精品解析：河北省邯郸市永年区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025—2026学年第一学期期中质量检测 九年级数学试题 本试卷满分120分．分选择题、填空题、解答题三部分． 一、选择题（12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 不能确定 2. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数/cm 175 180 180 175 方差 3.2 3.2 5.4 6.1 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ）． A. B. C. D. 4. 在中，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. 8 D. 10 5. 是的平均数，是的平均数，是平均数，则下列各式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（    ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 27 7. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）． A. 2024 B. 4 C. 2022 D. 0 8. 某班级对五名“五星少年”候选人的投票进行统计：，，，，发现两位数“”的个位数字模糊不清，则下列统计量不受影响的是（    ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 9. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 10. 某学校有一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若围成的菜地面积为180平方米，此时菜地的宽为（ ）米． A. 6 B. 10 C. 6或10 D. 12 11. 如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（ ） A. B. 12 C. D. 6 12. 对于关于的一元二次方程，下列说法错误的是（　　） A. 若方程的两个根是和，则 B. 若，则方程有一个根是 C. 若是方程的一个根，则一定有成立 D. 若，且方程有实数根，则 二、填空题（四个小题，每题3分，共12分） 13. 某校组织信息科技知识竞赛，包括三个内容：算法与数据结构、编程语言、实践应用，考核的满分均为分，竞赛总分按每个内容的重要性作为权重计分．已知三个内容的重要性之比依次为，每个内容小宇的得分依次为，那么他的竞赛总分是________． 14. 计算 结果是________． 15. 如图，已知矩形的顶点分别落在x轴，y轴上，，则点C的坐标是__________． 16. 已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为_____． 三、解答题（8道题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某中学数学活动小组为了调查居民的用水情况，从某社区的1200户家庭中随机抽取了30户家庭的月用水量，结果如下表所示： 月用水量（吨） 3 4 5 7 8 9 10 户数 5 3 5 11 4 1 1 （1）这30户家庭月用水量的平均数是______吨、众数是______吨、中位数是______吨； （2）根据上述数据，试估计该社区的月总用水量； （3）由于我国水资源缺乏，许多城市打算采用分段计费的办法引导人们节约用水，即规定每个家庭的月基本用水量为x（吨），家庭月用水量不超过x（吨）的部分按原定价收费，超过x（吨）的部分加倍收费．你认为上述问题中的平均数、众数和中位数中哪一个量作为月基本用水量比较合理？请说明理由． 18. 用指定方法解下列方程： （1）；（公式法） （2）；（配方法） （3）（因式分解法） 19. 如图，在中，，的平分线交于D，，解这个直角三角形． 20. 某校舞蹈社团选拔出两个舞蹈水平相当的舞蹈小组，下面的图表是两个舞蹈小组成员的身高部分信息，其中的阴影部分已被污损． 平均数 中位数 众数 方差 甲组 165 2.8 乙组 165 164 164 请根据所学的统计知识，解决下列问题： （1）上表中，___________，___________； （2）一般认为，在两组舞蹈成员的舞蹈水平相当的情况下，如果舞蹈成员的身高比较整齐，则该组舞台呈现效果越好．你认为舞台呈现效果更好的是哪一组？请说明你的理由． 21. 如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． （1）求证：； （2）如果，，．求的面积． 22. 汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． （1）求车头盲区的长度； （2）在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 23. 中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． （1）求的长度；（结果保留根号） （2）小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 24. 如图，中，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动到达B时停止，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动到达时停止，P，Q两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求的值； （2）的面积能否与四边形面积相等？若能，求出的值；若不能，说明理由． （3）线段的长度能否达到？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中质量检测 九年级数学试题 本试卷满分120分．分选择题、填空题、解答题三部分． 一、选择题（12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，其一般形式是（））是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列方程和不等式求解的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 由，得． 由，得． ∴． 故选：． 2. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数/cm 175 180 180 175 方差 3.2 3.2 5.4 6.1 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用方差和平均数做决策，根据题意可知要选择平均数大且方差小的运动员参赛，据此可得答案． 【详解】解：从平均数来看，应该从乙、丙中选择一人参赛， 从方差来看，应该选择乙参赛， 故选：B． 3. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为得到，据此求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵点P是的黄金分割点（）， ∴， ∵长为， ∴， ∴， 故选：B． 4. 在中，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5. 是的平均数，是的平均数，是平均数，则下列各式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的定义是解答本题关键； 根据算术平均数的定义解答即可. 【详解】解：∵是的平均数，是的平均数，是的平均数， ∴，， ∴. 故选：B. 6. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（    ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长是9， 故选：C． 7. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）． A. 2024 B. 4 C. 2022 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系． 根据一元二次方程根与系数关系，得到和的值，将代入方程可得，计算的值即可． 【详解】解：，， 将代入方程可得， ． 故选：B． 8. 某班级对五名“五星少年”候选人的投票进行统计：，，，，发现两位数“”的个位数字模糊不清，则下列统计量不受影响的是（    ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义． 【详解】解：无论为何值，这组数据的中位数均为，不受影响， 当时，数列从小到大排列顺序为： ，，，， 中位数为； 当时，数列从小到大排列顺序为： ，，，， 中位数为． 故选： 9. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 10. 某学校有一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若围成的菜地面积为180平方米，此时菜地的宽为（ ）米． A. 6 B. 10 C. 6或10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键． 设，则，依题意列方程计算即可． 【详解】解：设，则， 依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． ∴菜地的宽为10米， 故选：B 11. 如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（ ） A. B. 12 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 12. 对于关于的一元二次方程，下列说法错误的是（　　） A. 若方程的两个根是和，则 B. 若，则方程有一个根是 C. 若是方程的一个根，则一定有成立 D. 若，且方程有实数根，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的与系数的关系，解一元二次方程以及根的判别式． 根据根的与系数的关系可判断A，根据一元二次方程的解法可判断B，根据一元二次方程的根可判断C，根据根的判别式可判断D，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵方程的两个根是和， ∴， ∵， ∴， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，， ∴方程有一个根是，原选项说法正确，不符合题意； 、∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，原选项说法不一定正确，符合题意； 、∵， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 二、填空题（四个小题，每题3分，共12分） 13. 某校组织信息科技知识竞赛，包括三个内容：算法与数据结构、编程语言、实践应用，考核的满分均为分，竞赛总分按每个内容的重要性作为权重计分．已知三个内容的重要性之比依次为，每个内容小宇的得分依次为，那么他的竞赛总分是________． 【答案】分 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三个内容的权重比及得分，应用加权平均数公式求解． 【详解】解：三个内容的权重比为，总权重为， ∴竞赛总分为（分）． 故答案为：分． 14. 计算 结果是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值和零指数幂的运算，需将各三角函数值代入后，进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 15. 如图，已知矩形的顶点分别落在x轴，y轴上，，则点C的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过作轴于，根据矩形的性质得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，即可求解． 【详解】解：过作轴于， 四边形是矩形． 故答案为：． 16. 已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为_____． 【答案】4或5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和等腰三角形，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先利用公式法求出方程的解为，然后分类讨论：，当或时为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】解：， ∴= 即， ， 、中有一个数为． 当时， 解得：． 、、能构成等腰三角形， 符合题意； 当时，、、能构成等腰三角形， 符合题意． 综上所述：的值为或． 三、解答题（8道题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某中学数学活动小组为了调查居民的用水情况，从某社区的1200户家庭中随机抽取了30户家庭的月用水量，结果如下表所示： 月用水量（吨） 3 4 5 7 8 9 10 户数 5 3 5 11 4 1 1 （1）这30户家庭月用水量的平均数是______吨、众数是______吨、中位数是______吨； （2）根据上述数据，试估计该社区的月总用水量； （3）由于我国水资源缺乏，许多城市打算采用分段计费的办法引导人们节约用水，即规定每个家庭的月基本用水量为x（吨），家庭月用水量不超过x（吨）的部分按原定价收费，超过x（吨）的部分加倍收费．你认为上述问题中的平均数、众数和中位数中哪一个量作为月基本用水量比较合理？请说明理由． 【答案】（1）6，7，7 （2）该社区月总用水量约为7200吨 （3） 以中位数或众数作为月基本用水量较为合理， 因为这样既可以满足大多数家庭的月用水量，也可以引导用水量高于7吨的家庭节约用水． 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数、平均数的定义，解本题的要点在于掌握平均数的计算方法，理解众数和中位数的概念，能够正确找到众数和中位数，学会运用平均数、众数和中位数解决实际问题．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，关键是灵活运用公式列出算式进行计算． （1）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可， （2）用社区的总户数乘以平均数列出算式计算即可， （3）根据平均数、众数、中位数的意义，结合题意选择合适的量即可． 【小问1详解】 这户家庭月用水量的平均数（吨） 出现了次，出现的次数最多，则众数是， ∵共有个数， ∴中位数是第、个数的平均数， ∴中位数是（吨） 故答案为：6，7，7； 【小问2详解】 ∵社区共户家庭， ∴该社区的月用水量（吨）； 【小问3详解】 略 18. 用指定方法解下列方程： （1）；（公式法） （2）；（配方法） （3）（因式分解法） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键. （1）先求出根的判别式，再用公式法计算即可； （2）将常数项移到方程右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即得，直接开方求解即可； （3）将所有项移到方程左边，然后提公因式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ，； （2）解： ，； （3）解： 或 ，． 19. 如图，在中，，的平分线交于D，，解这个直角三角形． 【答案】 解：∵，， ∴， ∴， ∵的平分线交于D， ∴， ∴， ∴，． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，在中，根据，求出，角平分线求出，进而得到，根据锐角三角函数求出的长即可． 【详解】略 20. 某校舞蹈社团选拔出两个舞蹈水平相当的舞蹈小组，下面的图表是两个舞蹈小组成员的身高部分信息，其中的阴影部分已被污损． 平均数 中位数 众数 方差 甲组 165 2.8 乙组 165 164 164 请根据所学的统计知识，解决下列问题： （1）上表中，___________，___________； （2）一般认为，在两组舞蹈成员的舞蹈水平相当的情况下，如果舞蹈成员的身高比较整齐，则该组舞台呈现效果越好．你认为舞台呈现效果更好的是哪一组？请说明你的理由． 【答案】（1） （2）甲组 【解析】 【分析】此题考查了方差、中位数等知识，熟练掌握方差计算和利用方差做决策是关键． （1）根据方差计算过程分别进行求解即可； （2）计算乙组的方差，比较后即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵ ∴， 设阴影部分为， ∴ 解得， ∴甲组数据为， ∴中位数； 故答案为： 【小问2详解】 甲组舞台呈现效果更好，理由如下： ∴， ∴甲组舞蹈成员的身高比较整齐，则甲组舞台呈现效果更好． 21. 如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． （1）求证：； （2）如果，，．求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）81 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似并掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）先由平行线分线段成比例定理得，再结合已知得，即可得出结论； （2）先根据已知结合（1）得，求出，再证明，根据相似三角形的性质得，进而可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． （1）求车头盲区的长度； （2）在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】（1） （2）不能，见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用、 （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点M作交AF于点N，证明，根据相似三角形的性质求得，进而与实际高度比较可得结论． 【小问1详解】 解：根据题意，，，，， 所以，， 所以， 所以，又， 所以， 解得，， 检验，当时，原方程的分母不为零， 所以， 所以； 【小问2详解】 解：不能； 如图所示，过点M作交AF于点N， 所以，，， ∵，， ∴， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以驾驶员不能观察到物体． 23. 中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． （1）求的长度；（结果保留根号） （2）小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【答案】（1）千米 （2）千米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）如图，过D作于H，过C作于E，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F，分别用含x的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：过D作于H，过C作于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； 【小问2详解】 解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米， ∴千米，在左边， ∵， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 24. 如图，中，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动到达B时停止，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动到达时停止，P，Q两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求的值； （2）的面积能否与四边形面积相等？若能，求出的值；若不能，说明理由． （3）线段的长度能否达到？说明理由． 【答案】（1） （2） 解：的面积不能与四边形面积相等．理由如下： 当的面积与四边形面积相等时， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不能与四边形面积相等． （3） 解：线段的长度能达到，理由如下： 当时， 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， ∴当时，线段的长度能达到． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式和勾股定理，根据题意正确得到一元二次方程成为解题的关键． （1）利用面积公式表示出和的面积，再根据题意列出关于t的方程求解即可； （2）假设的面积与四边形面积相等，则，利用面积列出方程，方然后根据方程解的情况即可解答； （3）根据“线段的长度能达到”，结合勾股定理列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得； ∴当时，的面积是面积的． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $