专题05 三角函数20考点（期末真题汇编，天津专用）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题05三角函数 20大高频考点概览 考点01 三角函数的定义 考点02 特殊角的三角函数 考点03 扇形弧长与面积 考点04 象限角 考点05 角度、弧度与终边相同角 考点06 三角函数的诱导公式 考点07 三角函数的齐次化 考点08 知一求二 考点09两角和差 考点10 二倍角 考点11 凑角求值 考点12 辅助角公式 考点13 三角函数的周期性 考点14 三角函数的单调性 考点15 三角函数的奇偶性对称性 考点16 三角函数的平移伸缩变换 考点17 三角函数的值域最值 考点18 三角函数已知部分图像 考点19 已知性质求参数 考点20 零点问题 地 城 考点01 三角函数的定义 1．(24-25高一上·天津河东区·期末)已知角终边上一点的坐标为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的定义直接得出. 【详解】因为角终边上一点的坐标为， 设为原点，则， 由正弦函数的定义，得. 故选：D. 2．(24-25高一上·天津红桥区·期末)如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数定义即可求解. 【详解】由题意及图示可知，点的纵坐标为， 则点的横坐标为， 所以. 故选：B. 3．(24-25高一上·天津红桥区·期末)已知角的终边经过点，将角的终边绕原点顺时针旋转与角的终边重合，则 . 【答案】 【分析】结合三角函数的定义，以及确定，根据诱导公式，即可求解. 【详解】依题意得，又， 所以. 故答案为. 4．(24-25高一上·天津河西区·期末)已知角的终边上有一点，． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由三角函数定义结合诱导公式计算即可； （2）由（1）将代入计算即可得解. 【详解】（1）由题可得，， 所以. （2）由（1）得. 地 城 考点02 特殊角的三角函数 1．(24-25高一上·天津南开区·)“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案． 【详解】当时，必有， 故“”是“”的充分条件， 当时，或，推不出； 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 2．(23-24高一上·天津宁河区·期末) . 【答案】 【分析】根据诱导公式即可求解. 【详解】, 故答案为： 3．(24-25高一上·天津红桥区·期末) ． 【答案】/0.5 【分析】应用诱导公式化简求值. 【详解】. 故答案为： 4．(23-24高一上·天津四校（杨柳青一中、咸水沽一中、四十七中、一百中学）·期末) . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质和特殊角的三角函数值可求原式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 地 城 考点03 扇形弧长与面积 1．(24-25高一上·天津西青区·期末)已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积 . 【答案】/ 【分析】结合弧长公式求得扇形的半径，利用扇形面积公式求得扇形面积. 【详解】因为弧长为的弧所对的圆心角为， 所以扇形的半径为， 所以扇形面积. 故答案为：. 2．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为 . 【答案】 【分析】根据扇形弧长求半径，由扇形面积公式求面积. 【详解】由题设，扇形半径，故扇形面积为. 故答案为：. 3．(24-25高一上·天津四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)若扇形所对圆心角为2rad，且该扇形面积为 1cm²，那么该扇形的弧长为 cm. 【答案】 【分析】直接根据扇形的面积公式和弧长公式求解即可. 【详解】设弧长为，半径为，则，所以. 故答案为： 4．(24-25高一上·天津和平区·期末)已知某扇形的圆心角是，半径为3，则该扇形面积为 ． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式计算即可. 【详解】由题意知，扇形面积为， 故答案为：. 5．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何?”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以，在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是 ；扇形的面积是 平方步． 【答案】 【分析】利用扇形的弧长公式可求出该扇形圆心角的弧度数；利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积. 【详解】该扇形的弧长为步，扇形的半径为步， 故该扇形的圆心角的弧度数为， 该扇形的面积为平方步， 故答案为：；. 地 城 考点04 象限角 1．(24-25高一上·天津河西区·期末)若是第四象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】由是第四象限角得到的范围，再计算的范围，即可得到所在的象限. 【详解】因为是第四象限角，所以, 所以，所以， 所以是第三象限角. 故选：C 2．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)已知角顶点为坐标原点，始边与x的非负半轴重合，若，则的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由即可得. 【详解】，故的终边在第四象限. 故选：D. 3．(24-25高一上·天津河北区·期末)“”是“是第一象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合角的概念，即可得答案. 【详解】若，则一定是第一象限角，充分性成立； 若是第一象限角，则， 无法得到一定属于，必要性不成立. 所以“”是“是第一象限角”的充分不必要条件. 故选：A 4．(23-24高一上·天津河西区·期末)已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】由题意可得，由此得，讨论k的取值，即分、、进行讨论，即可确定答案. 【详解】由题意是第一象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第三象限角； 故不可能是第四象限角， 故选：D 5．(24-25高一上·天津河西区·期末)弧度数为2的角的终边落在第 象限. 【答案】二 【解析】将弧度化为角度,即可判断出所在象限. 【详解】根据弧度与角度关系可知 所以 则弧度数为2的角的终边落在第二象限 故答案为:二 【点睛】本题考查了弧度与角度的关系,属于基础题. 地 城 考点05 角度、弧度与终边相同角 1．(24-25高一上·天津河西区·期末)将化成角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧度制和角度值的转化关系即可. 【详解】， 故选：B 2．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)给出下列判断： ①“，”的否定为“，” ②函数与函数是同一个函数 ③若角与角的终边在一条直线上，则（） ④ 其中，判断正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】对于①：根据全称命题的否定式特称命题分析判断即可；对于②：根据函数相等分析判断；对于③：根据终边相同的角分析判断；对于④：利用倍角个数分析判断. 【详解】对于①：“，”的否定为“，”，故①错误； 对于②：因为， 可知函数与函数的对应关系不相同，不为同一函数，故②错误； 对于③：若角与角的终边在一条直线上，则（），故③正确； 对于④：，故④错误； 所以正确的个数为1. 故选：A. 3．(24-25高一上·天津红桥区·期末)集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对按奇偶分类讨论可得． 【详解】当时，， 此时的终边和的终边一样， 当时，， 此时的终边和的终边一样． 故选：C． 地 城 考点06 三角函数的诱导公式 1．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)已知为第三象限角，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由条件结合同角关系求，利用诱导公式化简，再求其值. 【详解】因为为第三象限角，， 所以， 又， 所以. 故选：C. 2．(23-24高一上·天津和平区·期末)已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简，再进行弦化切代入即可. 【详解】 因为角的终边经过点，则，则， 故选：C. 3．(24-25高一上·天津河东区·期末) ． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简，即可求值. 【详解】 故答案为：. 4．(24-25高一上·天津河西区·期末)化简 . 【答案】 【分析】由诱导公式即可直接得解. 【详解】. 故答案为： 地 城 考点07 三角函数的齐次化 1．(24-25高一上·天津河东区·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，将转化为的齐次式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：B 2．(24-25高一上·天津河北区·期末)已知，则 . 【答案】/0.3125 【分析】对所求表达式分子分母同时除以，化为的形式，由此求得所求表达式的值. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 3．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)已知幂函数的图象过点，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】设，根据，可求出的值，可得出函数的解析式，代值计算可出的值，利用弦化切可得出关于的方程，即可解得的值. 【详解】因为函数为幂函数，设，则，解得， 所以，，则， 因为，即，解得. 故答案为：；. 4．(24-25高一上·天津第一中学·期末)若， (1)求的值； (2)求 的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由诱导公式可得，再由同角三角函数的关系化简，代入计算，即可得到结果； （2）由诱导公式化简，得到正余弦的齐次式，即可得到结果. 【详解】（1）由可得， 则，即， 其中，则， 整理可得，又，即， 所以， 由可得，即， 即， 代入上式可得， 化简可得，即，解得. （2）原式. 地 城 考点08 知一求二 1．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)已知，且，则 . 【答案】 【分析】根据同角关系即可联立方程求解. 【详解】由可得， 结合可得， 化简可得，解得或（由于，不合题意舍去）， 故答案为： 2．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知，则= ． 【答案】-4 【分析】把已知等式两边平方可得的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则. 故答案为：-4. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题 3．(24-25高一上·天津西青区·期末)已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系和角的范围得到，从而利用正弦二倍角公式求出答案； （2）利用诱导公式化简，并代入，求出答案. 【详解】（1）， ， （2）由（1）知，， 故 . 4．(24-25高一上·天津红桥区·期末)已知，是第三象限角． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式得，再根据同角三角函数基本关系即可得到； （2）根据诱导公式化简得原式等于，再结合（1）的结果即可得到答案. 【详解】（1）， 则，因为是第三象限角，则. （2）由（1）知， . 地 城 考点09 两角和差 1．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知为锐角，为钝角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方关系和两角和的余弦展开式计算可得答案. 【详解】因为为锐角，为钝角，， 所以， ， 则 . 故选：C. 2．(24-25高一上·天津河东区·期末)的值为 【答案】/ 【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式化简求值，可得结果. 【详解】因为 . 故答案为： 3．(23-24高一上·天津南开区·)已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用差角的正切公式，列出方程并求解即得. （2）由（1）的结论，利用诱导公式及齐次式法求值即得. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以. （2）由（1）知，， 所以原式 4．(23-24高一上·天津滨海新区·期末)已知，. (1)求，的值； (2)求，的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）应用同角三角函数关系即可求解； （2）应用两角和的正弦公式及二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】（1）∵，， ∴, ∴; （2） , . 地 城 考点10 二倍角 1．(24-25高一上·天津西青区·期末)求值：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的正切公式化简即可求出结果. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2．(24-25高一上·天津河东区·期末)已知为锐角，，则 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用二倍角公式得到，再利用为锐角，即可求解. 【详解】因为，得到， 又为锐角，即，则，所以， 故答案为：. 3．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)已知，是第三象限角. (1)求，的值； (2)求，的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据同角三角函数关系结合所在象限得到，； （2）在（1）的基础上结合和差角和二倍角公式，代入求解即可. 【详解】（1）因为是第三象限角，所以， 因为，，故，； （2）， 由，， 所以. 4．(24-25高一上·天津五区县重点校·期末)已知为锐角，为钝角，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦二倍角公式以及齐次式的方法即可求解； （2）先由，可求得，再由两角差的正切公式，即可求得结果. 【详解】（1）由正弦二倍角公式，得， 又，所以； （2）因为为锐角，且，可得， 由，可得， 所以， 所以. 地 城 考点11 凑角求值 1．(24-25高一上·天津四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)已知，则 【答案】 【分析】根据二倍角公式得，再求出和，最后利用两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】因为，则，则， ， 因为，则，则， 所以， 所以 . 故答案为：. 2．(24-25高一上·天津南开区·)若方程在区间内有两个相异的解，，则 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简并分析函数性质，再结合正弦函数的对称性求解. 【详解】，令， ，由，得；由，得， 因此函数在上单调递增，函数值从1增大到2；在上单调递减，函数值从2减小到， 当时，直线与函数在上的图象有两个交点，且这两个交点关于直线对称， 即当时，方程在上有两个相异的解，， 所以. 故答案为：. 3．(24-25高一上·天津和平区·期末)已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用诱导公式，结合弦化切求值即可； （2）根据题设可得，，再应用差角余弦公式求. 【详解】（1）由题设 （2）由题设易知，且，则， 则 . 4．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合角所在象限及三角函数基本关系可由值计算出的值，再借助两角差的余弦公式计算即可得； （2）借助二倍角公式及两角差的正弦公式与辅助角公式计算即可得. 【详解】（1），， ， ； （2） ． 地 城 考点12 辅助角 1．(24-25高一上·天津南开中学·)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角差的正弦、余弦公式化简，再利用诱导公式、二倍角公式求解即可. 【详解】，， ，，， . 故选：D. 2．(23-24高一下·上海五爱高级中学·期中)已知、为锐角，，，则 . 【答案】 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【详解】因为，为锐角， 则，， 可得， 且、为锐角，则，所以. 故答案为：. 3．(23-24高一上·天津河北区·期末)已知函数，将化成的形式为 ；函数在区间上的最小值是 ． 【答案】 【分析】 利用三角恒等变换的知识化简的解析式，然后根据三角函数最值的求法求得在区间上的最小值. 【详解】 . 当时，， 所以当或， 即或时，取得最小值为. 故答案为：； 4．(23-24高一上·天津耀华中学·期末)函数在区间上的最大值为 【答案】3 【分析】先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简为，然后求出的范围，最后求出函数的最大值. 【详解】由题意，,而，则，所以函数的最大值为. 故答案为：3. 地 城 考点13 三角函数的周期性 1．(23-24高一上·天津宁河区·期末)函数，的最小正周期是 . 【答案】 【分析】根据计算即可. 【详解】， 故答案为：. 2．(24-25高一上·天津西青区·期末)已知函数的最小正周期是2，则 ；此时函数的定义域为 . 【答案】 且 【分析】根据函数的最小正周期，求得，再利用整体法求函数的定义域即可. 【详解】因为的最小正周期为2，故可得，所以； 故， 令，解得，且 所以的定义域为且. 故答案为：；且 3．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求图像的对称轴方程和对称中心的坐标． 【答案】（1）；（2）； （3）对称轴为，对称中心为. 【解析】（1）首先可通过三角恒等变换将函数转化为，然后根据周期计算公式即可得出结果； （2）可通过正弦函数的单调性得出结果； （3）可通过正弦函数的对称性得出结果. 【详解】（1） ， 最小正周期. （2）当时， 即时，函数单调递增， 故函数的单调递增区间为. （3），即， ，即， 则函数的对称轴方程为，对称中心为. 4．(24-25高一上·天津南开区·)已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的取值范围． 【答案】(1)； (2)递增区间是，递减区间是； (3). 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，由给定周期求出. （2）利用正弦函数单调性列出不等式，求出的单调区间. （3）求出在指定区间内相位的范围，再利用正弦函数的性质求出函数值范围. 【详解】（1）函数 由的最小正周期为，得，所以. （2）由（1）知，， 由，得， 由，得， 所以函数的递增区间是，递减区间是. （3）当时，，则，， 所以在区间上的取值范围是. 地 城 考点14 三角函数的单调性 1．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论． 【详解】选项A：是奇函数，不符题意； 选项B：在区间上单调递增，不符题意； 选项C：符合题意； 选项B：在区间上单调递增，不符题意； 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性和奇偶性，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答的关键． 2．(24-25高一上·天津河东区·期末)已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期的计算公式求得参数的值，结合特殊角三角函数值，可得答案； （2）根据复合函数的单调性，结合正弦函数与一次函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】（1）由函数的最小正周期为，则，解得，所以， 故. （2）由的单调递减区间为，且为增函数， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 3．(24-25高一上·天津西青区·期末)已知函数. (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若时，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数 ，再利用整体法求单调增区间； （2）根据的范围求出的值，再由两角差的正弦公式求解. 【详解】（1） ， ， 的单调递增区间是， 解得，得， 所以函数的单调递增区间为； （2）即， ， ， . 4．(24-25高一上·天津部分区·期末)已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2)， 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式，再由正弦函数的性质计算可得； （2）由的范围求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为 ， 所以的最小正周期， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）因为，所以， 所以当，即时取得最小值，即； 当，即时取得最大值，即； 所以在区间上的最大值为，最小值为. 地 城 考点15 三角函数的奇偶性与对称性 1．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)已知函数的图象关于直线对称，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】分析可知为函数的最大值，结合辅助角公式解得，即可得结果. 【详解】因为，其中， 若函数的图象关于直线对称，为函数的最大值， 则，解得， 所以. 故选：B. 2．(24-25高一上·天津河东区·期末)设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称中心结合正切函数性质可得，进而可求最小正周期. 【详解】因为函数的图象的一个对称中心为， 则，解得， 且，所以函数的最小正周期为， 对于选项A：若，此时，不合题意，故A错误； 对于选项B：若，此时，不合题意，故B错误； 对于选项C：若，解得，故C正确； 对于选项D：若，此时，不合题意，故D错误； 故选：C. 3．(24-25高一上·天津河西区·期末)已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的周期为 ： ． 【答案】 4 【分析】先由题设得可得函数周期，接着由函数的周期性和奇偶性即可计算求解函数值. 【详解】因为，所以， 所以函数的周期为4； 又因为函数为奇函数，且当时，， 所以. 故答案为：4；. 4．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称轴； (2)求函数的对称中心和单调递增区间； (3)求函数在的最值及相应的的值． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为 (2)对称中心为，单调递增区间为 (3)有最大值2，此时；有最小值-1，此时. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得到，求出最小正周期，整体法求出对称轴方程； （2）整体法得到对称中心和单调递增区间； （3）由得到，结合正弦函数的性质，求出最值及相应的的值. 【详解】（1） ， ，由，，得， 故函数的最小正周期为， 函数的对称轴方程为； （2）由，得 由得，， 故函数的对称中心为， 单调递增区间为； （3）由（1）知， 设， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 因此，当，即时，有最大值2； 当，即时，有最小值． 地 城 考点16 三角函数的平移伸缩变换 1．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（   ） A．将图象向左平移个单位 B．将图象向右平移个单位 C．将图象向左平移个单位 D．将图象向右平移个单位 【答案】B 【分析】根据图像变换结合诱导公式逐项分析判断. 【详解】对于A：将图象向左平移个单位，可得，故A错误； 对于B：将图象向右平移个单位，可得，故B正确； 对于C：将图象向左平移个单位，可得，故C错误； 对于D：将图象向右平移个单位，可得，故D错误； 故选：B. 2．(24-25高一上·天津南开中学·)要得到函数的图象，可以将函数的图象(    ) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简并变形得，然后根据图象的平移变换判断即可. 【详解】，， 所以的图象向右平移个单位长度得到的图象. 故选：C. 3．(24-25高一上·天津部分区·期末)函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数图象变换得到答案. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到， 故选：D. 4．(24-25高一上·天津五区县重点校·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到的图象，求函数在上的值域. 【答案】(1)最小正周期为π，单增区间为 (2) 【分析】（1）利用辅助角公式，再用整体思想进行求解单调区间即可； （2）利用好平移变换和伸缩变换，再利用整个思想求值域即可. 【详解】（1） 的最小正周期为π； 令，则， 的单增区间为. （2）的图象向左平移个单位长度得到 的图象， 再将图象上所有点的横坐标缩小到原来得到图象， 得到的图象，， 当则， 当即时，单调递增 当即时，单调递减， 又， 在的值域为. 地 城 考点17 三角函数的值域最值 1．(24-25高一上·天津第一中学·期末)设函数，若[x]表示不超过x的最大整数，则函数 的值域是 . 【答案】 【分析】先将分式化简变形，再根据正弦函数的值域来确定的取值范围，最后根据取整函数得到结果. 【详解】， 因为，所以， 则，即， 所以，则， 根据取整函数的定义可得函数 的值域是， 故答案为：. 2．(24-25高一上·天津四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求函数图象的对称中心； (3)求函数在区间 上的最大值和最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用三角恒等变换化简函数，再求出周期即得. （2）利用余弦函数图象的对称性求出对称中心. （3）利用余弦函数的性质求出在指定区间上的最值. 【详解】（1）函数 ， 所以函数的最小正周期. （2）由，解得， 所以函数图象的对称中心是. （3）当时，， 则当，即时，；当，即时，， 所以函数在区间 上的最大值和最小值分别为. 3．(24-25高一上·天津和平区·期末)已知函数， (1)求函数的最小正周期和对称中心坐标； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求的最大值以及取得最大值时的值． 【答案】(1)最小正周期，对称中心为，； (2)，； (3)最大值为，对应. 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简函数式，应用正弦型函数性质求最小正周期及对称中心； （2）根据正弦函数的单调性，求的单调递增区间； （3）由，结合正弦型函数性质求最大值并确定对应值． 【详解】（1）由， 所以最小正周期， 令，则，，即对称中心为，. （2）令，，则，， 所以函数的单调递增区间为，. （3）由，则，故， 所以，函数最大值为，此时. 4．(23-24高一上·天津四校（杨柳青一中、咸水沽一中、四十七中、一百中学）·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)若，求的值. 【答案】(1)，单调减区间为. (2)， (3) 【分析】（1）化简函数为，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）由(1)得出函数的单调递增区间，结合，和的值，即可求解；（3）根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 ， 所以的最小正周期为， 令，可得， 所以的单调减区间为. （2）解：由(1)知，函数的单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，所以，. （3）解：由函数，可得， 因为， 所以. 地 城 考点18 三角函数已知部分图像 1.(24-25高一上·天津河北区·期末)已知函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式． 【详解】由图象可知，所以， 由，解得，所以三角函数的解析式是， 又因为函数的图象过， 把点的坐标代入三角函数的解析式得， 所以，所以，所以， 又，所以，三角函数的解析式是. 故答案为：. 2．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)如图为函数的部分图象，且当时，恰有5条对称轴，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由图象先求得及其周期，从而可得，再由其最大值计算可得，从而可得函数的解析式，再借助正弦函数的性质计算即可得. 【详解】由题意，根据函数的部分图象， 可得，，所以，又， 则，即， 又由，即， 解得，即， 又因为，所以，所以， 由时，恰有5条对称轴， 即函数在上恰有5条对称轴， 则有，解得. 故答案为：. 3．(24-25高一上·天津四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)若是第四象限角，，求的值. 【答案】(1)；单调递增区间为. (2)或或 【分析】（1）根据函数图象结合五点法求函数解析式，以为整体，结合正弦函数单调性运算求解； （2）整理可得，分和两种情况，结合三角恒等变换运算求解. 【详解】（1）由图象可知：，，故， 又，故由图，所以， 设函数的最小正周期为，则由图，解得， 则，且，解得， 则，又函数的图象过点，故， 故，解得，所以. 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）因为，即， 可得， 即， 若，显然符合题意，此时； 若，可得， 又因为是第四象限角，则，可得， 则， 联立方程，解得或， 可得或； 综上所述：或或. 4．(24-25高一上·天津第一中学·期末)函数（，）的部分图象如图所示，   (1)求函数的解析式; (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象， （i）求函数在区间的值域； （ii）求满足不等式的解集. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）， 【分析】（1）根据最大最小值，确定的值；再根据函数的周期求出，代入点，结合的取值范围确定的值，即可得函数的解析式. （2）（i）先根据函数的图象变换确定的解析式，再结合正弦函数图象求在给定区间上的值域. （ii）数形结合，解三角不等式. 【详解】（1）由题意：， ，所以. 由 . 由，且，得. 所以. （2）（i）将函数的图象向左平移个单位长度，可得， 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，可得. 当时，，所以. 所以函数在区间的值域为. （ii）由 ，所以，. 所以不等式的解集为：， 地 城 考点19 已知性质求参数 1．(24-25高一上·天津部分区·期末)若函数在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得函数的对称轴为，进而可得，即得. 【详解】又可得的对称轴为， 当时，，当时，，当时，， 因，由题意，可得， 故选：B 2．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)已知函数，则下列结论 ①若，则在上是单调递增 ②若，则正整数ω的最小值为2 ③若，函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．则为奇函数 ④若在上有且仅有3个零点，则 其中判断正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】化简函数f(x)的表达式，根据正弦函数的性质与图像再逐一分析各个选项中的条件，计算判断作答. 【详解】依题意，， 对于①，， 当时，有，则在上单调递增， 所以在上单调递增，故正确； 对于②，因，则是函数图像的一条对称轴，，整理得， 而，即有，，故正确； 对于③，，， 依题意，函数， 这个函数不是奇函数，其图像关于原点不对称，故不正确； 对于④，当时，， 依题意，，解得，故正确. 故选：C 3．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)若函数图象的相邻对称轴距离为，且. (1)求的解析式和单调减区间； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据相邻对称轴距离可求出周期，进而求出，再根据求出.利用余弦函数的单调性求解单调递减区间即可. （2）先求出在上的最大值，然后解关于的不等式即可. 【详解】（1）因为函数图象的相邻对称轴距离为， 所以，则，那么，则. 又因为，即. 由于，，所以，解得. 综上，.    令，得，，即，. 所以的单调减区间是. （2）当时，. 当，即时，取得最大值. 因为存在，使得不等式成立，所以. 即，解得不等式解集为，即实数的取值范围是. 地 城 考点20 零点问题 1．(24-25高一上·天津河西区·期末)设函数，若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得在上恰有3个解，结合正弦函数性质得不等式，解该不等式即可得解. 【详解】因为在上恰有3个零点， 所以在上恰有3个解， 因为时，， 所以由正弦函数性质可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 2．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)已知函数的部分图象如图所示 ①函数的图象关于对称 ②函数的图象关于直线对称 ③函数在上单调递增 ④若函数有两个零点，则实数的取值范围为 以上说法正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据图象确定函数的解析式，由正弦函数性质判断ABC；结合函数的零点个数与函数图象的交点个数之间的关系即可判断D. 【详解】由图可知，，所以，得， 则，将点代入得：， 所以，又，所以，所以. 对于①，， 所以点是图象的一个对称点，故①正确； 对于②，因为，为最小值， 所以函数的图象关于直线对称，故②正确； 对于③，由，得， 令，则，函数在上单调递减，故③错误； 对于④，若在上有两个零点，则方程在上有两个根， 即函数与直线在上有两个交点. 由，得，所以， 所以，所以，故④错误． 故选：B． 3．(24-25高一上·天津河北区·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若函数在存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期； （2）利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间； （3）由参变量分离法可得，则实数的取值范围即为函数在时的值域，利用正弦型函数的基本性质求解即可. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期为. （2）令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. （3）因为函数在存在零点， 即方程在上有解， 所以，实数的取值范围即为函数在时的值域. 当时，，故， 所以，即，故实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05三角函数 20大高频考点概览 考点01 三角函数的定义 考点02 特殊角的三角函数 考点03 扇形弧长与面积 考点04 象限角 考点05 角度、弧度与终边相同角 考点06 三角函数的诱导公式 考点07 三角函数的齐次化 考点08 知一求二 考点09两角和差 考点10 二倍角 考点11 凑角求值 考点12 辅助角公式 考点13 三角函数的周期性 考点14 三角函数的单调性 考点15 三角函数的奇偶性对称性 考点16 三角函数的平移伸缩变换 考点17 三角函数的值域最值 考点18 三角函数已知部分图像 考点19 已知性质求参数 考点20 零点问题 地 城 考点01 三角函数的定义 1．(24-25高一上·天津河东区·期末)已知角终边上一点的坐标为，则等于（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·天津红桥区·期末)如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·天津红桥区·期末)已知角的终边经过点，将角的终边绕原点顺时针旋转与角的终边重合，则 . 4．(24-25高一上·天津河西区·期末)已知角的终边上有一点，． (1)求的值； (2)求． 地 城 考点02 特殊角的三角函数 1．(24-25高一上·天津南开区·)“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(23-24高一上·天津宁河区·期末) . 3．(24-25高一上·天津红桥区·期末) ． 4．(23-24高一上·天津四校（杨柳青一中、咸水沽一中、四十七中、一百中学）·期末) . 地 城 考点03 扇形弧长与面积 1．(24-25高一上·天津西青区·期末)已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积 . 2．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为 . 3．(24-25高一上·天津四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)若扇形所对圆心角为2rad，且该扇形面积为 1cm²，那么该扇形的弧长为 cm. 4．(24-25高一上·天津和平区·期末)已知某扇形的圆心角是，半径为3，则该扇形面积为 ． 5．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何?”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以，在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是 ；扇形的面积是 平方步． 地 城 考点04 象限角 1．(24-25高一上·天津河西区·期末)若是第四象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)已知角顶点为坐标原点，始边与x的非负半轴重合，若，则的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．(24-25高一上·天津河北区·期末)“”是“是第一象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(23-24高一上·天津河西区·期末)已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．(24-25高一上·天津河西区·期末)弧度数为2的角的终边落在第 象限. 地 城 考点05 角度、弧度与终边相同角 1．(24-25高一上·天津河西区·期末)将化成角度为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)给出下列判断： ①“，”的否定为“，” ②函数与函数是同一个函数 ③若角与角的终边在一条直线上，则（） ④ 其中，判断正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25高一上·天津红桥区·期末)集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点06 三角函数的诱导公式 1．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)已知为第三象限角，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 2．(23-24高一上·天津和平区·期末)已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D．1 3．(24-25高一上·天津河东区·期末) ． 4．(24-25高一上·天津河西区·期末)化简 . 地 城 考点07 三角函数的齐次化 1．(24-25高一上·天津河东区·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·天津河北区·期末)已知，则 . 3．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)已知幂函数的图象过点，则 ；若，则 ． 4．(24-25高一上·天津第一中学·期末)若， (1)求的值； (2)求 的值. 地 城 考点08 知一求二 1．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)已知，且，则 . 2．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知，则= ． 3．(24-25高一上·天津西青区·期末)已知. (1)求的值； (2)求的值. 4．(24-25高一上·天津红桥区·期末)已知，是第三象限角． (1)求的值； (2)求的值． 地 城 考点09 两角和差 1．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知为锐角，为钝角，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·天津河东区·期末)的值为 3．(23-24高一上·天津南开区·)已知． (1)求的值； (2)求的值． 4．(23-24高一上·天津滨海新区·期末)已知，. (1)求，的值； (2)求，的值. 地 城 考点10 二倍角 1．(24-25高一上·天津西青区·期末)求值：（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·天津河东区·期末)已知为锐角，，则 ． 3．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)已知，是第三象限角. (1)求，的值； (2)求，的值. 4．(24-25高一上·天津五区县重点校·期末)已知为锐角，为钝角，且，. (1)求的值； (2)求的值. 地 城 考点11 凑角求值 1．(24-25高一上·天津四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)已知，则 2．(24-25高一上·天津南开区·)若方程在区间内有两个相异的解，，则 ． 3．(24-25高一上·天津和平区·期末)已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 4．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知． (1)求的值； (2)求的值． 地 城 考点12 辅助角 1．(24-25高一上·天津南开中学·)已知，则(    ) A． B． C． D． 2．(23-24高一下·上海五爱高级中学·期中)已知、为锐角，，，则 . 3．(23-24高一上·天津河北区·期末)已知函数，将化成的形式为 ；函数在区间上的最小值是 ． 4．(23-24高一上·天津耀华中学·期末)函数在区间上的最大值为 地 城 考点13 三角函数的周期性 1．(23-24高一上·天津宁河区·期末)函数，的最小正周期是 . 2．(24-25高一上·天津西青区·期末)已知函数的最小正周期是2，则 ；此时函数的定义域为 . 3．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求图像的对称轴方程和对称中心的坐标． 4．(24-25高一上·天津南开区·)已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的取值范围． 地 城 考点14 三角函数的单调性 1．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·天津河东区·期末)已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间． 3．(24-25高一上·天津西青区·期末)已知函数. (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若时，且，求的值. 4．(24-25高一上·天津部分区·期末)已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 地 城 考点15 三角函数的奇偶性与对称性 1．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)已知函数的图象关于直线对称，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 2．(24-25高一上·天津河东区·期末)设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·天津河西区·期末)已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的周期为 ： ． 4．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称轴； (2)求函数的对称中心和单调递增区间； (3)求函数在的最值及相应的的值． 地 城 考点16 三角函数的平移伸缩变换 1．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（   ） A．将图象向左平移个单位 B．将图象向右平移个单位 C．将图象向左平移个单位 D．将图象向右平移个单位 2．(24-25高一上·天津南开中学·)要得到函数的图象，可以将函数的图象(    ) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 3．(24-25高一上·天津部分区·期末)函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·天津五区县重点校·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到的图象，求函数在上的值域. 地 城 考点17 三角函数的值域最值 1．(24-25高一上·天津第一中学·期末)设函数，若[x]表示不超过x的最大整数，则函数 的值域是 . 2．(24-25高一上·天津四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求函数图象的对称中心； (3)求函数在区间 上的最大值和最小值. 3．(24-25高一上·天津和平区·期末)已知函数， (1)求函数的最小正周期和对称中心坐标； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求的最大值以及取得最大值时的值． 4．(23-24高一上·天津四校（杨柳青一中、咸水沽一中、四十七中、一百中学）·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)若，求的值. 地 城 考点18 三角函数已知部分图像 1.(24-25高一上·天津河北区·期末)已知函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为 . 2．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)如图为函数的部分图象，且当时，恰有5条对称轴，则的取值范围是 ． 3．(24-25高一上·天津四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)若是第四象限角，，求的值. 4．(24-25高一上·天津第一中学·期末)函数（，）的部分图象如图所示，   (1)求函数的解析式; (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象， （i）求函数在区间的值域； （ii）求满足不等式的解集. 地 城 考点19 已知性质求参数 1．(24-25高一上·天津部分区·期末)若函数在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)已知函数，则下列结论 ①若，则在上是单调递增 ②若，则正整数ω的最小值为2 ③若，函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．则为奇函数 ④若在上有且仅有3个零点，则 其中判断正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)若函数图象的相邻对称轴距离为，且. (1)求的解析式和单调减区间； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 地 城 考点20 零点问题 1．(24-25高一上·天津河西区·期末)设函数，若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)已知函数的部分图象如图所示 ①函数的图象关于对称 ②函数的图象关于直线对称 ③函数在上单调递增 ④若函数有两个零点，则实数的取值范围为 以上说法正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．(24-25高一上·天津河北区·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若函数在存在零点，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $