专题04 指对幂函数13考点（期末真题汇编，天津专用）高一数学上学期人教A版必修第一册

学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题04指对幂函数 ☆13大高频考点概览 考点01指对幂运算 考点02指对模型 考点03指对函数的图像 考点04定点问题 考点05比较指对幂大小 考点06指对函数的单调性 考点07指对函数不等式 考点08指对函数的定义域 考点09指对幂函数的值域最值 考点10指对幂函数的零点 考点11幂函数的解析式与求值 考点12幂函数的单调性 考点13幂函数的不等式 目目 考点01 指对幂运算 1.(24-25高一上·天津部分区期末)己知a>0,且a≠1，若m=log3,n=log。几，则a3m-n=乙() A. 27 B. 27 c.9 D. 9 2.(24-25高一上·天津耀华中学·期末)已知l0g47=a,4=6,则1l0g4228=元() 1+a A. B. 1-a C.1+a D.- 1+a 2a+b a+b a+b a+2b 3.(24-25高一上·天津河北区·期末)计算下列各式： 515 °16 27 (2)log.3+log,3x(log,4+logz32-loga2 4.(23-24高一上天津和平区·期末)(1)计算： 号a2b-40-15o6。(式中字得均为正数 21 (2)求值： 2log,a-3g2-1o8,e-(n2+n3. 5.3-24高一上天津经济技术开发区第一中学期利》已知+x专=g求x+x的值： 2)求2}户-(9.6°-33+15的值： 119 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 （3)求g5P+1g2-1050+2s,5的值 考点02 指对模型 1.(24-25高一上·天津河西区·期末)酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家规 定，100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设 某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒 精含量会以每小时10%的速度减少，那么他至少经过()个小时才能驾驶？（参考数据：1g2≈0.301， 1g3≈0.477) A.10 B.14 C.15 D.16 2.(23-24高一上·天津河东区·期末)某市共享电动车2017年投放量为400万辆，根据前期市场调研，为满 足市场需求，以后每一年的投放量都比上一年提高20%，那么该市到哪一年共享电动车的投放量才能达到 1200万辆（参考数据：lg1.2≈0.08，lg3≈0.48）() A.2022年 B.2023年 C.2024年 D.2025年 3.(24-25高一上·天津和平区·期末)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，己经对地震有 所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M. 在2019年6月四川长宁发生里氏6.0级的地震，它释放出来的能量是2005年11月内蒙古阿拉善右旗发生 里氏4.0级地震释放出来能量的__倍. 4.(23-24高一上·天津和平区·期末)西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现， M 的游速y(单位：ms)可以表示为v二，10唱 其中M表示鱼的耗氧的单位数当一条大西洋鲑鱼 的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的27倍时，它的游速是 m/s 考点03 指对函数的图像 1.(24-25高一上·天津耀华中学期末)在同一直角坐标系中，函数 =a”y=lgx+ a>0'且a≠1 )的图象可能为() 2/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.Q3-24高一上：天津经济技术开发区第一中学·期未已知1ga+1gb=0函 f(x)=a如与函数 gx=1og。的图象可能是 3.23-24高一上天津河北区期末已知函数fx=10g,X-b（0>0且a≠1'ab为常数)的图象如图， 则下列结论正确的是() A.a>0,b←1 B.a>0,-1<b<0 C.0<a<1,b←1 D.0<a<1,-1<b<0 个y 0 3/9 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 目目 考点04 定点问题 1.(23-24高一上·天津滨海新区·期末)已知函数y=a-1+4(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的 坐标为() A.0,5 B.0,4 C.1,5 D.1,4 2.(24-25高一上·天津滨海新区·期末)已知函 fx=Q-3+3（a>0且a≠1)的图象经过定点A,且点A在 角9的终边上，则sin日-cos0 =式() sin0+cos0 A. -1 B.0 C.7 3.(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)函数y=a2-x(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A, 若点A在函数y=2 msin+n的图象上，m>0,n>0,则+4的最小值为一 m n 4.(24-25高一上·天津河北区·期末)已知函 y=1og,X-3+1C且a≠12的图象恒过定点A若点A在- 次函数y=受x+n的图象上，其中m≥0，n>0,则+弓的最小值是 mn 5.(24-25高一上·天津河东区·期末)已知常数 >0a≠1假设无论。为何值，函数y=1og,X-2+1的图 象恒经过一个定点，则这个定点的坐标是 考点05 比较指对幂大小 1.(22-23高一上·天津和平区期末)若。1.2 b=1og2c=602,则ab,c的大小关系为() 3 A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b 1 2.(24-25高-上天津第-中学期末已知g=2,b=log:5c=sin4,则（) A.b>c>a B.a>b>c C.c>b>a D.b>a>c 。24-25高上天津红桥区期末)设Q=10g1)b=2,c=0.8,则( 3 A.a<c<bB.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c 4/9 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 4.(24-25高一上·天津四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)已知 a=10g20.5,b=1og,0.2,c=22,则a6c的大小关系为（) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 5.2425商-上天津部分区期末设a=10g:2,b=sn名c=34,则a,bc的大小关系为() A.b>c>a B.c>b>a C.b>a>c D.a>c>b 目目 考点06 指对函数的单调性 1.(24-25高一上·天津红桥区·期末)下列函数中，在区间0，+o∞)上为增函数的是() A.y= D. ·y=lgx y=x-12+1 2.(24-25高一上·天津河西区期末)若幂函 fx=a-x-3在0，+o∞上单调递增，则a=8一 3.(24-25高一上·天津第一中学·期末)已知幂函 f(x)=(a2-3)xc02在(0，+o)上单调递减，则n的值 为一 4.(23-24高一上天津重点校联考·期末)函数y=10g1x2-4的单调递减区间是一· 5.(23-24高一上天津河西区·期末)函数fx=10g24x2) x的单调递增区间是 1og14 考点07 指对函数不等式 1.(24-25高一上·天津四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)已知函数 fx=d若实数u满足f2<f-2' 则a的取值范围是() c.. 5/9 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2.23.24高-上天津经济技术开发区第-中学期术(1)已知fX)三125-5，求函数fx的定义域： 1og2(x+2) (2)解不等式：lg(3x-2i≥1g(4-4x) 3.(24-25高一上·天津南开区)己知函数f(x)=log3(x+a)-1og3(5-2x),且f(2)=1. (I)求a的值及f(x)的定义域： (2)求不等式f(x)>1的解集. 4.(23-24商-上-天津南开区)已知函数fX=10g,X+1,gX=10g,1-Xa>0且a≠1， (1)求函数fx+g(x)的定义域： (2)判断函数fx+g(x)的奇偶性，并说明理由： (3)求使fx+g(x)<0成立的x的集合. 目目 考点08 指数函数定义域 1,2.23商-上：天津滨海新区期函数fX=1og212-X的定义域是（） A.6 B. C. D. 2.2425高-上夫津河西区：期末)函数fx=1Dg,anx的定义域为一 3.(23-24高一上·天津南开区)函 f引x=1ogn14x-3的定义域是一 考点09 指对幂函数的值域最值 1.(24-25高一上·天津第一中学·期末)定 maxa,b为。，b的授大值，函数fx=max2,4的最小值为 C. (I)求c的值： (2)若方程fx=k有两个实根x1,x2(X1≤X2), (i)试判断x1+X2的正负（无需说明理由）： 1+上的值 (i)求2X1x2 2.(24-25高一上·天津南开中学)已知函数f(x)=10g2X-21og4(2x) (1)当x∈[1,64]时，求该函数的值域： (2)求不等式f(x)>5的解集： 619 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (3)若f(x)≤mlog4x对于x∈[4,16]恒成立，求m的最小值， 3.2324高-上天津部分区期末已知函数fX=01{a>0且。≠1与幂函数 gx=m-1x"m,n∈R 当fx的图象过点22时，求a的值： 1 (2)当gx的图象过点m,8时，求m+n的值； (3)在(1)、(2)的条件下，求函数y=fx-gx+1在区间0,1上的最大值和最小值. 4.(23-24高一上·天津滨海新区：期末)已知a∈R'函数fx=10g,2+ox-1og2X (1)当a=-1时，求函数fx的定义域： (2)若关于，的方程 x+10g2X=0的解集中有且只有一个元素，求实数，的取值范围： (3)设a>0,若31 21 使得函数fx在区间t,t+2上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取 值范围 目目 考点10 指对幂函数的零点 1.(24-25高-上天津南开区)函数fx)=1nX-2+1的零点所在区间是（) X A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) 2.(24-25高一上·天津红桥区·期末)已知函 gX=a+1-2+1a>0的图象恒过定点A且点A又在函数 fx=logx+a的图象上. (1)求实数a的值： （2)解不等式fx<log3a ③)gx+2-2=2b有两个不等实根时，求b的取值范围. 3.22-23高一上天津滨海新区期末设函数fX=aa>0日a≠1)，且f2=9°fb+2=18函数 719 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 gx=35x-4x (1)求fx和gx的解析式： 2若关于x的方程gX-m-8=0在区间-2.2上有实数解，求实数m的取值范围： ⊙)设px=1og,x'hX=-px+px+aog,Xpx=x+21-1若对任意的x∈3，g均存在 x,∈-1,1满足hxs0x, 求实数入的取值范围. 考点11 幂函数的解析式与求值 1.(24-25高一上·天津西青区·期末)已知幂函数的图象经过点P 该幂函数的大致图象为() 4-- 2主 A C 2主 D 2.(24-25高一上·天津滨海新区·期末)已知函数fx是幂函数，若f4=2,则f2=元一· 3.(24-25高一上·天津和平区·期末)幂函数 x=m-2x的图像过点m,9则fx=一 4.(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知函 fx=m2+m-1xn+是幂函数，且该函数 是偶函数， 则fR2的值是 考点12 幂函数的单调性 1.(24-25高一上·天津河北区·期末)下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是() A.y= B.y=-1 X 819 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 C.y=x3 D.y=sinx 目目 考点13 幂函数的不等式 1.(24-25高一上·天津部分区期末)已知函数fx=1og。x+1d且a≠1的图象经过点 2,1 函数 gX=X的图象经过点 ,8m∈R (1)求2a+m的值： 2)解不等式f2-2290} 2.23-24高一上天津重点校联考明末若函数fX=m2-3m+3X2-为器函藏，且在(0，+四)单调 递减， (1)求实数m的值： (2)若函数g(x)=x-f(x),且x∈(0，+∞)， ()写出函数g(x)的单调性，无需证明； (ii)求使不等式g(2t-1)<g(t)成立的实数t的取值范围. 919 专题04指对幂函数 13大高频考点概览 考点01 指对幂运算 考点02 指对模型 考点03 指对函数的图像 考点04 定点问题 考点05 比较指对幂大小 考点06 指对函数的单调性 考点07 指对函数不等式 考点08 指对函数的定义域 考点09 指对幂函数的值域最值 考点10 指对幂函数的零点 考点11 幂函数的解析式与求值 考点12 幂函数的单调性 考点13 幂函数的不等式 地 城 考点01 指对幂运算 1．(24-25高一上·天津部分区·期末)已知，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指对数运算求解即可. 【详解】. 故选：A 2．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将化为，然后利用换底公式和对数的运算性质对化简变形即可得答案. 【详解】由，得，且， 所以， 故选：C 3．(24-25高一上·天津河北区·期末)计算下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值； （2）利用对数的换底公式计算可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式. 4．(23-24高一上·天津和平区·期末)（1）计算：，（式中字母均为正数）； （2）求值：. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用指数运算法则，结合根式与分数指数幂的互化计算即得. （2）利用对数运算及换底公式计算即得. 【详解】（1）. （2）. 5．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)（1）已知，求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）7；（2）；（3）11. 【分析】（1）由即可求解； （2）根据指数幂运算即可求解； （3）根据对数运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ， 化简得； （2）解：原式 （3）解： ， 又，所以，原式． 地 城 考点02 指对模型 1．(24-25高一上·天津河西区·期末)酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家规定，100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（    ）个小时才能驾驶？（参考数据：，） A．10 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】由题设列不等式，解该不等式即可求解. 【详解】由题可得经过t个小时后驾驶员血液中酒精含量为， 则令得， 所以，所以， 所以该驾驶员至少经过16个小时才能驾驶. 故选：D. 2．(23-24高一上·天津河东区·期末)某市共享电动车2017年投放量为400万辆，根据前期市场调研，为满足市场需求，以后每一年的投放量都比上一年提高，那么该市到哪一年共享电动车的投放量才能达到1200万辆（参考数据：，）（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【答案】B 【分析】设该市经过年，可达到.根据已知列出关系式，化简根据指对互化，求出，即可得出答案. 【详解】设该市经过年，共享电动车的投放量才能达到1200万辆， 则由已知可得，，即有， 则有. 所以，经过年，共享电动车的投放量才能达到1200万辆，即到2023年，可达到. 故选：B. 3．(24-25高一上·天津和平区·期末)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．在2019年6月四川长宁发生里氏6.0级的地震，它释放出来的能量是2005年11月内蒙古阿拉善右旗发生里氏4.0级地震释放出来能量的 倍. 【答案】1000 【分析】根据已知关系式，应用指对数关系及相关运算性质求结果. 【详解】设2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震、2005年11月内蒙古阿拉善右旗发生里氏4.0级地震能量分别为， 由，可得，由，可得， 所以，即两次地震中前者能量为后者的1000倍. 故答案为：1000 4．(23-24高一上·天津和平区·期末)西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现，鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的27倍时，它的游速是 . 【答案】 【分析】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，计算出的值，再将代入，即可得解. 【详解】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，则，可得， 将代入，得， 所以它的游速为. 故答案为： 地 城 考点03 指对函数的图像 1．(24-25高一上·天津耀华中学·期末)在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数过定点，以及函数的单调性，排除选项. 【详解】指数函数与轴没有交点，过点，故排除AC， 两个函数的底数互为倒数，一个在，另一个就在， 所以两个函数的单调性相反，故排除B. 故选：D 2．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知,函数与函数的图象可能是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到互为倒数，故的单调性相同，由此得出正确选项. 【详解】由于，故互为倒数，而，，故的单调性相同，四个选项中，单调性相同的是C选项，故选C. 【点睛】本小题主要考查对数的加法运算，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题. 3．(23-24高一上·天津河北区·期末)已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解. 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 地 城 考点04 定点问题 1．(23-24高一上·天津滨海新区·期末)已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数性质确定图象所过定点. 【详解】令，则，故函数恒过定点. 故选：C 2．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 【答案】D 【分析】由指数函数过定点求出，再由三角函数的定义求出，代入计算即可. 【详解】由题意可得， 因为点A在角的终边上，所以， 所以. 故选：D. 3．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数的图象上，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由指数函数的性质，确定定点坐标，再代入三角函数，可得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】函数（且）横过定点， 由题意可知，，即，， 则， 当时，即，得，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 4．(24-25高一上·天津河北区·期末)已知函数，且的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】根据对数函数图象与性质求出点的坐标，再借助“1”的妙用求出最小值作答. 【详解】函数，且中， 当，即时，恒有，因此点， 而点在一次函数的图象上，则，又， 于是， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 5．(24-25高一上·天津河东区·期末)已知常数，，假设无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，则这个定点的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用对数函数性质可知，令即可求出的图象恒过的定点的坐标. 【详解】因为的图象必过，即，当，即时，， 从而图象必过定点. 故答案为：. 地 城 考点05 比较指对幂大小 1．(22-23高一上·天津和平区·期末)若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的单调性可得，，，可得结论. 【详解】因为在上单调递减，又，所以，所以， 因为在上单调递增，又，所以， 因为在上单调递增，又，所以， 所以. 故选：B. 2．(24-25高一上·天津第一中学·期末)已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助中间值“0”、“”，结合对数的单调性即可比较大小. 【详解】因为，， 所以， 又因为，， 而，在上单调递增， 所以，故， 又因为，， 所以. 故选：B 3．(24-25高一上·天津红桥区·期末)设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值“1”、“2”分析判断. 【详解】由题意可知：在内单调递减， 可得，即； 在内单调递增，可得，即； 在内单调递减，可得，即； 综上所述：. 故选：B. 4．(24-25高一上·天津四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)已知 ，则， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性，确定的范围，由此比较大小即可. 【详解】因为函数为减函数，， 所以，即， 因为函数为增函数，， 所以，即， 因为为增函数，， 所以，即， 所以. 故选：C. 5．(24-25高一上·天津部分区·期末)设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数单调性，指数函数单调性和三角函数值，确定的范围，得到答案. 【详解】因为，，， 所以，所以， 故选：B. 地 城 考点06 指对函数的单调性 1．(24-25高一上·天津红桥区·期末)下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数性质可对A项判断；利用幂函数性质可对B项判断；利用对数函数性质可对C项判断；利用二次函数性质可对D项判断. 【详解】对于选项A：根据指数函数的单调性可知该函数在上为减函数，故A项错误； 对于选项B：根据幂函数的性质可知该函数在上为减函数，故B项错误； 对于选项C：根据对数函数的单调性可知该函数在上为增函数，故C项正确； 对于选项D：根据二次函数的性质可知该函数在上不单调，故D项错误. 故选：C. 2．(24-25高一上·天津河西区·期末)若幂函数在上单调递增，则 ． 【答案】 【分析】由幂函数定义和性质列出关于a的方程和不等式即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以. 故答案为：. 3．(24-25高一上·天津第一中学·期末)已知幂函数在上单调递减，则的值为 . 【答案】 【分析】先根据幂函数定义确定的可取值，再根据单调性确定出的值. 【详解】因为为幂函数，所以，所以， 当时，，在上单调递增，不符合； 当时，，在上单调递减，符合； 故答案为：. 4．(23-24高一上·天津重点校联考·期末)函数的单调递减区间是 ． 【答案】； 【分析】利用复合函数的单调区间求解方法可得答案. 【详解】设，则，； 因为为减函数，在区间为减函数，在区间为增函数， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 5．(23-24高一上·天津河西区·期末)函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】化简的表达式，利用换元法，即令，将其化为，结合复合函数的单调性的求解，即可求得答案. 【详解】由题意知的定义域为， 又 ， 令，则即为， 该函数单调递增区间为，则， 由于在单调递增，则在上单调递增， 可得的单调递增区间为， 故答案为： 地 城 考点07 指对函数不等式 1．(24-25高一上·天津四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)已知函数，若实数a满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知为定义在上的偶函数，且在内单调递增，根据单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为， 若，则，可得， 若，则，可得， 可知为定义在上的偶函数，可得， 又因为当时，在内单调递增，且， 可得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C. 2．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)（1）已知，求函数的定义域； （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据给定的函数有意义，列出不等式，再解指数、对数不等式即得. （2）利用对数函数单调性解不等式即得. 【详解】（1）依题意，，解得，因此或， 所以原函数的定义域为； （2）函数在上为增函数， 则，解得， 所以原不等式的解集为． 3．(24-25高一上·天津南开区·)已知函数，且． (1)求a的值及的定义域； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由给定函数值求出，结合对数函数的意义列式求出定义域. （2）由（1），利用对数函数单调性解不等式. 【详解】（1）函数，由，得， 解得，所以； 由，得，解得， 所以的定义域为. （2）不等式 ，因此，解得， 所以原不等式的解集为. 4．(23-24高一上·天津南开区·)已知函数（，且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求使成立的x的集合． 【答案】(1) (2)为偶函数，理由见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由对数复合型函数的定义域即可得解. （2）由偶函数的定义域即可得证. （3）由题意得，对分类讨论即可得解. 【详解】（1）由，解得， 所以函数的定义域为． （2）因为， 所以函数为偶函数； （3）由， ①当时，由得， 又因为， 所以使成立的x的集合是且； ②当时，由得， 所以使成立的x的集合是． 地 城 考点08 指数函数定义域 1．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 故函数的定义域是. 故选：D. 2．(24-25高一上·天津河西区·期末)函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数的定义，得不等式，结合正切函数的性质进行求解即可. 【详解】由，得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 3．(23-24高一上·天津南开区·)函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据根式可得，结合对数函数性质解不等式即可. 【详解】令， 注意到，可得，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 地 城 考点09 指对幂函数的值域最值 1．(24-25高一上·天津第一中学·期末)定义为的最大值，函数的最小值为c. (1)求c的值： (2)若方程有两个实根， （i）试判断的正负 (无需说明理由)； （ii）求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据函数是增函数，是减函数，得出且得出其单调性，从而易得最小值； （2）由（1）的单调性知时，方程有两个实根，从而得且，由此可得出（i）（ii）的结论． 【详解】（1）易知是增函数，是减函数，且， 当时，，当时，， 所以，且知在上单调递减，在上单调递增， 所以. （2）（i）由（1）可知当时，有两个实根，， ，即，所以，即， 所以 ； （ii）． 2．(24-25高一上·天津南开中学·)已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用换元法，将函数转化为关于的二次函数，从而得解； （2）利用换元法，将不等式转化为关于的二次不等式，解后再利用对数函数的单调性即可得解； （3）利用换元法与参数分离法得到的恒成立问题，再利用函数的单调性即可得解. 【详解】（1）因为， 令，由，可知， 函数转化为． 因为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，为． 由，可知当时，取到最大值， 故当时，函数的值域为． （2）由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或. （3）由于对于恒成立， 令，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，所以当时，函数取得最大值，为， 故当时，对于恒成立． 所以的最小值为. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 3．(23-24高一上·天津部分区·期末)已知函数（，且）与幂函数. (1)当的图象过点时，求的值； (2)当的图象过点时，求的值； (3)在（1）、（2）的条件下，求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)5 (3)最大值为3，最小值为1 【分析】（1）将点代入解析式即可求； （2）由幂函数定义及过点，列方程组即可求； （3）由（1）、（2）确定函数解析式，据函数单调性求出函数的最值. 【详解】（1）因为的图象过点， 所以，故. （2）因为是幂函数，且图象过点 所以，解得，故. （3）由（1）、（2）可知，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，当时，取到最大值为3；当时，取到最小值为1. 4．(23-24高一上·天津滨海新区·期末)已知，函数. (1)当时，求函数的定义域； (2)若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围； (3)设，若，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或， (3). 【分析】（1）根据对数的性质列不等式即可求解， （2）将问题转化为有且仅有一正根.即可利用二次型函数的性质分类求解， （3）利用单调性的定义即可求解函数单调性，进而利用单调性求解最值，将问题进一步转化为二次函数的性质求解最值即可. 【详解】（1）时， 所以得， 所以函数的定义域为. （2）方程，即，即. ∴，化为：，方程的解集中有且只有一个元素，等价于有且仅有一正根. （1）若，化为，解得，符合题意； （2）若，此时. ①令，得，解得，符合题意； ②当，即时，方程有两个解，设为，. 则，. 当时，，此时方程有一正、一负根，符合题意. 当时，，，此时方程有两个正根，不符合题意. 综上，实数的取值范围为或， （3）. 当时，. 因为，，所以. 所以，所以， 所以. 所以在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值与最小值分别为，. 即：， 即：，因为，， 整理得：，令. 因为时，存在， 故只需. 因为，对称轴方程，所以在上单调递增， 所以，故，得. 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. 地 城 考点10 指对幂函数的零点 1．(24-25高一上·天津南开区·)函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数的定义域为，函数在上都递增， 因此函数在上递增，， 所以函数的零点所在区间是. 故选：B. 2．(24-25高一上·天津红桥区·期末)已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上． (1)求实数的值； (2)解不等式； (3)有两个不等实根时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由指数函数性质得定点坐标，代入解析式求得； （2）利用单调性解不等式； （3）利用函数图象交点个数确定结论． 【详解】（1）函数的图像恒过定点A，且，则A点的坐标为， 又因为A点在的图象上， 所以， 所以, 所以； （2）由（1）知， 所以所要解不等式为， 而对数函数在定义域上单调递增， 所以，即， 所以不等式的解集为. （3）由知：， 令，， 由方程有两个不等实根， 可知函数的图象有两个不同交点，如下图示 由图象可知：， 故的取值范围为. 3．(22-23高一上·天津滨海新区·期末)设函数（且），且，，函数． (1)求和的解析式； (2)若关于x的方程在区间上有实数解，求实数m的取值范围； (3)设，，，若对任意的，均存在，满足．求实数λ的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）直接根据求出，再根据解得即可； （2）含有参数的方程有实数根，分离参数然后求得在上的值域即可； （3）将问题转化为恒成立，然后根据参数的取值范围进行分类讨论，先求得的最大值，然后转化为恒成立问题即可 【详解】（1）已知，且，即， 因为且，所以，则. 又因为，即，所以. 对于，因为，所以. （2）由，可得：，不妨设， 则有：，又，则有： . 故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为 ，故 故实数的取值范围为： （3），若对任意的，均存在， 满足 ，则只需：恒成立.， 不妨设，则设，，则. 在上可分如下情况讨论： 当时，，此时，不满足恒成立. 当时，，此时只需：在上恒成立. 则只需：在上恒成立. 则需：时，不等式成立.解得：，与矛盾； 当时，，此时，只需保证：. 则只需：在上恒成立. 当时，只需保证：当时，成立. 则有：，解得：， 又，故有：， 当时，只需保证：当时，成立， 此时解得：，又故有：，故当时，. 综上所述，解得：实数的取值范围为： 【点睛】结论：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数 ， ， ，，则有： （1）若 ，， 恒成立， ； （2）若 ，， 能成立， 地 城 考点11 幂函数的解析式与求值 1．(24-25高一上·天津西青区·期末)已知幂函数的图象经过点，该幂函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出该幂函数的解析式，根据函数的定义域，奇偶性及单调性判断即可. 【详解】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点， 所以，即，解得， 即该幂函数的解析式为，其定义域为，值域为， 又为偶函数，且在上为减函数，在上为增函数. 故选：B． 2．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)已知函数是幂函数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，设，结合，即可求解． 【详解】根据题意，设，由，得， 故， ． 故答案为：． 3．(24-25高一上·天津和平区·期末)幂函数的图像过点，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由幂函数的定义可得，再将点的坐标代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为幂函数，所以，即， 再将点代入可得，即， 所以. 故答案为： 4．(23-24高一上·天津经济技术开发区第一中学·期末)已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】根据函数为幂函数及函数为偶函数，求出，从而代入求值即可. 【详解】由题意得，解得或1， 当时，为奇函数，不合要求， 当时，为偶函数，满足要求， 故. 故答案为：4 地 城 考点12 幂函数的单调性 1．(24-25高一上·天津河北区·期末)下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A不是奇函数；BD在定义域上不单调，C满足要求. 【详解】A选项，的定义域为，故不是奇函数，A错误； B选项，的定义域为， 其中在上单调递增，但在定义域上不单调递增，B错误； C选项，的定义域为R，且， 所以在定义域内为奇函数， 又在R上单调递增，C正确； D选项，定义域为R，且在R上不单调，D错误. 故选：C. 地 城 考点13 幂函数的不等式 1．(24-25高一上·天津部分区·期末)已知函数且的图象经过点，函数的图象经过点. (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）将点代入且求出的值，将点代入，求出的值，进而得到的值； （2）将转化为，根据对数函数单调性求解即可. 【详解】（1）因为函数且的图象经过点. 所以， 所以 函数的图象经过点， 所以，所以， 所以. （2）由（1）得， 转化为， 即得出， 所以， 即不等式的解集为：. 2．(23-24高一上·天津重点校联考·期末)若函数为幂函数，且在单调递减． (1)求实数的值； (2)若函数，且， （ⅰ）写出函数的单调性，无需证明； （ⅱ）求使不等式成立的实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2)（ⅰ）在区间单调递增；（ⅱ） 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值再由题设条件取舍； （2）（ⅰ）根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得； （ⅱ）利用（ⅰ）的结论求解抽象不等式即得. 【详解】（1）由题意知，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以实数的值为1． （2）（ⅰ），在区间单调递增.证明如下： 任取，则 ， 由可得：，，则，即， 故在区间单调递增. （ⅱ）由（ⅰ）知，在区间单调递增，又由可得： 则，解得. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $