精品解析：浙江省绍兴市诸暨市实验初级中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

实验初中2025学年第一学期期中阶段性检测 九年级数学 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．） 1. 已知c是a和b的比例中项，，，则（ ） A. B. 6 C. 4 D. 2. 质地均匀的一个红球和一个白球随机放入三个不同的盒子中，则恰好有一个盒子为空的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，该函数图象的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，弦于点．已知，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转后，得到对应点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于抛物线的描述中，错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 7. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，正五边形内接于，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A，B，C，D，E，F是圆O上的六等分点，已知圆O的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共18分) 11. 在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为关于x的一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为_____． 12. 如图，点，分别在的边，上，且，若，，，则___________． 13. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是_____________． 14. 如图，是半圆O的直径，，点C是上一点不与B，D重合，则________． 15. 在体育课上，小颖站在操场上的O点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞行路线是一条抛物线．如上图，已知实心球出手时的高度为1.6米，当飞行到与点O的水平距离为3米时达到最大高度2.5米，则小颖这次实心球训练的成绩为_____米（即的长度）． 16. 如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则____． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分） 17. 已知二次函数． （1）求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）当取什么范围时，随的增大而增大？ 18. 有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． （1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； （2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 19. 图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． （1）求证：点为弧的中点； （2）若，，求的直径． 20. 如图，已知，，，，，． （1）求和的大小． （2）求的长． 21. 如图，在中，已知弦，相交于点E，连接，． （1）求证：． （2）若，的半径为4，求的长． 22. 某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若此类产品的日销售利润为150元，求销售价应定为多少元； （3）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形． （1）若，则正方形的面积为　 　； （2）如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为9 ①求的值； ②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．求正方形与正方形的面积比． 24. 抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数解析式和直线的解析式； （2）如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； （3）如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验初中2025学年第一学期期中阶段性检测 九年级数学 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．） 1. 已知c是a和b的比例中项，，，则（ ） A. B. 6 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查了比例中项的概念：解题的关键是当两个比例内项相同时，就叫比例中项．根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出． 【详解】解：根据比例中项的概念，得，， 故选：A． 2. 质地均匀的一个红球和一个白球随机放入三个不同的盒子中，则恰好有一个盒子为空的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查树状图或表格法求概率，掌握相关知识是解决问题的关键．用树状图或表格法表示出所有等可能的结果和恰好有一个盒子为空的结果，利用概率公式计算即可． 【详解】解：将三个盒子分别记为1，2，3， 共有9种等可能性结果，其中恰好有一个盒子为空的结果有6种，故恰好有一个盒子为空的概率为． 故选：C． 3. 如图，在平面直角坐标系中，该函数图象的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由图象可得，该图象的解析式经过点，再逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该图象的解析式经过点， A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故不符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故符合题意； 故选：D． 4. 如图，是的直径，弦于点．已知，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理． 连接，求出半径的长，进而可得出的长，再由于E可知是直角三角形，且，根据勾股定理求出的长即可得出结论． 【详解】连接， ∵为的直径，，， ， ∴， ∴， ∵于E， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴． 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转后，得到对应点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转．根据旋转定义作出图形即可找到点Q的坐标． 【详解】解：如图所示， 点绕原点O顺时针旋转得点Q，则点Q坐标为， 故选：B． 6. 下列关于抛物线的描述中，错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的性质，通过将二次函数化为顶点式 ，分析开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标． 【详解】解：∵ 抛物线为 ， ∴ 与顶点式对比，得 ， ， ． 对于 A：∵ ， ∴ 开口向下，正确． 对于 B：对称轴为 ，正确． 对于 C：∵ 开口向下，对称轴为 ， ∴ 当 时，y 随 x 的增大而增大，故选项描述错误． 对于 D：顶点坐标为 ，正确． ∴ 错误的是 C． 故选：C． 7. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，连接，根据圆周角定理得出，再根据得到，从而得到，最后利用圆内接四边形的性质得到结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，正五边形内接于，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的中心角、圆心角与弧的关系、圆周角定理，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题关键．连接，先求出，再求出，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∴的度数为， ∵点为的中点， ∴的度数为， ∴， 由圆周角定理得：， 故选：C． 9. 如图，点A，B，C，D，E，F是圆O上的六等分点，已知圆O的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形和圆、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图，连接交于点Q，设与交于点H，与交于点Q，根据题意可得是等边三角形，进而说明，再根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求得、可得，进而求得，最后求得即可解答． 【详解】解：如图，连接交于点Q，设与交于点H，与交于点Q， ∵点A，B，C，D，E，F是圆O上的六等分点， ∴，，， ∴， 同理： ∴， ∴，， 同理：， ∴是等边三角形， ∵， ∴ ∵，垂直平分，， ∴，，， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选C． 10. 如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可； 【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P． 设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴ 此时三角形的周长； 同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点， 设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； ∵，， ∴ ∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找轴和轴上符合条件的点P，不要漏解． 二、填空题(每小题3分，共18分) 11. 在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为关于x的一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】考查了概率公式及根的判别式的知识，解题的关键是确定能使得方程无解的未知数的值．首先根据根的判别式确定方程无实数解时a的值，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：当一元二次方程无实数解时，， 解得：， ∴在，，1，2，3，4这6个数中随机选取一个数作为一元二次方程中的a的值，使得一元二次方程没有实数解的a的值为3和4，一共2个， ∴在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为， 故答案为：． 12. 如图，点，分别在的边，上，且，若，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用二次函数的性质进行推理是解答本题的关键． 根据二次函数的图象上点的坐标特征得出结果即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴抛物线开口向下，当时，函数值随自变量的增大而增大， ∵关于直线的对称点为，，，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是半圆O的直径，，点C是上一点不与B，D重合，则________． 【答案】122 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．由为直径可知，进而可得，再利用圆内接四边形对角互补即可得解． 【详解】解：是直径， ， ， ， ∵四边形是圆内接四边形， ． 故答案为：122． 15. 在体育课上，小颖站在操场上的O点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞行路线是一条抛物线．如上图，已知实心球出手时的高度为1.6米，当飞行到与点O的水平距离为3米时达到最大高度2.5米，则小颖这次实心球训练的成绩为_____米（即的长度）． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．根据题意可知点A的坐标为，顶点坐标为，设抛物线解析式为，求出抛物线解析式，令，求出x的值即可． 【详解】解：根据题意可知点A的坐标为，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 令得， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长度为8米， 即小颖这次实心球训练的成绩为8米， 故答案为：8． 16. 如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则____． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，根据平分，可得；根据四边形内接于，可得，进而可得，即有，则有，最后利用勾股定理即可作答， 【详解】解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴在中，； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分） 17. 已知二次函数． （1）求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）当取什么范围时，随的增大而增大？ 【答案】（1）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次项系数可判断开口方向，再根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可； （2）利用开口方向和对称轴即可解答． 【小问1详解】 解：二次函数中，， 二次函数开口向下， 对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：二次函数开口向下， 在对称轴的左侧随的增大而增大， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大． 18. 有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． （1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； （2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 【答案】（1）小丽取出的卡片恰好是的概率为 （2） 解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下： 小丽 小明 数字之积 ∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种， ∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率， ∵， ∴这个游戏不公平，对小明有利． 【解析】 【分析】本题考查概率与游戏公平性的判断． （1）根据概率公式求解即可； （2）采用列表法可得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可． 【小问1详解】 解：小丽取出的卡片恰好是的概率为． 【小问2详解】 略 19. 图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． （1）求证：点为弧的中点； （2）若，，求的直径． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，勾股定理： （1）根据直径所对的圆周角是直角可得，由平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理即可解答； （2）利用垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为． 20. 如图，已知，，，，，． （1）求和的大小． （2）求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质． （1）根据三角形内角和定理求出，由可知：，； （2）由可知，将相关数据代入即可求出的长度． 【小问1详解】 解：∵，且，， ∴， ∵， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在中，已知弦，相交于点E，连接，． （1）求证：． （2）若，的半径为4，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等弦对等弧即可证明； （2）连接，根据垂直的定义得到，则有，利用圆周角定理得到，则有，根据得到，最后利用弧长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， 又∵的半径为4， ∴． 22. 某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若此类产品的日销售利润为150元，求销售价应定为多少元； （3）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售价应定为15元 （3），当销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题． （1）设函数关系式，把，代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于20元/千克，得出自变量x的取值范围； （2）根据日销售利润为150元，列出一元二次方程，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值； （3）根据销售利润销售量每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式，把，代入得 ， 解得， ∴y与x之间的函数关系式； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 对称轴为直线，在对称轴的左侧随着x的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，最大为200． 即当销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 23. 如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形． （1）若，则正方形的面积为　 　； （2）如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为9 ①求的值； ②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．求正方形与正方形的面积比． 【答案】（1）16 （2）①② 【解析】 【分析】（1）连接，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质得到，设正方形的边长为a，则，利用勾股定理解答即可得出结论； （2）①连接，设，则，，利用勾股定理列出方程，解方程求得x值，则结论可求； ②延长，交于点K，连接，利用正方形的性质和矩形的判定与性质，得到，，设正方形的边长为y，则MN=NP=DK=y，，，利用等腰直角三角形的性质求得y值，再利用正方形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 设正方形的边长为a，则， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为16． 故答案为：16； 【小问2详解】 解：①连接，如图， ∵四边形是正方形，且其面积为9， ∴． 由（1）知：， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴． ②延长，交于点K，连接，如图， ∵四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由①知：，， 设正方形的边长为y，则， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为． ∴正方形与正方形的面积比． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的面积，连接圆的半径，构造直角三角形是解决此类问题常添加的辅助线． 24. 抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数解析式和直线的解析式； （2）如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； （3）如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）， （2）；最大值为 （3）或或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可知，，，进而可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：若点的横坐标为，则，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：①当为平行四边形的边，点在对称轴右侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 又∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得 或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴； ②当为平行四边形的边，点在对称轴左侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 同理①可证， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 设点，则， 解得或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴ ③当为平行四边形的对角线时，如图，设的中点为， ∵，， ∴， ∵点在对称轴上， ∴点的横坐标为， 设点的横坐标为，根据中点公式得， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴点在轴上， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $