段函数每一段都单调递增，且，从而得出的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以，解得， 故选：C. 2．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)若函数严格递增，则实数的取值范围是（   ） A．, B．, C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数两段均递增且分界处左侧不大于右侧的函数值可得． 【详解】函数单调递增， 由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得且，即． 但应当注意两段函数在衔接点处的函数值大小的比较， 即，可以解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 3．(24-25高一上·天津五区县重点校·期末)已知函数在区间上单调递增，求参数a的取值范围 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围. 【详解】当时，，对称轴为直线， ∵函数在区间上单调递增， ∴，解得， ∴参数a的取值范围为. 故答案为：. 地 城 考点05 分段函数的最值 1．(24-25高一上·天津红桥区·期末)给定函数.   (1)在同一直角坐标系中画出函数的图像； (2) 表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值. 【答案】(1)图象见解析 (2)， 【分析】（1）根据函数解析直接画图象即可； （2）先求出两函数图象的交点坐标，再根据图象可求出的解析式和其最小值. 【详解】（1）对于，过作一条直线即可得到的图象， 对于是对称轴为，开口向上的抛物线，过作平滑曲线可得的图象，图象如图所示，   （2）由，得或，结合图象，可得的解析式为 ， 结合图象可知，当时，. 2．(23-24高一上·天津河北区·期末)给定函数，，． (1)求不等式的解集； (2)，用表示，中的最大者，记为，用解析法表示函数； (3)设函数在上的最小值为，求函数的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案. （2）根据和的图象来求得的解析式. （3）画出的图象，对进行分类讨论，从而求得. 【详解】（1）不等式即， ，解得， 所以不等式的解集为. （2）由解得或， 画出和的图象如下图所示， 而， 由图可知. （3）画出的图象如下图所示， 当时，. 当时，， 当时，， 当时，. 所以.    【点睛】一元二次不等式的解法是：将一元二次不等式化成 或，其中，然后借助因式分解或配方法求解，口诀为“大于取两边，小于取中间”. 地 城 考点06 分段函数的零点 1．(24-25高一上·天津红桥区·期末)已知函数．若方程有三个不等的实数解且，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式画出函数大致图象，数形结合判断参数k的范围，及所在区间，进而判断各项正误. 【详解】由解析式，可得函数大致图象如下： 令，可得或， 令，可得，令，可得， 由图知，要使方程有三个不等的实数解，且， 所以，且，，A、B对； ，C对； 由，而，故，D错. 故选：D 2．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)设，函数，若函数在区间内恰有7个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，解得，对讨论，结合一元二次方程的根的情况，即可分类讨论得解. 【详解】令，解得， 令，则， 若，则无解， 因此在内有7个不同的根， 由于相邻两个不同的根之间的距离为，而的区间长度小于2， 因此在内不可能有7个不同的根， 当时，此时只有一个实根， 此时在内需有6个不同的实数根， 由于相邻两个不同的根之间的距离为，而的区间长度等于2， 因此在内不可能有6个不同的根， 当时，此时有两个不相等的实根， 若，则， 此时在有两个不相等的实根， 要使在区间内恰有7个零点， 只需要在内有5个不同的根， 则，得， 故，解得， 若，则， 此时在只有一个实根， 要使在区间内恰有7个零点， 只需要在内有6个不同的根， 则，得， 故，解得， 综上可知：或. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 3．(24-25高一上·天津和平区·期末)已知，若存在实数，使得关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，结合相关幂函数的区间单调性及已知方程根的个数确定参数范围即可. 【详解】当，对于，在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时一定存在实数，使得关于的方程有两个不等实根； 当时，在上单调递增，在上单调递增， 此时要使关于的方程有两个不等实根，只需， 而，所以； 综上，. 故答案为： 4．(23-24高一上·天津和平区·期末)已知函数，若关于的方程有4个不同的解，，其中，则 ，的取值范围为 . 【答案】 2 【分析】分析函数性质，作出图象，结合函数零点的意义及二次函数性质求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为， 当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 方程有4个不同的解，即直线与函数的图象有4个公共点， 观察图象知，，由，得， 即，所以； 显然，即，因此， 而，则，即， 所以的取值范围为. 故答案为：2； 【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键. 5．(23-24高一上·天津滨海新区·期末)设函数 （ⅰ） ； （ⅱ）若存在实数，，，满足，且，则的取值范围是 . 【答案】 0 【分析】（ⅰ）应用分段函数解析式，将自变量代入求值； （ⅱ）画出分段函数大致图象，数形结合判断实数，，，的范围，结合各分段对应函数的性质求得，，，即可求目标式的范围. 【详解】（ⅰ）由，则； （ⅱ）由解析式可得函数大致图象如下： 存在实数，，，满足，且， 所以，而，有或（舍），又， 故，， . 由，可得， 所以. 故答案为：0， 地 城 考点07 函数的奇偶性与单调性 1．(24-25高一上·天津河西区·期末)下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域，以及函数是否满足逐个判断即可. 【详解】对应A，函数的定义域为不关于原点对称， 故该函数不是偶函数，故A错误； 对于B，函数定义域为R关于原点对称， 又，故该函数为奇函数，不是偶函数，故B错误； 对于C，对于函数，定义域为关于原点对称， 又函数，所以函数为偶函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为不关于原点对称，故该函数不是偶函数，故D错误； 故选：C. 2．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本初等函数的单调性和奇偶性的定义，判定各选项中的函数是否满足条件即可. 【详解】对于A中，函数在定义域内既是奇函数又是增函数，A正确； 对于B中，函数是定义域内的非奇非偶函数，B错误； 对于C中，函数是定义域内的奇函数，在和上为增函数，C错误； 对于D中，函数是定义域内的非奇非偶函数，D错误. 故选：A. 3．(24-25高一上·天津和平区·期末)下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐项判断函数是否满足条件，即可得出结论. 【详解】函数定义域为，且， 所以是偶函数，又因为在上不单调，故A错误. 函数定义域为，且， 所以不是偶函数，故B错误. 函数定义域为，且， 所以是偶函数，又因为在上是增函数，故C正确. 函数定义域为，且， 所以是偶函数，又因为，在上单调递减，故D错误. 故选：C. 4．(24-25高一上·天津西青区·期末)已知函数，不等式的解集为或. (1)求函数的解析式； (2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1) (2)在区间上单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据不等式解集得到是的两根，从而由韦达定理得到方程，求出，得到解析式； （2），定义法求函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）由题意得：是的两根， 故，解得， ； （2）在上单调递增，证明如下： ， 任取，且， ， 又，， ， ， ， 在区间上单调递增. 5．(23-24高一上·天津宁河区·期末)已知函数，且. (1)求实数m的值； (2)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增. (3)若，求值域. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，代入函数解析式，求实数m的值； （2）定义法证明的单调性； （3）由函数单调性求区间内函数的值域. 【详解】（1）由，得； （2）由（1）可知，， 任取，则， ，，有，即， 所以在区间上单调递增. （3）由二次函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以时，值域为. 地 城 考点08 奇偶性、单调性求参 1．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)若函数是定义在上的的偶函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称可得，根据偶函数的定义可得，由此得到. 【详解】∵函数是定义在上的的偶函数，∴，解得, ∴， ∵，∴， ∴，解得， ∴. 故选：A. 2．(23-24高一上·天津和平区·期末)设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定函数，利用指数函数、二次函数单调性，结合得便函数单调性求出的单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是， 依题意，，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 3．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)若幂函数是偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的知识来求得的值. 【详解】由于是幂函数，所以，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意. 当时，是偶函数，符合题意. 故答案为： 4．(24-25高一上·天津部分区·期末)若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性和单调性可得答案. 【详解】函数图象的对称轴为， 函数在区间上单调递增，，解得.所以的取值范围是. 故答案为： 5．(23-24高一上·天津部分区·期末)若对数函数和函数在区间上均单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据对数函数单调性和幂函数的单调性可直接求出实数的取值范围. 【详解】因为对数函数区间上均单调递增， 所以，解得， 又函数在区间上均单调递增， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是， 故答案为： 地 城 考点09 函数的奇偶性求值 1．(24-25高一上·天津红桥区·期末)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】因为函数为奇函数，得从而求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且时，， 所以. 故选：A. 2．(24-25高一上·天津西青区·期末)已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据函数周期性和奇函数性质求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，， 又，即函数是周期为4的周期函数， . 故选：C 3．(23-24高一上·天津耀华中学·期末)已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有.当时，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和周期性求得正确答案. 【详解】由于，所以是周期为的周期函数， 依题意，是定义在上的奇函数，， 所以. 故选：A 4．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)设是定义在上的函数，满足，，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性和对称性，得到函数的周期，利用函数周期性求函数值． 【详解】由题意得，函数满足，且 则有，, 故函数是周期为4的奇函数． ， 当时，，， 所以. 故答案为：. 地 城 考点10 函数的奇偶性求解析式 1．(23-24高一上·天津宁河区·期末)若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求函数解析式；利用奇偶性和单调性解不等式. 【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，， 则当时，，. 函数和在R上都单调递增，则在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，所以在R上单调递增， 由，得， 则，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：； 2．(23-24高一上·天津四校（杨柳青一中、咸水沽一中、四十七中、一百中学）·期末)已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义证明在区间上是增函数； (3)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数奇偶性，构造方程组即可求解； （2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理即得； （3）换元并求出新元的范围，转化为二次函数在闭区间上的最小值求解即可. 【详解】（1），分别为定义在上的偶函数和奇函数 所以， ①， ②， 由①②可知，， （2）取， 因为，所以，，， 所以，即， 得证； （3）由已知 由(2)得在上单调递增， ， 设， 令 ，， 而函数，在上递减，在递增 ①当时，，，显然成立 即 ②当时，，， 即 综上所述，实数的取值范围是. 地 城 考点11 函数的奇偶性解不等式 1．(24-25高一上·天津河北区·期末)已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据奇函数性质确认函数零点，再根据已知单调性可以求出函数在各个区间符号，由不等式性质可得解. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且 又因，所以， 又因在为增函数，在上， 在上， 又因在为减函数，所以上， 综上，当时，，当时， 当时，则，所以，则， 当时，则，所以，则， 不等式可化简变形为， 综上所述可知当时，. 故选：D 2．(23-24高一上·天津南开区·)已知是定义在上的奇函数，且，若对于，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，由已知可知，在上单调递减，由是定义在上的奇函数，可判断出在上是偶函数，且在上单调递增，根据函数单调性即可解不等式. 【详解】因为对于，都有， 所以对恒成立， 设，则，对于，都有， 令，则在上单调递减， 因为，所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 故，所以是定义在上的偶函数， 所以在上单调递增，且， 所以不等式可化为， 所以，解得或. 故选：B 3．(23-24高一上·天津重点校联考·期末)已知是定义在上的奇函数，当时， 则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先根据题设解析式和奇函数性质，求出函数在上的解析式，再分段求解不等式，最后将各段上的函数对应的不等式解集求并集即得. 【详解】当时，，由题意，，因是定义在上的奇函数，则， 又，故的解析式为：， 当时，，因时，为增函数，且，故当时必有，此时不等式解集为； 当时，显然解集为； 当时，，因时，为增函数，且，故当时必有，此时不等式解集为. 综上可得：不等式的解集为. 故答案为：. 地 城 考点12 函数的值域与最值零点问题 1．(24-25高一上·天津河西区·期末)设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数是 ． 【答案】3 【分析】由函数单调性结合函数奇偶性和零点存在定理得是函数的一个零点、函数在上只有一个零点，在上也只有一个零点即可得解. 【详解】因为函数和在上均为增函数， 所以函数在上单调递增， 又函数是定义在R上的奇函数，所以即是函数的一个零点， 且函数在上单调递增， 又， 所以， 所以由零点存在定理得函数在上只有一个零点，在上也只有一个零点. 综上，函数的零点个数为3. 故答案为：3. 2．(24-25高一上·天津西青区·期末)给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意作出函数的图象，根据函数图象即可求解． 【详解】令，解得或， 作出函数的图象如图所示： 由图象可知，当时，取得最小值为． 故答案为：． 3．(24-25高一上·天津四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对数函数性质分析当时，，判断函数在上的单调性，结合零点存在性定理判断结论. 【详解】当时，，所以， 故，所以函数在上没有零点， 设，且， 则， 故，， 所以，故函数在上单调递增， 又，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 4．(24-25高一上·天津五区县重点校·期末)已知函数，下面结论中正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．若，则 C．的值域为 D．若函数有两个零点，则的取值范围是 【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断AB选项；将函数的解析式化为分段函数的形式，结合反比例型函数的基本性质可求得的值域，可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，则， 所以，函数的图象不关于点对称，A错； 对于B选项，因为，，B错； 对于C选项，因为， 当时，，则，则， 当时，， 当时，则，则，此时，， 综上所述，函数的定义域为，C错； 对于D选项，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 因为函数有两个零点，则的取值范围是，D对. 故选：D. 5．(24-25高一上·天津五区县重点校·期末)已知函数. (1)求函数的值域； (2)试判断在区间的单调性，并证明； (3)对，总，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）求出函数的解析式，再借助二次函数求出值域. （2）由（1）求出，再利用函数单调性定义推理得证. （3）求出函数在上的值域，函数在上的值域，再结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】（1）函数， 因此，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. （2）由（1）知，，函数在区间上单调递增， ，则 ，由，得，， 则，即， 所以在区间上是增函数. （3）当时，，因此， 由（2）知在区间上单调递增，则 由对，总，使成立，得， 则，又，则，即，则， 所以实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $