16.2024年全国真题与创新题组合卷(一)-【理想中考】2025版河南中考试题汇编卷·数学

23.解：(1)BD=CP.理由如下： ∠PA0=45°，∴.∠PA0=∠OFH. .:AC=BC,∠ACB=60° .·∠POA=∠FOH..∠H=∠APO :△ABC是等边三角形，∠CAB=60°，AC=AB. ∠APC=90°，E是AC的中点，∴.PE=EA=EC, 由旋转的性质，得∠APD=60°，AP=PD, .∠EPA=∠EAP,·∠PAO+∠OAE=∠CAB+∠OAE, △APD是等边三角形， ∴.∠PAE=∠BAH, .∠PAD=60°=∠CAB,AP=AD .∴.∠EPA=∠EAP=∠BAH ∴.∠CAP=∠BAD. ∴.∠H=∠BAH,∴.BH=BA .△CAP≌△BAD(SAS),∴.DB=CP. 由(2)知，∠BDC=∠BAC=45°， (2)设BD交PC于点G,交AC于点H,如图2-1. ∴.∠ADP=∠BDC=45°，.∠ADB=90° ..BD⊥AH..∠DBA=∠DBC=22.5 ∠ADB=∠ACB=90°，∴.A,D,C,B四点共圆， ∴.∠DAC=∠DBC=22.5°，∠DCA=∠ABD=22.5. .∠DAC=∠DCA=22.5°，.DA=DC. 图2-1 设AD=a,则DC=a,PD=三。. 2a, 当a=90时，易知△ACB,△APD均是等腰直角三角形， AD 2-0-2,∠Pm=2C4B=5 .∠PAC=∠DAB 如图3-2，当点P在线段CD上时，同法可证：DA=DC, ∴.△DAB∽△PAC, ∠C=∠Dag08=E 设AD=a,则DC=a,PD= 20, 又.·∠GHC=∠AHB,∴.∠CGH=∠HAB=45° ∴.直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°. (3)如图3-1，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的 延长线于点H,设直线EF交AH于点O. H 图3-2 20 PC=a- CP 2a=2+2. 图3-1 a-2 :点E,F分别是CA,CB的中点， .EF是△ACB的中位线， .EF∥AB,∴.∠CFE=∠ABC=45 综上所述，品的值为2-万或2+2 (162024年全国真题与创新题组合卷（一） 1.A2.D3.D4.A5.C6.D 9.A【解析】如图，过点O作OD⊥AB于点D, 7.B【解析】画树状图如下： 开始 则4D=BD=24B=7,∠AD0=90 圆的直径为2，∴.OA=0B=1, ∴在Rt△AOD中， 0:-0--(: .·OA=OB=AB=1, ∴.△AOB为等边三角形，∴.∠AOB=60° 和5 75 8 7 8 六S柔元装台=Sn服-SAm=60XI- 360 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中和是偶数的 情况有2种， (石m加故选1 P(和是偶数)=6=3 21 故选B. 10.C【解析】烧杯有出水口， “烧杯内水面高度在铁块下移过程中保持不变， 8.B【解析】在正方形ABCD中，AB=6, ∴.铁块的高度为AB段铁块移动的距离：10-6=4(cm), .∴.AB=AD=CD=6. 故A选项正确，不符合题意； :在正方形CEFG中，CE=2, :铁块下底面到烧杯底部的高度为16cm,铁块从开始位 ∴.CE=GF=CG=2, 置到下底面接触水面时移动了6cm, .DG=CD-CG=4. .烧杯内水的高度为10cm,故B选项正确，不符合题意； :AD∥GF,.△ADH∽△FGH, ,·当铁块下降高度为8cm时，铁块的一半刚好浸入水 08品即号40 中，拉力的大小为4+25=3.25(N). 2 解得DH=3.故选B. ·铁块的重力为4N, ·35· .铁块所受到的浮力为4-3.25=0.75(N),故C选项错17.解：(1)补全图形如下： 误，符合题意： 模型设计成绩的频数分布直方图 设AB段对应的解析式为F方=x+b,代入(6,4)， 人数/频数 (0,25)并东解，得P=令+空 .25 25 20 20 325 将F力=3代入F力=-8x+ 15 4 15 10 得x=的16曾号 10 5 5 故D选项正确，不符合题意.故选C 0∧ 11.64x612.9013.c>1 60 708090100成绩/分 14.5【解析】如图，取，点A关于直线1的对称点A',连接A'0 交直线I于点C,连接AC,A'P, (2)83 (3)100×20+10=600(人). 50 .全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的约有 600人. B (4)甲的成绩为94× 3+90×2 =92.4(分)； 乙的成绩为90x号+95×号=92（分）。 92.4>92,甲的综合成绩更高 1 则可知AC=A'C,A'A⊥l, 18.解：(1)F点A(m,2)在正比例函数%=x的图象上， .PO+PA=P0+PA'≥A'O, 即当O,P,A'三点共线时，P0+PA有最小值，为A'O 2m,解得m=4.∴A(4,2). 2= 的长. 直线I垂直于y轴，A'A⊥x轴. :点A(4,2)在反比例函数=冬(x>0)的图象上， A(3,0),B(0,2),A0=3,A4'=4, k=4×2=8, .在Rt△A'A0中，A'0=√OA+A'A=3+4=5,即 8 PO+PA的最小值是5. ·反比例函数的解析式为=全(x>0), 15号【解析：两条平行线山，A是上的定点，AB1凸 (2)把直线，=2x向上平移3个单位长度得到的解析 于点B, 1 式为y=2x+3, ·B为定点，AB的长度为定值 :I1∥l2,∠ACE=∠BDE,∠CAE=∠DBE. 令x=0,则y=3, 又.AC=BD,∴.△ACE≌△BDE(ASA), 1 直线y=2x+3与y轴的交点坐标为D(0,3),连接 .BE-AE-7AB. AD,如图 .BH⊥CD,∴.∠BHE=90° y=x :点H在以BE为直径的圆上运动 如图，取线段BE的中点O,以，点O为圆心，OB的长为半 径画圆， 由题意，得BD∥AO, .△AOB,△AOD同底等高， 1 ×3×4=6. 则点H在⊙0上运动， 19.解：如图，过点E作EF⊥AD于点F, .当AH与⊙0相切时，∠BAH有最大值，连接OH,则 Ba 此时OH⊥AH. .AE =BE =20E,..A0 =AE +OE =30E. B法线 OH=OE,.sin BAIl=OH=OE1 水面 4030E=3 池 1 16.解：(1)原式=m-3+2×2-1 A 77777777 77777777 池低 =T-3+1-1 则∠AFE=90°，DF=CE. =T-3. 由题意，得∠BEC=a=36.9°，∠CBE=B,EF=1.2m (2)原式=-2.1.1 x+1`x-2=x+1 BC≈2=1.6(m), 在Rt△BCE中，CE=am∠BEC0.7万 ·36· BE=- (m). 1x2+4x 15 y=- x= 2 联立 解得=0或 mB=能-专DF=16m, 1y=0 15 y= 4 y= 8 .AF=AD-DF=2.5-1.6=0.9(m), .在Rt△AFE中，AE=√EF+AF=√1.2+0.9=1.5(m), ∴点4的坐标是（受，） 4 (2)①8 .'sin y= 装器号…g是13 ②y=-5t+t= sin y 3 5-)+分则5-8 5 解得v=4√而（负值已舍） 20.解：(1)设A款文创产品每件的进价为a元，则B款文创23.解：(1)如图1-1，PC即为所求 产品每件的进价为(a-15)元. 根据题意，得60=780 a-15,解得a=80. 经检验，a=80是原分式方程的解，且符合题意. ..80-15=65. 0 答：A款文创产品每件的进价为80元，B款文创产品每件 的进价为65元. 图1-1 (2)设购进A款文创产品x件，则购进B款文创产品 90° (100-x)件. (2)证明：如图2-1，过点P作PC⊥OB于点C,则四边形 根据题意，得80x+65(100-x)≤7400， OAPC是矩形. 解得x≤60. 设总利润为W元，则W=(100-80)x+(80-65)(100- x)=5x+1500. 5>0,.W随x的增大而增大， 当x=60时，利润最大，W最大=5×60+1500=1800， 此时100-x=40. C N B 答：购进A款文创产品60件，B款文创产品40件，能使 图2-1 销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元 点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA,PC⊥OB, 21.解：(1)如图2-1，根据作图的步骤，作图如下： .PA=PC,∴.矩形OAPC是正方形 .∴.OA=AP=PC=0C,∠APC=90°. .·PN⊥PM,∴.∠APM=∠CPN=90°-∠MPC. 又∠A=∠PCN=90°，AP=CP, ·△APM≌△CPN(ASA),∴.AM=CN, .OM+ON =0M+CN+0C =0M+AM+AP=0A+AP=2AP. (3)①当M在线段A0上时，如图3-1，延长PA交射线 图2-1 NM于点G. 则点A,B,C是求作的⊙O的圆周三等分点. G (2)63 【解析】如图2-2，连接AM,设AB,OM的交点为D. M六 NB 图3-1 由(2)知OM+0W=2PA, 设OM=x,则ON=3x,A0=PA=2x .∴.AM=A0-OM=x=OM. .·∠AOB=∠MAG=90°，∠AMG=∠OMN 图2-2 ∴.△AMG≌△OMW(ASA),.AG=ON=3x. 根据垂径定理，得AD LOM. .·∠AOB=90°，PA⊥OA,.AP∥OB .AB=AC =BC,.'.AB =AC BC, 3 .△ABC是等边三角形，∠B=60° AA0Pa器%2= PF5.0P5+38 ·AC=AC,.∠CMA=∠B=60°. 0F=30F=3= 3 .⊙O的半径为2cm,MC是直径， ②当M在A0的延长线上时，如图3-2，过点P作PC1 ∴.∠CAM=90°，MC=4cm, OB于点C,并延长交MN于点G. ∴.AC=MC·sin∠CMA=4sin60°=2√3(cm), .△ABC的周长为AB+BC+AC=3AC=6√3cm 22.解：(1)①3,6 B ②根据表格可得，二次函数的顶点坐标为(4,8)， ∴.二次函数的解析式为y=a(x-4)2+8, 把点(0,0)代人，得a=-分 G IM F 。二次函数的解析式为)=之x-4)产+8=分+4 图3-2 由(2)知，四边形OAPC是正方形， ·37· .OA=AP=PC=OC,∠APC=90°，PC∥AO. PC∥AO,∴.△OMF∽△PGF, .:PN⊥PM,.∴.∠APM=∠CPN=90°-∠MPC OF OM x 3 又.∠A=∠PCN=90°，AP=CP, .2 ·△APM≌△CPW(ASA),.AM=CN, x+3 .ON-OM =0C +CN -OM =A0 +AM-OM=A0+A0=2A0. PF 5 0P5-3_2 设OM=x,则0W=30M=3x,∴.A0=x,CN=AM=2x. 0F=3心0F=3 3 .·PC∥AO.∴.△CGW∽△OMWN, “篇晨即华票6=子 2 综上所述，胎的值为号或号 172024年全国真题与创新题组合卷（二） 1.C2.A3.B4.A5.B6.A7.A 8.D【解析】根据二次函数的图象，可知当x>1时，y1随着 ∠APB=LABF=7×(180°-120)=30P,∠EFD= x的增大而减小.根据反比例函数图象可知，当x>0或 x<0时，y2随着x的增大而减小，故若1，均随着x的增 ∠EDF=7x(1800-120)=30, 大而减小，则x的取值范围是x>1.故选D. .∠BFD=120°-2×30°=60°. 9.B【解析】如图，延长DF与AB的延长线交于点G 如图，过点A作AG⊥BF于点G, :四边形ABCD是平行四边形， ∴.DC∥AB,DC=AB,即DC∥AG. ·△DEC∽△GEA,AE-GE-AG CE DE DC :AC=5,CE=1,.AE=AC-CE=5-1=4, 则BF=2FG=2AF·co530°=2×6×)号=63. CE DE DC 1 ·AE-GE-AG4 设围维的底面国的半径为，则2r-8×6尽， 义：P=0器-G-子器=分 .r=√5，即圆锥的底面半径为3 DC=DC c=,c=A服， 15.20√5-16【解析】小：在□ABCD中，∠BCD=120°， AB=8. 9=1.EE-4B-1BCG.3 .∴.CD=AB=8,AB∥CD,则∠ABC=180°-∠BCD=60°. ·BG=3FG=BG=34G=EG=4 B为边CD的中点DE=CB=2CD=4 又：LBGF=∠AGEBGF△A6EE-F=A 由翻折的性质，得ED'=DE=4, AEEG4 ∴.点D'在以E为圆心，4为半径的圆孤上运动. AE=4,BF=3.故选B. 如图，过C作CN⊥AB于，点N,过E作EM⊥AB交BA的 10.C【解析】设该扇面所在圆的半径为R, 延长线于点M,交圆E于点D',此时D'到边AB的距离最 则S=120πR=m 短，最小值为D'M的长，此时△ABD'的面积最小. 360 3πR=3S :该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为S。, “S=mE=n 36030·mR360×35= n -120’ nS ∴.m= Sm_120n1 B S S=120=120.m是n的正比例函数. .·AB∥CD,∴.EM=CN. :n≥0，.它的图象是过原点的一条射线.故选C. 在Rt△BCN中，BC=10,∠CBN=60°， 11.(x+3)212.89 【解析】画树状图如下： CNc.m0=10x号-5店， .D'M=ME-ED'=55-4, 开始 △MBD面积的最小值为号x8×(5,厅-4)=205-16 红 红 16解：1)原式=1+2×分-2+厅 白红红黄红红黄白红白黄红 =1+1-2+5 由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰为2个 =5. 红球的情沉有2种，P(拾为2个红球)=员=石 2 a+1 a-1 (2)原武=(a+a-D(a+)(a-可(a+0(a-D] 14.√5【解析】在正六边形ABCDEF中， 2 ∠BAF=∠AFE=∠E=(6-2)×180°=120°，AB=AF= =(a+1)(a-1)(a+1)(a- 6 2 .(a+1)(a-1) EF=DE=6, =(a+1)(a-1) 2 =1. ·38·10.(2024·宜昌)为了探究浮力的大小与哪些因15.(2024·扬州)如图，已知两条平行线41,4，A是4 2024年全国真题与创新题组合卷（一） 素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验.如 16 上的定点，AB⊥4于点B,点C,D分别是4,4上 图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方， 的动点，且满足AC=BD,连接CD交线段AB于 数学 再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计 点E,BH⊥CD于点H,则当∠BAH最大时， 。参考答案详见P35 的示数F拉方（单位：N)与铁块下降的高度x(单 sin∠BAH的值为 【本卷满分：120分 考试时间：100分钟】 位：cm)之间的关系如图乙所示.下列说法不正 确的是 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有 四个选项，其中只有一个是正确的) 1.(2024·广东)-5的绝对值是 铁块血！ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） A.5 B.-5 C.-5 n号 16.(2024·扬州)(10分) A.136 B.64° C.116° D.1289 0246810121416x/ 2.(2024·乐山)下列文物中，俯视图是四边形的是 6.(2024·陕西)不等式2(x-1)≥6的解集是 (1)计算：lm-31+2sin30°-(5-2)° 图甲 烟Z A铁块的高度为4m A.x≤2 B.x≥2 C.x≤4 D.x≥4 B.铁块入水之前，烧杯内水的高度为10©m 7.(2024·福建)哥德巴赫提出“每个大于2的偶数 C.当铁块下降的高度为8cm时，该铁块所受到 都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学 的浮力为3.25N 家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界 (2)化简：x-2 +7÷(-2. A.带盖玉柱形器 B,白衣彩陶体 领先的成果.在质数2,3,5中，随机选取两个不 D.当弹簧测力计的示数为3N时，此时铁块距 同的数，其和是偶数的概率是 离烧杯底号m n号 二、填空题（每小题3分，共15分》 11.(2024·上海)计算：(4x2)3=」 17.(2024·山东)(9分)某学校开展了“校园科技 8.(2024·陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正 12.(2024·福建)学校为了解学生的安全防范意 节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项 方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H.若 C.镂空人面覆盆陶器D.青铜大方鼎 AB=6,CE=2,则DH的长为 目，为了解学生的模型设计水平，从全校学生的 ( 识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试， 3.(2024·北京)为助力数字经济发展，北京积极推 将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图， 模型设计成绩中随机抽取部分学生的成绩（成绩 进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力 则这12名学生测试成绩（单位：分）的中位数是 为百分制，用￥表示)，并将其分成如下四组： 中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4× 60≤x<70.70≤x<80.80≤x<90.90≤x≤100. I0 Flops(Fors是计算机系统算力的一种度量单 人数 下面给出了部分信息： 80≤x<90的成绩为81,81,82,82,83,83,84,84 位)，整体投产后，累计实现的算力将是日前已部 84.85.86,86.86.87.88,88.88.89,89,89. 署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops, A.2 B.3 c 模型设计成绩的频数分布直方图 则m的值为 9.(2024·遂宁)工人师傅在检查排污管道时发现 B.2×10 25人数（颜数 A.8×106 淤泥堆积如图所示，排污管道的横截面是直径 80859095100成绩/分 C.5×107 D.2×10 为2m的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图 中阴彩部分)宽AB为1m,则淤泥横截面的面积 13.(2024·云南)若关于x的一元二次方程x2-2x+ 4.(2024·河北)若a,b是正整数，且满足 为 c=0无实数根，则c的取值范围是 2”+2”+…+2=2×2×…×2,则a与b的关 14.(2024·成都)如图.在平面直角坐标系0y中 8个2相加 8个2相来 已知A(3,0),B(0,2),过点B作y轴的垂线， 60708090100成绩/分 系正确的是 P为直线1上一动点.连接PO,PA.则PO+PA 模型设计成绩的扇形统计图 A.a+3=86 B.3a =8b 的最小值为 60≤x<70 Ca+3=6 D.3a=8+b 90≤x忘100 5.(2024·内江)如图，AB∥CD,直线EF分别交AB, 合-9m 7058 CD于点E,F.若∠EFD=64°，则∠BEF的大小是 80≤x<90 ( c(3-同m D.(o-4)m 数学·16-1 数学·16-2 根据以上信息，解决下列问题： 19.(2024·安微)(9分)科技社团选择学校游泳池 通.如图2，已知⊙0和圆上一点M.作法如下：23.(2024·贵州)(10分)综合与探究：如图，∠AOB= (1)请补全频数分布直方图。 进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发 ①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙0于 90°.点P在∠AOB的平分线上.PA⊥OA于点A (2)所抽取学生的模型设计成绩的中位数是 出，经水面点E折射到池底点A处.已知BE与 A,B两点： 分. 水平线的夹角g=36.9,点B到水面的距离 ②延长M0交⊙0于点C: (3)请估计全校1000名学生的模型设计成绩不 BC=1.20m,点A处水深为1.20m,到池壁的水 即点A,B,C将⊙0的圆周三等分 低于80分的人数. 平距离AD=2.50m,点B,C,D在同一条竖直线 图1 图2 备用图 (4)根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小 上，所有点都在同一竖直平面内记入射角为B,折 (1)【操作判断】 论文成绩按3：2的比例确定这次活动各人的综合 射角为y,求血B的值（结果精确到0.1.参考 过点P作PC⊥OB于点C,根据题意在图1中画 成绩 sin y 彩陶纹样 点定位法三等分圆周 出PC,图中∠APC的度数为 某班甲，乙两位学生的模型设计成绩与科技小论 数据：sin36.9°≈0.60.c0s36.9°=0.80 图 图2 (2)【问题探究】 文成绩（单位：分）如下： tan36.9°=0.75】 (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆 如图2，点M在线段A0上，连接PM,过点P作 规在图2中将⊙0的圆周三等分，（保留作图痕 模型设计 科技小论文 PN⊥PM交射线OB于点N,求证：OM+ON= 迹，不写作法) 2PA. 甲的成绩 94 号 (2)根据(1)画出的图形，连接AB,AC,BC,若⊙O (3)【拓展延伸】 乙的成绩 90 95 的半径为2cm,则△ABC的周长为 cm. 点M在射线AO上，连接PM,过点P作P⊥PM 通过计算，甲，乙哪位学生的综合成绩更高？ 交射线OB于点N,射线NM与射线PO相交于点 20.(2024·眉山)(9分)眉山是“三苏”故里，文化 R若0N=30n.求的值 底蕴深厚，近年来眉山市旅游产：业蓬勃发展，促 进了文创产品的销售，某商店用960元购进的 18.(2024·凉山)(9分)如图，正比例函数=2+ A款文创产品和用780元购进的B款文创产品 数量相同，每件A款文创产品进价比B款文创 22.(2024·江西)(10分)如图，一小球从斜坡0点 与反比例函数方=(x>0)的图象交于点 产品进价多15元. 以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次 (1)求A,B两款文创产品每件的进价各是多少元 函数y=a+x(a<0)刻画，斜坡可以用一次 A(m,2) (2)已知A款文创产品每件的售价为100元， (1)求反比例函数的解析式 函数y=子刻画，小球飞行的水平距离x(米) B款文创产品每件的售价为80元，根据市场需 (2)把直线，=7向上平移3个单位长度与% 求.商店计划再用不超过7400元的总费用购进 与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表： 这两款文创产品共100件进行销售.问：怎样进 012 m4567 (x>0)的图象交于点B,连接B,0B,求△40B 货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润 15 15 的面积 是多少元？ 0 2628 2 2 (1)①m= ,n= ②小球的落点是A,求点A的坐标 (2)小球飞行高度y(米)与飞行时间（秒）满足 关系y=-5+ ①小球飞行的最大高度为 米； 21.(2024·甘肃)(9分)马家窑文化以发达的彩陶 ②求的值， 4y/米 著称于世，其胸质坚固，器表细腻，红、黑、白彩 共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成 了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊 叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智 小球斜坡 慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古 x米 人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三 等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相 数学·16-3 数学·16-4