精品解析：湖北省孝感市汉川市2025-2026学年上学期九年级11月期中数学试题含答案

2025-2026学年度上学期期中质量监测 九年级数学试卷 温馨提示： 1．答题前，考生务必将自己所在学校，姓名，考号填写在试卷上指定的位置． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 3．本试卷满分120分，考试时间 120分钟． 一、精心选一选，相信自己的判断！(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂，错涂或涂的代号超过一个，一律得0分) 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 为培养学生利用现代信息技术解决数学问题的能力，某数学教研室在本学期组织辖区内初中生开展了“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”比赛活动．下列图形是部分参赛作品，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程：下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点A 逆时针旋转一定角度后能与重合，若， 则度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点， ， 在二次函数的图象上， 则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同样宽的小路，使其中两条与 平行，另一条与平行，其余部分是种植面积．已知该矩形基地的长为16米，宽为9米，种植总面积为112平方米，设小路的宽为x米，则x满足的方程是（ ） A. B. C D. 9. 在等腰直角三角形中，．如果以的中点O为旋转中心，将旋转，使点B落在点处，那么点和B的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数． 的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 此二次函数的最大值是 二、细心填一填，试试自己的身手！(本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上) 11. 若点与点关于原点成中心对称，则点的坐标是______． 12. 如果关于x的一元二次方程 可以用直接开平方法求解，那么m的值可以是___________．(取一个即可) 13. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为雕塑的高为____________． 14. 在一次篮球比赛中，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则共有______支球队参加该比赛． 15. 如图1， 在钝角中，， D为边上一动点(不与C点重合) ， 以点D为直角顶点，以为一条直角边作等腰直角，连结．设 若y关于x的函数图象如图2所示， 则（1）_________; （2）的面积为__________． 三、用心做一做，显显自己的能力！(本大题共9小题，满分75分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置) 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数 （1）求该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当时，直接写出x的取值范围． 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点都在格点上，其坐标分别是，，． （1）画出绕原点O逆时针旋转后的； （2）写出的坐标． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 20. 汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同． （1）求每年盈利的年增长率； （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计到年底能否实现盈利万元的目标？ 21. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到 （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 某商店销售一种成本为每件40元玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，若售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x元月销售利润为w元． （1）求w与x的函数解析式； （2）商店为了尽量让利给顾客，同时使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元? （3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润?求出最大利润． 23. 已知和都等边三角形， 将绕点A逆时针旋转， 连接． 【问题背景】 （1） 如图1， 求证：； 【尝试应用】 （2） 如图2， 当点D 恰好在边上时， 若， 求 的度数； （3） 如图3， 当点E恰好在 的延长线上时， 若， 则的面积为 ． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线． 与x轴交于点A，B (点A在点B的左侧)，与y轴交于点 C，直线经过B，C两点，点 P 是抛物线上一个动点，连接，以为边作平行四边形，设平行四边形 的面积为S，点 P的横坐标为m． （1）则点A， B， C的坐标分别是 ， ， ； （2）如图1，当点P在第四象限，且时，求点 P坐标； （3）如图2，当点P在抛物线上运动时(点P不与点B，C重合)． ①求S与m之间的函数关系式； ②当 时， m的值只有3个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期中质量监测 九年级数学试卷 温馨提示： 1．答题前，考生务必将自己所在学校，姓名，考号填写在试卷上指定的位置． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 3．本试卷满分120分，考试时间 120分钟． 一、精心选一选，相信自己的判断！(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂，错涂或涂的代号超过一个，一律得0分) 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟记 “只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、，分母含有未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，一元一次方程，不符合题意， 故选：A． 2. 为培养学生利用现代信息技术解决数学问题的能力，某数学教研室在本学期组织辖区内初中生开展了“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”比赛活动．下列图形是部分参赛作品，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式为：，其中顶点坐标为，开口向上，开口向下；对称轴为：，最值为．据此解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A． 4. 用配方法解一元二次方程：下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过添加一次项系数一半的平方将左边配成完全平方式，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 即， 故选：D 5. 在平面直角坐标系中，把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象的平移函数表达式变换规律：左加右减，上加下减，求出平移后的抛物线的函数表达式即可． 【详解】 把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 所得抛物线的函数表达式是：， 即 ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移，解答此题的关键是要明确函数表达式平移的变化规律． 6. 如图，将绕点A 逆时针旋转一定角度后能与重合，若， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据旋转性质得出，再利用三角形内角和定理计算度数． 【详解】解：∵旋转后能与重合， ， ∴． 故选：D 7. 已知点， ， 在二次函数的图象上， 则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的函数值计算方法是解题的关键． 先确定二次函数的开口方向和对称轴，再通过计算各点的函数值来比较大小． 【详解】解：∵ 二次函数， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ， 故选：A． 8. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同样宽的小路，使其中两条与 平行，另一条与平行，其余部分是种植面积．已知该矩形基地的长为16米，宽为9米，种植总面积为112平方米，设小路的宽为x米，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与图形面积的计算，掌握图形平移的性质，正确列式是关键． 运用图形平移的方法得到长为米，宽为米，由此即可求解． 【详解】解：该矩形基地的长为16米，宽为9米，设小路的宽为x米， ∴小路平移后种植地的长为米，宽为米， ∵种植总面积为112平方米， ∴， 故选：B． 9. 在等腰直角三角形中，．如果以的中点O为旋转中心，将旋转，使点B落在点处，那么点和B的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形和旋转的性质，关键是求得的长． 根据旋转的性质，得，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：，为的中点， ， 根据勾股定理，， 由旋转可得． 故选：C． 10. 如图，已知二次函数． 的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 此二次函数的最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口，对称轴，最值的计算是关键． 根据题意得到，由此判定各选项即可求解． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ∴， 二次函数对称轴直线为， ∴， 二次函数与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∴，故B选项错误，不符合题意；  的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴当时，，故C选项错误，不符合题意； ∵对称轴直线为，图象开口向下， ∴当时，函数取得最大值，最大值为， 当时，， ∴，则， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 二、细心填一填，试试自己的身手！(本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上) 11. 若点与点关于原点成中心对称，则点的坐标是______． 【答案】（2，﹣3） 【解析】 【分析】根据点（x，y）关于原点成中心对称的点的坐标为（﹣x，﹣y）求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴点P坐标是（2，﹣3）， 故答案为：（2，﹣3）． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变化规则是解答的关键． 12. 如果关于x的一元二次方程 可以用直接开平方法求解，那么m的值可以是___________．(取一个即可) 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解方程．直接开平方法要求方程右边为非负数，因此需满足，即，任取一个满足条件的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 可以用直接开平方法求解， ∴ 即， 取， 故答案为：1（答案不唯一） 13. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为雕塑的高为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．解题思路是明确求雕塑的高即求抛物线与y轴交点的纵坐标，将代入抛物线解析式计算即可． 【详解】解： 将代入抛物线解析式， ． 故答案为：． 14. 在一次篮球比赛中，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则共有______支球队参加该比赛． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．设有个队参赛，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设有个队参赛， 根据题意，可列方程：， 解得：或（舍去）， 答：参赛的球队数为10． 故答案为：10． 15. 如图1， 在钝角中，， D为边上一动点(不与C点重合) ， 以点D为直角顶点，以为一条直角边作等腰直角，连结．设 若y关于x的函数图象如图2所示， 则（1）_________; （2）的面积为__________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，由函数图象判断出的长度，并画出此时的图形，利用数形结合思想解决问题是解题关键． 由图②可知，当点在点处时，取得最大值为5，即，当点在点处时，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，由求出，根据等腰直角三角形的性质可得，，余角相等可得，证明，得到，再根据勾股定理求出，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由图②可知，当点在点处时，取得最大值为5，即， 如图，当点在点处时，过点作交延长线于点，过点作交的延长线于点， 由图②可知，此时， ， 解得， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：；． 三、用心做一做，显显自己的能力！(本大题共9小题，满分75分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置) 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法，公式法关键． （1）运用因式分解法计算即可求解； （2）运用公式法计算即可求解． 【小问1详解】 解：， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 解得，． 17. 已知二次函数 （1）求该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴，顶点坐标的计算是关键． （1）根据二次函数解析式中二次系数的正负性判定图象开口，将一般式化顶点式可得对称轴直线，顶点坐标； （2）根据二次函数图象开口，与x轴交点判定即可求解． 【小问1详解】 解：由， ∵， ∴开口方向向上， 由顶点式得到对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∵图象开口向上，与x轴的交点坐标为， ∴当时，或． 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点都在格点上，其坐标分别是，，． （1）画出绕原点O逆时针旋转后的； （2）写出的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转及旋转后点的坐标变化，熟练掌握点绕原点逆时针旋转的坐标变化规律是解题的关键． （1）根据旋转的性质，分别确定、、三点绕原点逆时针旋转后的对应点，再连接这些点得到旋转后的三角形． （2）根据旋转后点的坐标变化规律，写出、、的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由（1）得． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握它们的性质是解本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，，代入得，计算即可求出的值． 【小问1详解】 解：根据题意得，． 解得，． 【小问2详解】 由题意可知，，． 所以． 解得，． ∵， ∴． 20. 汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同． （1）求每年盈利的年增长率； （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计到年底能否实现盈利万元的目标？ 【答案】（1） （2）能实现盈利目标，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设每年盈利的年增长率为x，则到年的盈利为万元，根据年盈利万元列方程即可； （2）计算年盈利万元，与万元作比较即可． 【小问1详解】 解：设每年盈利的年增长率为x，根据题意得 或（不合题意，应舍去） 答：每年盈利的年增长率为； 【小问2详解】 解：(万元)， ， ∴能实现盈利目标． 21. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到 （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形性质、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）和性质是解题的关键． （1）利用旋转的性质得到对应角和对应边相等，再结合已知角的关系，通过判定定理证明三角形全等． （2）根据（1）中的全等关系，将线段进行转化，进而求出的长度． 【小问1详解】 证明∶由旋转的性质得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（）； 【小问2详解】 解：∵，， 由（）知：， ∴， ∵， ∴． 22. 某商店销售一种成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，若售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x元月销售利润为w元． （1）求w与x的函数解析式； （2）商店为了尽量让利给顾客，同时使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元? （3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润?求出最大利润． 【答案】（1） （2）60元 （3）销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的实际应用，熟练掌握利润的计算公式和二次函数的性质是解题的关键． （1）根据利润（售价成本）销售量，先表示出销售量，再推导函数解析式． （2）令利润为8000，解方程后结合让利顾客的要求确定售价． （3）将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质求最大利润及对应的售价． 【小问1详解】 解：设销售价为每件x元，则月销量为， ∴， ∴w与x的函数解析式； 【小问2详解】 解：令，则 ， ， ， 解得， ∵要尽量让利给顾客 ∴销售价应定为每件60元， 答：商店为了尽量让利给顾客，同时使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件60元； 【小问3详解】 解： ， ∵，且， ∴当时，有最大值， 答：销售价定为每件元时会获得最大利润元． 23. 已知和都是等边三角形， 将绕点A逆时针旋转， 连接． 【问题背景】 （1） 如图1， 求证：； 【尝试应用】 （2） 如图2， 当点D 恰好在边上时， 若， 求 的度数； （3） 如图3， 当点E恰好在 的延长线上时， 若， 则的面积为 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是关键． （1）根据等边三角形的性质证明，即可求解； （2）根据等边三角形的性质，线段和差的计算得到，由此即可求解； （3）过点C作于点 M，可得，在 中， ，由此即可求解． 【详解】解：（1） ∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2） ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴． （3）如图3， 过点C作于点 M， ∵都是等边三角形， ∴， ∵点E 恰好在 的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在 中， ， ． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线． 与x轴交于点A，B (点A在点B的左侧)，与y轴交于点 C，直线经过B，C两点，点 P 是抛物线上一个动点，连接，以为边作平行四边形，设平行四边形 的面积为S，点 P的横坐标为m． （1）则点A， B， C的坐标分别是 ， ， ； （2）如图1，当点P在第四象限，且时，求点 P坐标； （3）如图2，当点P在抛物线上运动时(点P不与点B，C重合)． ①求S与m之间的函数关系式； ②当 时， m的值只有3个． 【答案】（1），， （2）或 （3）①② 【解析】 【分析】（1）令抛物线解析式中 ，解一元二次方程求与轴交点坐标；令，求与 轴交点； （2）作轴交直线于，如图1，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，然后求出长，根据求出，代入数值即可解方程求得点的坐标； （3） ①根据（2）得到时的解析式，当或时，如图2，，同理可得； ②画出关于的函数图象，分析两个分段二次函数的图象，确定使 值只有 3 个的 值． 【小问1详解】 解：令，即， 得，， ∵点在点左侧， ∴，， 令，代入得， ∴； 【小问2详解】 解：作轴交直线于，如图1， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则， 当时，如图1，， ， ， ， 解得：，， 点的坐标为或； 【小问3详解】 ①分两种情况讨论： 当时，由（1）知； 当或时，如图2，作轴交直线于，交轴于N，作， ， ∴ ； 综上，． ②对于函数（）， 其对称轴为， 顶点纵坐标为， 关于的函数图象如图3所示， 对于函数（或）， 令，则， 整理得， 解得． 其中，，共2个解； 而在时，，有1个解． ∴当时，的值只有3个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，平行四边形的性质，一次函数图象和性质，掌握相关知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $